CC BY
24
номер 11-12, 1996 г.
Краткие сообщения по физике ФИЛИ
УДК 530.1
ОСОБЕННОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ СТРУКТУР В НЕМАРКОВСКИХ ПРОЦЕССАХ
В работах [1, 2] анализировались немарковские процессы или процессы с памятью, описывающие изменения различных структур. Подобно распределениям по энергии Е. служащей в марковских процессах мерой движения, в немарковских возникают дополнительные распределения по негэнтропии 5 для конкретных параметров И/Г (например, биомассы организмов [3]):
Величина 0 зависит от предыстории и определяется уровнем информационного поля Было показано, что известное "золотое сечение", определяемое через рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи гп
задает некоторое эталонное равновесное распределение, соответствующее границе меж ду ближней и дальней памятью.
Цель настоящей работы - выделить некоторые харак терные особенно« ги немаркой ских процессов.
Структурные распределения. Равновесное распределение (1) можно рассматрн вать как распределение набора структур по степени сложности (иерархию структур). К настоящему времени для немарковских процессов накоплен обширный эксперимент аль ньтй материал по различным функциям распределения. Однако многие из них пред« а влены в форме, отличной от (1). Так, для стабильных сформировавшихся (равновесных I
А. С. Харитонов, Л. А. Шелепин
Рассмотрена специфика структурных распределений и ритмов в немарко а ских процессах. Обсуждаются возможности анализа на их основе ряда биологи чески.г и социальных явлений.
XV = И/„ехр(-5/0).
(I)
¿п+1 — + 2„_х
(2)
К/лппьш. сообщения по физике ФИЛИ
номер I I I.2, 1996 г
.•) коси схем получены распределения видов по числу особей, родов по числу видов, хозяев по числу паразитов [4]. Конкретные способы построения определялись расположением (видов) но степени убывания их численности в выборке, а сами распределения аппроксимировались либо логарифмической, либо гиперболической кривыми. Эти распределения можно считать проявлением немарковости биологических процессов. Например, распределение видов п(г) по числу особей г может быть получено из (]), если учесть, что п ~ ИЛ а для числа особей можно записать приближенное соотношение ,9 ~ 1п г: откуда следует гиперболический закон (Н-распределение или распределение Ципфа Парею)
п = Аг~° а > 0. (3)
Приложения этих распределений в социальных процессах рассмотрены в [5]. Особо еле дует отметить свойство устойчивости распределений (3). Их композиция приводит к распределению того же типа. В работе [6] было показано, что большую техническую систему можно рассматривать как сообщество изделий - аналог биоценоза, назван ими гехтюценозом. Приведенный в [6] большой фактический материал показывает, что различные виды аппаратуры (электродвигатели, кабели, трансформаторы и др.) но повторяемости образуют //-распределения (3), приводящиеся к (I).
Различные формы равновесных распределений весьма перспективны для приложе ний. Например, применение //-распределений для техноценозов дает возможность составления частотного словаря оборудования на предприятиях, создания системы стан дартов. установления порядка комплектования и замены изделий во время эксплуатации [6]. Заметим, что при этом необходим учет уровня информационного ноля в техноцено-зах, определяемого величиной 0, с которой связаны константы Л и а в (3).
Структурные ритмы. К качественным особенностям немарковских процессов еле дует отнести также наличие структурных ритмов. Математически этот результат был получен в [7] на основе решения модельного нелокального по времени (немарковского) уравнения
ОО
^ = *-*)], (4)
о
где /'(V./) одночастичная функция распределения по скоростям, ф нелинейный больцмановский оператор столкновений, #(/) - некоторая неотрицательная функция, т положительный постоянный параметр. При т — 0 уравнение (4) переходит в уравнение Больцмана. Когда г превышает некоторое критическое значение т > т" (т.е.
ноли 1> Л 12, ¡991) г.
