О порядке аппроксимации многомерных систем всплесков Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2010. Вып. 3

УДК 517.5

А. В. Кривошеин

О ПОРЯДКЕ АППРОКСИМАЦИИ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ ВСПЛЕСКОВ*)

Введение. Фреймом в гильбертовом пространстве H называется система функций {fn} n^zd С H, для которой существуют положительные постоянные A, B такие, что

A\\f ||2 < £ \(fjn)\2 < B\\f ||2 yf e H.

nEZd

Постоянные A и B называют соответственно нижней и верхней границами фрейма. Это понятие ввели Р. Дж. Даффин и А. С. Шеффер [1]. Основное свойство фреймов состоит в том, что для любого f e H имеет место разложение

f =Е (fjn)fn, (1)

nEZd

где fn e H, n e Zd, причем система {fn}n^Zd тоже фрейм (см., например, [2, § 1.8]). Таким образом, фреймы являются системами представления, но, в отличие от базисов, разложение (1) не единственное. Пару {fn}neZd, {fn} n^Zd называют двойственными фреймами. Если A = B, то систему {fn}neZd называют жестким фреймом, в этом случае fn = \fn, п е Zd.

Последние годы активно изучаются двойственные фреймы всплесков вида {Фр1}, {j}, где Ф%] := тЭ/2ф(и)(М1 • +k), ф^ := mj/2 • +k), ф(и) ,ф}(и) e L2(Rd),

v = l,...,r, j e Z, k e Zd, M - матричный коэффициент растяжения, m = \detM\. Такие фреймы используются во многих прикладных исследованиях, в первую очередь для обработки сигналов. Поскольку на практике часто не требуется базисность системы всплесков, избыточные системы вполне могут быть применены вместо базисов, если они обладают свойством разложимости. Более того, избыточность бывает даже полезна в инженерных исследованиях.

Общая схема построения двойственных фреймов всплесков хорошо известна [3]. Сначала ищут пару порождающих масок m0,fhо, удовлетворяющую ряду специальных свойств. Для построения всплесков с компактным носителем, представляющих наибольший интерес для приложений, в качестве масок будем рассматривать тригонометрические полиномы. По ним строятся всплеск-маски mv,mv и всплеск-функции

Кривошеин Александр Владимирович — студент 5-го курса факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. М. А. Скопина. Количество опубликованных работ: 2. Научное направление: теория функций. E-mail: san_san@inbox.ru.

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00162).

© А. В. Кривошеин, 2010

фМ, фМ,

V = 1,...,г; соответствующие системы {ф3к} {ф^к^} - потенциальные фреймы. Далее надо убедиться, что функции ффпринадлежат Ь2(В4) (вообще говоря, это обобщенные функции), а также обладают моментами по крайней мере нулевого порядка. Для фреймовости наличие моментов - необходимое условие (см., например, [4, теорема 3]). Однако, если потребовать наличие моментов только у "ф^, то полученная система {фр1}, {Ф%^} не будет фреймом, но строить ее значительно проще. На практике же инженеры нередко успешно используют такие конструкции для обработки сигналов и в тех случаях, когда соответствующие системы всплесков {ф3к} {ф3к^} заведомо не являются фреймами (см., например, [5]). Такие системы будем называть фреймоподобными, если только ф(^, ф^ € Ь2(В4). В настоящей статье будет показано, что фреймоподобные системы - это системы представления в слабой топологии, а при дополнительных требованиях на маски разложение

ОО Г

/ = Е Е Фк])фЗк] (2)

3 = ~о и=1 keZd

имеет место в Ь2(В4) для любой функции / из пространства Соболева Ш2П(В4), и порядок аппроксимации данного разложения равен п. В отличие от фреймов, разложение (2) не является безусловным, но во внутренних суммах сходимость безусловная. Случай ! =1, М = 2 был исследован совместно с М. А. Скопиной [6]. В случае произвольной размерности и диагональной матрицы М с двойками на диагонали разложение (2) для / € Ш2П(В4) следует из результатов Б. Хана [7] при более слабых предположениях на маски (подробнее см. п. 3).

Кроме того, в статье будет предложен конструктивный метод построения фреймоподобных систем.

1. Обозначения и предварительные сведения. Примем, что N - множество натуральных чисел, С - множество комплексных чисел, В4 - !-мерное евклидово пространство, х = х2,..., х^), у = (уь У2, • • • > У а) ~ его элементы, (х,у) =

х\у\ + х2у2 + ••• + хауа, \х\ = \](ж, х), 0 = (0,..., 0) € На; Zd - целочисленная решетка в В4. Для векторов х,у € В4 будем писать, что х > у, если хр > ур,] = 1,...,!;

Z+ = {х € Zd : х ^ 0}. Если а,в € Z+, а,Ь € В4, то положим а! = П ар!,

3=1

(/з) = 13\(а\-13)> °Ъ = П а^ М = Е аз, -°“/ = 6о,,ь - символ Кронекера.

