Равновесные распределения в теории немарковских процессов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.1

РАВНОВЕСНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕМАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

А. С. Харитонов, Л. А. Шелепин

Рассмотрены свойства равновесных распределений для немарковских процессов. Показана фундаментальная роль в этих распределениях чисел Фибоначчи и правила "золотого сечения". Обсуждаются области приложений.

По сравнению с марковскими процессами описание немарковских существенно осложняется ввиду необходимости учета предыстории системы. Это описание, как показано в [1], включает в себя как существенную составляющую негэнтропию (и информацию). В данной работе на ее основе будут проанализированы равновесные распределения в немарковских системах.

Для марковских процессов вероятностная картина поведения системы в будущем определяется ее состоянием в момент времени ¿о и не изменится от дополнительных сведений о событиях при < < ¿о- В дискретном случае можно записать

где ип, ип+1 - последовательные значения некоторой величины. Для немарковских процессов существенна зависимость от предыстории. Простейший возможный пример такой зависимости дается соотношением

Здесь величина и зависит не только от предыдущего состояния, как в (1), но и от событий при < < ¿о- Конечно, могут быть как более сильные зависимости от предысто рии, распространяющиеся на большее число шагов назад, типа, например, генетической информации, о которых можно говорить как о "дальней памяти", так и слабые завм симости, на доли шага ("ближняя память"). Соотношение (2) может рассматриваться

«п+1 = /(" п),

(1)

"п+2 = Ип+1 + ип-

(2)

как стандартное, задающее определенную границу между "дальней" и "ближней памятью". Для случая, когда и - целые числа, и при щ = и2 = 1 решением (2) являются числа Фибоначчи. Именно предельная простота зависимости (2) и обуславливает выде-ленность чисел Фибоначчи, нашедших обширные применения в теории, чисел, цепных дробей, геометрии, теории поиска [2]. В ряду Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... отношение соседних элементов стремится (при п > 13) к золотому сечению [2].

Теория немарковских процессов, связанных со структурными изменениями, являс 1 ся адекватной для описания биологических, экономических, социальных явлений, которые зависят от предыстории. Ранее отмечалась глубокая параллель между энергией и негэнтропией [3]. Для марковских процессов равновесное состояние определяется больцмановским распределением по энергии Е, которое, например, для заселенностей энергетических уровней N имеет вид

N = ]У0ехр (-Е/кТ). (3)

Как существенный равновесный параметр в (3) входит температура Т. Для немарковских процессов равновесие определяется негэнтропией 5. Как отмечалось, например, в [4], равновесное распределение биомассы IV в трофических цепях биоценоза может быть записано в виде соотношения, аналогичного (3)

IV = Жоехр(-5/0). (4)

Это соотношение естественным образом возникает и при других немарковских процессах. Величина в в (4) соответствует некоторой "структурной" температуре, которая определяется характерным объемом памяти о прошлом или своего рода негэнтро пийным (информационным) полем. При больших в возникают сложные иерархические структуры в широком диапазоне 5, при малых в - структуры в малом диапазоне, а при в —> 0, т.е. отсутствии информации о прошлом, происходит предельный переход к марковским процессам.

Обратимся к стандартному соотношению (2) и рассмотрим условия совместимос ти (2) и (4), что даст соответствующее этому случаю значение в. Представим экспоненту в дискретном виде как геометрическую прогрессию ... (<? = ехр(—0-1)). Чтобы она

была решением (2), необходимо выполнение при любом п соотношения </п_2 +97г-1 = д71 или

1 + Я = Я2- (5)

Корни этого уравнения, задающие искомое значение в, равны

l + v^ Й 1-У5 Q = 2 ' = 2 ' (б) Это - широко известные значения золотого сечения [2], а соответствующие равновесные распределения (4) с в, определяемыми величинами а и /? в (6), могут играть роль эталонных распределений при анализе немарковских процессов. Для любых других зависимостей от прошлого типа un = /(un_i, u„_2, Un-з, •••) возникают свои уравнения типа (5) и свои (с другими значениями в) равновесные функции (4). В общем случае равновесные распределения немарковских систем задают границы их устойчивости и определяют соотношение между статистическими мерами хаоса и порядка.

