Параметризация двумерных несепарабельных всплесков Хаара Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

2. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990.

3. Дудов С.И., Златорунская И.В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 10. С. 13-38.

4. Дудов С.И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния // Мат. заметки. 1997. Т.61, № 4. С. 530-542.

5. Каменев Г.К. Скорость сходимости адаптивных методов полиэдральной аппроксимации выпуклых тел на начальном этапе// ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48, № 5. С. 763-778.

6. Мещерякова Е.А. О двух задачах по оценке выпуклого компакта шаром // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 48-50.

7. Дудов С.И., Мещерякова Е.А. Об асферичности выпуклого компакта // Математика. Механика: сб.науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 11. С. 24-27.

8. Дудов С.И., Мещерякова Е.А. О приближенном решении задачи об асферичности выпуклого компакта // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 4. С. 13-17.

9. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004.

УДК 517.518.36

ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ДВУМЕРНЫХ НЕСЕПАРАБЕЛЬНЫХ ВСПЛЕСКОВ ХААРА

М.С. Красильникова

Воронежский государственный университет,

кафедра функционального анализа и операторных уравнений

E-mail: [email protected]

В работе получен общий вид ортогональных базисов всплесков, порожденных кратномасштабным анализом Хаара. Рассмотрены базисы, генерируемые тремя кусочно-постоянными (на четвертинках единичного квадрата) всплеск-функциями

{ni(x, у)}, где i = 1, 2, 3, имеющими носитель [0, 1] X [0,1], со значениями а ^ е R, где i = 1, 2, 3 и j = 1, 2, 3,4.

Ключевые слова: ортогональные базисы, всплески Хаара, кратномасштабный анализ.

Parametrization of Bivariate Nonseparable Haar Wavelets

M.S. Krasilnikova

Voronezh State University,

Chair of Functional Analysis and Operator Equations E-mail: [email protected]

A parametrization of all orthogonal wavelet bases for Haar multiresolution analysis is derived. The bases generated by three piecewise constant wavelets {n(x,y)}, i = 1,2,3, supported on

[0,1] x [0,1], with values aij £ R, i = 1, 2, 3, j = 1, 2,3,4 are considered.

Key words: orthogonal bases, Haar wavelets, multiresolution analysis.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время очень актуальным стало использование несепарабельных всплесков Хаара для сжатия неподвижных изображений. В связи с этим возникает необходимость иметь удобную параметризацию всех несепарабельных всплесков Хаара, так как это даст возможность для каждого изображения адаптивно быстро находить оптимальный всплеск (дающий максимально возможный коэффициент сжатия).

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Пусть М — фиксированная целочисленная матрица размера й х й, все собственные числа которой по модулю больше единицы.

Определение 1 [1, с. 94]. Совокупность замкнутых подпространств у С Ь2(Кй), з £ Ъ называется кратномасштабным анализом (КМА) в Ь2(Ш.а) с матричным коэффициентом расширения М, если выполнены следующие условия: 1) у С У+1 для всех з £ Ъ; 2) г У7 плотно в Ь2(КЙ);

3) П]ег У = {0}; 4) / £ У0 ^ /(М7■) £ у для всех з £ Ъ; 5) существует функция ^ £ У0 такая, что последовательность {^(-+п)}пе^Л образует базис Рисса в У0. Функцию ^ называют масштабирующей.

© Красильникова М.С., 2G11

Определение 2 [1, c. 141]. Пусть E — измеримое множество в

удовлетворяющее условию

игега(Е + 1) = Яа, и система {хЕ(■ + п)}пе^, где хе — характеристическая функция множества Е, является ортонормированной. КМА, порожденный функцией хе, называют КМА Хаара.

Пусть Ф — конечное множество функций из £2(КЙ). Всплеск-системой, сгенерированной множеством функций Ф, будем называть семейство функций X(Ф) := {ф},к := 2}^/2ф(2} - —к), ф е Ф, 3 е Z)

к е ЪЛ}.

