Асимптотическое моделирование неавтономных квазилинейных систем с помощью интегральных многообразий в резонансных случаях Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

УДК 519.7

Р. Р. ИСЛАМОВ

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕАВТОНОМНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ В РЕЗОНАНСНЫХ СЛУЧАЯХ

Исследуется математическая модель динамической системы, которая описывается неавтономными квазилинейными дифференциальными уравнениями. Предполагается, что между частотами собственных колебаний системы и частотами возмущающих сил имеют место соотношения с рациональными коэффициентами. Для исследования таких систем применяются интегральные многообразия в специальной форме. Указывается способ выбора полиномиально независимых интегралов порождающей системы в резонансных случаях. Квазилинейная система ; интегральное многообразие ; резонанс ; полиномиальные интегралы

Рассматриваются неавтономные квазилинейные системы. Предполагается, что характеристическое уравнение порождающей системы имеет I нулевых, 2р чисто мнимых корней и 2т комплексных корней с отрицательными вещественными частями, причем кратным корням соответствуют простые элементарные делители. Предполагается также, что между частотами собственных колебаний системы и частотами возмущающих сил имеют место соотношения с рациональными коэффициентами. Для исследования таких систем применяются интегральные многообразия в специальной форме [1]. При этом исследование исходной системы порядка п сводится с помощью уравнений интегрального многообразия к исследованию вспомогательной автономной системы порядка N. Число N определяется количеством полиномиально независимых алгебраических интегралов порождающей системы. Указывается способ выбора полиномиально независимых интегралов.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть математическая модель движения динамической системы описывается неавтономными квазилинейными дифференциальными уравнениями вида

— = /X + гЕ^, X )+е2 X)+к , (1)

где X = {хь...,хп} - п-мерный вектор, е > 0 - малый параметр, / - диагональная матрица с собственными числами 11,.,1п; проекции вектор-функции Fj(tX) являются полиномами относительно проекций вектора X с коэффициентами, квазипериодически зависящими от t

Ъ X ) = II ^ (X )ехр(йу ^);

, { к (2) (Ъ М)° 0)

Здесь суммы являются конечными, векторы ^ (X) - полиномами; ук > 0 (к = 1, 2,.,о) -

несоизмеримыми между собой числами.

Предполагается, что собственные числа 1п матрицы / допускают представление

її

Яе = Яе1 и+р < 0;

(3)

ҐР = I + 2р +1,.,I + 2р + т; s = 1,.,I; а = 1,., р; у = I + р

т. е. считается, что характеристическое уравнение системы

ёХ

= Ж

(4)

имеет I нулевых, 2р чисто мнимых корней и 2т комплексных корней с отрицательными вещественными частями, так что п = I + 2р +2т. Пусть числа Юь..., Юр и у1,., уо удовлетворяют условию

Контактная информация: (347)273-77-35

^ + к + kpwp + + к + ^+спс - 0, (5)

где ki - целые числа.

Далее исследуется устойчивость нулевого решения системы (1) при наличии резонансных соотношений вида (5). Для исследования устойчивости решения системы (1) применяются интегральные многообразия в специальной форме [1]. При этом исследование исходной системы (1) порядка п сводится с помощью уравнений интегрального многообразия к исследованию вспомогательной системы порядка N. Число N определяется количеством полиномиально независимых алгебраических интегралов порождающей системы (4).

2. ПОСТРОЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Наряду с системой (1) рассмотрим вспомогательную систему порядка N

^-е^(г;)+е2^ (с)+к. (6)

Ищем уравнение интегральных многообразий системы (1) и (6) в форме

С - V(^X)+£Ф^,X) + £2Ф2^,X)+ к . (7)

Для определения вектор-функций V(t, X), Gk(C), Ф^, X) дифференцируем соотношение (7) по t в силу уравнений (1) и (6). Затем, исключая из результата дифференцирования вектор С с помощью равенств (4) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим уравнения с частными производными

+DVjx=0

dt DX

ЭФ, DF,

at

где

DV

DX

DX

DF.

