О двоичном мультивсплесковом преобразовании Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

О ДВОИЧНОМ МУЛЬТИВСПЛЕСКОВОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ

© 2010 П.Г. Северов1

В статье вводятся непрерывное и двоичное мультивсплесковые преобразования, а также понятие двоичного мультивсплеска. Рассматривается условие допустимости. Доказана теорема о восстановлении сигнала по его разложению по мультивсплескам, а также аналоги ряда важных теорем теории всплесков.

Ключевые слова: мультивсплеск, мультимасштабирующая функция, кратномасшабный анализ размерности г, непрерывное мультивсплесковое преобразование, двоичное мультивсплесковое преобразование.

1. Предварительные сведения

Теория мультивсплесков связана с действительными вектор-значными функциями. В дальнейшем векторы будем обозначать жирным шрифтом. Рассмотрим следующие пространства [1]:

L2(R)r = {f =(fo,fi,..., fr-i)T : fi e L2(R),i = 0,...,r - 1}; l2(Z)r = {c = {ck}k£Z = (co, Ci, ..., Cr-i)T :

Ci = {ck }kez e l2(Z ),i = 0, ...,r - 1}. Нормы этих пространств определяются следующим образом:

r—1 r-i „

fHW = E шЪ(п) = E / \fi(x)\2dx, i=0 i=0 J R

WcHbz )r = E WciWb (Z) = E E \Ck\2-

i=o i=o kez

хСеверов Павел Григорьевич ([email protected]), кафедра функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета, 394006, Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

Пусть Н — квадратная комплекснозначная матрица, тогда \Н\2 = НН*, где * обозначает транспонирование матрицы и взятие комплексного сопряжение каждого ее элемента. Преобразование фурье-функции { £ Ь2('Я,)Г — вектор преобразования Фурье каждого компонента:

= (/оМ,..., 7г-1М)т = (IШв-^,I¡г-1(г)е-ш*м)т.

п п

Носитель функции д определяется как замыкание множества

{х : д(х) = 0}.

Носитель вектор-функции { определяется как

вирр { = и вирр/к.

к

2. Мультимасштабирующая функция

Определение 2.1. Вектор-функция

ф = (ро, Р1, ''', Рг-1)Т,

где

ро, Р1, •••, Рг-1 £ ¿1^1L2, называется мультимасштабирующей, если она удовлетворяет мультимасшта-бирующему уравнению

ф(*) = л/2^ Нкф(2Ь — к), к £Я, (2.1)

к

где Нк — матричные коэффициенты мультимасштабирующего уравнения размерности г х г.

Определение 2.2. Количество компонент в мультимасштабирующей вектор-функции будем называть размерностью соответствующей вектор-функции и обозначать

г = ё1ш(ф).

Мультимасштабирующая вектор-функция ф называется ортогональной, если

У ф(х)ф(х — к)*йх = 5окI,

где результат интегрирования есть матрица размера г х г, I — единичная матрица.

В формуле (2.1) мы имеем счетное число коэффициентов. Будем предполагать в дальнейшем, что р^ имеет компактный носитель для всех г = = 0, ..., г — 1. В этом случае число ненулевых коэффициентов будет финитным.

Определение 2.3. Маской мультимасштабирующего уравнения назовем матрицу, состоящую из тригонометрических полиномов

Н (£) = \ Е Нк в. (2.2)

к=ко

В образах Фурье (2.2) примет вид

ф а) = н а/2)ф а/2). (2.3)

Теорема 2.1. Необходимым условием ортогональности является равенство

Е Нк Нк-21 = $о11

к

или, что эквивалентно

\Н (£)\2 + \Н (( + ^)\2 = I.

3. Кратномасшабный анализ и мультивсплески

Определение 3.4. Кратномасштабным анализом (КМА) размерности г называется последовательность вложенных замкнутых подпространств Ь2(П)

•••с У-1 с Уо с У1 с У2 с•••,

удовлетворяющая следующим свойствам:

1. и У, = Ь2 (П).

2. П У, = {0}.

з

3. /(х) £ Уз & /(2х) £ Уз+1 для всех ] £ 2.

4. /(х) £ У, & /(х — к) £ У, для всех к £2.

