Канонические представления на прямой, числа Эйлера и многочлены Мейкснера–Поллачека Текст научной статьи по специальности «Математика»

Канонические представления на прямой, числа Эйлера и многочлены Мейкснера-Поллачека 1

© Л. И. Грошева

Ключевые слова: канонические представления, преобразование Фурье, формула Планшереля, ортогональные многочлены

Канонические представления на прямой действуют в гильбертовом пространстве, снабженном некоторым нелокальным скалярным произведением. Это пространство содержит дельтафункции и их производные. Мы производим ортогонализацию обобщенных функций, сосредоточенных в начале координат. Преобразование Фурье переводит эту ортогональную систему в некоторую систему ортогональных многочленов

В настоящей работе мы рассматриваем гильбертово пространство И\ функций на прямой М со скалярным произведением, ядром которого служит функция (еЬ (х — у))х (это - нелокальное скалярное произведение). В нем действует сдвигами унитарное представление Ц\ группы М. по сложению, это представление мы называем каноническим представлением группы М па прямой. В качестве надгруппы можно взять группу движений плоскости Лобачевского-Галилея, или, что все равно, группу гиперболических движений евклидовой плоскости, см. [Ду].

Пространство И\ содержит дельта-функции и их производные любого порядка. Семейство дельта-функций 8(к\х), к = 0,1, 2,..., сосредоточенных в х = 0, не является ортогональным. Мы ортогонализуем его, находим явные формулы для обобщенных функций Еп(х), п = 0,1, 2,..., полученных в результате ортогонализации, и находим для них рекуррентное соотношение.

Преобразование Фурье переводит ортогональную систему ^П(х) в систему многочленов fn(x), ортогональных относительно некоторого неклассического

веса. В частности, при А = — 1 этот тес есть ^еЬ —^ , а многочлены являются

многочленами Мейкснера-Поллачека.

1Работа поддержана Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011, ФЦП "Научные и научнопедагогические кадры инновационной России" 14.740.11.0349

1. Пространство И\

Пусть Р(М) - пространство бесконечно дифференцируемых финитных комплекснозначных функций па прямой М, Введем в этом пространстве скалярное произведение:

(/1,/2)л =/ Л(х) /2(У)(сЬ(ж - у))л йхйу, (1.1)

Jм.'2

где Л < 0,

Пространство Р(М) не является полным относительно данного скалярного произведения. Пополним его. Получим гильбертово пространство Ил со скалярным произведением (1.1). Скалярное произведение (1.1) является нелокальным скалярным произведением, так как интегрирование ведется по плоскости М2,

Рассмотрим множество М. как группу по сложению. Мы получаем представление и группы М. в пространетве Р(М) сдвигами:

и (а)/(х) = / (х — а), а € М. (1.2)

Это действие сохраняет произведение (/1, /2)л, поэтому оно может быть распространено

Ил ил

Ил По аналогии с [2] назовем его каноническим предетавлением группы М па прямой. Скалярное произведение (1.1) является аналогом формы Березина.

§ 2. Формула Планшереля Напомним [2], что преобразование Фурье функции /(х) на М. есть функция

^ 1 р+ж

/(^) = -/ /(х)е—дх. (2.1)

' —ОС

Функция /(х) восстанавливаетея по $(Ь) с помощью обратного преобразования Фурье:

Г+ж —

/(х)=/ !(1)еы дь. (2.2)

Формулы (2.1), (2.2) справедливы во всяком случае для функций / из Р(М). Для функции / из Р(М) ее преобразование Фурье быстро убывает па бесконечности.

Теорема 2.1 При Л < 0 скалярное произведение (/1,/2)л в Ил выражается через преобразования, Фурье /1 и /2 функций /1 и /2 следующим образом:

Г+Ж _____

(/1,/2)л = W(Л,Іt) У1(Ь) У2(Ь) дь, (2.3)

«/ — Ж

где

Г| —^+^^1 т( —Л — °

w(Л, ^) =2 л ~ Г(—л)—”—~. (2.4)

Доказательство теоремы сводится к вычислению преобразования Фурье от функции еЬлх, это вычисление делается с помощью формулы [БЭ] 1,5(26),

Отметим асимптотику функции эд(Л, Ь) на бесконечности. Мы используем формулу [БЭ] 1,18 (6) и получаем:

мы видим, что (Л, Ь) быстро убывает при | Ь| ^ то,

ил

представления, В самом деле, неприводимые унитарные представления Т4, где Ь € К, группы М. задаются формулой

При сдвиге (1.2) значение /(—Ь) преобразование Фурье в точке —Ь умножается на ег*“, то есть на число /(—Ь) действует оператор Т(а) представленпя Т*. Имеет место формула обращения (2,2) и формула Планшереля (2,3),

§ 3. Аналитическое продолжение формулы Планшереля

Л

полуоси Л < 0 на комплексные Л из левой полуплоскости Ке Л < 0 - той же

самой формулой (2,3), где и>(Л,а) дается формулой (2,4),

Л

Для этого удобно переписать (2,3) в виде интеграла по мнимой оси.

Пусть Д и /2 лежат в Р(М),

Для функции /1 € Р(М) ее преобразование Фурье /1 (Ь) может быть продолжено в комплексную плоскость до целой функции. Пусть ^\(а) - такая целая функция от а, что ^\(г£) = /1(Ь) Аналогично, для функции /2 € Р(М) комплексно сопряженная функция /2(Ь) тоже может быть продолжена до целой функции.

Пусть ^2(а) - такая целая функция от а, что ^2(гЬ) = /2(Ь)

Ке Л < 0

образом:

где Ь - мнимая ось на плоскости а, пробегаемая снизу вверх. Заметим, что подынтегральная функция является аналитической функцией от а.

Т(а) = ей“.

(3.1)

Продолжим разложение (3,1) из области Ке Л < 0 направо. Ограничимся случаем, когда Л не принадлежит вертикальным линиям Ке Л = 0,2,4,..., Продолжим (3,1) в полосу

2к < Ке Л < 2к + 2, к = 0,1,... (3.2)

Полюсы функции и>(Л, а) по о расположены в точках о = Л — 2ма = —Л + 2т, где т = 0,1, 2,..., - из-за гамма-функций в (3,1), При продолжении по Л из полуплоскости Ке Л < 0 в полосу (3.2) указанные полюсы с т = 0,1, 2,..., к пересекут линию интегрирования Ь - мнимую ось - и дадут дополнительные слагаемые (по теореме о вычетах).

Вычеты функции и>(Л, о) в полюсах о = ±(Л — 2т) выражаются через биномиальные коэффициенты:

Ке8ст=±(Л-2т) ЦЛ, о) = ± 2-Л „(т) .

Л

/+ж ^ -

^(Л,г^) У1(^) /2 СО ^

•ж

+ Е Е 22-л „2 Г Л^ (±(Л — 2т)) *2(±(Л — 2т))

т=0 ± \т/

4. Дельта-функции

Пространство НЛ содержит дельта-фупкции £(ж — а) и все их производные £(й)(ж — а), к = 0,1, 2,.... Достаточно в этом убедиться для а = 0, Вычислим скалярный квадрат функции £(й) (ж) в смысле пространетва НЛ, Имеем

(£(*), £(*))л = I ^(ж) £(%)еЬл(ж - у)

^ж2А:

(-«‘^ (сьл ж)

ж=0

Следовательно, £(й)(ж) входит в НЛ,

Найдем теперь скалярное произведение функций £(й)(ж) и £(т)(ж):

(^,£(т))Л = [ £(^(ж) £(т)(у)сЬЛ(ж — у) йжйу

./к2

= (—1)й ^Ж^+т (сЬЛ ж)

Отсюда видно, что если к и т имеют различную четность, то £(й) (ж) и £(т) (ж) ортогональны.

ж=0

Мы видим, что вычисление скалярных произведений функций £(й) (ж) и £(т) (ж) сводится к разложению в ряд Тейлора функции сЬЛ ж в точке ж = 0. Обозначим

^«(Л) = лжп (сЬЛ ж)1х=0.

Ясно, что ^2^-1(Л) = 0. Мы имеем

сЬЛж = ^о(Л) + 2! ^2(Л) ж2 + 4 ^4(Л) ж4 +....

Следовательно,

^(т)) = Г 0, если к + т нечетное, (41)

'Л \ (—1)й ^й+т(Л), если к + т сетное. ( . )

Теорема 4.1 Функции ^га(Л) удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению

^га+2(Л) = Л2 ^га(Л) — Л(Л — 1) ^га(Л — 2). (4.2)

Доказательство. Вычисляем вторую производную:

(сЬЛж)/; = (ЛсЬЛ-1 ж ■ вЬж)

= Л(Л — 1)сЬЛ-2 ж ■ вЬ2 ж + Л сЬЛ ж = Л2 сЬЛж — Л(Л — 1)сЬЛ-2 ж.