3=1 3=1

Пусть М - невырожденная целочисленная матрица размерности ! х !, чьи собственные числа по модулю больше 1, М* - матрица, сопряженная к М, Е4 - единичная матрица размерности ! х !. Будем говорить, что векторы к,п € Z4 сравнимы по модулю М(к = n(modM)), если к — п = М1, I € Z4. Целочисленная решетка разбивается на непересекающиеся множества в соответствии с введенным отношением. Число таких множеств равно ^еЬМ| (см., например, [2, § 2.2]). Возьмем по одному представителю из каждого множества, назовем их множеством цифр В(М) матрицы М. В дальнейшем предполагаем, что матрица М фиксирована, т = ^е1М|, Б(М) = {во, ...,вт-1}, \\МУ - евклидова операторная норма матрицы из В4 в В4.

Если функция ] принадлежит Ь2(В4), то /(£) = / /(х)в-2п1(х’^) !х - ее преобразование Фурье. Если Г - 1-периодическая функция по каждой переменной и Г € Ь([0,1]4),

то Р(к) = / /(х)е 2пг(к,х) йх - ее к-й коэффициент Фурье. Для произвольной функ-

[0,1]а

ции / положим -(х) := тз/2/(М2х + к).

Будем использовать следующую общую схему для построения двойственной системы фреймов всплесков с компактным носителем [3] (которая, как уже отмечалось, не всегда приводит к фреймам).

Функция ф € Ь2(КЛ) называется масштабирующей, если ее преобразование Фурье удовлетворяет уравнению

маской). Нас будут интересовать только маски, являющиеся тригонометрическими полиномами. Известно (см., например, [2, § 2.4]), что для любого тригонометрического полинома то, такого что то(0) = 1, функция

является единственным (с точностью до множителя) решением уравнения (3) и преобразованием Фурье некоторой функции ф (вообще говоря, обобщенной) с компактным носителем.

Каждую маску т„ € Ь2([0,1]^), которая является тригонометрическим полиномом, можно представить в виде

где -,к = 0,...,т — 1, - тригонометрические полиномы; в- - цифры матрицы М. Такое представление называют полифазным, а функции -,к = 0,...,т — 1, - по-лифазными составляющими маски ти. Полифазное представление единственно (см., например, [2, § 2.6]) и справедливы равенства

Также можно утверждать, что ти является тригонометрическим полиномом тогда и только тогда, когда ее полифазные составляющие - это тригонометрические полиномы.

Рассмотрим ф, ф - две масштабирующие функции с масками то, то соответственно, ф>(0) = ф(0) = 1. Предположим, что существуют тригонометрические полиномы ти, т„, V = 1,...,г, г ^ т — 1 (всплеск-маски), такие что полифазные матрицы

Ф(І) = то(М *-1І)(р(Ш *-1£),

(3)

в котором то - функция из Ь2([0,1]^), ее будем называть маской (масштабирующей

Ш) :=П то(М*-10

(4)

3=1

(5)

з^П(Ы*)

е

удовлетворяют следующему равенству:

Мт М = Ет. (6)

Определим всплеск-функции ф(1,), ф^, V = 1,...,г, задав их преобразование Фурье по формулам

ф(У) (О = т„ (М *-1ШМ *-Ч), фЫ(£) = т V (М *-1С)ф(М *-1£). (7)

Соответствующую двойственную систему всплесков {ф2—} {ф2—•*} будем называть фреймоподобной и также будем считать, что она порождена масштабирующими функциями ф, ф (или их масками то, то).

В дальнейшем покажем, что важную роль играет количество обнуляющихся моментов всплеск-функций ф(У).

Определение. Всплеск-функции ф(,/') имеют обнуляющиеся моменты вплоть до порядка п, п € Zd+, если Ввф(")(0) =0, V = 1,...,г, для всех в € Zcd, [в] ^ п.

Предположив^что функция ф дифференцируема в нуле п раз, из формулы Лейбница вытекает, что

ф{у)

имеет обнуляющиеся моменты до порядка п тогда и только тогда,

когда

ВвтV(М*-10 =0, V =1,...,г, в € Zd+, [в] < п. (8)

£=о +

Известно, что в случае г = т — 1 число обнуляющихся моментов всплеск-функций { ФМ} зависит только от масштабирующей маски то, т. е. первая строка матрицы М отвечает за обнуляющиеся моменты всплеск-функций, порожденных матрицей М. При г > т — 1 свойство обнуляющихся моментов всплеск-функций {ф(1>')} зависит также от способа построения матриц М, М (см., например, [4]).

