Приближенный метод построения почти периодических решений систем линейных дифференциальных уравнений в случае резонанса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №7

МАТЕМАТИКА

УДК 517.917

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Э.М.Мухамадиев,

М.Собиров , М.Г.Юмагулов ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В

СЛУЧАЕ РЕЗОНАНСА

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

х = Ах + /( 0, (1)

где А - квадратная матрица размерности п с комплексными элементами / =1,2,.,/?),

/ () - почти периодическая (п.п) комплекснозначная вектор-функция. Вопрос о разрешимо-

сти системы (1) в пространстве ограниченных на всей оси (в частности, п.п.) вектор-функций тесно связан со структурой спектра сг , Лп матрицы А . Справедлива следующая

теорема, принадлежащая П. Болю (см. напр.[1]).

Теорема 1. Пусть собственные значения матрицы А удовлетворяют условию

ЯеЯ^А) Ф 0, у = 1,2,...,и. (2)

Тогда система (1) для каждой п.п. вектор-функции /(?) имеет единственное п.п. решение. Наряду с (1), следуя идеям [2] (см. также | _), рассмотрим возмущенную систему

х — (А + а ■ Е)х + /(0, (3)

где а - комплексный числовой параметр.

В силу теоремы 1 для п.п. вектор- функции /(1) система (3) имеет единственное п.п. решение-ха(?), если число а удовлетворяет условию Кеек + Ке/^ ^0,7 = 1,2,...,п. Последнее

условие выполнено при достаточно малых а, Ые а Ф 0.

Ниже используется обозначение нормы ||/|| = зир|/(?)|,-оо -< ? -< ооз ограниченной вектор-функцией / ( ).

Теорема 2. Пусть собственные значения матрицы А удовлетворяют условию (2). Тогда система (3) при малых по модулю а имеет п.п. решение- хг/(/), удовлетворяющее условию

Нш 5иАха (?) - х0(?) I = 0, (4)

а-> 0 { I 1

где х0 () - некоторое п.п. решение системы (1).

Доказательство. Через ЯА обозначим оператор, ставящий в соответствие каждой п.п. функции/(1) п.п. решение х(?) системы (1). Система (3) эквивалентна операторной системе х — аКАх = КА/ в пространстве п.п. функций. Так как оператор К, ограничен в этом про-

ставление ха - х0 — аН,(1 -аИ,) 1 х0, где х0 - ЯА/. Отсюда следует справедливость равенст-

Теорема доказана.

Предположим, что условие (2) не выполнено, т.е. матрица А имеет мнимое собственное значение. Тогда система (1) либо не имеет п.п. решений, либо, если имеет решение, то оно не единственное.

Дополнительно предположим, что для данной вектор-функции / (?) система (1), полученная из системы (3) при « = 0, имеет п.п. решение. Возникают следующие вопросы. Ограничена ли вектор-функция ха (?) в совокупности, когда «—>0 и Ке а Ф 0 ? Если ха (?) ограничено, то существует ли предел х0 (?) = Нгп ха (?) при а —» 0 ? Если существует х0 (?), то является ли вектор- функция х (?) решением системы (1)?

Теорема 3. Пусть все мнимые собственные значения матрицы А являются полупро-стыми и система (1) для данной п.п. вектор- функции /(?) имеет п.п. решение. Тогда существует такое п.п. решение х0 (?) системы (1), что для любого К > 0 имеет место равенство

Прежде чем перейти к доказательству теоремы, исследуем свойства однопараметрического семейства операторов

странстве, то при |«|||^|| ~< 1 последняя система имеет решение ха(?), которое имеет пред-

ва (4).

(5)

со

если Кеа >- 0,

РахЦ) = а ехр(? - ^) • х(я)сіз, если Яеа -< 0

•со

в пространстве ограниченных и непрерывных на всей оси вектор-функций. Отметим некоторые легко проверяемые свойства операторов Ра :

!) ехр(/Х) = -

а

ехр(/'//?) для любого вещественного ц ;

а-і^і

Лемма 1. Пусть К > 1 и х(ї) - п.п. вектор-функция. Тогда справедливо равенство

ІішЦі^х + М^)! = О при а —» 0,|а| -< ^|Яес!г|, (6)

где М(х) - среднее значение п.п. функции х(ї).

Доказательство. Пусть вектор-функция х(0 является тригонометрическим полиномом, т.е.

т

*(0 = со + ехР (^)’

к=\

где вещественные числа /лк Ф 0,к = Для функции х(0 имеет место равенство

М(х) = с0. Поэтому, в силу свойства 1) оператора Ра, имеем

'п ££

Рах(*)+М(х) = -----— ехр(/> Ос*.

к=1 а - щк

В последнем равенстве, переходя к пределу при а —» 0,|а| -< ^|Яеа|, получим справедливость равенства (6) для любого тригонометрического полинома х(?).

Пусть теперь х(?) - произвольная п.п. функция. Для любого тригонометрического пот

линома с0 + Т>,ехр(/Х0 имеем

к=1

||Р„*+М(дг)|

<

Ра(Х~С0-'ЕСкеМ1МкО

к=1

+

Ра(С 0+ЕС* ехр(//у))

к=1

+ с0

Щх)

-с.

о •

(7)

В силу плотности множества тригонометрических полиномов в пространстве почти периодических функций(см.напр. [ ) для любого £ >- 0 существует такой полином

"о + IX ехр(///,/ ), что

к=1

к=1

т

Xі°к єхрОХО

-< Є.