5. Существует вектор-функция ф = (ро, Р1, • • •, Рг-1)Т такая, что

{Р1 (• — к): I = 0, ..., г — 1, к £2} (3.4)

образуют базис Рисса в пространстве Уо, т. е. существуют две константы А и В, где 0 < А ^ В < ж, такие, что

2

АП\Р(Я)Г <

г-1

к

р*(• — к)

1 Ь2СЯ)

для любой последовательности с = {ск}кея £ 12(2)г.

Вектор-функция ф называется мультимасштабирующей. Если (3.4) образует ортогональный базис, КМА называется ортогональным. Из свойств 3-5 определения 3.4 следует

Vj = span {2j/2pi(2j --k) :0 < i < r - 1, k, j e Z}.

Ортогональный проектор произвольной функции f e L2 на Vn определяется формулой в векторном виде

pnf (x) = ^(f, Pnk)¥nk(x), k

где pnk(x) = (т/2Щ(2nx - k), 2n/2pi(2nx - k), ■■■, 2n/2pr—i(2nx - k)^jT, и \\pi\\ = 1 для всех i = 0, ..., r - 1, либо, если записать поэлементно

r—1

Pnf (x) = E ^2ai,n,k Pj,n,k (x), kez j=o

где

ОО

aj,n,k = j Vj,n,k(x)f (x)dx, Vj,n,k(x) = 2n/2ifj(2nx - k).

—О

Pnf называется приближением f в масштабе 2—n. Пусть

Qnf (x)= Pn+lf (x) - Pnf (x), Здесь Qn — ортогональный проектор на замкнутое подпространство, которое мы обозначим Wn. Пространство Wn — ортогональное дополнение Vn до Vn+i, а Vn+i — прямая сумма Vn и Wn

Vn+l = Vn ® Wn. Так же, как и в скалярном случае, можно записать

n— i

Vn = 0 Wk.

k=—o

Последовательность пространств Wn удовлетворяет условиям, подобным условиям из определения 3.4.

Теорема 3.2. Для ортогонального КМА размерности r с мультимасштабирующей функцией ф = (po, Pi, , Pr—i)T имеют место следующие свойства:

1.0 Wj = L2(R).

j

2. Wk±Wj если k = n.

3. f (x) e Wj & f (2x) e Wj+i для всех j e Z.

4. f (x) e Wj & f (x - ) e Wj для всех j, k e Z.

5. Существует вектор-функция ф = (фо, ■ ■ ■, фг-\)Т £ 1?(Я)Г, ортогональная ф, такая, что

{ф (■- к) : I = 0, г - 1, к еЕ} образуют базис Рисса в пространстве Шо.

Теорема (3.2.) доказана в [2]. Так как ф £ У\, можно записать

ф(х) = л/2^ Ск ф(2х - к), (3.5)

к

где Ск — матричные коэффициенты мультимасштабирующего уравнения размерности г х г.

Определение 3.5. Вектор-функция ф из теоремы (3.2) называется мультивсплеском размерности г.

Построение мультивсплеска, в отличие от скалярного случая, несколько сложнее. Более того, для одной мультимасштабирующей функции можно получить несколько мультивсплесков, т. е. построение мультивсплеска неоднозначно.

Для мультивсплеска ф запишем

С(0 = — Е Ске—1к. (3.6)

к=ко

Взяв преобразование Фурье от обеих частей уравнения (3.5), получим

ф (() = С((/2)ф ((/2). (3.7)

Теорема 3.3. Ортогональность ф и ф означает

Е Нк Нк—21 = 5011, (3.8)

к

ЕСк Ск—21 = 5011, (3.9)

к

Е НкСк—21 = Е СкНк—21 = 0 (3.10)

кк

что эквивалентно

\Н Ш12 + \Н (( + п)\2 = I, |С(()|2 + \С(( + п)\2 = I, Н (0С(0* + Н (( + п)С(( + п)* = о,

С(()Н (()* + С(( + п)Н (( + п)* = 0.

Относительно мультивсплесковой функции проектор Qn можно записать

(х) = Ефпк)фпк(х), к

где фпк (х) = (2п/2фо(2пх - к), 2п/2ф1(2пх - к), ■■■, 2п/2ф—1(2п х - к}) Т либо,

. т

( ™\ _ I г,п/2„1. /оп™ 7„\ г,п/2„1. /оп™ 7„\ г,п/2„1. ('оп™ 1„\

пк

если записать поэлементно

г—1

Яп!(х) = Е ^вз,п,кФз,п,к(х). кег з=о

Здесь

вз,п,к = ! Фз,п,к (х)! (х)йх, фз, п, к (х) = 2п/2фз (2пх - к).

