Теория несамосопряженных регулярных пучков обыкновенных линейных дифференциальных операторов в пространстве L2(a,b) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.941

ТЕОРИЯ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ РЕГУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ L2(a,b)

© 2008 г. А.И. Вагабов1, З.А. Абдурахманов2

'Дагестанский государственный университет, 'Dagestan State University, 367025, Makhachkala, Gadjiev St., 43a,

367025, г. Махачкала, ул. Гаджиева, 43а, [email protected], [email protected],

2Vladikavkaz scientific center of the Russian academy of sciences 362008, Vladikavkaz, Kosta St., 93, [email protected]

Владикавказский научный центр РАН, 362008, г. Владикавказ, пр. Коста, 93, [email protected]

Рассматривается пучок обыкновенных линейных дифференциальных операторов общего вида с коэффициентами из L2(a,b). В предельно простых терминах дано понятие регулярного пучка. Доказана разложимость любой функции из L2(a,b) в ряд по корневым функциям пучка.

Ключевые слова: регулярные пучки дифференциальных операторов, обобщенный ряд Фурье со скобками, функция Грина.

The article deals with bunch of ordinary linear differential operators of common type with coefficients from L2(a,b). The concept of regular bunch is given by the simplest terms. The expansion of any function from L2(a,b) to the line according to root function of the bunch has been proved.

Keywords: regular bunch of differential operatons, generalized number Fure with brockets, green s function.

Наши рассмотрения относятся к пучку

l(о) = ako,kl(x)

0<k0 +k1<n

dkO dxkl

a < x < b,

(1)

U (о) = Z^0 x

0<k0 + k1 <n

k0 kl < n

k0, k1 dko

x<a

dxkl

_ßko,ki d^o

dxkl

(2)

• = 0.

c=b i

Здесь akf0'kl fo'h, ßhM - n-мерные столбцы констант.

о - комплекснозначные функции;

В [1-4], посвященных таким пучкам, присутствовали завышенные условия гладкости коэффициентов

7k0,k1

(x). Ограничим эти условия до минимума, от-

с комплексным параметром X и граничными условиями вида

нося их к пространству L2(a,,Ь), и дадим широкое обобщение понятия регулярности по Г. Биркгофу, известного в весьма частном случае пучка (1)-(2). Представляет интерес изложение теории пучка (1)-(2) в терминах класса L2(a, Ь) и разложимость УИ(х) е ¿2 (а, Ь) в ряд по корневым элементам этого пучка, что осуществляется ниже.

Для обращения с условиями (2) удобно определить п х п - матрицы

( п-к-\Л

а(к) = ак,° ,ак~1,\а°,к ,0

k = 0, n -1,

x = a

a(k > =(а"'°,а"^...a

1,n-1

Условия (2) можно считать пронормированными в следующем смысле. Первые п (0 < п < п) строк матрицы (а(п), /(п)) линейно независимы, остальные -нулевые. Если щ = п, то процесс нормировки окончен. Пусть пу < п. У (а(и-1), /(п-1) | строки от п1 до п2 (исключая П], но включая п2; щ < п2 < п) линейно независимы, последующие - нулевые. Если п2 < п,

продолжаем процедуру. У (а(п-2), /(п-2)) строки от п2 до п3 (п2 < щ < п) линейно независимые, последующие - нулевые и т.д.

Нормировка достигается путем перестановки местами граничных условий или их линейного комбинирования. С помощью (ак, /к), к = 0, п -1 построим матрицу (а,р). Первые п1 строк матрицы {п, /п) берем за первые п1 строк (а, //). Строки от номера п1 до п2 для (а, /) - из соответствующих строк матрицы

{а(п-1), /(п-1)) от п2 до п3 - из матрицы

(а(п-2), р(п-2)) и т.д.

Определение 1. п х 2п -матрица (а, /), построенная выше, называется определяющей матрицей граничных условий (2).

Сформулируем требования, предъявляемые нами к пучку (1)-(2).

^ак0,к1 (X) (Ь Ь Л

а) функции -;- при к0 + к1 = п и а( 0, 1)(х)

dx

Определение 5. Операторный пучок, удовлетворяющий условиям а) - в), называется регулярным.

Утверждение 1. Необходимым условием регулярности пучка (1)-(2) является условие

п +1 *

- <т < г , (3)

2

для индексов регулярности пучка (1)-(2).