JX = Uk (t, X)+ Gk (V),

(8)

(9)

DX

- матрицы Якоби, а

Uk (t, x)° Uk

f F,

, Fk,..., Gi,k, Gk _i,V, ^

v Ф k _i

- из-

вестная вектор-функция при известных Gl(t,X),...,Gы(t, X) и V(t, X), Ф1(t, X),..., Фы^ X) (^1, ...ук - известные векторы (1)). Из уравнения (8) вытекает, что интегралы порождающей системы (4) при е = 0 являются проекциями вектора V(t, X). При этом интегралы следует взять такие, чтобы с помощью выбора вектора Gk(V) можно было найти решение Фк(^ X) системы (8). Допустим, что в качестве проекций вектора V(t, X) выбраны полиномиально независимые интегралы V1, ...у„ системы (4), через которые все интегралы выражаются полиноми-

ально. Тогда вектор Gk(V) будет полиномиальный относительно V1, ...уп, а проекции вектора Фк(^X) будут полиномами относительно х1,.,х„ с коэффициентами, квазипериодически зависящими от t (аналогично свойствам векторов Fj(t, X) (2)). Итак, при указанном выборе проекция вектора V(t, X), векторы Gk(V) и Фк(^ X) последовательно определяются из уравнения (9) с отмеченными выше свойствами, тем самым строятся система (6) и уравнение (7). При этом порядок вспомогательной системы (6) зависит от числа полиномиально независимых интегралов системы (4). Число последних в свою очередь зависит от свойств характеристических чисел 1Ь...,1„ матрицы J и соотношений вида (5). Таким образом, важно указать способ выбора проекций вектора V(t, X). Переходя к этому вопросу, отметим, что выбор V(t, X) неоднозначен.

3. НАХОЖДЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНО НЕЗАВИСИМЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ ПОРОЖДАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ

Предварительно рассмотрим р + а-мерный вектор К, проекции кь...,кр+а которого представляют собой коэффициенты равенства (5). Затем введем 2р + а-мерный вектор М = = {т1,...,т2р+а}, где его проекции определяются через проекции вектора К следующим образом:

1) т] - тр+] - 0 (к] - 0; } < р);

2) т] - к]; тр+] - 0 (к] > 0; } < р);

11 (10)

3) т} - 0; тр+}. - \к\ (к}- < 0; } < р);

4) ш.

2 p+s = kp+s (s = 1, K s).

Тогда, учитывая соотношения (5) и (10), имеем, что функция

V = Хш1 ••• ХШ2Рр exp i(m2 p+iVi + ... ш2 p+CTVCT)t , (11)

соответствующая вектору M, является интегралом порождающей системы (4). Функции вида

V = x„...,V = Xi, (12)

и

^+а = x,+axv+a (v = 1 + f; а = I-. P) (13)

с учетом (3) будут также интегралами порождающей системы (4). Обозначим через Mа вектор, соответствующий интегралу V+a (13), при-

чем его проекции ша1, представление

ш = ш = 1* ш = 0

,паа та,p+а А? гпа u

а,2 p+s

допускают

(s ф 0, p + а)

(а = 1,...,p; s = 1,...,2p + с).

Пусть {К} - множество всех отличных от нуля векторов К, для которых справедливы равенства (5), и пусть г - размерность этого множества. Тогда найдется такая система г линейно независимых векторов Ку (у = 1,...,г) из {К}, в которой наибольший делитель целочисленных проекций каждого из векторов равен I. При этом любой вектор К е {К} может быть единственным образом представлен через К1,.,Кг в виде линейных комбинаций

К - 1стКу (ст- 0,±1,±2,...). (15)

у-1

Обозначая проекции вектора Ку через ку1, ., ку р+а, можно написать равенства

к11^1 + ... + курШр + кур+1П1 +... + кТр+спс - ^ (16)

и выражения

г

к} -1с7ки (} - 1,-Кр+а), (17)

7-1

для проекций вектора К, вытекающие из соотношений (15). Введем в рассмотрение 2р+а-мерные векторы Му и Му соответственно с про* *

екциями тУ1, ..., ту 2р+а и т уЬ ..., т у 2р+а, составленными из проекций ку1, ..., ку 2р+а вектора К аналогично правилу (10), а именно:

1) тт; = т.

* *

= т = т

тр+л тл тр+л

= 0; } = 0);

;т

т р+я т р+л

=т*я; (кт! >0);

*

т_г"тл

3) тт; = ту р+; = 0; тт р+; = т„, = |к,

(ктл < 0;);

(18)

т р+

4) тт2р+X ктр+X; тт2р+х к'

(5 = 1,...С).

Из равенств (16) и (18) следует, что функции

V = х 11

у у+т 1+1

хтт 2 Р V 1+2 р А

х ехр/{тт 2 р+!у! + ... + т

т 2 р+с у с

.-1.,

V = х т1

у у+г+т 1+1

хтт 2 Р х л/+2 р л

(19)

х ехр 4ту 2р+1у! + к + ту 2 р+сУ- К

соответствующие векторам Му и Му* являются интегралами порождающей системы (4). Принимая во внимание соотношения (13), (18), (19), находим, что существуют зависимости

К+тК+г+т = ...^1крр1 (т = 1,...,г), (20)

где куі, ..., ку Р - коэффициенты в равенстве (16).