Таким образом, возникает вопрос, как обеспечить условие (8). Ответ дает следующая

Теорема А [4]. Пусть п € Z+, г ^ т — 1, функции ^к, ^к, v,k = 0,...,г - тригонометрические полиномы, ^^о,...,у,1/,т-1 и ^го,...,^,т-1 - полифазные составляющие соответственно масок mV и тV, V, = 0,...,г. Если то(0) = 1 и матрицы

N := {^vкУик=о и N := {^к}1 к=о удовлетворяют: МАГТ = Ег+\, то условие (8) выполнено тогда и только тогда, когда

(a) существуют А7 € С, 7 € Zc+, [7] ^ п, такие что Ао = 1 и для к = 0,...,т — 1 выполнено

£>%*(0) = -^= ]Г А7 (^ (-гтггМ-1**)^, У/Зе^, [/3] < п; (9)

(b) В1 /лок(0) =0, к = т, ...,г, для всех 7 € Z+, [7] ^ п.

Отметим (см. [4]), что может существовать лишь единственный набор чисел А7, удовлетворяющих (9), и он задается равенствами

А7 = В'<(то(М*-10) , 7 € Zd+, [у] < п.

£=0

Теперь понятно, что для построения фреймоподобной системы {ф^}, {Фр?}, удовлетворяющей условию (8), необходимо найти такие тригонометрические полиномы то, то, то(0) = гп-о(0) = 1, полифазные строки которых можно продолжить

до строк (ро1,.. .,рог), (фо1 ,...,Иог) так, чтобы выполнялись условия (а), (Ь) теоремы А и ^гк=о /лок (£) рок (О = 1. Далее эти строки надо продолжить до матриц N, N из теоремы А. Если при этом функции ф, ф, определенные равенством (4), принадлежат Ь2(&), то мы достигли цели.

2. Вспомогательные результаты. Обозначим через ^ гильбертово пространство последовательностей комплексных чисел с = {сп}пе таких, что \сп\2 < то,

пе

со скалярным произведением (с, с') := спс'п.

пе Zd

Лемма 1. Пусть функция ф € Ь2(Яс1) финитна, ] € Z. Тогда для любого с = {cn}nеZd € ряд ^2 спфрп сходится безусловно в Ь2(К‘i) и существует та-

пе Zd

кая постоянная В > 0, зависящая только от ф, что

Е

гфзг

nеZd

Кроме того, для любой функции / € Ь2(Я^) выполняется неравенство

Е \{/,фрп)\2 <ВЦ/ц2, nеZd

(10)

(11)

т. е. система {фjn}nеZd бесселева.

Доказательство. Пусть ] = 0, эирр ф С [—М,М]d. Предположим, что следующий ряд ^ спф(х + п) занумерован произвольным способом. Проверим для любого

nеZd

с € выполнение (10). Используя неравенство Коши, имеем

2

с

спф(- + п)

ге Zd

спф(х + п)

геZd

<

Е

ке Zd

о,\у

спф(х + п + к)

геZd

дх =

ке Zd,

о,\у

сп-кф(х + п)

пе_[-И-1,Ы ]dnZd

^ Е / Е \сп-к\2 ^2 \ф(х+т)\2 дх =

ке Zd [ о nе[-N-l,N]dnZd mе[-N-l,N]dnZd

= ЦфЦ2 Е Е \сп-к\2 < ЦфЦ2 (2М + 2ПсЦ\ = ВЦсЦ\.

ке Zd nе[-N-1,N]dnZd

Отсюда следует сходимость ряда У~] спф(х + п) в Ь2(Я<1). Ввиду финитности функции

пе Zd

ф, этот ряд безусловно сходится поточечно, что влечет и его безусловную сходимость в Ь2(Я^). Используя равенство Цф(Мз-)Ц2 = т-рЦфЦ2, получим (10) для любого ] € Z. Докажем неравенство (11). Пусть ] = 0, тогда

2

2

2

2

Е \{/,фоп)\2 < Е

пе Zd пе Zd

//+ п) дх

<

< Е

пе Zd

/(х)ф(х + п) дх

[-N,N]d-r.

<

ЦфЦ2

\/(х)\2 дх <

ге Zd

[-N,N]d-r

1|2|| /-||2

Используя снова Цф(Мз-)Ц2 = т-р ЦфЦ2, получим (11) для любого ] € Z. Лемма 1 доказана.

Следствие. Пусть функции ф,ф € Ь2(Яс1) финитны, ] € Z. Тогда для любой функции / € Ь2(Яс1) ряд ^2 {/,ф}3п)фрп сходится безусловно в Ь2(Я^) и

ге Zd

У! {/, фрп)ф1

пе Zd

рп

где С > 0 - постоянная, зависящая только от ф, ф.

