Научная статья на тему 'Информация как характеристика немарковских процессов'

Информация как характеристика немарковских процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
129
39
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — А. С. Харитонов, Л. А. Шелепин

Рассматриваются возможности описания немарковских процессов. Их специфика связана с преобразованием структур и информацией, как неотъемлемой характеристикой. Прослеживаются аналогии между негэнтропией и энергией.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Информация как характеристика немарковских процессов»

УДК 530.1

ИНФОРМАЦИЯ КАК ХАРАКТЕРИСТИКА НЕМАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

А. С. Харитонов, Л. А. Шелепин

Рассматриваются возможности описания немарковских процессов. Их специфика связана с преобразованием структур и информацией, как неотъемлемой характеристикой. Прослеживаются аналогии между негэнтропией и энергией.

Марковские процессы, или процессы без последействия, лежат в основе современной физики. Они характеризуются тем, что, зная состояние системы в какой-либо момент времени /0, можно в принципе определить вероятностную картину поведения системы в будущем. Эта картина не изменяется от добавочных сведений о событиях при / < ¿о-В дискретном случае цепей Маркова вероятности изменений при переходе от одного момента времени к другому задаются матрицей перехода ю = а в непрерывном

случае процессов Маркова - некоторой функцией у), для которой справедливо

обобщенное уравнение Маркова

Если марковским процессам и их приложениям посвящен большой объем литературы [1 - 3], то немарковские процессы еще мало изучены (ср. [4, 5]).

Настоящая работа посвящена общей характеристике немарковских процессов и возможностей их описания. Прежде всего целесообразно дать краткую схему вероятностных процессов, рассматриваемых в физике. Можно выделить пять основных типов.

1. Для стохастических процессов (без скачков) интегральное уравнение (1) может быть представлено в дифференциальной форме в виде уравнений Фоккера Планка Колмогорова. Это дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения Фоккера Планка для плотности распределения /(¿,ж;г, у) имеют вид [3]

(1)

| = + (2)

где а\ и а2 - коэффициенты сноса и диффузии.

2. Для квантово-механических процессов, как было показано в [6], из интегрального уравнения типа (1) следует (при отсутствии скачков) уравнение Шредингера, которое также является дифференциальным уравнением второго порядка

3. Как было показано в [7], марковские процессы в классической физике могут описываться либо дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, либо уравнениями бесконечного порядка (псевдодифференциальными). Последний случай соот ветствует процессам со скачками. Это - процессы, нелокальные в пространстве. Конкретный пример - уравнения для плотности вероятности /(аг, ¿) [8]

¿¡/М-^-^Щ/М, (4)

где Л имеет смысл максимальной величины скачков, с/А - частоты скачков.

4. В квантовом случае для процессов со скачками аналогично могут быть записаны псевдодифференциальные уравнения, простейшее из которых, отвечающее свободной релятивистской частице, имеет вид [9]

<Ж = I)/1 <5)

где Л - комптоновская длина волны.

Заметим, что правая часть уравнений (4) и (5) может быть представлена в интегральной форме.

5. Немарковские процессы нелокальны во времени. Они описываются интегродиф ференциальными уравнениями. Простейший пример уравнений этого типа был проана лизирован в [5, 9]:

я г 1 00

= -! 1-8)}, (6) о

где /(у,£) - одночастичная функция распределения по скоростям, - неотрицатель ная функция, нормированная на единицу, - оператор столкновений Больцмана. При

т = 0 уравнение (6) переходит в уравнение Больцмана. Точное решение (6) было получено в [5, 10], где также было показано, что это решение имеет качественно различные свойства при различных значениях параметров, входящих в уравнение. Другими г.к ría ми, уравнения типа (6) связаны с описанием фазовых переходов, изменений структур. Таким образом, немарковские процессы имеют в физике свою "экологическую нишу", обусловленную необходимостью учета памяти о прошлом.

По своей сути память о прошлом представляет собой информацию, записанную в определенных структурах. Информация имманентно присуща немарковским процессам, связанным со структурными превращениями, в отличие от марковских, где она носит внешний характер. Структура характеризуется негэнтропией

где к - постоянная Больцмана, П - функция, описывающая число состояний, которые может принимать система из многих элементов. Изолированная система обладает пег энтропией, если она обнаруживает возможность совершения работы. Это соответел нует отсутствию однородной температуры, наличию разных частей с различными свой' гва-ми, например, с разностью давлений. Т.е. в любом случае речь идет о существовании определенной структуры. В этом смысле негэнтропия представляет собой качество энергии. Организм нуждается в пище из-за негэнтропии, которую он может из нее полу и гь, и которая необходима для восполнения потерь на совершенную механическую работу

Для немарковских процессов следует рассматривать единое уравнение для информации / и негэнтропии 5 [12]. Для замкнутых систем Д(/ + 5) < 0. Для открытых систем необходимо учитывать обмен не только веществом и энергией, но и информацией ( негэнтропией).