Пусть {М} - совокупность векторов М = = {ті, ..., т2р+с }, где его проекции образуются из проекций вектора К є {К} согласно правилу

(10). Любой вектор М є {М} можно выразить с

помощью введенных векторов Ма, Мт, М* .

Принимая во внимание соотношения (10), (17), (18), найдем для вектора М є {М} выражение

М = Iк|Мт .

(21)

т=1

Здесь Су - коэффициенты в равенстве (15);

Мт - векторы вида

\М

\М.

при

при

Ст > 0;

ст < 0.

(22)

Таким образом, интеграл (11) порождающей системы (4), соответствующий вектору М є є {М}, выражается в виде

V = Vе1 —VI

(23)

где V - интеграл, принимающий значения:

~ = (П+т при Кт = IV.

Ст > 0;

ст < 0;

^ п+г+7 при С7 < 0; (24)

(V -1 + р, 7-1,...,г), где Vv+7 ,^п+г+7 - функции (19).

4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

Итак, учитывая соотношение (23), приходим к выводу о том, что любой интеграл системы (4), полиномиальный относительно х1, ...,х1+2р и квазипериодически зависящий от t, выражается через систему 1+р+2г функций (12), (13) и (19). Здесь указанный интеграл выражается полиномиально через эти 1+р+2г функций. Тогда, принимая функции (12), (13), (19) в качестве проекции вектора V(t, X), с помощью уравнения (7) приходим к вспомогательной системе (6) порядка 1+р+2, где переменные Сь- -, С+2р+2г связаны соотношениями

С.+тС.

С 1кт Р I

‘Ь/

(25)

эп+7Ъп+г+7 Ъ/+1 Ъ/+р

(V -1 + р, 7-1,...,г),

вытекающими из тождеств (20). Так как £у+у и Су+г+у комплексно-сопряженные переменные, то, полагая

Сх - ; С/+а - С/+а

(х - 1,к,/; а- 1,к,р) (26)

Сп+7 - С п+7 + ^п+г+7; Сп+г+7 Сп+7 ^п+г+7,

получим соотношения (25) в форме

*

С2 + ~2 n +g n

= nkTi| l+1

У ГУp l+p

(27)

эп+7 ' Ъп+г+7

(7- и. г )■

Заменяя проекции вектора С в уравнении (6) согласно формуле (26) и исключая переменные Сп+г+7 с помощью соотношений (27), приходим окончательно к системе порядка /+р+г

^eG^+eG (с)

+ к .

(2S)

Здесь У={у1,ку1 + + r }

„+р+г] - вектор;

вектор-функция, проекции которого являются непрерывными функциями от переменных

С1, к С/ + р + г .

Теорема 1. Если устойчиво (неустойчиво) нулевое решение системы (28), то устойчиво (неустойчиво) нулевое решение системы (1) при достаточно малых значениях е > 0.

Доказательство. Пусть нулевое решение системы (28) устойчиво (неустойчиво). Тогда на основании равенств (25-27) вытекает устойчивость (неустойчивость) нулевого решения системы (6). Согласно уравнению интегрального многообразия (7) систем (1) и (6) следует устойчивость (неустойчивость) нулевого решения системы (1). Теорема доказана.

Исследование стационарных режимов в системе (1) приводит к исследованию постоянных решений системы (28). Система (28) пригодна для исследования устойчивости нулевого решения системы (1).

5. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

ГИРОМАЯТНИКА ПРИ ВИБРАЦИИ ОСНОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Для составления уравнений движения гиромаятника выберем систему координат ОХлХ, начало которой совпадает с точкой опоры, причем ось С направлена по вертикали, а оси Х, Л находятся в горизонтальной плоскости. С внутренней рамкой (кожухом) свяжем оси Резаля Охуг. При этом ось г направим по оси собственного вращения гироскопа, ось у - по оси подвеса внутренней рамки, а ось х - перпендикулярно к двум первым осям в соответствии с правой системой координат. Положение осей Резаля Охуг относительно трехгранника ОХлХ определим следующим образом: углом а поворота вокруг оси Х и углом в поворота вокруг оси у. Обозначим через ф угол поворота ротора гироскопа относительно кожуха. Считается, что

центр тяжести гиромаятника расположен на оси z на расстоянии z0 от начала координат.

