CC BY
41
УДК 530.1
ИНФОРМАЦИЯ КАК ХАРАКТЕРИСТИКА НЕМАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
А. С. Харитонов, Л. А. Шелепин
Рассматриваются возможности описания немарковских процессов. Их специфика связана с преобразованием структур и информацией, как неотъемлемой характеристикой. Прослеживаются аналогии между негэнтропией и энергией.
Марковские процессы, или процессы без последействия, лежат в основе современной физики. Они характеризуются тем, что, зная состояние системы в какой-либо момент времени /0, можно в принципе определить вероятностную картину поведения системы в будущем. Эта картина не изменяется от добавочных сведений о событиях при / < ¿о-В дискретном случае цепей Маркова вероятности изменений при переходе от одного момента времени к другому задаются матрицей перехода ю = а в непрерывном
случае процессов Маркова - некоторой функцией у), для которой справедливо
обобщенное уравнение Маркова
Если марковским процессам и их приложениям посвящен большой объем литературы [1 - 3], то немарковские процессы еще мало изучены (ср. [4, 5]).
Настоящая работа посвящена общей характеристике немарковских процессов и возможностей их описания. Прежде всего целесообразно дать краткую схему вероятностных процессов, рассматриваемых в физике. Можно выделить пять основных типов.
1. Для стохастических процессов (без скачков) интегральное уравнение (1) может быть представлено в дифференциальной форме в виде уравнений Фоккера Планка Колмогорова. Это дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения Фоккера Планка для плотности распределения /(¿,ж;г, у) имеют вид [3]
(1)
| = + (2)
где а\ и а2 - коэффициенты сноса и диффузии.
2. Для квантово-механических процессов, как было показано в [6], из интегрального уравнения типа (1) следует (при отсутствии скачков) уравнение Шредингера, которое также является дифференциальным уравнением второго порядка
3. Как было показано в [7], марковские процессы в классической физике могут описываться либо дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, либо уравнениями бесконечного порядка (псевдодифференциальными). Последний случай соот ветствует процессам со скачками. Это - процессы, нелокальные в пространстве. Конкретный пример - уравнения для плотности вероятности /(аг, ¿) [8]
¿¡/М-^-^Щ/М, (4)
где Л имеет смысл максимальной величины скачков, с/А - частоты скачков.
4. В квантовом случае для процессов со скачками аналогично могут быть записаны псевдодифференциальные уравнения, простейшее из которых, отвечающее свободной релятивистской частице, имеет вид [9]
<Ж = I)/1 <5)
где Л - комптоновская длина волны.
Заметим, что правая часть уравнений (4) и (5) может быть представлена в интегральной форме.
5. Немарковские процессы нелокальны во времени. Они описываются интегродиф ференциальными уравнениями. Простейший пример уравнений этого типа был проана лизирован в [5, 9]:
я г 1 00
= -! 1-8)}, (6) о
где /(у,£) - одночастичная функция распределения по скоростям, - неотрицатель ная функция, нормированная на единицу, - оператор столкновений Больцмана. При
т = 0 уравнение (6) переходит в уравнение Больцмана. Точное решение (6) было получено в [5, 10], где также было показано, что это решение имеет качественно различные свойства при различных значениях параметров, входящих в уравнение. Другими г.к ría ми, уравнения типа (6) связаны с описанием фазовых переходов, изменений структур. Таким образом, немарковские процессы имеют в физике свою "экологическую нишу", обусловленную необходимостью учета памяти о прошлом.
По своей сути память о прошлом представляет собой информацию, записанную в определенных структурах. Информация имманентно присуща немарковским процессам, связанным со структурными превращениями, в отличие от марковских, где она носит внешний характер. Структура характеризуется негэнтропией
где к - постоянная Больцмана, П - функция, описывающая число состояний, которые может принимать система из многих элементов. Изолированная система обладает пег энтропией, если она обнаруживает возможность совершения работы. Это соответел нует отсутствию однородной температуры, наличию разных частей с различными свой' гва-ми, например, с разностью давлений. Т.е. в любом случае речь идет о существовании определенной структуры. В этом смысле негэнтропия представляет собой качество энергии. Организм нуждается в пище из-за негэнтропии, которую он может из нее полу и гь, и которая необходима для восполнения потерь на совершенную механическую работу
Для немарковских процессов следует рассматривать единое уравнение для информации / и негэнтропии 5 [12]. Для замкнутых систем Д(/ + 5) < 0. Для открытых систем необходимо учитывать обмен не только веществом и энергией, но и информацией ( негэнтропией).
Любой опыт, дающий информацию о физической системе, приводит в среднем к уменьшению негэнтропии системы, т.е. информация оплачивается негэнтропией. Существует и наименьшее возможное количество негэнтропии, требуемой при наблюдении; оно имеет порядок к [13]. Проблема измерения, лежавшая вне теории марковских про цессов, - это объект теории немарковских процессов, и негэнтропия является величиной, характеризующей систему плюс измерения [14].