и3, —ж

4. Непрерывное мультивсплесковое преобразование

Определение 4.6. Непрерывным мультивсплесковым преобразованием назовем совокупность сверток

{(!*Ф0т, (!*ф*Ш), ■■■, (!*Ф—т],

где ! е Ь2 и Ф1(1) = -ФК —). Для сверток имеем

Wгf ((, з) = (! * Ф!)(0 = ! !(г)ф*(йг,

К

где в = 0.

Теорема 4.4. Пусть ф е Ь2('Я,)Г — вещественная вектор-функция, такая, что

1 \фг(и)\2

Оф =

о г=0

Любая ! е Р2(~Я.) удовлетворяет равенствам

+ж +жг_ 1

!М = щ/ /ЁЪ!((.в); (411)

0 —ж г=0 +ж +ж+жг_ 1

I \!(г)\2м = Оф I I ((,в)\2й(^. (4.12)

—ж о —ж г=0

Доказательство. Докажем сначала (4.11). Обозначим правую часть за Ь(г). Заменим подынтегральное выражение на свертку

+жг-1 +жг- 1

1 ( 1 ( _

Оф г=0 в Оф г=0 в

0 г=0 0 г=0

где т) = ^Фг(§).

Для доказательства (4.11) покажем равенство преобразований Фурье Ь = /. Имеем

+сг_ 1 — +сг_ 1

П(и) = СГ [ Т,-")-®(*»Шг(*ш)(в = /и / Е \ ^(ви)\2

ф 0 г=0 ф 0 г=0

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что \ фг(и)\2 = \фг(—и)\2, в силу того, что фг — вещественные функции. Замена переменных ( = ви приводит к равенству

Ь(и> = М /Е ^« = /и).

СФ I 7=0 е

0 г=0

Теперь покажем истинность (4.12). Применяем равенство Планшереля

1

а

/ /ЕКг/(е,вре^ = 2П0- ii ¿\ пи—®(ви)\2(и(в

Ф 0 г=0 ~ " " 0 —С г=0

в2 2пСф у у г^ в2-

Меняем порядок интегрирования, делаем замену переменных во внутреннем интеграле, как при доказательстве предыдущей формулы, и еще раз, применив формулу Планшереля, получим

1 Лп./ Г—1 \п(()\1

2пСф] \Г(и)\V = 2-]\Пи)\Чи = -«2

_с 0 г=0 _с

Теорема доказана. Предположение

+Сг—1 \ф-г(и) \2

Сф = ^ ж

0 г=0 и

называется условием допустимости. Это условие выполняется благодаря тому, что ф- г(0) = 0, что, в свою очередь, верно в силу нулевого среднего. Заметим также, что

0 1 — ^ 1 —

¡е ^ (и = ¡е ^ и

_с г=0 0 г=0

5. Двоичное мультивсплесковое преобразование

Определим двоичное непрерывное мультивсплесковое преобразование, полагая масштабный параметр п равным двоичной последовательности {2_3. В результате получим для каждого г = 0, ..., г — 1 последовательность функций

Wгf ((, 2—3) = (! * фГ)(() = 3!(г)ф*(йг. (5.13)

, 2—3

К

Определение 5.7. Мультивсплеск ф е Ь2(Я)Г называется двоичным, если существуют две константы А и В такие, что 0 < А ^ В < ж и для всех и е Я\{0]

ж г — 1

А < Е Е^—3и)\2 < В. (5.14)

3= ж г=0

Условие (5.14) называется условием устойчивости.

Определим новый двоичный мультивсплеск в преобразованиях Фурье следующим образом:

фг^^-ж^-. (5.15)

Е £ \фг(2—ки)\2

к= ж г=0

Для любой функции ! е Ь2(Я) можно записать

ж г — 1

ж

Е Е / 233/2 Шг!((, 2—323(х - ())

:__:_п ■'

3= ж г=0

ж Г — 1 1

= Е Е^ / 233/2(и)2—3Ф(2—3и)е1хшйи =

3 = — ж г=0 — ж

1 СЮ

ж г — 1 ^ ^

= Е Е^п 23/2^2—фг*(2—3и)Т(и)ф(2—3и)е1хшйи =

3 = — ж г=0 — ж

гг — 1 ж *

= ж — — / ^^ (2— 3и)фг(2—3и) е!хШ^ =

2п ж г — 1 ^

3=—ж г=0 —ж Е Е \фг(2—к—3и)\2

к= ж г=0 1 сю .___. .___.