Немарковские процессы можно образно определить как процессы преобразования структур. Ряд аспектов таких процессов рассматривается в синергетике. Это проблемы неустойчивостей однородных состояний, возникновения бифуркаций, структурных переходов [5]. Для немарковских процессов характерны не отдельные индивидуальные переходы между конкретными структурами, а образование единых иерархических систем, представляющих собой цепочки взаимосвязанных структурных переходов, находящихся в некотором диапазоне негэнтропии S. Такие иерархические системы возникают в любых по-существу немарковских объектах: биоценозах и популяциях, стадах и стаях, социально-экономических структурах и коллективах людей.

Таким образом, можно сказать, что мы имеем дело с качественно новой областью исследований, где равновесные распределения (4) являются адекватным методом ана лиза. Здесь может быть также использован с некоторой модификацией ряд положений теории марковских процессов. Так, принцип детального равновесия, задающий связь между вероятностями прямых и обратных переходов, может быть записан как соотношение между вероятностями обмена информацией (негэнтропией) w(AIab) и w(AIba) различных уровней иерархии а и 6:

w(AIab)/w(AIba) = ехр[(5ь - S*)/e]. (7)

Для анализа конкретных иерархических систем необходимо наличие набора эмпирических данных. Сопоставление экспериментальных кривых с распределениям): типа (4) позволяет оценить степень отклонения от равновесия, дать ориентировку в определенной совокупности процессов, оценить число ступеней в иерархии, найти критерии неблагополучия в проблемах социально-экономической сферы. В науке о поведен и и животных - этологии, сопоставляя иерархические структуры в сообществах, можно сравнивать объемы используемой ими информации.

При анализе экономики можно использовать определенные биологические аналогии. Промышленность, ранжированную по сложности производства, можно рассматривать как иерархическую систему типа биоценоза [4], где инвестиции - аналог биомассы, потребление - диссипации. Здесь может быть успешно применен метод золотого сечения

Рис. 1. Кривые Лоренца для распределения доходов: равномерное распределение (1), Мексика (2), США (3).

Рассмотрим в качестве примера схему распределения дохода населения, отображающую степень социального расслоения общества. Она характеризуется кривой Лоренца [6]. На рис. 1 по оси абсцисс отложена доля семей (в %), по оси ординат - процент совокупного дохода. Диагональ О А (кривая 1) соответствует равномерному распределе нию, когда 10% семей имеют 10% дохода, 20% имеют 20% и т.д. Другому предельному положению, когда все общественное богатство принадлежит узкому кругу лиц, соответствует ломаная линия ОБА. Распределение дохода в Мексике и США задается кривыми 3 и 2. Последняя весьма близка к кривой, соответствующей правилу золотого сечения.

Правило золотого сечения может быть в принципе применено не только для распределений, но и для оценки состояния системы в целом. Типичный пример рассмотрен в [7], где проведен анализ соотношения доходов и расходов в субъектах Российской Федерации. Хотя правило золотого сечения относится, как было показано выше, н< к точке, а к кривой, но в принципе, с учетом ошибки, возникающей при усреднении

по распределению типа (4), такой подход может быть использован как критерий состояния социально-экономических условий. Для неравновесных же распределений необходимо учитывать дополнительные потоки негэнтропии (информации) подобно тому, как в атомно-молекулярных системах для существования неравновесных стационарных распределений требуются дополнительные потоки энергии.

Авторы выражают благодарность РФФИ (грант N 96-06-80461) за поддержку.

т

ЛИТЕРАТУРА

[1] X а р и т о н о в А. С., Шелепин Л. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 5-6, 21 (1996).

[2] В о р о б ь е в Н. Н. Числа Фибоначчи. М., Наука, 1969.

[3] Б р и л л ю э н Л. Наука и теория информации. М., ГИФМЛ, 1960.

[4] Б ы с т р о в а Т. В., Шелепин Л. А. Труды ФИАН, 218, 60 (1994).

[5] X а к е н Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М., Мир, 1985.

[6] А з р о я н ц Э., Колмаков И., Харитонов А. Правила игры, N 1, 107 (1995).

[7] Веденеев Б., Харитонов А. Правила игры, N 2, 59 (1995).

Поступила в редакцию 26 июня 1996 г.