Теперь возьмем от этого равенства производную порядка п и положим ж = 0, мы получим (4,2), □

Приведем несколько первых коэффициентов ^га(Л):

^0(A) = 1,

^2(A) = A,

^4(A) = 3A2 —

^6(A) = 15A3 -

^8(A) = 105A4

V2 +

)П Л 3

Заметим, что значения <^n(A) при Л = — 1 - это числа Эйлера

^га( —1) = En.

По поводу чисел Эйлера см, [БЭ] 1,14,

Теорема 4.2 Функции ^2m(A), m G N = {0,1, 2,...}, являются, многочленами степени т:

^2ш(Л) = amA™ + bmA™ 1 + ... J

2

их первые два коэффициента ат и Ьт даются формулами

ат = (2т - 1)!!, (4,3)

Ьт = -11 т(т - 1) ■ (2т - 1)!!; (4,4)

свободный коэффициент равен 0 для т > 0, так ч,то ^2т(А) делится на А при т > 0.

Доказательство. Утверждения теоремы, кроме явных формул (4,3), (4,4), сразу вытекают из (4,2), Для коэффициентов ат и Ьт получаем сначала рекуррентные соотношения

ат+1 (2т + 1) ат,

Ьт+1 = -2т2 ат + (2т - 1) Ьт.

Решая эти уравнения, получаем (4,3), (4,4), □

§ 5. Ортогонализация системы дельта-функций

Рассмотрим в На систему дельта-функций, сосредоточенных в точке х = 0:

8(х), 8'(х), 8''(х), ....

Ортогонализуем эту систему. Обозначим через Нга(ж), п = 0,1, 2,..., обобщенные функции, полученные в результате ортогонализации, нормированные так, что 8(п)(х) входит в Нга(х) с коэффициентом 1 (старший коэффициент равен 1):

Н„(х) = 8(п)(х) + рП)П_2 ■ 8(п-2)(х) + рп,п-4 ■ 8(п-4)(х) + .... (5.1)

Приведем несколько первых обобщенных функций Нга(х):

^0 = ^,

^1 = ^',

Н2 Ч^ -

^3 2) - (3 -(

Н4 = 8(4) - 2(3А - 4) 8'' + 3А(А - 2) 8,

^5 = 8(5) - 10(А - 2) 8"' + (15А2 - 50А + 24) 8'

Теорема 5.1 Для, обобщенных функций Нга(х) справедливо следующее рекуррентное соотношение:

Н„(х) = НП_1(х) + ■ Н„_2(х), (5.2)

х

С™ = -(п - 1)(А - п + 2). (5.3)

Доказательство. Разность (ж) — Н^_1(ж) содержит 5(га_2)(ж), 5(п_4)(ж), • • • и

поэтому раскладывается по Нга_2(ж) Нга_4(ж),..., Но все последние функции, кроме _2(ж), ортогональны этой разности. Поэтому имеет место формула (5,2), Вычисление коэффициента будет сделано позже, см, конец параграфа, □

Теорема 5.2 Обобщенные функции (ж) выражаются в виде определителя

Я

2т

А

2т

пишем аргументы Л ж

£(2т) 5(2т_ -2) . . 5" 5

62т 62т~ -2 • • 62 6о

62т+2 6 2т 64 62

64т_2 64т~ -4 • • 62т 62т_2

определитель порядка т + 1,

^2т— 1

А 2т—2

5(2т_1) 5(2т_3) . • 5'

62т 2 _ т 2 62 • 62

б2т+2 62т • • 64

64т_4 64т_6 • 2 _ .т .2 .. 62

т

(5.4)

(5.5)

62т_2 • • • 62 6о

А2т 6 2т • • • 64 62 , (5-6)

64т_4 • • • 62т 2 _ т 2 6

6 2т 62т_2.. • 62

А 2т — 62т+2 62т.. • 64 , (5,7)

2 _ т 4 64 64т_4.. . 62т

т

Доказательство. Из (4,1) следует, что обобщенные функции (ж), определенные (5,4) и (5,5), ортогональны дельта-функциям 5(к)(ж), для шторых к < п и имеет ту же четность, что и п (скалярные произведения выражаются определителями