Доказательство. Пусть (3) нарушено, т.е. т > г ,

*

например т = т. Тогда по теореме о ранге произведения матриц, примененной к а и матрице из первых т столбцов матрицы Вандермонда ¥(ф1,^,фп), получим Фт(а, /) = 0 - противоречие. Первое из неравенств (3) очевидно.

Исходя из фундаментальной системы частных решений о , 02 ,...,0 уравнения 1{и) = 0 известными процедурами [5] строится функция Грина пучка (1)-(2) в виде мероморфной по Л функции 0(х,^,Л) =

= ' Д(Л) = ^ ЛЖ ' (Л) = и, (ок ) .

8Л) 01 (хЛ) ... 0п (хуЛ

и1 (8)х о11(Л) ... о1п(Л)

A(x,g, Я) =

g Ы,л)=

Un (g) :

n1

(Я)

М

2 (x, X)zs (g, Я) iöe g < x,

s=1

- 2 °s (x,^)zs (Г,Я) i'öe x <g,

(4)

(5)

s = T + 1

zk

при к0 + к1 <п принадлежат Ь2[а,Ь];

б) корни ф1(х),..,фп(х) характеристического уравнения 2 ак°к'(х)фк = 0 вещественны и при всех

к0 + к[ =п

х е [а,й] удовлетворяют неравенствам ф (х) <... <

< Фт(х) < 0 < ^т+1 (х) <... < Фп(х).

*

Определение 2. Число т = тах(т, п -т) называется индексом дифференциального выражения (1) (первый индекс регулярности). Например, в случае

характеристических чисел {+1,+/} ,т = 2 .

Определение 3. Число г = тт(гаика, гапкр) называется индексом граничных условий (2) (второй индекс регулярности).

Определение 4. Числа т , г называются индексами регулярности пучка (1)-(2).

в) отличны от нуля числа Фт(а, /) и Ф п-т(а, //),

где Ф

( )= Щ ,Л) . (6)

,Л)=ЩЛ)' (6)

Ж - вронскиан решений оь...,ои; Ж(#,Л) -алгебраические дополнения его последней строки.

Разлагая определитель (4) по первой строке, запишем функцию Грина в виде

о(х,е, Л)=8 м, л)+2 оМ^, (7)

*=1 А(Л)

где As (¿,Я) =

11 (я) ... U1 (g)x ... «1n(Я) un1 (Я) ... Un (g)x ... unn(я)

(8)

В случае выполнения условий а), б) как простое следствие теоремы из [6] придем к теореме.

Теорема 1. В каждой из Л -полуплоскостей, разделенных мнимой осью, существует фундаментальная система 01,02,...,оп аналитических при |Л|> Н >> 1 решений уравнения 1(0) = 0, допускающая вместе с производными асимптотическое представление

Ф,

a fD=&. Ыь IS"}; dd^äM (x*. (x)+£ts x4

i-r (a, ß) = det {|aV (a))tJ jf1", \ßV Щ }'f

^ 1=1,n J 1=1,1

k, s = 1, n ,

(9)

У(х) = У(ф>1(х),...,фп (х)) - определитель Вандермонда корней Ф1 (х),..., срп (х).

x

T]s (x) = exp J rs (g)dg; rs (x) - диагональные элементы мат-

a

риц^1 V-1 (x)(A1 (x)v(x)-V '(x)); V(x) =V{q>1(x),...^n (x)) -

и

s

определитель Вандермонда корней ^ ,—,фп; Л^х)- (п х п) -матрица, все строки которой, кроме последней, нулевые, а последняя имеет вид

-(а°'п(х))-1 х ап-1°(х), ... ,-(а°п(х))-1 а°п-1 (х); Екз (х, А) е ¿2 (/), где I - любой луч в левой (правой) А -полуплоскости с носителем, содержащим А = 0. Если

arg A*± — , то \Eks (х, А\<

C

где C = C(A) -

по-

стоянная.

Полюсы функции Грина служат нулями характеристического определителя Л(а) . На основании (9) изучение нулей л(а) сводят к изучению нулей асимптотически экспоненциального многочлена [1, с. 25] вида

Ь

А\(ф1 +...+фх)&

л° (а)-[фп-ла,Р)] а +

Ь

М(Фт+1 +... + Фп №

+... + [Фт(а,р)]р, а [ф]=ф+е(А), е(А)^ ° при А^<х>. Утверждение 2. Все нули Л° (а), (л(а)) заключены в полосе |Яе А\< Н, Н >> 1. Если их нумеровать в порядке роста модулей, то имеет место асимптотиче-I 2пк

ское представление: \Ак = —--[1].