Особое значение немарковость имеет для биологических, экономических, социаль ных систем. Их эволюция в значительной степени определяется прошлым, историей. Так, биологическая информация хранится в генах и вновь и вновь воспроизводит ■ я
s = —А; 1п П,
(7)
[11].
с каждым последующим поколением. Регуляция процессов направлена на сохранение инофрмации, восстановление целостности и относительного постоянства внутренней среды. Рассмотрим особенности немарковских процессов на типичном примере трофических цепей, в которых происходит цепочка структурных превращений.
В общем случае для системы трофических цепей, включающих последовательность поедающих друг друга организмов, можно записать следующую систему уравнений:
ЗЛ^-
= (АГ-1)ЛГ- - - т,ЛГ,- + АД¿ = 1,2.... (8)
Здесь С^о - поток ресурса, Л^ - плотность популяции г-го вида, и т, вероятности гибели организма г-го вида за счет его поедания организмами (г + 1)-го вида и смертности; /с; - коэффициенты использования биомассы съедаемого организма, О, коэффициенты диффузии популяций. Фактически при этом идет непрерывное преобра зование биомассы, переход ее из одной структуры в другую, характеризуемое движением вдоль оси негэнтропии 5". В трофических цепях поток биомассы идет в направлении возрастания Я и одновременно по мере движения по оси происходит диссипация биомассы. Каждый последующий организм усваивает биомассу предыдущих организмов только частично с коэффициентом преобразования к. При этом каждой популяции мож но сопоставить определенный уровень негэнтропии В простейшем предположении пропорциональности диссипации биомассе
дУГ(3)_ УГУ) ¿Б 0
зависимость биомассы от значения негэнтропии носит экспоненциальный характер
ЯК = Ж0ехр(-|). (10)
В работе [15] было показано, что для различных биологических процессов, включая трофические цепи, автоматически возникает ось негэнтропии и вместо энергетических появляются негэнтропийные уровни. Здесь имеется глубокая аналогия между ролью энергии в марковских процессах и негэнтропии в немарковских. Распределение (10) аналогично распределению Гиббса, причем величина 0 является аналогом температуры Т.
Подобно тому, как энергия преобразуется из одной формы в другую, негэнтропия переходит от одной структуры к другой.
Информация может быть превращена в негэнтропию и обратно. Если этот процесс обратим, то он происходит без потерь. Специфика информации в том, что она может передаваться, запоминаться, воспроизводиться. Синтез информации в природе определяется как запоминание случайного выбора, что соответствует устойчивому воспроизведению системы [16]. Принципиальный момент здесь - случайность выбора, самопроизвольность возникновения кода, возникающего в процессе синтеза информации и связывающего несопоставимые, с точки зрения детерминированных физических (ако-нов, объекты. Характерные примеры синтеза информации - образование генетического кода, кодирование внешних процессов мозгом. Заметим, что синтез информации имеет иерархический характер и последовательно опирается на предыдущую стадию [17].
В целом, между марковским и немарковским описанием лежит водораздел. В первом случае в основе лежит энергия, как мера движения, во втором - негэнтропия, как мера преобразования структур. Здесь есть и методологический момент. Если наш мир немарковский и с самого его начала была заложена информация, то именно она, в принципе, может определить эволюцию.
ЛИТЕРАТУРА
Ф е л л е р В. Ввведение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1,2. М., Наука, 1967.
Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М., Сов. радио, 1977.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., Гостехиздат, 1954. Гезибуа П., Де J1 е н е р М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М., Мир, 1980.
П о п ы р и н С. Л. Математическое моделирование, 3, N 12, 99 (1991). Смородинский Я. А., Шелепин А. Л., Шелепин Л. А. УФН. 162, N 12, 2 (1992).
Р a w u 1 a R. Е. Trans. IEEE, IT-13, N 1, 33 (1967).
Шелепин А. Л., Шелепин Л. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9-10, 62 (1993).
Шелепин А.Л. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 5-6, 60 (1993). Попырин С. Л. Препринт ИОФАН N 40, М., 1989.
Шредингер Э. Что такое жизнь с точки зрения физики. М., Атомиздат. 1972.
[12] Харитонов A.C. Гармония и хаос в равновесной микромолекуле. М., Знание,
1991.
[13] Бриллюэн JI. Наука и теория информации. М., Физматгиз, i960.
[14] Гольфанд Ю. А., Вайнштейн В. Д. Труды ФИАН, 173, 3 (1986).
[15] Быстрова Т. В. Шелепин Л. А. Труды ФИАН, 218, 60 (1994).
[16] Кадомцев Б. Б. УФН, 164, 449 (1994).
[17] X и з е н А. М. Биофизика, 37, 105 (1992).
Поступила в редакцию 1 марта 1996 г.