Лемма 2. Пусть ф,ф,/,д € Ь2(Яс1), функции ф,ф финитны. Тогда для любого ] € Z имеет место равенство

Е(/.Ы(^,5) = ^ I

(12)

kеZd

[о,1]й

где

Н0 = Е/(М*'^ + /))^(е + 0, С(0= Е ?(м«(£ + т))£(£ + т). (13)

lеZd mеZd

Доказательство. Нетрудно видеть, что -Р - 1-периодическая функция по каждой переменной и ^2 \/ (М*2 (£ + I)) ф (£, + 1)\ суммируема на [0,Ц11. Используя теоре-

lеzd

му Планшереля, имеем

{/, фрк)

т?!2 [ $(х)ф(МЭх+ к)!],х = т И2 [ / (£) ф (М* ^)е 27Гг(к<м 3?) ^ =

= т?/2

1е zd,

о,1у

Произведенное изменение порядка суммирования и интегрирования оправдано теоремой Лебега. Отсюда и из (11) следует, что ^ € Ь2([0,1]d). Аналогично

{д,фрк) = тр/20 (к), О € Ь2([0,1]").

2

2

Для доказательства (12) осталось воспользоваться обобщенным равенством Парсеваля. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть ф, ф, /,д € Ь2(Я'i), /,д € Ьж(Я^), функции ф, ф финитны. Тогда для любого ] € Z имеет место равенство

£ </.&•*> (^> = I + (14)

где

kеzd

\Яр\ <[ Е |/(е)

^ lеzd,l=о

ф м*-2е

ф м*-2е +1

де. (15)

Доказательство. Можно считать, что интеграл в правой части неравенства (15) конечен, так как в противном случае утверждение леммы тривиально. Интеграл в правой части (14) также конечен ввиду существенной ограниченности /,'д и теоремы План-шереля. По лемме 2

^2 (1,ф]к){^к,д) = т3 ( р(£) С (£)<]£,

kеZd [о,1^

где Р и О - функции, определенные равенствами (13). Вместе с тем

тп? I Р(£) С (£)<% = I ^(М*-*'ОС(М*-^К =

[о,1]-* Ы*Э [0,1]d

/ ЕЕ 9(£ + м*ч)7 (е + М*>к) $ (м*-^ + к)ф (м*-^ + /) «ге =

’е?d lеzd

= I ттм* д (е+м*ч) ф (м* +/)#.

Ы*з [о,1]*

lеzd

Изменение порядка суммирования и интегрирования оправдано теоремой Лебега с учетом суммируемости подынтегральных выражений в (14) и (15). Для доказательства леммы осталось отделить от суммы слагаемое с номером I = 0 и сопоставить с (14). Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть функции ф,ф € Ь2(Яс1) финитны и ф,ф непрерывны в нуле. Тогда для любых /,д € Ь2(Я^) выполнено

Ит ^2 {f,фjk){g,фjk) = ф{0)ф(0){/,д). (16)

kеZd

Доказательство. Сначала предположим, что функции /,д непрерывны и финитны. По лемме 3, принимая во внимание, что из бесселевости систем {ф( - + n)}nеzd и {ф(■ + n)}nеZd следует ф,ф € Ьж(Я^) (см., например, [2, теорема 1.1.7]), имеем

Е (/М(д,Ък) = I $(м*-Ч)${М*-Ч)П£)д(£)с£ + Щ, (17)

J 1 \у> ^3К! — / У ! Ч I 'У ^ *

kеZd ^

где

де + м *зI

д м е +1

lеZd ,1 = 0^

де < д (е + М * I

Поскольку при многократном умножении на матрицу М* осуществляется растяжение по всем направлениям (см., например, [2, § 2.3]), то, начиная с некоторого достаточно большого ], каждое слагаемое в последней сумме равно нулю ввиду финитности функций /, д; значит, Иш Щ = 0. Переходя к пределу при ] ^ в (17), осуществляя

3^+<Х,

предельный переход под знаком интеграла, который возможен в силу теоремы Лебега, получим (16).

Пусть теперь / € Ь2(Яа), а д такое же, как и ранее. Аппроксимируя / функцией / € Ь2(ЯЛ) с непрерывным финитным преобразованием Фурье, используя доказанное, неравенство Коши и (11), устанавливаем (16) для произвольной / € Ь2(ЯЛ). Точно так же, аппроксимируя функцию д, устанавливаем (16) в общем случае. Лемма 4 доказана.

3. Фреймоподобные разложения.

Теорема 1. Пусть ] € %, двойственная фреймоподобная система всплесков

V = 1,...,г, г ^ т — 1, порождена финитными масштабирующими функциями с, <р, д(0) = ф(0) = 1. Тогда

(а) для любой функции / € Ь2(КЛ) имеет место равенство

з-1

Е (/,фзк)Сзк = Е Е Е {/,Ч^1 к )Ч к ;

ке Zd г= — ж и=1 ке Zd

(Ь) для любых /,д € Ь2(КЛ) имеет место равенство

(18)

{/,д) = Е (/,1Рзк)(сзк,д) ^^Е Е (/,Жк )(Ф(к\д).

