О построении двумерных симметричных/антисимметричных всплеск-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 4

С. А. Караказъян

О ПОСТРОЕНИИ ДВУМЕРНЫХ

СИММЕТРИЧНЫХ/АНТИСИММЕТРИЧНЫХ ВСПЛЕСК-ФУНКЦИЙ *)

Для обработки изображений в последние годы активно используются базисы всплесков, т. е. пара биортогональных систем функций вида ipjk{x) = х + к), $jk(x) — тп?! 4- к), j,k G Zd, где М - матричный коэффициент растяжения, тп = |detM|. При этом, как правило, желательно, чтобы разложение по системам {Ф]к},{Ф]к} обеспечивало определенный порядок аппроксимации, что, в свою очередь, равносильно так называемому условию обнуления моментов соответствующего порядка, т. е. частные производные от преобразований Фурье всплеск-функций обращаются в нуль в начале координат. Условие обнуления моментов также является необходимым условием для обеспечения гладкости всплеск-функций. Для одномерного случая хорошо известен простой, явный метод построения таких систем всплесков, но он не имеет аналога для многомерного случая. Известны различные характеристики свойств обнуления моментов в различных терминах, в частности так называемое «правило сумм» [1]. Наиболее удобный для исследования критерий, данный в терминах полифазных функций, был недавно получен М. А. Скопиной [2].

Как правило, для приложений важно, чтобы всплеск-функции обладали свойствами симметрии/антисимметрии. В одномерном двоичном случае данная тема хорошо изучена (см., например, [3]). Имеются исследования для произвольного одномерного коэффициента сжатия, история вопроса изложена в [4]. В многомерном случае такого рода исследований очень мало. Они главным образом относятся к «шахматному» коэффициенту сжатия. Произвольный коэффициент сжатия рассмотрен в статьях Б. Хана (см. [5]), в которых он исследует некоторый специальный вид симметрии масштабирующих функций и всплеск-функций. Построению всплеск-функций с компактным носителем и произвольным числом обнуляющихся моментов, обладающих свойством симметрии/антисимметрии, и посвящена данная работа.

Введем следующие обозначения: пустъ N - положительное целое, W1- евклидово пространство, х = (жх,..., х^), у = [у\,... ,уд) - элементы этого пространства (векторы), (х,у) = х\у\ +----Ь Xdyd1 М = у/^х), 0 = (0, • • •, 0) € Ъа - целочисленная

решетка в Rd. Для х, у £ Rd: х > у, если Xj > yj, j = 1,..., d\ Z+ = {x € Zd : x ^ 0}.

Если a,/3 G Ъ%, a,be положим ab = f[ a^, [a] = f Daf = daif^fdcdx.

j=i j=i

Пусть M - невырожденная размером d x d целочисленная матрица, собственные числа которой по модулю больше 1, М*— сопряженная к М матрица, Id - единичная размером d х d матрица. Будем говорить, что векторы к,п G Zd сравнимы по модулю М, и писать к = n(mod М), если к — п — Mi, £ G hd. Целочисленная решетка ЪА разбивается на классы смежности относительно введенного отношения сравнения. Число классов смежности равно |detM| (см. [6, § 2, п. 2]). Множество, содержащее в себе ровно по одному представителю каждого класса смежности, будем называть

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-01-00457).

© С. А. Караказьян, 2006

множеством цифр М. В тех ситуациях, когда не важно, какое именно множество цифр выбрано, будем считать его выбранным произвольным образом и обозначать Б(М). В данной работе будем рассматривать некоторую фиксированную матрицу М, т = \detMl, 1)(М) = {в0, -.., вт-1>, «о = 0, гк = М~18к, к = 0,..., т - 1.

Будем рассматривать системы всплесков, построенные в рамках теории кратно-масштабного анализа (см. [6, § 2, п. 1]). Всплески порождаются некоторой функцией ср е Ь2([0,1]й) (масштабирующей функцией), удовлетворяющей масштабирующему уравнению

(р(х) = то{М*~1 х)ф(М*"1 х), в котором шо - 1-периодическая по каждой переменной функция из пространства

+оо

(ее называют маской), <р(х) = / ей - преобразование Фурье. В

— оо

прикладной и инженерной математике, как правило, используются только масштабирующие функции с компактным носителем, в этом случае соответствующая маска то является тригонометрическим полиномом. Для любого тригонометрического полинома т„ существуют тригонометрические полиномы к — 0,... ,т — 1, и = 0,... ,т — 1, (полифазные функции) такие, что

.. т—1

т„(х) = -f=Y e2^s^^k(M*x), (1)

(см., например, [2; 6, § 2, п. 6]).