= £ £ ± Г Ни) ЩГ'и) ? ^^ =

/ 2п ж г — 1 ^

3=—ж г=0 —ж Е Е \ фг (2—ки) \2

к= ж г=0

ж

= 1 / ^(и)е1хШйи = !(х).

ж

Определение 5.8. Вектор-функция ф е Ь2(Я)Г называется двоичным двойственным двоичного мультивсплеска ф, если для каждой функции ! е е Ь2 ('Я.) справедливо равенство:

-1 оо ж г—1

! (х)=ЕЕ 233/2Шг! ((, 2—3 )ф(23 (х - ()) й(.

3= ж г=0

Теорема 5.5. Пусть ф — двоичный мультивсплеск, тогда вектор-функция ф, компоненты преобразования Фурье которой даются формулой (5.15), является двоично двойственным ф. Более того, ф также двоичный мультивсплеск, и выполняется двойное неравенство:

В < £ £\Фг(2_и) \2 < А ■

3=_/х г=0

Доказательство. Из (5.14) следует

I < 1 < 1. \Фг(и) \ < \фг(и) \ < \ фг (и) \_

В < с г_1 __ < А ' В < с г_1 __ < А '

Е Е\ фг(2_ и) \2 Е Е \ фг(2_ и) \2

]=_с г=0 г=0

< \ ф>(и)\2 < ;

с г_1 ^ с Г_1 ^

Е Е \ фг(2_к и) \2 с г_1 Л ЕЕ \ фг(2_ки) \2

к=_с г=0 < !п_к ^\2 ^ к=_с г=0

£ £\Фг(2_ки) \2 <

В2 ^ ^ - А2

к= г=0

Из двойного неравенства и (5.14) следует

с Г_1 ^

В < £ Е\Фг(2_ки) \2 < А,

к=_с г=0

а это и означает, что ф является двоичным мультивсплеском. Теорема доказана.

Теорема 5.6. Если ф — двоичный мультивсплеск, тогда

с Г_1

Ан/н2 < £ £*нш/(е, 2_)ц2 < в/у2.

г=0

Если для любого и £ ^\{0}, ф удовлетворяет соотношению

с г_ 1 ^

£ (2_и)Фг(2_и) = 1, (5.16)

г=0

то

с г_ 1

/ ®= £ £2' Шг/(■, 2_) (г). (5.17)

г=0

Доказательство. Обозначим

/I (е) = Шг/(е, 2_).

Из преобразования Фурье (5.13) относительно ( следует

П (и) = у/2_ф-г*(2_и)-(и). (5.18)

Умножим (5.14) на |У(ш)| 2 и применим (5.18)

те г— 1

аIт(ш)12 4 Е Е ^ Iн(ш)12 4 В| ¡(ш)|2.

'=—те г=0

Интегрируем по ш и, применив равенство Парсеваля, получим

те г— 1

а\\! У2 4 Е Е2' (С, 2' )112 4 в у у2.

'=—те г=0

Теперь докажем (5.17). Для доказательства возьмем преобразование Фурье от обеих его частей, учитывая (5.18)

те те г—1 ^

кш)=Е У(ш)^М2—'ш)=^ *(2-ш).фг(2—'ш).

'=—те г=0 '=—те г=0

Подставляя (5.16), получим

т(ш) = т(ш),

откуда следует истинность (5.17). Теорема доказана.

Теорема (5.6) доказывает, что если частотная ось полностью покрывается растянутыми двоичными преобразованиями Фурье мультивсплесков, то это обеспечивает полное и устойчивое представление.