□

п

функции (ж), то есть вычислим коэффициенты р2т,0 и р2т,2т_2. По (5,4) мы

имеем

р2т,0

р2т,2т_2

(—1)т

А 2т А2т

А*

А2т

А2т

(5.8)

(5.9)

1

1

где

А*

А2т

62т 62т-4 • • • 62 6о

62т+2 62т_2 • • • 64 62

64т-2 64т-6 • • • 62т 62т-2

(5Л0)

Это - дополнительный минор для 5(2т 2) в (5,4), от отличается от А2т первым столбцом.

*

2т

Таким образом, нам надо вычислить определители А2т, /А2т и А2 Вычислим сначала А2т. Это - многочлен от Л степени т(т — 1), Применим к столбцам определителя (5,6) последовательно несколько раз рекуррентную

А2т

равен многочлену

Ф2т(Л) — [—Л(Л — 1)]т_1 ■ [—(Л — 2)(Л — 3)]т_2 ■ [—(Л — 4)(Л — 5)]т_3 • • •, (5Л1)

так что

А

2т

А2т ■ [Л(Л — 1)]т ■ [(Л — 2)(Л — 3)]т ■ [(Л — 4)(Л — 5)]

т3

(5*12)

Старший коэффициент А2т мы получаем, заменяя в определителе (5,6) функции 62к их старшими коэффициентами (2к — 1)!!, см, (4,3):

А

2т —

(2т — 3)!! (2т — 1)!!

(4т — 5)!!

1

3!!

(2т — 1)!! (2т — 3)!!

Обозначим через Д(а1, а2, • • •, ак) определитель Вандермонда:

Д(аь • • • ,Ок)

11 а1 а2

а! а2

1

ак

2

(5.13)

ОН равен Пг>^- (аг — О,).

Вынося в (5,13) за скобки элементы первой строки, получим

А2т — (2т — 3)!! (2т — 5)!! • • • £(2т — 1, 2т — 3, • • •, 3,1) Аналогично вычисляем /А2т, Он есть многочлен от Л степени т2. Мы имеем

А2т — А2т ■ [Л(Л — 1)]т_1 ■ [(Л — 2)(Л — 3)]т_2 ■ [(Л — 4)(Л — 5)]т_3 х Л(Л — 2)(Л — 4) ••• (Л — 2т + 2),

где

А2т — (2т — 1)!! (2т — 3)!! • • • £(2т +1, 2т — 1, • • •, 3)^

2

а

к

Таким образом, из (5,8) получаем

P2m,o = (—1)т (2т — 1)!! А(А — 2)... (А — 2m + 2).

(5.14)

Наконец, вычислим Д2т- Это - многочлен от А степени т2 — т +1 (его степень на 1 больше, чем степень Д2т)-

Для функций 6(А) обозначим через ^ 2 и через Ь - "конечную

разность" 5 — 1, то есть

£б(А) = 6(А — 2),

Ьб(А) = б(А — 2) — б(А).

Мы имеем

Ьк-1Ак = (—2)к-1 к!(А — к + 1), (5.15)

Ьк-1Ак-1 = (—2)к-1 (к — 1)!, (5.16)

Ьк-1А" = 0, в < к — 1, (5.17)

Применим к строкам определителя (5.10) последовательно несколько раз рекуррентную формулу (4.2). Мы получим его в виде

6 2т - т 2 . 62 1

S62rn 5<62т—4 . 2 62 1

А2т = Ф2т(А) S262rn S 62т-4 . 2 6 2 1

^т-1б2т S т-16 S 62т-4 . . £т-1б2 1

где Ф2т(А) дается формулой (5,11), Теперь к каждой строке с номером к =

2, 3,..., m применим оператор Lk-1, В силу (5,15), (5,16), (5,17) получим треугольный определитель, у которого вся диагональ - числовая, за исключением последнего места, па котором стоит линейная по А функция Lm-1^2m, Используя (4,3), (4,4) и (5,15), (5,16), (5,17), мы получаем, что

т-т-1 Л 4т — 4'

L б2т = const ■ А------------—

Следовательно,

А

2т

A

2т

4m — 4 А----------— I х

х [А(А — 1)]т-1 ■ [(А — 2)(А — 3)]т-2 ■ [(А — 4)(А — 5)]т-3.... (5.18)

Старший коэффициент А2т мы получаем, заменяя в определителе (5.10) функции 62k их старшими коэффициентами (2к — 1)!!, см. (4.3):

(2т — 1)!! (2т — 5)!! ... 1 1

(2т +1)!! (2т — з)!! ... 3!! 1

A *

А2т

(4т — 3)!! (4т — 7)!! ... (2т — 1)!! (2т — 3)!!