Пусть теперь даны масштабирующие функции ip, соответственно с полиномиальными масками то, т0, целые сдвиги которых биортогональны. Согласно принципу унитарного расширения (Unitary Extention Principle)(см. [6, § 2, п. 6; 7, гл. 5; 8]), биортогональная система всплесков будет порождена всплеск-функциями

= mLI(M*~1x)(p(M*~lx),

)(х) = тп1/(М*~1х)р(М*~1х). (2)

В (2) т„, т„, v = 1,... ,m — 1, - тригонометрические полиномы такие, что соответствующие полифазные матрицы

М := W^Jo, М:=

удовлетворяют соотношению

MM*=Im. (3)

Чтобы обеспечить условие (3), надо построить полифазные матрицы по данным их первым строкам. Теоретически это всегда возможно [6, § 2, п. 6], однако известные на настоящий момент алгоритмы трудно реализуемы на практике. Задача существенно упрощается, когда одна из двух порождающих функций (р, ip (например, ip) является так называемой интерполяционной масштабирующей функцией, т. е. цоо = const. Именно этот случай будет обсуждаться далее.

Резюмируя результаты работы [2], имеем следующее утверждение. Теорема 1. Пусть ф - интерполяционная масштабирующая функция с полиномиальной маской то, определенной полифазными функциями /¿оо = , Но к, к = 1,..., т — 1, удовлетворяющими соотношению

£>%*(0) = -^=(-2тгirk)0, /3 е Zd+, Щ ^ п, (4)

у Ш

и пусть (р - двойственная масштабирующая функция с маской то, определенной полифазными функциями

ТП—1

¿¿00 - у/гп( 1 - ^ |т|2), До,2* = /¿0,2*, к = 1,... ,тп - 1.

(5)

к=1

Тогда двойственная система всплесков }, {Ф$}> порожденная функциями (р, р, удовлетворяет условию обнуления моментов порядка п

0) =£»/3^М(0) = 0, и — 1,... ,т — 1, р е Ъ%, Щ ^

п.

В [2] так же показано, что для построения {ф{фв качестве полифазных

матриц можно взять / *

М =

М01 ^02

-ШТ у/Ш(1 - |^01|2) ~\/тДоТ>02 -М02 —\/гпЩ2Ц01 - 12)

(

-1/™^ 0,тп-1М01 -Л/ШМ 0,т-1М02

V

/Ь = 1

-ШТ

-ЦО,т-1

М01

1/л/т 0

М02 0

1/лМ

0 0

— \/тПД02М0,т-1 - |А»0,т-1|2)У

\

(6)

(7)

Построение масок, чьи полифазные функции удовлетворяют (4), легко осуществить с помощью тригонометрического аналога формулы Тейлора, с использованием тригонометрических полиномов др — д@п, удовлетворяющих соотношениям

1)%(0) = 1, 1)^(0) - 0, 7 е 7 ^ /3, [7] ^ п.

(8)

Рекурсивные формулы для нахождения функций дрп представлены в [2]. Заметим, что существуют функции др с указанными свойствами такие, что др - четные при [/3] четном и нечетные при [/?] нечетном. Это может быть легко реализовано посредством формулы \ (др(х) + (—1)^<7/з(—ж)).

Займемся построением четных/нечетных масок тп^х), к — 0,... ,т — 1.

Будем рассматривать случай й = 2, матрица М с нечетным определителем. Пусть Лпц г. *

\т т ) первую очередь обсудим полезные для последующих рассуждений способы выбора множества цифр для таких матриц.

Предложение 1. Для любой матрицы М размером 2x2 с нечетным определителем существует набор цифр во,..., таких, что «о = 0,52^-1 = — в2к, к = 1,...,

т—1

2

Доказательство. Возьмем произвольный вектор si = (sn, s 12), несравнимый

^ т л г_i i Лп22«11 — mi<iS\2\ . ryl

с so = 0. Тогда М ls 1 = — ? Z , а значит, поскольку т нечетное,

т \mns12 -m2isnj ^

следует 2si ^ 0 (mod M)(M-1(2si) g Z2, так как умножая дробь с нечетным знаменателем на 2 не получим целого числа), т. е. si 'ф. —s\. Положим s2 = —Si. Ясно, что s2 0. Возьмем теперь вектор s3, несравнимый со всеми предыдущими, и S4 = —S3. С помощью аналогичных рассуждений устанавливаем, что S4 не сравним с so, si, s2, S3. Продолжая этот процесс, получим множество цифр.