Пусть основание прибора совершает вибрации в вертикальном направлении по закону С = = NLcos0t, где Nl и 0 - амплитуда и частота вибрации. Тогда нелинейные уравнения движения гиромаятника при вибрации основания в вертикальном направлении с учетом вязкого трения в опорах подвесов можно записать в виде

I(P)a + HP cos P - KLaP sin 2P =

-z0 (p - mN1Q1 cos 0t)sin a cos P - nLa;

K

FP - Hex cos P--^1 a2 sin 2P =

= -z0 (p - mNiq2 cos 0t)cos a sin P - n2P; H = C(p + a sin P) = const,

(29)

где

I (p)=Ii(i -Oi sin2 p)

Ii = mz0 + A) + Ai + A2;

Oi =

Kl.

Ii;

(З0)

К1 = т^0 + А + А1 — С1;

Е = mzl + А0 + В1.

Здесь А0 и С - экваториальный и осевой моменты инерции ротора; А1, В1, С1 - моменты инерции внутренней рамки относительно осей х, у, z; А2 - момент инерции наружной рамки относительно оси X; т, Р - масса и вес ротора гиромаятника. Переходя к безразмерному времени

X = . и вводя безразмерные параметры

л/ilf

Wi =v v W 2 =i F; Oi = il1;

Kl z0PF z0PIL S2 = y; mi =-^; m 2 =^/;

u

= ey^. = z0mNL

H

; Ci

u

2

(З1)

I1

'; %2 = XlW2;

h =-m^; h = т2^2

Н * Н а также новые обозначения переменных

^ = а, = Ь (32)

и разлагая тригонометрические функции в ряд Маклорена, представим систему (29) в виде

- Ч1 + о -Ч2

-х

?2

2 +Ц-72+тіЧі =е Шх ^-тО; 2 -х ах

- Ч2

(33)

аТ 2 ах

где используются обозначения

02-^ + ^ =е 02(х, Ч,-^),

ах

0(х,Ч,~т) ° аіЧі — Рі “Г1 + Сі соеихЧі — ах ах

ах

к,-- _Оі|аі — 1 |Ч22 -4- +

+ 2СіЧ2

ах ах

/ -Ч^ о -Ч1

0,2 (х, Ч, —) ° а2Ч2 — Р2 —г + %2 С08 ихч2 ■ -х -х

(34)

к2 , 0 Ч2 , С2Ч2 -х 2 -х

Я

-х

Здесь а1, а2, р1, р2 - малые расстройки частот, причем в выражениях для Q1, Q2 (34) не учитываются нелинейные члены, коэффициенты которых содержат безразмерные параметры ц1, ц2, х1, %2 (31), которые предполагаются малыми, параметры к1, к2 (31) также считаются малыми (слабая диссипация). В правых частях уравнения (33) формально вводится малый параметр е, отражающий малость членов вида (34). Квадраты частот собственных колебаний системы (33) при е = 0 определяются из формулы

2<2-1+т + т ±У(1+т +т)2 - 4т1^2, (35)

где значения параметров ц1, ц2 приведены в (31).

Применяя вышеизложенные результаты, исследуем устойчивость нулевого решения системы (33) в случае, когда между частотой собственных колебаний ю1 (35) и частотой и (31) возмущающих сил имеет место соотношение вида (16):

2ю1 -и- 0. (36)

Предварительно, используя преобразования

q1 - -а(х1 + х3)+Ь(х2 + х4); д2 -1^2(®1 (х1 - х3)+ Ю2(х2 - х4));

-41 = і(—1а(х1 — х3)+ —2Ь(х2 — х4));

-х

(37)

2 = —02 (и»2 (х1 + х3)+—2 (х2 + х4));

-х

і = 4—1

где

а = —2—т2, ь=т 2——2; приведем систему к виду (1):

(38)

II ^3 |

-х

-х 2+к

-х

Здесь

=і—л+е/к(х, 4 = —і—кХ2+к + Є/2+к (X, х)

(к = 1,2) (39)

х , х2, х3, х4},

(

/і(х,х)°и —-& — 00 а

г ( \ — і Рл О р.

/2 (х, х) = — ТГ °1 + "Г” 0

ь

2 V—2 - У

— ( і л 01 ^

' І2

а

(40)

Г ! \ — і Я О, "

/3 (х, х ) = —01 + 02

/4 (х, Х)° —

У

— 01 —ОЪ1 ^2

V —2 Ь

\

У

причем

—=(—2——2)т

—2) > 0 .