Вычисляем:

А;т = (2т - 1)!! (2т - 5)!! ... £(2т +1, 2т - 3,..., 3,1), (5.19)

так что по (5,9), (5,12), (5,18), (5,19) получаем

(о п Л 4т - 4'

Р2т,2т-2 = -т(2т - 1) ■ I Л------------3—

или, заменяя 2т па и, получаем

и(и - ^ и(и - 1)(и - 2)

Рга,га-2 =-------------------------------------------------------------2- Л + 3- , (5.20)

и

Теперь мы можем вычислить Для четпого и имеем

Рга,0

П -

Рга-2,0

и

С другой стороны, для вторых коэффициентов рп,п-2 равенство (5,2) дает

Рга,га— 2 Рга— 1,п— 3 + Ста. (5.21)

Здесь нам известны рп,п-2 и для четного и. Отсюда находим рга-1,га-3 для четного и, тем самым рга,га-2 для нечетного и. Это - в точности формула (5,20),

и

нечетных. Теперь из (5,21) находим для нечетного и. Оказывается, для и

§ 6. Ортогональные многочлены

Применим к обобщенным функциям из § 5 преобразование Фурье, Для дельтафункции £(га) (ж) ее преобразование Фурье есть

—-

£(га)(і) = 7^ Л 2п

а для обобщенной функции (ж) - некоторый многочлен степени п. Пусть /п(і)

- такой многочлен, что

____ ІП

= 2^ /п(і).

Из (5,1) получаем

/га(^) = — Рга,га-2 ’ 2 + Рга,га-4 ’ І™ 4 — ....

Приведем несколько первых многочленов:

/оСО = 1

Л со = ^

/2(^) = ^ + Л,

ЯО = ^3 + (3Л - 2) ^

/4(0 = + 2(3Л - 4) £2 + 3Л(Л - 2),

/б(*) = £5 + 10(Л - 2) £3 + (15Л2 - 50Л + 24) *.

Соотношение (5,2) дает рекуррентное соотношение для /п(£):

/п(0 = ^/п-^О - £п ■ Уп-2 (0 , (6.1)

где Сп дается формулой (5,3),

Многочлены /п(0 образуют ортогональную систему на прямой с весом и>(Л, й), см. (2.4). Это - многочлены Мейкснера-Поллачека, см!" [2] 10.21. Явные формулы в виде определителей получаются, если в (5.4) и (5.5) заменить дельта-функции £(п-2к)(х) степенями (-1)к £п-2к.

Л = -1

1

эд(-1, г^) = 2п

2

еЬ (пх/2)

В этом случае в формулах (5.4) - (5.7) надо сделать указанную замену дельтафункций на (-1)к £п-2к и заменить ^2к на числа Эйлера Е2к, Рекуррентное соотношение (6.1) для /п(0 приобретает вид;

УпСО = ^п-!^ - (и - 1)2 ■ /п-2(^).

Литература

1. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра, М.: Наука, 1965.

2. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, М.:

Наука, 1966.

3. А. М. Вершик, И. М. Гельфанд, М. И. Граев. Представления группы 81.(2.Н). где К - кольцо функций. Успехи матем. наук, 1973, том 28, № 5, 83-128.

4, Ю, В, Лунин. Канонические представления на плоскости Лобачевского-Галилея, Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2012, том 17, вып. 1, 82-85,

Поступила в редакцию 16 ноября 2012 года

L. I. Grosheva. Canonical representationson the real line, Euler numbers, and Meixner-Pollaczek polynomials

Keywords: canonical representations, Fourier transform, Plancherel formula, orthogonal polynomials

Canonical representations on the real line act on a Hilbert space equipped with a nonlocal inner product. This space contains delta functions and all their derivatives. We orthogo-nalize the system of distributions cocncentrated at zero. The Fourier transform transfers this orthogonal system to a system of orthogonal polynomials