ке Zd г=з ^=1 ке Zd

Доказательство. Пусть ], ]’ € %, ]’ > ]. Докажем равенство

з'-1 г

Е {/,С 'к)Сз 'к = Е {/,‘рзк)Сзк + Е Е Е {/,№)Жк.

ке Zd ке Zd г=з ”=1 ке Zd

Ясно, что достаточно проверить это равенство для случая ] ' = ] + 1:

(19)

(20)

Е {/,Сз + 1,к)фз + 1,к = Е {/,‘Рзк)Сзк ^Е Е ^^^к^к .

Р( "К/, (V)

/, Ч

ке Zd ке Zd v=1 ке Zd

Из масштабирующих уравнений для ф, <р и формул (7) следуют равенства

фзк =2.^1 П1-Ыкфз+1,1, 1е Zd

ф( V)

Чзк

Е ^1->Мкфз + 1,1,

1е Zd

(21)

(22)

<3к — Е Ф.к — Е

ІЄ 2а ІЄ Zd

где ъП') и ъП') - коэффициенты масок,

1

т,

(О = -7= Е ^

л/т ,

1

т,

(О = -7= Е ^

л/т

^ е2^і(”’«), V = 0,...,г.

пЄ 2а пЄ 2а

Подставив (22) в правую часть формулы (21), приведем ее к виду

Е {/,(рзк^ Е ^(-Мкс0 + 1,1 ^Е Е {/,ФР)кк^ Е ^1--МкС0 + 1,1.

ке Zd 1е Zd v=1 ке Zd 1е Zd

Обозначим через А1 коэффициент при Сз+11 в этом выражении. Используя (23), имеем

^І0 — Ъ\0—Мк^,<3к) +Е Е ^І — Мк^^^ік )

^=1кЄ 2а

Іо — 'Чо-

кє

Е Е ъ(0—мк^2 н\-мкУ,ч>з+і,і).

^=0 кЄ 2а ІЄ 2а

Отсюда, применяя равенство

ЪУ’ Ъ(^ — 5ІІ

/ , / , Ъ1о—МкЪ1 — Мк °1,1

к=0кЄ 2а

которое вытекает из (6), получаем А1о = {/,Сз+1,1о), что влечет (21). Перейдем к пределу при ] ^ —ю в равенстве (20). Поскольку, в силу леммы 1, выполнено неравенство

53 ^1, <3к)<3к кЄ 2а

< в 53 \(і,<ік)\

кЄ 2а

2

и, согласно лемме 1.2.8 из [2], справедливо соотношение

. 1ІШ Е )\2 —0,

3^-ж, *—'

кЄ 2а

то получим (18). Из (20) следует, что для любого д Є Ь2(КЛ)

3 '—1 г

Е 3'кX'к,д) — 53 (ґ,[Рзк)(<зк,д) + Е Е Е ІЇ,Фік))('Фік),д).

кЄ 2а кЄ 2а і=з у=1 кЄ 2а

Перейдя к пределу при і' ^ и воспользовавшись леммой 4, получим (19). Теорема 1

доказана.

Теорема 2. Пусть двойственная фреймоподобная система всплесков {фЗк } ,

{фЗ^}, V — 1,...,г, г ^ т — 1, порождена финитными масштабирующими функциями 52

0

2

С, с, 1д(0) = <р(0) = 1, ф ограничена. Если всплеск-функции ф(1,) имеют обнуляющиеся моменты до порядка п — 1, п € N, то для любой функции / из пространства Соболева ШгП(Ка) свойственно разложение

0 г о г

1— Е Е Е (І,їїііїф(к]+ЕЕ Е (І,їїік)фк

і= — о і/=1 кЄ 2а і=1 ^=1 кЄ 2а

(24)

3 — 1

і *к) *(?

і= — о и=1 кЄ 2Л

(\Л\—є)3п’

(25)

где X - минимальное по модулю собственное число матрицы М, е > 0, \Л\— е > 1, С - постоянная, не зависящая от / и ], т. е. разложение (24) имеет порядок аппроксимации п.

Доказательство. Пусть / € . Из теоремы 1 следует

і — Е Е Е і '

і= — о і/=1 кЄ 2Л

Iі — Е ^І,<’3к)<3к,д3 )

\ кЄ 2а /

ЕЕ Е (1,ф(к))(фк),д.)