Предложение 2. Для любой матрицы М размером 2x2 с простым нечетным определителем либо векторы sо, • • •, «m-i "такие, что sо = 0, s2£_ 1 = — s2¿ = (g), либо векторы s'0,..., такие, что s¿ — 0, s'2k_x = — s'2k = (k), k = 1,..., образуют

множество цифр.

Доказательство. Предположим, что найдутся вектора s¿ и Sj, i, j € {О,..., m — 1}, из одного класса смежности, тогда

M~l{Sj - Si) = 1 ( ™22 (s, -Si) = ( ™Ш22 ) e z2,

v J m \-m2l mn J ]

где l G Z, \l\ < т. Поскольку m простое, числа m21, m22 делятся на т. Аналогично, если s¿ и s'j принадлежат одному классу смежности, то тц, mi2 кратны т. Таким образом, если ни один из наборов so,si,..., sm_i ,só, s'j,..., s'm_1 не образует множество цифр, то определитель матрицы М делится на т2, но его модуль равен т, что означает противоречие.

Предложение 3. Пусть М - матрица с нечетным определителем, множество цифр выбрано в соответствии с утверждением предложения 1. Тогда маски то, то, заданные полифазными функциями

1 ~ . , , т — 1 , .

Ноо = -7=, Mo,2fc-i = Ho,2k-i = Ak + iDk, к — 1,..., ———, (9)

y m z

где Лк, к — 1,... ,m — 1,- четный вещественный тригонометрический полином, Вк ~ нечетный вещественный тригонометрический полином,

т — 1

£¿00 = л/ш(1 — ^ \Цок\2), Mo,2k = НО,2k = A¿0,2fc-1,

являются четными вещественными функциями.

Доказательство. Подставив (9) в (1), имеем

1 m_1 1 т0(х) = -=+ k(M*x) = -= +

vm ^ v™

m — 1 2

+ (cos2^(5^,3:1)Ak(M*x) - sm2n(sk,xi)Bk(M*x)). k=1

Отсюда ясно, что m0 - четная функция. Для проверки четности ш0 осталось заметить, что

\m(x)\2 = Al(M*x) + B2k(M*x),

а значит, Доо - четная функция.

Нетрудно видеть, что масштабирующие функции <р, (р с масками из предложения 3 являются четными вещественными функциями.

Рассмотрим класс интерполяционных масок то, заданных полифазными функциями

1 _ , , т — 1

/¿00 = —7=, Мо,2Л — Цо,2к-1, К — L,...,-—--,

у/т 2

MO,2fc-l0v) = Ак(х) + Вк(х) + (Tak(x) + iQak(x)) sin"1 2пх\ sin®2 27ГЖ2, (10)

aez\

ai+a^—n+X

где

Ak{x) = -T= Y1 90n(M*x)(-2-Kir2k-i)0]

^ 01+02^П 01+02—even

Вк(х) = 4= V д0п(М*х){-2тг2к-1)0] 01 +02-0(1(1

тригонометрические полиномы дрп - вещественные четные при четном /?1 + [32 и нечетные при нечетном + &2 удовлетворяют (8); Так - произвольные вещественные четные при четном + 02 и нечетные при нечетном а.\ + а2 полиномы; С}ак - произвольные вещественные четные при нечетном а\+ а.2 и нечетные при четном «1 4- а2 полиномы.

Нетрудно видеть, что полифазные функции из (10) удовлетворяют соотно-

шению (4). Поскольку

Ак(х) = ^ д0П(М*х)(-2тг2к-1)0 =

01+02^™ 01+02 — еУ£П

= Л д0п{М*х)(-2тг2к)13,

У/ГП 01+02^П

01+02—егеп

Вк{х) = "¡Г д0п(М*х)(-2тг2к^1)'3 =

Ч/Ш 01+02<П 01 +02-0(1(1

= -7= X) 90п(М*х)(-2тг2к)15,

Ут я . д .

01+02 ^П 01+02-odd.

имеем D13 цо,2к(х)\х=о = ^(-27пг2к)Р, т. е. (4) выполнено и для функций /¿o,2fc,& =

1 m—1

l, .. . , 2 .

В соответствии с теоремой 1 определим двойственную к то маску то, задав ее полифазные функции формулами (5).

Использование матриц (6), (7) для построения масок тк, тк, к = 1,... ,m — 1, не обеспечивает четности/нечетности соответствующих всплеск-функций.