краткие сообщения по физию ФИАН
становится существенной немарковость), возникают комплексные значения корней характеристического уравнения, которым соответствуют осцилляции.
Структурные ритмы обусловлены рекуррентным характером изменения систем, определяемым зависимостью от прошлого, от памяти [8]. В простейшем случае при зависимости типа
можно рассматривать систему дифференциальных уравнений для двух связанных величин ' ((/„) и ;y(un_i), управляемых соответствующими параметрами, разделенными вре менным лагом. В конкретных случаях это приводит к моделям типа хищник жер > на и орегонатора, где неизбежно возникают осцилляции. В работе [9], где анализировались модели трофических' цепей, показано наличие чисто мнимых собственных значений, которым соответствуют связанные колебания численности хищников и жертв.
Таким образом, наличие структурных ритмов можно рассматривать как имманентное свойство немарковских процессов. В этих процессах квазиравновесные рас пределе ния включают в себя не просто структуры, а набор пространственно-временных ci рук
Низкочастотная область осцилляций. В немарковских процессах структурные осцилляции относятся к области низких частот, в отличие от марковских процес сов для атомов и молекул и квантовых осцилляций, где частоты и относятся к инфракрасному и видимому диапазонам спектра. Одной из причин такого различия является разница в массах т(ш ~ 1 /у/т). Для биологических структур, имеющих макроскопические массы га, частоты ритмов находятся в основном в области 0.1 102 Гц. В ряде процессов периоды осцилляций могут измеряться десятилетиями. Из-за наличия большого числа налагающихся структурных ритмов каждое последующее колебание нссеч определенные отличия от предыдущего.
Методы исследований в этой нестандартной области носят в основном эмпирический, модельный характер. Это в полной мере относится к многочисленным моделям по ритмам физиологических систем (дыхание, кровообращение, пищеварение, передвижение, жевание, сон, синтез РНК, деление клеток) [10]. Ряд нейронных и мускульных механизмов моделировался сложными системами связанных осцилляторов. Например, построенная в [11] модель активности толстой кишки человека включала в себя 33 симметрично связанных кольца, состоящих каждое из трех осцилляторов. Особо следует отметить применение теорегико-группового подхода в [10], где рассматриваетс я
Un+l = /(«n,«n-x)
(5)
краткт сообщения по физике ФИ А H
номер 11-12, J 996 «■.
смешанная пространственно-временная симметрия с учетом фазовых соотношений ос-цилля горов, что открывает возможности соответствующего описания пространственно-временных структур, характерных для немарковских процессов.
Взаимодействие осцилляций. В биологических, экономических, социальных явлениях к ваз и равновесие включает в себя громадную сосокупносгь ритмов.. Биологические ритмы наблюдаются на всех уровнях организации от внутриклеточной до биосферной [12, 13]. Ритмы отдельных органов, тканей, клеток, внутриклеточных ком попей г участвуют в создании временной упорядоченности биологических явлений и составляют основу интеграции процессов в живых организмах. Каждый момент н пой сложной картине взаимодействие осцилляций. Внешние воздействия могуч сдвигать фазу и менять амплитуду биологических ритмов, которые способны подстраиваться к изменениям цикличности внешней среды (суточные, годичные, приливные, лунные ритмы, циклы активности Солнца). Внутренние (эндогенные) компоненты ритмов да jot возможность организму ориентироваться во времени (биологические часы) и заранее го товиться к изменениям окружающей среды. Нарушение установившихся ри тмов жизнедеятельности оказывает негативное влияние на организм.
(' определенными взаимодействиями внутренних и внешних осцилляций связана ра бота мозга. Ими обусловлены, в частности, биологические аспекты эстетики. В [1-1 показано, что временная организация стихотворного размера совпадает с временными особенностями работы слуховой системы, танец имеет аналогии с коммуникач ивным поведением животных, взаимодействие музыки связано с совокупностью частотных ри i мов организма, эстетическое восприятие и усвоение нового материала тесно связаны « " золотым сечением".