Определение 3 [2]. Пусть (V})}£^ — КМА с масштабирующей функцией х, являющейся характеристической функцией единичного куба в Всплеск-система, сгенерированная системой функций Ф, называется кусочно-постоянной, если Ф с У1.

Определение 4. Пусть дан КМА (V} )}е2 с матричным коэффициентом расширения М, т = | det М |. Будем говорить, что функции ф(^ е VI, V = 1, ...,т — 1, образуют набор всплеск-функций, если ф(^ ± У0 для всех V = 1,... ,m — 1 и (ф(^(- + к),ф(^(■ + 1)} = для всех к, 1 е ^

и всех V, д = 1,..., т — 1.

Теорема. Пусть (V} )}-ей с £2 (К2) — КМА Хаара с масштабирующей функцией

Х[0,1]2 (Х,У) :=

1, если (ж, у) е [0,1] х [0,1],

0, если (ж, у) е [0,1] х [0,1]

2 0

и матричным коэффициентом расширения M = I 0 2 ) и пусть 0 — кусочно-постоянная

всплеск-система, сгенерированная набором всплеск-функций

ai1, если (ж, у) е [0,1/2] х [0,1/2],

aj2, если (ж, у) е [0,1/2] х [1/2,1],

aj3, если (ж, у) е [1/2,1] х [1/2,1],

^aj4, если (ж, у) е [1/2,1] х [0,1/2],

(1)

г = 1,3 (рис. 1), заданных на квадрате [0,1] х [0,1], где аг}- е К, г = 1,3, 3 = 1,4 некоторые

вещественные числа. Тогда либо для а^ справедливы равенства

ац — ai2 — ai3 — Л, ai4 — —3Л, где Л е R,

a^4 = 0, а^з = —aii — a^2, i = 2,3,

2a2ia3i + 2a22 аз2 + a2ia32 + а22аз1 = 0,

т. е. достаточно четырех параметров, чтобы вычислить все а^, i = 1,3, j = 1,4, либо cos 2 sin «j cos вг

(2)

aii —

cos аг sin аг cos вг sin аг sin вг

ai2 = --------— +----------------^-----------+

V6 ’ “ V3 У2

cos аг sin аг cos вг sin аг sin Д

л/6

(3)

аг3 =

+

V3 л/2 л/6 ’

где 0 < аг < п и 0 < вг < 2п, i = 1,3, параметры, из которых независимыми будут только a2, a3.

0

Tljfoy)

а\2 а13

а11 «14

Y‘

1

Vi

Уг

о

а22 й23

а21 а24

Y‘

1

И

'/2 1 X

Рис. 1

0

аЪ2 азз

а31 а34

Vi

1 X

Доказательство. Из того что п(х, у), г = 1,3, образуют набор всплеск-функций, следует:

ац + а12 + Й13 + Й14 = 0,

а21 + а22 + а2з + а24 = 0, аз1 + аз2 + азз + аз4 = 0,

«11 «21 + «12 «22 + «13 «23 + («11 + «12 + «1з)(«21 + «22 + «2з) = 0,

«21 «31 + «22 «32 + «23 «33 + («21 + «22 + «23)(«31 + «32 + «33) =

«11 «31 + «12 «32 + «13 «33 + («11 + «12 + «13)(«31 + «32 + «33) = °-

Введем обозначения: а1 := («11, «12, «13), а2 := («21, «22,«23), аз := («31, «32,«33), 1 := (1,1,1). Тогда

последняя система примет вид

(4)

(ai,а2} + (ai, 1}(а2,1} — 0,

(a2, аз) + (a2,1}(аз, 1} — 0,

(ai, аз} + (ai 1}(аз, 1} — 0,

где запись (x, y} обозначает скалярное произведение векторов x и y.

Без ограничения общности можно считать, что |а11 — |а2| — |а31 — 1, где |ai| — у/«^ + «22 + «23,

i — 1, 3. Обозначим через «ь а2, а3 углы между вектором 1 и векторами а1, а2, а3 соответственно,

0 < «j < П, i — 1, 3.