Теорема 5.7. Пусть Н(С) = {Нг'(С)} и С(С) = {дг'(С)} определяются равенствами (2.2) и (3.6) соответственно. Если

г—1

Е( | Нг' (С/2) 12 + | дг' (С/2) |2) =1, (5.19)

г=0

для всех ] = 0, ..., г — 1 и

г—1

Н(С/2)Нгт(С/2) + дг'(С/2)дгт(С/2)^ = 0, (5.20)

г=0

для всех т = 0, ..., г — 1, ] =0, ..., г — 1, ] = т, тогда

г—1 г—1

е (|^нг(с)|2 + ^г^с) | ^ = е тст2, с е п. (5.21)

г=0 г=о

Доказательство. Из (2.3) и (3.7) получим

г—1

Ш = Е Нг'(С/2)Ъ(С/2), (5.22)

'=0

г—1

Ш) = Е дг' (С/2)ъ(С/2). (5.23)

'=0

Учитывая (5.22) и (5.23), левую часть равенства (5.21) можно переписать в виде

г—1 / \ г— 1 „ \ г—1 2

Е ( (|Е Ьг3 ((/2)Ъ ((/2) |2 + |Е 9г3 ((/2)$ ((/2)\*)

г=0

г—1 г—1 г — 1

Нг3

ЕЕ Е У1г3 ((/2)Ъ ((/2)Нгт((/2)фт((/2) +

г=0 3=0 т=0

+ 0г3 ((/2)$] ((/2)дгт((/2)0т((/2)) =

г—1 г—1 г — 1

= Е Е Е $3 ((/2)$т((/2)[ Нгэ ((/2)Нгт((/2) + дг3 ((/2)дгт((/2У

г=0 3=0 т=0

Сумму из последнего равенства распишем на две, в первой из которых ] = т, а во второй ] = т. В результате получим

г — 1 г—1

ЕЕ\ $3 ((/2) \ 2( \ % ((/2) \2 + \ дг3 ((/2) \2) +

г=0 3=0

г—1 г—1 г — 1

+ Е Е Е $3((/2)$т((/2)[Нгэ((/2)Ьгт((/2) + дг3((/2)дгт((/2) г=0 3=0 т=0

Поменяв индекс суммирования в правой части равенства (5.21) на ] и порядок суммирования в последнем выражении, запишем

г—1 г—1

Е \ $3((/2) \2 Е ( \ ^ ((/2) \2 + \ дг3 ((/2) \2) +

3=0 г=0

г—1 г—1 г — 1

+ ЕЕ Е $3((/2)$т((/2)[Нгэ((/2)Нгт((/2) + дг3((/2)дгт((/2)] 3=0 г=0 т=0

г — 1

= Е \ $3((/2) \2. (5.24)

3=0

Из (5.24) следует, что если выполняются условия (5.19) и (5.20), то выполняется и (5.21).

Теорема доказана.

Теорема 5.8. Если в уравнениях (2.1) и (3.5) число ненулевых коэффициентов равно двум, тогда условия теоремы (5.7) выполняются автоматически.

Доказательство. Из (3.8)-(3.10) запишем соотношения между матричными коэффициентами

Н (0)Н(0)Т + Н (1)Н(1)т = I; (5.25)

С(0)С(0)Т + С(1) С(1)т = I; (5.26)

И (0'С(0'Т + И (1'С(1'Т =0; С(0)Н(0'Т + С(1)Н(1'Т = 0.

Из (2.2) получим

и (С) = {Нг' (С)} = \ (и (0) + И (1'е—*) = ± + }.

Аналогично из (3.6) получим

^ (с(0) + С(1)е—^) = -г.

V )

Применим полученные равенства (5.29) и (5.30

С(С) = {дг'(С)} = ± (о(0) + С(1'е—= \+ д$е—*}.

(5.27)

(5.28)

(5.29)

(5.30)

Нг'(С/2)\2 = ^' + Н^! + е—*) + ;

+ дт^ + е—1 ^) + (д^ ■

дг' (С/2)

2 = 1 = 2

Учитывая полученные равенства для левой части (5.19), покажем истинность равенства

2 е ((н»У + №)'+(»(¡'У++

г=0 \

+ (Н<0>Н$ + д$$)(еР + е—1 )^=1. (5.31)

Введем в рассмотрение матрицу

тт= ( И(0' И(1'

и = ^ С0' С1'

Рассмотрим матричное произведение

ттттТ = ( И(0'Н(0)Т + И(1'Н(1'Т И(0'с(0'Т + И(1'с(1'Т ии с(0'н(0'Т + с(1'н(1'Т с(0'с(0'Т + с(1'с(1'Т