і=3 Н=1 кЄ 2Л

ог

<Е Е

і=3 =1

Е(1, ф*)) ф\1)

кЄ

где дз € Ь2(Ка); \\дз|| ^ 1. Установим выполнение следующего неравенства:

Е (1, ф(ік))фік)

кЄ 2а

< С\\І||т»\\М-

(26)

(27)

Поскольку условие обнуляющихся моментов всплеск-функций ф(^ до порядка п — 1 эквивалентно

хаф'Ік)(х)Зх — 0, V — 1,...,г, і Є Z, к Є Zа, У а Є Zа, [а] ^ п — 1,

і*

используя формулу Тейлора с интегральным остаточным членом, получаем

(1, ф(к))

І(х)Ф(к)(х) Зх

і*

(‘ /п 1 1

= ф1к\х) ( Е^у((Жі -Уі)ді + --- + (х<і-У<і)д<і)к ґ(у) +

і* V к=0 '

1 (1 — і)п—1 \

+ _/ (п _ 1)1 ((Ж1 — ї/і)с?і н---------------1- (ж<г - Уй)да)п І (у + і(х - у)) А | (їх

<

и

< С^ дх \х — у\п\гФ(к)(х)\ ! 53 \°в/(у +Ь(х — у))\^.

к* о [ё\=п

Пусть виррф(^ С В&, виррчф(^ С В&, где В& := {\х\ < Е}. Введем обозначение

1

I(у) = [ дх\у— х\п 53 \ф(к)(х)■ф\к)(у)\ ( 53 \°в/(у+Ь(х — у))\л.

ке zd 0 [в\=-

к1

53 {/, фк)) ф(к)

ке Zd

Тогда, используя полученную оценку, находим

2

< С2 I \1(у)\2 ду < С2т- [ \1 (М-%)\2 ду. (28)

к1 к1

В I(М-гу) сделаем замену переменной интегрирования х на М-гх:

1

I(М-у) : = I' дх\М-1у—М-хп Е \(х)Ф0н(у)\ I Е \Пв/(М-1(у+^х—у)))\дЬ.

К1 ке Zd о [Р]=п

В силу того, что функции ( ) и

Ф ( )

имеют компактный носитель, получим \М 1у — М-1х\п < (2Е)п\\М-%п. Поскольку ф(и) ограничены, I(М гу) можно оценить следующим образом:

\1 (и-1у)\ < а2\\и-1\\п ( йх^ ^ (х + ^^(у + к)\ ( 53 \Бв / (М-1(у+г(х - у)))\ м

к* ке zd ^

<

[Р]=г,

<

Сз\\М-т X / йх^Чх + к)\ ] 53 \Вв/(М-1(у + 1(х - у)))\М.

у+кеВях-уев2Я 0 [^=п

Далее, применяя неравенство Коши-Буняковского, придем к такой оценке для I(М-гу):

/

\1 (М-гу)\ < С4\М

-Ч1" и,/,М |

У йх П 53 \Бв/(М-1(у + г(х - у)))\м

\х-УеВ2К

[в]=

2\

/

< Съ\\М-1\\п II' йх ( Е \Ов/(М-(у + 1(х - у)))\2 М

\x-yeB2R 0 [Р]=п }

Использовав ее в (28), установим требуемое неравенство (27):

Е

ке Zd

<

< Ш-1С1С1\\М-||2п У йу I йх^ Е \Ов/(М-1(у + Ь(х - у)))\2 М

<

к1 х у е В 2R 0

[в]=п

п

1

1

1

1

< т С6\\М-г\\2п ! dy j йх ! Е \®вf(У + Ь(х - у))\2йЬ ■

ЯЛ Міх-МіуЄВ2Н о И-"

і

< т С6\М-г\2п ! йу J йи J ^3 \Овf(у + іи)\2 йЬ <

ЯЛ МіиЄВ2Н о И-"

і

< ті С6\\М-І\\2п І йиі'йі! Е \°в f(У + Ьи) \ йу < С7\\М-І\\2п ||f1|^„

МіиЄВ2Н о ЯЛ [в^-п

Таким образом, доказано (27).

Применим полученную оценку (27) к (26). Пусть Л - минимальное по модулю собственное число матрицы М. Весь спектр оператора М-1 расположен в круге \х\ ^

г(М-1), где г(М-1) := Ііт ЦМ-®!!1/® - спектральный радиус матрицы М-1, и су-

І—

ществует по крайней мере одна точка спектра на границе круга (см., например, [8, с. 266-267]) и, таким образом, щ = г(М~1). Значит, начиная с некоторого номера г*, для і > і*, ||М_г|| < (|Л|І!е)і, є > О, |Л| — є > 1. Тогда

то К

^\\М-'"п '

Осталось заметить, что (24) следует из (25). Теорема 2 доказана.

Замечание. Для случая диагональной матрицы с двойками на диагонали разложение (24) будет иметь место для / Є Ш2П(КЛ) без предположения ограниченности <р и при наличии обнуляющихся моментов (8) лишь порядка 0. Это утверждение может быть получено из работ Б. Хана, а именно из [7, теорема 1.1; 9, теорема 2.2]. Для случая, когда

ф(и) = ф(и)

и система функций фобразует жесткий фрейм, оценка (25) определена в [10]. Для случая двойственных фреймов всплесков ф^), Ф^кк в предположении, что обе функции ^,ср ограничены, оценка (25) найдена в [4, теорема 4].