Таким образом, решением системы (3) являются координаты трех векторов а1, а2, а3 единичной длины, которые можно рассматривать в качестве образующих трех конусов с общей вершиной в начале координат, общей осью xi — x2 — x3 и углами между осью и образующими, равными а ,а2,а3 соответственно (рис. 2).

От исходной системы координат OX1X2X3 перейдем к системе OX1X2X3, выбрав ось OX1 по направлению вектора 1 :— (1,1,1), а оси OX2 и OX3 в плоскости, перпендикулярной этому вектору:

( х1\

Х2

\Х3/

(Т3

і

V3

\Т3

0

1

V2

—1

V2

v2\

л/6

1

V6

Те/

(xl \

\x3/

Затем выразим новые координаты векторов а1, а2, а3 с помощью параметров 0 < аг < п,

0 < вг < 2п, г = 1, 3 :

ail = cos аг,

«i2 = sin аг cos вг, «i3 = sin аг sin вг,

где аг — угол между вектором аі и осью 0Х(, вг — угол между проекцией вектора аі на плоскость Х20X3 и осью 0X2. Система уравнений (4) примет вид

4 cos а1 cos а2 + sin а1 sin а2 cos(e1 — в2) = О,

4 cos а2 cos а3 + sin а2 sin а3 cos(e2 — в3) = О,

4 cos а1 cos а3 + sin а1 sin а3 cos(e1 — в3) = О.

В случае, когда один из синусов sin а1, sin а2 или sinа3 равен нулю, например, sinа1 = О, получаем, что a1 коллинеарен І: a1 = ЛІ, Л Є К\{О}. Тогда из (4) следует: a2 ± І, a3 ± І, a2 ± a3. Таким

образом, мы получаем систему из трех векторов, один из которых коллинеарен OX1, а два других лежат в плоскости X2OX3 (т. е. их координаты удовлетворяют уравнению x1 = x2 = x3 = О) и перпендикулярны друг другу: «21«31 + «22«32 + «23«33 = О. Откуда и следуют равенства (2).

Если ни один из синусов sin а1, sin а2, sin а3 не равен нулю, то можно записать систему в виде

cos(el — в2) = —4 ctg al ctg а2, cos(e2 — вз) = —4 ctg а2 ctg аз, cos(el — вз) = —4 ctg al ctg аз.

(5)

x

Найдем условия, при которых последняя система разрешима. Используя формулы

cos(e2 - вз) = cos(ei - в2) cos(ei - вз) + sin^i - в2) sin(0i - вз)

и (4), получим равенство -4ctg а2 ctg аз = 16ctg2 a1 ctg а2 ctg аз +sin(e1 - в2) sin(e1 - в3), или

sin(ei - в2)sin(ei - вз) = -4 ctg «2 ctg аз(1 + 4 ctg2 ai). (6)

Возведем обе части последнего равенства в квадрат, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и двумя первыми уравнениями системы (5) и после несложных преобразований получим:

1 - 16 ctg2 ai ctg2 а2 - 16 ctg2 ai ctg2 аз - 16 ctg2 a2 ctg2 аз - 128 ctg2 ai ctg2 a2 ctg2 аз = 0. (7)

В качестве свободных переменных выберем а2,аз. Тогда ai вычисляется из равенства (7). Заметим, что если във2,вз — решения системы (5), то в. + д,в2 + Д,вз + Д, где д — действительное число, также являются решениями. Положим сначала в! равным нулю. Решим систему относительно в2, вз, выбирая знаки арккосинусов в зависимости от заданных а2,аз. Если оба угла а2,аз лежат либо в первой координатной четверти, либо во второй, т. е.

Г0 < а2 < п/2, fn/2 < а2 < п,

или

[0 < аз < п/2 [п/2 < аз < п,

то, исходя из формулы (6), должно выполняться неравенство sinв2 sinвз < 0. Тогда в формулах для углов в2, вз нужно брать арккосинусы с разными знаками, т. е.

{в2 = arccos(—4 ctg ai ctg a2), | в2 = - arccos(—4ctg ai ctg a2),

или

вз = - arccos(-4 ctg ai ctg аз) [вз = arccos(—4 ctg ai ctg аз).