Любой опыт, дающий информацию о физической системе, приводит в среднем к уменьшению негэнтропии системы, т.е. информация оплачивается негэнтропией. Существует и наименьшее возможное количество негэнтропии, требуемой при наблюдении; оно имеет порядок к [13]. Проблема измерения, лежавшая вне теории марковских про цессов, - это объект теории немарковских процессов, и негэнтропия является величиной, характеризующей систему плюс измерения [14].

Особое значение немарковость имеет для биологических, экономических, социаль ных систем. Их эволюция в значительной степени определяется прошлым, историей. Так, биологическая информация хранится в генах и вновь и вновь воспроизводит ■ я

s = —А; 1п П,

(7)

[11].

с каждым последующим поколением. Регуляция процессов направлена на сохранение инофрмации, восстановление целостности и относительного постоянства внутренней среды. Рассмотрим особенности немарковских процессов на типичном примере трофических цепей, в которых происходит цепочка структурных превращений.

В общем случае для системы трофических цепей, включающих последовательность поедающих друг друга организмов, можно записать следующую систему уравнений:

ЗЛ^-

= (АГ-1)ЛГ- - - т,ЛГ,- + АД¿ = 1,2.... (8)

Здесь С^о - поток ресурса, Л^ - плотность популяции г-го вида, и т, вероятности гибели организма г-го вида за счет его поедания организмами (г + 1)-го вида и смертности; /с; - коэффициенты использования биомассы съедаемого организма, О, коэффициенты диффузии популяций. Фактически при этом идет непрерывное преобра зование биомассы, переход ее из одной структуры в другую, характеризуемое движением вдоль оси негэнтропии 5". В трофических цепях поток биомассы идет в направлении возрастания Я и одновременно по мере движения по оси происходит диссипация биомассы. Каждый последующий организм усваивает биомассу предыдущих организмов только частично с коэффициентом преобразования к. При этом каждой популяции мож но сопоставить определенный уровень негэнтропии В простейшем предположении пропорциональности диссипации биомассе

дУГ(3)_ УГУ) ¿Б 0

зависимость биомассы от значения негэнтропии носит экспоненциальный характер

ЯК = Ж0ехр(-|). (10)

В работе [15] было показано, что для различных биологических процессов, включая трофические цепи, автоматически возникает ось негэнтропии и вместо энергетических появляются негэнтропийные уровни. Здесь имеется глубокая аналогия между ролью энергии в марковских процессах и негэнтропии в немарковских. Распределение (10) аналогично распределению Гиббса, причем величина 0 является аналогом температуры Т.

Подобно тому, как энергия преобразуется из одной формы в другую, негэнтропия переходит от одной структуры к другой.

Информация может быть превращена в негэнтропию и обратно. Если этот процесс обратим, то он происходит без потерь. Специфика информации в том, что она может передаваться, запоминаться, воспроизводиться. Синтез информации в природе определяется как запоминание случайного выбора, что соответствует устойчивому воспроизведению системы [16]. Принципиальный момент здесь - случайность выбора, самопроизвольность возникновения кода, возникающего в процессе синтеза информации и связывающего несопоставимые, с точки зрения детерминированных физических (ако-нов, объекты. Характерные примеры синтеза информации - образование генетического кода, кодирование внешних процессов мозгом. Заметим, что синтез информации имеет иерархический характер и последовательно опирается на предыдущую стадию [17].

В целом, между марковским и немарковским описанием лежит водораздел. В первом случае в основе лежит энергия, как мера движения, во втором - негэнтропия, как мера преобразования структур. Здесь есть и методологический момент. Если наш мир немарковский и с самого его начала была заложена информация, то именно она, в принципе, может определить эволюцию.

ЛИТЕРАТУРА

Ф е л л е р В. Ввведение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1,2. М., Наука, 1967.

Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М., Сов. радио, 1977.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., Гостехиздат, 1954. Гезибуа П., Де J1 е н е р М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М., Мир, 1980.

П о п ы р и н С. Л. Математическое моделирование, 3, N 12, 99 (1991). Смородинский Я. А., Шелепин А. Л., Шелепин Л. А. УФН. 162, N 12, 2 (1992).

Р a w u 1 a R. Е. Trans. IEEE, IT-13, N 1, 33 (1967).

Шелепин А. Л., Шелепин Л. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9-10, 62 (1993).

Шелепин А.Л. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 5-6, 60 (1993). Попырин С. Л. Препринт ИОФАН N 40, М., 1989.

Шредингер Э. Что такое жизнь с точки зрения физики. М., Атомиздат. 1972.

[12] Харитонов A.C. Гармония и хаос в равновесной микромолекуле. М., Знание,

1991.

[13] Бриллюэн JI. Наука и теория информации. М., Физматгиз, i960.

[14] Гольфанд Ю. А., Вайнштейн В. Д. Труды ФИАН, 173, 3 (1986).

[15] Быстрова Т. В. Шелепин Л. А. Труды ФИАН, 218, 60 (1994).

[16] Кадомцев Б. Б. УФН, 164, 449 (1994).

[17] X и з е н А. М. Биофизика, 37, 105 (1992).

Поступила в редакцию 1 марта 1996 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.