Учитывая соотношения (5.25)—(5.28), получаем, что ииТ = I. Следовательно, и — ортогональная матрица. Ортогональная матрица V является также нормальной, т. е. ииТ = иТV = I. Запишем соотношения, которые следуют из нормальности матрицы V:

И (0'Т И(0' + С(0'Т с(0' = I; (5.32)

И (1'Т И(1' + С(1'Т С(1' = I; (5.33)

И (0'Т И(1' + С(0'Т С(1' =0; (5.34)

И (1'Т И(0' + С(1'С(0'Т = 0. (5.35)

Из (5.32)-(5.35) следует, что

К «о2+(д(°')2^=К т2+т)=1

и

Е (€<3+3 дУ) = о

г=0

для всех ] =0, ..., г -1, что, в свою очередь, доказывает истинность (5.31) и, следовательно, (5.19).

Теперь покажем равенство (5.20). Подставляя (5.29) и (5.30), получаем

г — 1

2 £ И) + е—Ъ+ I) + (д3) + д3е—*)(д® + д(те-*)) =

г=0

1 г—1

= 2 (у^1!<т+дг,00д\т)+н\т+д\!д\т)е ^+(н\]0<т+д1,0)д\т)е ^ •

г=0

(5.36)

Из (5.32)-(5.35) получим

£ +д'3}дт> = 0;

г=0 г=0

Е + д(0'д\т1) = 0,

г=0

откуда следует, что (5.36) равно нулю, что доказывает истинность (5.20). Теорема доказана.

Теорема 5.9. Пусть условия теоремы (5.7) выполнены, тогда

ж г—1

Е Е\ фг(2ки) \2 = 1.

к=—ж г=0

Доказательство Из теоремы (5.7) следует

г — 1 г — 1

Е\ ф;г(() \2 = Е ( \ $г((/2) \2 - \ $г(() \,

г=0 г=0

тогда

ж г—1 ж г — 1

Е Е\ Ф(2ки) \2 = Е Е ( \ &(2к— 1и) \2 - \фг(2ки)\2).

к=—ж г=0 к=—ж г=0

Распишем правую часть последнего равенства

r-1

+ е

i=0

w\

4)

r-1

Е

i=0

w

2)

r-1

+ Е

i=0

w

r1

i=0

r1

r1

2

r1

2

r1

+E\&(w)\2-Е\^) + Е\Ф^) -Еф(4w)

i=0 i=0 i=0 i=0

Упрощая, получаем

те r-1 r-1 ■>k, л 12

+

e w)\2 = E (Vi(°)\2 - \^м\2) =

2 |„Л^„\|2

к=—те г=0 г=0

В последнем равенстве мы воспользовались свойством преобразования фурье-функций с компактным носителем

^¿(ж)^ = 0 для всех г = 0, ..., г — 1

и тем, что

г—1

ту» >]2

г=0

(°)\2 = L

Теорема доказана.

Автор выражает благодарность профессору ВГУ Новикову Игорю Яковлевичу за постановку задачи.

2

2

2

2

2

Литература

[1] Cotronei M., Montefusco L., Puccio L. Multiwavelet Analysis and Signal Processing // IEEE Trans. on Circuits and Systems II. 1998. V. 45. P. 970-987.

[2] Keinert F. Wavelet and Multiwavelet. London: Chapman & Hall/CRC, 2004.

[3] Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

Поступила в редакцию 16/XI/2009; в окончательном варианте — 16/XI/2009.

ON DYADIC MULTIWAVELET TRANSFORM

© 2010 P.G. Severov2

In the paper continuous and dyadic multiwavelet transforms and dyadic multiwavelets are defined. The author considers admissibility condition. The theorem about signal reconstruction from its multiwavelet decomposition and analogs of other theorems from the theory of wavelets are proved.

Key words: multiwavelet, multiscaling function, multiresolution analysis of multiplicity r, continuous multiwavelet transformation, dyadic multiwavelet transformation.

Paper received 16/XI/2009. Paper accepted 16/XI/2009.

2Severov Pavel Grigorievich ([email protected]), Department of Functional Analysis and Operation Equations, Voronezh State University, Voronezh, 394006, Russia.