Если один из углов а2 или аз лежит в первой координатной четверти, а другой во второй, т. е.

[0 < а2 < п/2, [п/2 < а2 < п,

или

[п/2 < аз < п [0 < аз < п/2,

то должно выполняться неравенство sin в2 sin вз > 0. Берем арккосинусы с одинаковыми знаками, т. е.

{в2 = arccos(-4 ctg ai ctg a2), | в2 = - arccos(-4 ctg ai ctg a2),

или

вз = arccos(—4 ctg ai ctg аз) [вз = - arccos(-4 ctg ai ctg аз).

При a2 = п/2 или аз = п/2, если ai выбран так, что ctg ai =--------------------, то решениями системы будут

4 ctg аз

Гв2 = п/2, и |в2 =3п/2,

вз = п вз = п.

А если ai выбран так, что ctg ai =-------------, то решениями системы будут

4 ctg аз

Гв2 = п/2, и |в2 = 3п/2,

вз = 0 и вз = 0.

Таким образом, мы вычислили углы в2, вз, при условии, что в]- = 0. Если в]. = Д, где д е R и

0 < д < 2п, то мы к найденным значениям в2,вз должны прибавить число д. Вернувшить теперь к первоначальным координатам, получим требуемые выражения для , i = 1,3, j = 1,4 (формулы (3)). □

Определение 5. Всплеск-функция нескольких переменных называется несепарабельной, если она не является тензорным произведением функций одной переменной.

Рассмотрим теперь случай несепарабельного всплеск-базиса, порожденного КМА Хаара. Следствие 1. Если параметры «г, в, i = 1,3 не удовлетворяют равенству

4 cos2 а 2 sin «г cos а cos вг 2 sin а cos «г sin вг sin2 «г sin вг COS вг sin2 «г sin2 вг

“^ +---------------75----------+----------372-------+----------73--------------------------3-= 0, (8)

то соответствующий всплеск-базис является несепарабельным.

Доказательство. Функции ^(x, у), i = 1,3, будут несепарабельными только в случае, когда не выполнено равенство:

аг1аг3 = аг2аг4, или аг1 аг3 + аг2 (аг1 + аг2 + аг3) = 0, i = 1, 3 (9)

Действительно, пусть, например, функция n(x, у) является тензорным произведением функций f (x) и g(y), (x, у) е [0,1] х [0,1]. Очевидно, что на интервалах (0,1/2) и (1/2,1) функции f (x) и g(y) являются константами. Пусть

fbi, при x е (0,1/2), fci, при у е (0,1/2),

f (x) = < и g(y) = <

I&2, при x е (1/2, 1) |c2, при у е (1/2, 1).

Тогда справедливы равенства: c1 b1 = a11, c1 b2 = a14, c2b1 = a12, c2b2 = a13. Выразив из первого

&2 «14 Л

равенства c1 и подставив его во второе, получим — = —. Аналогично, используя третье и четвертое

01 ац

b2 a13 ~ /Пч

равенства, — = —. Откуда и следует равенство (9).

01 а12

Подставим (3) в равенство (9) и после несложных арифметических вычислений получим равенство (8). □

Практический интерес представляют случаи, когда некоторые из коэффициентов aj равны нулю. Рассмотрим случай, когда для каждой функции ровно один из коэффициентов равен 0.

Следствие 2. Набор всплеск-функций (1) с вещественными значениями, из которых ровно один для каждой функции равен нулю, может иметь только один из следующих видов (см. рис. 1): 1) а14 = а21 = а32 = 0; 2) ац = а22 = а33 = 0; 3) а12 = а23 = а34 = 0; 4) а13 = а24 = а31 = 0.

Доказательство. Рассмотрим четыре варианта расположения нулей (см. рис. 1): 1) а14 = а21 = = а31 = 0; 2) а14 = а21 = а32 = 0; 3) а14 = а21 = а34 = 0; 4) а14 = а22 = а32 = 0.

Остальные случаи получаются из них одновременной перестановкой коэффициентов по часовой стрелке или перенумерованием функций.