4. Построение фреймоподобных систем всплесков. Предложим простой способ построения фреймоподобных систем. Для реализации построения полезна следующая

Теорема Б [4]. Пусть г ^ т — 1, /л0к, ]^ок, к = 0,...,г, - тригонометрические полиномы. Если существуют Л7, Л7 Є С, 7 Є Z+, [7] ^ п, такие что Л0 = Л0 = 1,

УЗ ( | Л7Ла__у = 0, Уа Є Z^_, 0 ^ [а] ^ п, (29)

0<7<а ^^'

выполнены (9) и аналогичные равенства для ]л0к (с заменой Лі на Лі), то

Оа \^ок(Онок(£)

= 0, к = 0,.. .,т — 1,

«=о

для всех а Є Z+, 0 ^ [а] ^ п.

Схема построения такова: пусть <р - масштабирующая функция с маской то, чьи полифазные составляющие /л00,... ,^о,т-1 удовлетворяют условию (а) теоремы А для некоторых Л7, 7 Є Z+, [7] ^ п. Подберем числа Л7 так, чтобы выполнялось равенство (29). Найдем тригонометрические полиномы ]1оо,... ,Ио,т-1, для которых

Д^ои(0) = -^= V Л7 ( ^ ) (—27ггМ~1вгс)'9~7, V/? е £+, [/?]<«, А: = 0,.. . , то - 1,

\/т ^ V 7 )

У 0^7^^ 4 1 7

И положим

1^0т = 1 1^001^00 f^0,m—lf^0,m—l, 1^0т = 1* (30)

В силу теоремы В, выполнено условие (Ь) теоремы А, а значит, в качестве первых строк матриц М, N можно взять соответственно (ц00,..., ц0т), (р00,..., ]л0т). Теперь надо достроить эти строки до квадратных матриц, состоящих из тригонометрических полиномов, так, чтобы их строки образовывали ортонормированную систему. Это можно сделать, например, по схеме, описанной в [2, § 2.6]. Таким образом, будут определены функции (!,„и, ]1ии, V = 1,... ,т, к = 0, . . ,т, а значит, и соответствующие всплеск-маски ти, ти. Отметим, что построенная описанным способом система всплесков {фЗ^} не является фреймом, так как по теореме А функции {ф(не имеют обнуляющихся моментов даже нулевого порядка, что необходимо для фреймовости (см., например, [4, теорема 3]).

Для проверки принадлежности функций р, <р пространству Ь2(ЯЛ) можно воспользоваться, в частности, одним из двух критериев, описанных в [2, § 2.5]. К сожалению, на практике проверка принадлежности пространству Ь2(ЯЛ) с использованием указанных критериев может оказаться весьма непростой. Поэтому воспользуемся другим способом построения фреймоподобной системы всплесков, который гарантирует принадлежность <р пространству Ь2(ЯЛ). Для реализации построения нам понадобится следующая модификация известной теоремы Малла [2, теорема 4.1.2; 11, теорема 7.2]: пусть т0 - тригонометрический полином (гт>(0) = 1); №00,..., №0,т-1 - его полифазные составляющие, Г(£) := |Д00(£)|2 + • • • + Ц^0,т-1(£)12; если Г(£) ^ 1, то соответствующая масштабирующая функция <р принадлежит Ь2(ЯЛ). Эта теорема обычно формулируется и доказывается в предположении Г (£) = 1, но и при Г (£) ^ 1 она верна, доказательство остается тем же.

Итак, пусть опять р - масштабирующая функция с маской т0, чьи полифазные составляющие /л00,...,№0,т-1 удовлетворяют условию (а) теоремы А для некоторых \7, 7 € Z+, [7] ^ п. Подберем тригонометрические полиномы ]1100,...,]1д т_ 1, чтобы выполнялись условия:

1) Моо(0) = • • • = Мо,т-1(0) =

2) для функции Г'(£) := ^(£)? +------------+ №0,т-1(£)|2 точка £ = 0 является точкой

максимума,

3) для №0т := 1 — 1л00№00 — • • • — /л0,т-ф'о т_ 1 выполнено условие (Ь) теоремы А.

К сожалению, вероятно, не всегда удастся подобрать ]л'00,...,]1,0,т-1, чтобы выполнялись все условия. Если же мы подобрали такие тригонометрические полиномы, то неравенство Г'(£) ^ 1 выполнено в некоторой окрестности и точки £ = 0 и, чтобы построить требуемые ]100,...,]10 ,т-1, можно домножить функции ]л'00,...,]1,0 т_ 1 на тригонометрический полином, который сохранит значения производных до порядка п в точке £ = 0, неравенство Г'(£) ^ 1 на и и уменьшит значение Г'(£) вне и. Например, в качестве такого полинома можно взять

П(1 — (2п£3))Мз

3 = 1

с достаточно большими и N3.