Рассмотрим матрицы

М' :=

/ <Эо

(Ог + <Э2) (Яг -(¿2) (<Эз + <э4) (<2з - <34)

(<Эт-2 + <Эт-1) \(<Эт-2 -От-1)/

-М' :=

<Зо

|(ёх -Оа) |(«5з-<Э4)

§(<Эт-2 + <Э,п-1)

(П)

где <3*;, к — 0,... ,т — 1, - соответственно строки матриц (6), (7). Ясно, что выполнено соотношение М'М' —1а-

Для матрицы М' выпишем явный вид ее элементов. Для строк с нечетными номерами

/¿21/-1,0 — _(М0,21/—1 + /¿0,21/—1) > V — 1,...,

771 — 1

Н2и-1,2и-1 = л/тп(1 — |//о,21/-1р -

Н2и-1,2и = \/т(1 - 1/^0,2^-112 ~ /¿0>21/) = \М(1 - |^0,21/-1|2 ~ А«о,2Л—1)»

- |

Н2и-1,2к-1 = ~л/гпцо,2к-1 211е (/¿0,21/—1), к = 1,...,—-—, /с г/,

/¿21/-1.2к = -"\Мй),2А:-1 2 Яе (/¿0,21/-1)-

Заметим, что вещественные части функций /¿ол ~ четные, а мнимые - нечетные. Ясно, что ¡л21,-1,0 ~ четные вещественные функции. Далее в каждой строке для диагонального и следующего за ним элементов

е2^-г,х)/Л2и_1>2и_1 +е2«(.Я„х)^и_12и = ^(2008 27г(в2^_1,®)х

х(1 — 2 Ые 2 (//о ,2^-1)) +48т27г(521/-1,ж) 11е (/¿о,2^-1) 1т (/¿о,21/-1))- (12) Для остальных элементов

е2^"-1'^-!^-! + е2"^-*)Ц2»-1,2к = 2со52ф2и-1,х)УМ(1 ~ 2|/х0>2,-1|2). (13)

Поскольку правые части равенств (12), (13) - четные вещественные функции, то суммируя эти равенства и учитывая (1), устанавливаем, что функции т„ с нечетными индексами - вещественные четные. Для четных строк

/¿21/,О — /¿О, 21/-1 — /¿0,21/ —1 1

Н2и,2и-\ = у/т(1 - (/¿0,21/—112 + М0.21/-1).

№и,2и = -%/т(-1 + I/¿0,21/ —112 - /¿0,21/) = ->/ш(-1 + (/¿0,21/ —112 ~ /¿0,2^-1). /¿21/,2& —1 = 1 (/¿0,21/—1 ~ /¿0,21/-!),

/¿2i/,2fc — \Att//0,2fc-l(/¿0,2i/-l ~ /¿0,2</-l)-

Функции H2v,0i v — 1, • • •, ^y^i нечетные, чисто мнимые. Для диагонального и следующего за ним элементов

+e2iri(ea"'sW,2, = 2tVm(sin27r(s2v_b®)(l-

-2 Im2(/¿o,2fc-i)) + cos27r(s2l/-i,x) Re(/i0,2Jb-i) Im(//0,2A:-i)). Для остальных элементов

2iy/rñ(cos 27t(s2i/-i , ж) Re(/x0,2fc-i) Im(/i0,2fc-i) - sin27r(s2„-i,ж) Im2(//0,2fc-i)).

Суммируя полученные равенства и учитывая (13), устанавливаем, что т„ - нечетные, чисто мнимые функции. Теперь рассмотрим строки матрицы М.'

/¿2i/—1,0 = -^(/¿O^iz-l + /¿0,2i/-l), 1

/¿2i/-l,2i/-l —

2у/т' 1

/¿2i/-l,2i/ — 0 ,—,

т — 1

/¿2i/-l,2fc-l = /¿2^-1,2fc =0, /г ф U, fe = 1, ... ,

2

Ясно, что Д21/—1,о _ четные вещественные функции. Для диагональных и следующих за ними элементов

.2«(.а„_1,х)^ ,р2п1(82„,х)~ _ С08 2тг(а2|/-1,а:) е 4 /¿21/—1,21/—1 I е 4 /¿2|/—1,21/ — -7=-•

л/т

Следовательно, т„(ж) - четные вещественные функции при нечетном г/. Для ш^, к = 1,..., т — 1, с четными индексами

/¿21/,0 = 2 (До^^Т — /¿0.21/-1), 1

/¿2ь>,21/—1 — 0 /—5 1

/¿21/,21/ — ~0 ,—, 2 л/т

/¿21/,2&—1 = /¿21/,2* = 0, к ф V, к = 1,..., —^-.