(41)

0к (к = 1,2) - функции 0к(х, ч,-Ч) (34), в кото-

Величины а и Ь определены выше (38);

01) й?Т

рых переменные 1к, заменены по формулам

й?Т

(37). При исследовании устойчивости нулевого решения системы (39) в случае равенства (36) интегралы порождающей системы возьмем в виде

V - х1е, У2 - х3егЮ1Т, Уъ - х2х4. (42)

В данном случае вспомогательная система (6) будет порядка N = 3:

^-% У + ... (^ - {^1, ^ ^2 }) . (43)

ах

Ищем уравнение интегрального многообразия системы (39) и (43) в форме (7):

д - V +ефх(х,х)+... (* -1,2,3). (44)

Дифференцируя уравнения (44) по т в силу систем (39) и (43) и исключая С согласно (44), придем к уравнениям вида (9), из которых определим функции gs(С), фДт, х) (^ = 1, 2, 3). Окончательно получим систему (43) в первом приближении:

- е-^ (/'У0^1 + ^2 -М0?1 + ^'(г1^12^2 - г2^1^3 )), ах 2

О; = (- /у0^2 - N^1 -М0?2 - 4 V V2 - г2?2^ )),

-х

= е г2^1,

2

где

У 0 - — «1 - — «2 +®1(^2р1 +Цр2 ),

а

N0 -

К»!

1

К а

— С 2-С

ю.

1 /

а

г1 -^2ю31 2а1а -1 + о1 | + 3ю;

°2а -

2

(46)

г2 -ю1ю2П2| — -а1 + 2а1Ь | + ю1ю2 х

х

^2 202-

- + 4о2Ь

2

кЬ+—Н2

1 Ь 2

> 0.

Переходя к вещественным переменным X и Л1по формуле

V -Х1 + ihl, V2 -Х1 - Щи (47)

систему (45) можно представить в форме

ах ю

— - е—х

ах 2

х(-У0Л, + ЧЛ -МА -г'П1 (х2 + Л2)+ ВДЛ1

0^1 -еКх ах 2

(48)

х(У0Х1 + N£1 - М0Л1 + г1х1(х2 +Л2)- I

ах

--ег3?3 (г3 > 0)-

Стационарное решение системы (48) или (33) находим, приравнивая нулю правые части уравнений (48). Тогда получим условие существования стационарного решения

г12р4 + 2у0г1 р2 + М2 - Ч2 + у0 - 0, (49)

где

р2-Х2 +л2.

(50)

Условие устойчивости нулевого решения системы (48), а следовательно, систем (39), (33) и (29) принимают вид

у2 + М2 -Ч2 > 0. (51)

многообразий исследование системы (1) порядка 1+2р+2т приводится к исследованию вспомогательной системы порядка Ч, причем N = = 1+р+г. Вспомогательная система позволяет построить и исследовать устойчивость стационарных режимов исходной системы, а также изучить процесс их установления.

Показано, что исследование устойчивости решений квазилинейной неавтономной системы дифференциальных уравнений порядка 1+2р+2т в сложном резонансном случае можно свести к исследованию устойчивости вспомогательной автономной системы порядка N, где N = = 1+р+г. В качестве примера приводится исследование устойчивости гиромаятника при вибрации основания с помощью интегральных многообразий. Заметим, что в частных случаях данная схема исследования устойчивости приводится в работах [2-6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Валеев, К. Г. Об одной теореме Ляпунова / К. Г. Валеев // Сб. «Математическая физика». Киев, 1971. Вып. 9. С. 17-23.

2. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М, Ляпунов. М. : Гостехиздат, 1950.

3. Малкин, И. Г. Теория устойчивости и движения / И. Г. Малкин. М. : Наука, 1966.

4. Каменков, Г. В. Исследование нелинейных колебаний с помощью функции Ляпунова / Г. В. Каменков // Тр. ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. Сер. теор. механ. 1966. Вып. 3. Т. 15.

5. Мельников, Г. И. Об определении переходных процессов в нелинейных автоматических системах / Г. И. Мельников // Автоматика и телемеханика. 1955. Т. 26, № 1.

6. Хапаев, М. М. Обобщение второго метода Ляпунова и исследование на устойчивость некоторых резонансных задач / М. М. Хапаев // ДАН СССР.

1970. Т. 193, № 1.

ОБ АВТОРЕ

ВЫВОДЫ

Итак, указаны способы выбора полиномиально независимых алгебраических интегралов порождающей системы (4) в случае I нулевых, 2р чисто мнимых корней и 2т комплексных корней с отрицательными вещественными частями при наличии г резонансных отношений (16). Эти интегралы используются затем при построении уравнения интегральных многообразий. С помощью уравнений интегральных

Исламов Роберт Рахимович, доц. каф. математики. Дипл. инж.-мех. (УАИ, 1966). Канд. физ.-мат. наук по диф. и интегр. уравнениям. (Ин-т мат. АН УССР, 1973). Иссл. в обл. устойчивости решений обыкн. диф. ур-й.

2

а

2

г3 -ю

а