Рассмотрим каждый случай подробно и вычислим ненулевые коэффициенты aj, i = 1, 3, j = 1,4. Из (3) видно, что

_ ctg «г

• аг1 =0 ^ sin вг = —(случай sin «г = 0, рассмотренный ранее, не совпадает ни с одним из

2

вышеупомянутых вариантов);

• аг2 = 0 ^ 2 sin (вг + f) = — V^ctg «г;

• аг3 = 0 ^ 2 sin (вг - 3) = — л/2 ctg аг;

• аг4 = 0 ^ аг1 + аг2 + аг3 =0 ^ cos аг = 0.

П о п • п ctg ctg «3

Для первого варианта расположения нулей имеем ctg а1 = 0, sin в2 = —, sin в3 =

Система (5) примет вид

л/2 ’ V2

COs(вl — в2) = 0,

COs(в2 — в3) = —4 ctg «2 ctg «3, cos^1 — в3) = 0.

Из условия (7) следует, что ctg а2 ctg а3 = ±1/4. Тогда либо cos^2 — в3) = —1 ^ в2 — в3 =

= ±п ^ sin в2 sin в3 < 0, но sin в2 sin в3 = 1 ctg а2 ctg а3 = 1/8 > 0, либо cos^2 — в3) = 1 ^

^ в2 = в3 ^ sin в2 = sin в3 ^ ctg а2 = ctg а3, но ctg а2 ctg а3 = —1/4. В обоих случаях получили противоречия. Следовательно, для этого варианта не существуют вещественные значения aj. Рассмотрим второй вариант. В этом случае

, П -о ctg «2 • (П . д\ ctg «3

ctg «1 = 0, sin в2 = 72 , siH 3 + ) = —, (10)

и система (5) имеет такой же вид, как и в первом варианте.

1. Если ctg «2 ctg «з = 1/4, тогда в2 - вз = ±п ^ в2 - (вз + п/3) = 2п/3 или в2 - (вз + п/3) =

= —4п/3.

Следовательно, cos (в2 — (в3 + п/3)) = —1/2 и sin(e2 — (в3 + п/3)) = \/3/2. Воспользуемся формулами сложения и равенствами (10):

о /д . п \ 1 . . 1 ctg а2 п \ ctg аз л/3

cos в2 cos (Дз + 3J - 2ctg а2 ctg аз = - 2, ^2 cOS \вз + 3 ) +cOS в2 ^2 = Т".

Решив систему из двух последних уравнений, получим

д 2^3 ±л/Тб / п ч 2^3 ^^15

cos в2 = ----F----------, cos вз + Т7 = -----------F--------

4\/2ctg аз ' 3/ 4\/2ctg а2

Соответствующие параметры а2 ,аз удовлетворяют равенствам

2 1 2 1

ctg «2 = —----------------^ и ctg аз =

14 ± 2л/45 14 ^ 2^45'

V3

2. Если ctg а2 ctg аз = -1/4, тогда в2 = вз. Используя равенство sin (п/3 + вз) = cos вз + . 1 • д о 2 ctg аз + ctg «2

+ - sin вз, получим cos вз =----------------^-. Соответствующие параметры а2, аз удовлетворяют

2 V6

равенствам:

2 7 ± 3^5 2 1

ctg «2 = -------- и ctg «з =

8 ь 14 ^ 6^5'

ctg а2

Для третьего варианта расположения нулей имеем ctg «i = 0, ctg аз = 0, sin в2 = —1=~. Система (5)

2

примет вид

cos(вl - в2) = 0, cos^2 - вз) = 0, cos^i - вз) = 0.

Очевидно, что эта система не имеет решений.

Рассматривая четвертый случай аналогично первому, приходим к выводу, что для этого случая также не существуют ненулевые вещественные значения а^.

Следовательно, только для второго варианта расположения нулей (и получающихся из него одновременной перестановкой коэффициентов по часовой стрелке) существуют вещественные aj. □ Замечание. В книге И.Я. Новикова, В.Ю. Протасова, М.А. Скопиной «Теория всплесков» рассматривается следующий подход к построению всплеск-функций. Для его описания нам потребуются некоторые понятия.