(8)

Из оценки (8) следует, что

И*)-

’ —

М(х - с0 ехр(/Х0)

к=1

-< 6.

(9)

Из неравенства (7), для выбранного полинома в силах оценок (8), (9) и свойства 2) оператора Р,, имеем

IРах +М(х)|| < Кє

+

^(С0+Е^ЄХР(гАО) +

к=1

+ Є.

(10)

с

0

В неравенстве (10), переходя к пределу при а —»0,|аг| -< /^Rea], в силу справедливо-

сти равенства (6) для любого полинома, получим

ІітЦі^х+М^)! < (К + \)є при а —» 0,|ог| -< iC|Rea|

(11)

Из (11), в силу произвольности е >- 0, получим утверждение равенства (6).

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. Сначала рассмотрим случай, когда все собственные значения матрицы А являются мнимыми числами. Тогда в условиях теоремы матрица-функция ехр( А?) является почти периодической. Действительно, в силу полупростоты всех мнимых собственных значений матрицы А существует невырожденная матрица и такая, что ПАП 1 - Ад, где Ад = diag{iv1,iv2,...,ivN) - диагональная матрица. Отсюда, в силу равенства ехр(М?) - 11 1 ехр(Д/у/, следует, что ехр(А^) есть п.п. матрица- функция.

Произведя замену х = ехр (А?) у в системе (3), относительно искомой функции у , получим уравнение

где >*о(0 - п.п. решение системы (11) при а = 0 . Согласно лемме 1, имеет место равенство

Вектор-функции x0(t) = exp(At)(y0 -М(у0)) и ха = exp(At)(y0 + Рау0) являются п.п. решениями систем (1) и (3) соответственно и в силу (13) удовлетворяют условию (5). В этом частном случае теорема 3 доказана.

Теперь рассмотрим общий случай. В силу условий теоремы, спектр сг(А) матрицы А можно представить как объединение двух непересекающихся подмножеств сг0 (А) и гг, (А), где сг0(А) состоит из мнимых собственных значений, а ст^А)- из собственных значений с ненулевой вещественной частью. В силу общих теорем о жордановой форме матрицы (см. напр. |j), существует такая невырожденная матрица U , что выполнено равенство

у = а-у + g(t), g(t) = ехр {-At) f{t). П.п. решение системы (12) при Rea: Ф 0 определяется по формуле

(12)

Уа(0 = Уо(0 + РаУо(0,

Мк “-Уо +М(Уо)\\ = +Щу0)\\ = 0 при a -> 0,|a| r|Re<4 (13)

61G

где А и А - квадратные матрицы, спектры которых совпадают, соответственно, с множествами сг0(Л) и гг,(А). При этом в силу полупростоты мнимых собственных значений матрицы А все собственные значения матрицы А являются полупростыми.

Произведя замену х = Цу в системе (3) и учитывая равенство (14), получим системы

Уо = 4>Уо + °Ро + 8о(*\ (15)

Ух = Ау^^ + еШ (16)

где

У =

Л. л f \

, U f = go

Уо

\Уи

\Si)

, Уо, go е С °, yu gxe Ск\ ко+ кх= п.

Здесь к0 - сумма кратностей всех мнимых собственных значений матрицы А, Ск — к— мерное комплексное пространство. По предположению системы (15) и (16) при а - О соответственно имеют п.п. решения y00(t) и y 0(t) .

В силу теоремы 1, система (15) имеет п.п. решение y0a(t) при всех a, Rea Ф 0, а система (16) имеет п.п. решение yla(t) при всех а, с достаточно малой по модулю вещественной частью Rea. Таким образом, вектор- функция ya(t) — {y0a(t\yla(t))T является п.п. решением системы (15)-(16) при всех достаточно малых а с ненулевой вещественной частью Rea .

Согласно теореме 2, вектор-функция yla{t) удовлетворяет условию ||_ylff ->io| ~> О при а —> 0. Так как все собственные значения матрицы А0 мнимые и полупростые, то, как выше показали, существует п.п. решение у . системы (15) при a = 0 такое, что справедливо равенство

НтЦ^оа ~У0> =0 при a —» 0,|a| -< £jRea|. (17)

Очевидно, вектор-функция xa(t) = Uya(t) является решением системы (3), а вектор-

функция x»(t) = Uy*(t), где y*(t) — СУо*(05>,1о(0)г является решением системы (1) и они удовлетворяют условию (5). Теорема 3 доказана.

Вологодский технический университет (Россия), Поступило 18.10.2006 г.

Институт экономики Таджикистана,

Сибайский институт Башкирского государственного университета (Россия)

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1969, 475 с.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979, 288 с.

3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир,1972, 740 с.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988, 552 с.

Э.М.Мух,амадиев, МХобиров, М.Г.Юмагулов УCУЛИ ТАЦРИБИИ ШХТАНИ Х,АЛХ,ОИ ЦАРИБ ДАВРИИ ОТСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНОТАЛИИ ХАТТЙ ДАР ДОЛАТИ РЕЗOНАНC

Дар макола барои сохтани х,алх,ои кариб даврии системаи муодилах,ои дифферен-тсиалии хаттии дар х,олати резонанс карордошта усули такрибй татбик шудааст.

E.M.Muhamadiev, M.Sobirov, M.G.Ymagulov THE APPROACHED METHOD OF ONSTRUCTION OF THE ALMOST PERIODIC SOLUTIONS OF SYSTEMS OF THE LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN CASE OF A RESONANCE

In clause the approached method is applied to construction of the almost periodic solutions of systems of the linear differential equations in conditions of a resonance.

б12