п Ь

1 а

В правой и левой полуполосах указанной полосы вне 3 -окрестности нулей верны соответственно неравенства

п Ь х Ь

АУ \Vkdt . .

Л° (А)> кдв х+1 а , Л° (А)> кдв 1 а ,

где к§ > 0 и зависит только от 3.

Подставляя решения (9) в формулу (7), с учетом формул (5), (6), (8), получим

ш(х,4,А) =

у + Е (¿, А) + Е (ж, А) +

у а"-1 [V(¿у,,(¿) ^ ) 2^ )

+ Е (¿, А)Е (х, А)} при £ < х,

Aj?sdt

iVfM+ESS. а)+E2 (Z, A)+

(10)

s£i A"-1 i V(f^ (f) + E (f, A)E (x, a)}, при a < x <f< b. Ei e L2 (Re A = H), ReA> 0. " os (x, A)As (f, A)_ " Ski (x, A) s=i a(a) k ,l=1 A"-1

(f) + Eks (f, A)}>

Нш

£¡¡-1 (х,А) - функции, ограниченные вне 3 -окрестности полюсов функции Грина (с = Ь при I < х; если I > х, то с = а; с 2 = а при к < х; с 2 = Ь при к >х); VI(х), у, (х)е ¿2 (а, Ь).

Аналогичные (10)-(11) выражения имеются и в левой А-полуплоскости.

0(х,£,А) ^ 0 при А^да по всем направлениям, отличным от мнимой оси. Следовательно, стремится к нулю резольвента пучка Л (А), сопряженного к пучку (1)-(2). Как известно [7], системы корневых элементов пучка (1)-(2) и сопряженного Л (А) п -кратно полны

в ¿2(а,Ь). Под Л*(а) понимается пучок, порожденный квазидифференциальным выражением, сопряженным к дифференциальному (1) [5, § 16].

При доказательстве разложимости к(х) в ряд Фурье по корневым функциям пучка обычно доказывают, что

^ \Ап-1аА] в(х,£, А)(аоп (¿))-1 (12)

2т Гт а

равен к(х), если контур гт ограничивает область, содержащую все собственные значения Ак, |Ак| < Ст , и проходит вне 3 -окрестности этих собственных значений.

В нашем случае гт выберем в виде криволинейных трапеций с основаниями, лежащими на прямых

ЯеА = ±Н, Н > 1, с криволинейными боковыми ду-

- +

гами ут , ут , соединяющими эти прямые и расположенными снизу и сверху от вещественной оси, вне 3 -окрестностей спектра. С ростом т, ут, у"+ бесконечно удаляются от начала.

Высказанное выше позволяет доказать теорему.

Теорема 2. При условиях а) - в) любая функция к(х) е ¿2 (а, Ь) разлагается в ряд Фурье ( со скобками) по коневым функциям пучка (1)-(2) в смысле сходимости в ¿2 (а, Ь).

Доказательство. Не проводя прямого вычисления предела в (12), достаточно проверить его существование. Это следует из полноты системы корневых *

функций пучка Л . Предел (12) не что иное как сумма ряда Фурье (со скобками) функции к по корневым функциям пучка (1)-(2). Если эта сумма существует, то она непременно равна к(х) [2, с. 75; 8, с. 32]. Сходимость в (12) установим согласно представлениям (7) и (10), (11).

Покажем, что в (12) сходится часть, соответствующая выражению (11):

-1 £ j e й2 Ski (x, A)dAj(Vi (f)+Ek (f, A))>

2— k ,l=1 Г a

Ajq>kdt

хе ( е С2 , ЯеА>0. (11)

Е,, Ек, - функции из класса Ь2 (Яе А = Н), а также из ¿2 (а, Ь) по х и £.

jwdt (h(f)e f

df .