Функции Д21/)о, 17 — !>•••) ~ нечетные, чисто мнимые. Для остальных не равных нулю элементов

27гг(в21/—1,1)77 , /32яг(52,,х)77 _ г ЭШ 2тг(з2„_1, ж)

е 4 /¿21/—1,21/—1 4 /¿21/ —1,21/ — -7=-■

л/т

Отсюда видно, что функции т„ - нечетные, чисто мнимые. Следовательно, если т„, т^ - четные вещественные, то функции заданные формулами (2), и

ф^'- четные вещественные, а если ти, т„- нечетные, чисто мнимые, то функции - нечетные вещественные. Таким образом, доказали следующее

утверждение.

Теорема 2. Пусть (р - интерполяционная масштабирующая функция с полиномиальной маской то, определенной полифазными функциями (9), ф - двойственная ей масштабирующая функция с маской то, определенной полифазными функциями (5), всплеск-функции и = 1,---,тп — 1, заданы, полифазными матрицами (11).

Тогда функции (р - вещественные четные, а функции ф^ - вещественные четные при нечетных и и вещественные нечетные при четных и. При этом соответствующие двойственные системы всплесков {Ф^к} ЛФ^к} удовлетворяют условию обнуления моментов порядка п.

В заключение приведем значения функций д/зп(и) для п = 1,...,5, вычисляемые при помощи следующих рекурсивных формул:

/=1

г-1

* = (¿Ш м^ (**2™ - Е <•- ****

г=1

и=0

п = 1 : д\ (и) = вт 2-ки, 27Г

п = 2 : <71 (и) = -^-зт27ги, дз(и) = —-г эт2 2-ки, 27Г о7Г

п = 3 : <?1 (и) = -7- (эт. 2-ки + \ вт3 2пи), 27Г 6

92 ^ = 8тт2 П2 2?ги + \ ^^ 2?ги)' 93 ^ ~ ¿з 2пи + \ з1п5 '

п — 4 : (и) = (эт 2-ки + \ вт3 2-ки],

27Г \ 6 )

92 ^ = (й1п2 2пи + ^ ^ 2?Ги) ' 93 ^ ~ 4^3 2уги + \ ^ 27ги) '

54 (И) = (81п4 2тги + | вш6 ,

п = 5 : 31 (и) = ( вт 2-ки + ^ вт3 2-ки + эт5 2-ки), 27Г \ 6 40 )

<?2 («) = 7Д7 ( эт2 2-ки + ~ эт4 2-ки + -77 зт6 2пи ), 87Г^ \ 3 45 у

1 ( ч 1 ч 37 - \

5з (и) = I яп- 2тти + - эт0 27ги + — эт' 2-ки I,

1 ( 2 7 \

94 ^ = 384тг4 К 2пи + 3 31П<3 27ГИ + 15 81п8 27Ги ) '

9ъ (и) = 3841q^5 (sin5 2тга + ^ sin7 2тга + ^ sin9 2тга^ .

Автор благодарит научного руководителя проф. М. А. Скопину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Summary

Karakazjan S. A. On construction of symmetric/antisymmetric wavelets-functions.

For constructing biorthogonal systems of symmetric/antisymmetric compact supported wavelets. With vanishing moments, we described a wide class of generating masks. Explicit formulas for the corresponding dual masks and wavelet masks are given.

Литература

1. Jia R. Q. Approximation properties of multivariate wavelets // Math. Сотр. 1998. Vol.67. P. 647-655.

2. Skopina M. On construction of multivariate wavelets with vanishing moments // ACHA. 2006. Vol. 20. P. 375-390.

3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: Науч.-исслед. центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с.

4. Hernandes Е., Weis G. A. A first cours of wavelets. Boca Raton, FL: CRC Press, 1996. 489 p.

5. Han B. Symmetry property and construction of wavelets with a general dilation matrix // Linear Algebra and its Appl. 2002. Vol. 35. P. 207-225.

6. Новиков И. Ю., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005. 616 с.

7. Wojtaszczyk P. A mathematical introduction to wavelets // Math. Soc. Student texts (London). 1997. Vol. 37. 261 p.

8. Ron A., Shen Z. Affine systems in L2 (Rd)'- the analysis of the analysis operator //J. Func. Anal. 1997. Vol. 148. P. 408-447.

Статья представлена к публикации членом редколлегии С. В. Чистяковым.

Статья поступила в редакцию 7 июня 2006 г.