Пример. Для построения примера фреймоподобной системы всплесков в качестве матричного коэффициента растяжения рассмотрим шахматную матрицу

м=С

Ее определитель: detM = —2, множество цифр: В(М) = {(0,0), (1,0)}.

В качестве функции р рассмотрим бокс-сплайн класса С2 (см. [12]), преобразование Фурье которого определяется равенством

((І) =

2пг£ у у 2пгв у у 2пг(£ + в) у у 2пг(£ — в) Эта функция является решением масштабирующего уравнения с маской

то(0 =

І + в-2пІї\ (І + в-2пІв

2

полифазные составляющие которой имеют вид

unn — — f - + -e~27ri^~0) + -e-2niz) um — — (-e-2^ + -e~27Ti^+e^ + -e-471

M v^U 4 2 J’ 4 4

и удовлетворяют (9) с n = 1 и Aoo = 1, Лю = —Щ1, Л01 = Лц = 7г2.

Подберем Д0о и Д0i, чтобы выполнялись условия:

1)^o(0)=Moi(0) = ^, ^ ^

2) для функции F'(£, в) := \д'00(£, в)\2 + \Д'01(£, в)\2 точка (0,0) является точкой максимума,

3) для р!02 = 1 — /л00д'00 — И01Д01 выполнено условие (b) теоремы А при n = 1:

^02(0)=0, D(1 ’0) ^02(0) = 0, D(0,1)^/02(0)=0-

Для этого подберем значения производных Deд'00(0) и DeД001 (0), 0 < [@] ^ 2, при которых выполнены указанные условия. В качестве таких значений можно взять, например,

Я(1’% о(0) = ^(°Д)Моо(0) = 0, ^(1’1}Moo(0)

0,

І2П2

D^%'o о(0) = --?=-, D^J1'0 о(0) = 0,

D^01(0) = ^(од)Моі(0) = 0, D^Jl oi(0) = 0,

V2’

По ним построим функции

ц'оо = -^= (l- г sin 2тг£ - | sin2 2тг^ , р'01 = -^= (l - і sin 2тг£ - ^ sin2 2тг6^ .

2

2

2

Для обеспечения F(І, в) ^ І полученные выражения для fOo и fOl домножим на cos 2пІ, что сохранит максимум в точке (0, 0), но уменьшит значение F'(І,в) до необходимого ограничения.

По формулам (ЗО) получим 102 и fo2. Достроим строки (100,101,102), (foo, fol, f02) до матриц N, Jf из теоремы А по схеме, описанной в [2, § 2.6]:

(Моо Мої М02 \ ~ ( M°° Мої 1

0 1 —Мої І і N= ( —МооМої 1 — М01М01 “Мої

1 0 “Моо/ \1 “ MooMoo “MoiMoo “Moo

Затем находим всплеск-маски по формулам (5) и всплеск-функции по формулам (7). Таким образом, ip(v), v = 0, І, 2, в силу теоремы А, имеют обнуляющиеся моменты до порядка l, а, в силу теоремы 2, полученная фреймоподобная система дает порядок аппроксимации 2.

Автор благодарит научного руководителя М. А. Скопину за постановку задачи, обсуждение полученных результатов и внимание к работе.

Литература

1. Duffin R. J., Schaeffer A. S. A class of nonharmonic Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 72. P. 341-366.

2. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005. 616 с.

3. Ron A., Shen Z. Affine systems in L2(Rd): the analysis of the analysis operator // J. Func. Anal. 1997. Vol. 148. P. 408-447.

4. Skopina M. A. On Construction of Multivariate Wavelet Frames // ACHA. 2009. Vol. 27. P. 55-72.

5. Averbuch A. Z., Zheludev V. A., Cohen T. Interpolatory Frames in Signal Space // IEEE Trans. Image Process. 2006. Vol. 54, N 6. P. 2126-2139.

6. Кривошеин А. В., Скопина М. А. Фреймоподобные системы всплесков // Зб. праць fe-ту математики НАН України. 2009. Т. 6, № 1. C. 96-114.

7. Han B., Shen Z. Dual wavelet frames and Riesz bases in Sobolev spaces // Constr. Approx. 2009. Vol. 29. P. 369-406.

8. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999. 368 c.

9. Han B. Compactly supportes tight wavelet frames and orthonormal wavelets of exponential decay with a general dilation matrix // J. Comput. Appl. Math. 2003. Vol. 155. P. 43-67.

10. Скопина М. А. Жесткие фреймы всплесков // Докл. РАН. 2008. Т. 419, № 1. С. 26-29.

11. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / пер. со 2-го англ. изд. Я. М. Жилейкина. М.: Мир, 2005. 671 с.

12. Ron A., Shen Z. Compactly supported tight affine spline frames in L2(Rd) // Math. Comp. 1998. Vol. 67. P. 191-207.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 1 апреля 2010 г.