Проблема взаимодействия ритмов различных организмов нашла свое отражение в концепции Гумилева [15] по развитию этноса, его взлета, подъема и упадка (этнос это сообщества, на которые распадается человечество, форма существования Homo sapiens). Отмечается неизбежно формирующая иерархическая структура этноса. При образовании э тноса меняется стереотип поведения людей. Активные личности пассионарии1 создают вокруг себя своего рода поле, навязывают свои ритмы, оказывают влияние на нервно-психический настрой у окружающих. Гумилев выдвигает положение, coi час но которому вне зависимости от расового состава, от культурных связей, от уровня развития существует некоторое этническое поле с определенными частотами колеба-
'От латинского passio - страсть, аффект (прим. ред.).
номер 11-12, 1996 г.
Краткие сообщения по физике ФИАН
ний для каждого этнического (или суперэтнического) образования. В целом же вопросы взаимодействия ритмов пока находятся на качественном уровне.
Саморазвитие. При марковском подходе общая направленность статистических процессов определяется вторым началом термодинамики. Для немарковских процессов здесь имеется существенное отличие, заключающееся в способности систем с памятью к саморазвитию (или самодвижению по терминологии [16]). При зависимости типа (5) возникает фактор воздействия, обусловленный прошлым. Он меняет взаимодействия в системе и. в принципе, может доминировать над диссипацией структур. Т.е. процессами развития управляет не только внешнее воздействие, но и система памяти. Это свойственно любой конкретной немарковской системе (организму, биоценозу, этносу).
Таким образом, немарковские процессы объединяют широкий круг разнообразных, казалось бы никак не связанных, биологических и социальных явлений. В физике область применения этой теории определяется наличием некоторой совокупности структур, их взаимодействий и взаимопревращений. Все это говорит о высокой актуальности разработки последовательной теории немарковских процессов.
В заключение выражаем признательность Ю. Г. Балашко и В. А. Солнцеву за об суждение и РФИИ (грант N 96-06-80461) за поддержку.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Харитонов А. С., Шелепин Л. А. Краткие сообщения по физике ФИЛИ N 5 - 6, 21 (1996).
[2] Харитонов А. С., Шелепин Л. А. Краткие сообщения по физике ФИАН. N 7 - 8, 79 (1996).
[3] Быстрова Т. В., Ш е л е п и н Л. А. Труды ФИАН, 218, 60 (1994).
[4] W i 1 1 i a m s C.B. Patterns in the Balance of Nature and the Related Problemg in Quantitative Ecology. L., N. Y.: Acad. Press, 1964.
[5] Il e T p о в В. M., Яблонский A. И. Математика и социальные процессы (Гиперболические распределения и их применения). М., Знание, 1980.
[6] Кудрин Б. И. Введение в технетику. Томск, Изд-во ТГУ, 1993.
[7] П о п ы р и н С. Л. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9 - 10, 27 (1996).
[8] Б и р Ст. Мозг фирмы. М., Радио и связь, 1993.
[9] С в и р е ж е в Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М., Наука, 1987.
[10] Collins J. J., S t e w a r t I. Biol. Cybern, 71, 95 (1994).
Краткие сообщения по физике ФИ АН
номер 1112, 1996 «■
[11] В а г d а к j i а п В. I., S а г n a S. К. IEEE Trans. Biomed. Eng., 27, 193 (1980).
[12] Биологические ритмы, т. 1-2, М., Мир, 1984.
[13] Д е т а р и Л., Карцаги В. Биоритмы. М., 1984.
[14] Красота и мозг. Биологические аспекты эстетики. М., Мир, 1995.
[15] Гумилев Л. Н. География этноса в исторический период. Л., Наука, 1990.
[16] А з р о я н ц Э., Колмаков И., Харитонов А. Правила игры, N 1, 107 (1995).
Поступила в редакцию 23 сентября 1996 г.