(13)

— <

x

Ввиду того, что Ек (*, Л)^ 0 при л^да и экспоненты в (13) убывающие, интегралы по дугам у~т ,

стремятся к нулю при росте т . Поэтому достаточно рассмотреть в (13) интегралы по прямым Яе л = +н. Заметим, что

Ь \Ф1Л

1VI (*)* *

а

Все

dÇ ^ 0 при À^œ, ReÀ> 0. (14)

рассуждения относятся к правой полуплоскости (для левой они аналогичны).

С1 2

Ь ЛфЛ

Далее 1 Ек (*,Л)к(*)е * d*

À-

<

"1

À\Vidt

Ek (ÇÀ Ç

dÇ\\h(ç)2

xd4<<Cmax|-£k(4,Л)2 ^0 при Л^ж . Заменяя интеграл

Л ]p (t )dt

e

À\^ldt

skl (x, À)dÀ\{Vi (Ç) + Ek (Ç, À))h(ç)e Ç dÇ

Re À=H

1) \ e

Mvs (t )dt

z(x) Vs (Ç(zbs (Ç(z))h(ç(z))

e Àzdz

dÀ .

z(X]h{ç{z))

\ E 2 (x, ¿)dÀ)'hÇple-Àzdz Re À=H zn P(Ç(z))

\ E 2 (x, à)E3 (x, À )dÀ ReÀ=H

<

\|E2|2d|À\x \lE3l2d|À ;

Re À=H V Re À=H

3) интеграл \

Re À=H

x (t)dt \Ei(Ç,À)e Ç h(ÇdÇ

dÀ,

s <t , заменой j ps (t)dt = 77 сведем к интегралу вида

4

(х \

i(x) = \

ReÀ=H

\ E 2 (i, À )eÀ h1 (i )dv dÀ, X = \q)s (t)dt1,

hi e L2 (0, X). Применяя к внутреннему интегралу неравенство Коши-Буняковского, получим

X

\ E3 (i,À)eÀl1 d!-\ |hi(i)2 d!

dÀ =

пределом интегралов по полуокружностям растущих радиусов с центром в нуле, по лемме Жордана установим его равенство нулю.

Докажем существование предела

11т ^ 1 Лп-^ЛЬ8(х,*, Л)(аоп(*))_1 .

т^да 2т Y п

1т а

Для этого достаточно доказать существование интегралов вида

х

МфА

1 е * dЛх ЯеЛ=Н

х х['г(*ь'(х) + Е1 (*, Л)+Е2 (х, Л)+Е1 (*, Л)Е2 (х, Л)

х к(*У* , 5 <т . (15)

0

Заменой - (^ = г придем к интегралам из (15):

*

Яе=Н , > V(*(ги (*(гШ*))

В больших круглых скобках - выражение, представляющее преобразование Фурье от функции из ¿2 (*0, г(х*). Внешний интеграл по ЯеЛ = Н осуществляет обратное преобразование;

2) интеграл, содержащий Е2 (х, Л), заменой

0

- (^ = г сводится к виду

*

\и(х) < 1

Яе Л=Н ^

= 1 |Е3 (Х,Л) 2 dЛ< С. Яе Л=Н

Буквой Е здесь обозначены непрерывные функции класса ¿2 (Яе Л = Н). Из последнего неравенства следует принадлежность и(х), и следовательно, исходного интеграла пространству ¿2 (а, Ь). Теорема доказана.

Литература

Tamarkin J. Some general problems of theory of ordinary linear differential equations and expansion of arbitrary function in series of fundamental functions // Math. Zs. 1927. Vol. 27. P. 1-54.

Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов // Докл. АН СССР. 1976. Т. 227. № 4. С. 28-31.

Вагабов А.И. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по главным функциям обыкновенных дифференциальных операторов // Изв. АН СССР. 1984. Т. 48. № 3. С. 614-630.

Вагабов А.И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов н/Д, 1994.

Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.

Вагабов А.И., Абдурахманов З.А. Теорема об асимптотике решений системы линейных дифференциальных уравнений с параметром // Докл. Адыгской меж-дунар. АН. 2004. Т. 7. № 1. С. 29-31.

Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. 1971. Т. 26. № 4. С. 15-41.

a

V

у

a

2

0

a

X

a

a

0

8. Костюченко А.Г., Шкаликов А.А. О суммируемо- циальных операторов и операторов свертки // Функ-

сти разложений по собственным функциям дифферен- циональный анализ. 1978. Т. 12. № 4. С. 24-40.

Поступила в редакцию_12 октября 2007 г.