1. Если A — невырожденная целочисленная матрица размера d х d, будем говорить, что векторы к, n е Zd сравнимы по модулю A, если к - n = Al,l е Zd. Целочисленная решетка Zd разбивается на классы смежности относительно введенного отношения сравнения. Множество, содержащее в себе ровно по одному представителю каждого класса смежности, будем называть множеством цифр матрицы A [1, с. 89].

2. Пусть ( — масштабирующая функция для некоторого КМА. Тогда справедливо масштабирующее уравнение:

( = ^ hnm1/2((M ■ +n), ^ |hn|2 < ro,

n£Zd n£Zd

или в образах Фурье: ((£) = m0(M*-1^)((M*-1 £), где m0(^) = m-1/2 hne2ni(n’5) — маска

n£Zd

[1, с. 94].

Утверждение [1, с. 138]. Пусть КМА (Vj)j£z порожден масштабирующей функцией ( с маской m0, система {((■ + n)}neZd является ортонормированной. Если ), v = 1,... ,m - 1 — набор

всплеск-функций, определяемый равенствами (£) = (М*-1 £)</3(М*-1£), с такими масками

, V = 1,..., т — 1, что при почти всех £ е К матрица

М := {т,(£ + М*-1^)>т-=1о,

где {^0,..., 5то-1} — произвольный набор цифр матрицы М*, унитарна, то функции ),

V = 1,..., т — 1 образуют набор всплеск-функций.

Если применить такой подход к описанному выше случаю КМА Хаара с масштабирующей функцией Х[о,1]2 (х, у) и матричным коэффициентом расширения М = ^ ^ , мы получим, что функции (1)

должны удовлетворять равенствам

Пі(С) = mi(M-1С)Х[0,1]2(M-1 С), i = 1,З, С = (Сі,С2) є R2.

1

Л/Г_1 /1/2 0 \ Л , (е-2^1 — 1)(е-2™«2 — 1)

Откуда, учитывая, что М 1 = I о ^ I , ;\:[о,1]2 (£1, £2) =------------------—4п2£1£2-----’ можно вычис-

лить функции т^(£ь£2), г = 1,3. Например,

£ ) = ап а^е-4^2 — е-2™«2) а1з(е-4^1 — е-2^1 )(е-4™«2 — е-2™«2)

т1 (£1 ,£2) = — + 4(е-2пг?2 — 1) + 4(е^ +

+

«14 (e-4ni^ - e-2^1) 4(e-2ni?1 - 1)

и т.д. Таким образом, для построения функций (І), изображенных на рис. І, нужно найти такие коэффициенты aij, i = 1,З, j = 1,4, чтобы матрица M = {mi(С + M-1sk)}3k=0, где в качестве цифр матрицы M {s0, s1, s2, s3} взяты, например, {(0, 0), (0,1), (1,0), (1,1)}, была унитарной. Решить такую задачу весьма непросто.

Библиографический список

1. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Тео- constant wavelets || Electronic Transactions on рия всплесков. М.: Физматлит, 2005. ВІВ c. Numerical Analysys. 200B. Vol. 25. P. І38-І57.

2. Hur Y, Ron A. New constructions of piecewise-

УДК 519.83

ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ИГРАХ С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Т.Ф. Савина

Саратовский государственный университет, кафедра геометрии E-mail: [email protected]

Для игр n лиц с отношениями предпочтения введены различные типы оптимальных решений и указаны элементарные свойства этих решений. Получено достаточное условие непустоты Са -ядра.

Ключевые слова: игра с отношениями предпочтения, ситуация общего равновесия, равновесие по Нэшу, допустимый (вполне допустимый) исход.

Optimality Solutions in Games with Preference Relations T.F. Savina

Saratov State University,

Chair of Geometry E-mail: [email protected]

For n person games with preference relations some types of optimality solutions are introduced. Elementary properties of their solutions are considered. One sufficient condition for nonempty Ca-core is found.

Keywords: game with preference relations, equilibrium points, Nash equilibrium, acceptable (quite acceptable) outcome.

© Савина Т.Ф., 2011