Кардинальная интерполяция дискретными сплайнами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып.3.1999

УДК 519.652

Кардинальная интерполяция дискретными сплайнами 1 В. А. Желудев, А. В. Певный

Рассматриваются дискретные сплайны 5(.?'), ] 6 2, с равноотстоящими узлами, которые могут расти как 0(|^|4) при |;| —> оо.

Такие сплайны интересны с точки зрения цифровой обработки сигналов.

Введение

Большим разделом теории сплайнов является теория кардинальной интерполяции, т.е. интерполяции по бесконечной системе равноотстоящих узлов &/г, к € Ъ. В работах [1], [5], [6] в качестве интерполирующего агрегата использовались сплайны Б(х) вещественного аргумента х. Однако при цифровой обработке сигналов некоторое преимущество имеют дискретные сплайны Б{]), заданные на множестве целых чисел Ъ. Дискретные сплайны появились в начале семидесятых годов ([7]), а недавно появились вновь как объект интенсивных исследований ([8](глава б), [2], [4], [3]). Отметим также работу [9], посвященную вейвлетам дискретного аргумента. Большая часть этих работ связана с дискретными периодическими сплайнами. В этой работе исследуются дискретные непериодические сплайны медленного роста. В основном мы следуем работе [б].

В п. 1 дается определение В-сплайна Вр порядка р, описываются его свойства. Дискретным сплайном Б^) называется линейная комбинация сдвигов В-сплайна. В п. 1.1 вводятся полиномы Эйлера-Фробениуса Тр(х), связанные с В-сплайнами Вр, и доказывается положительность Тр(х) при всех х. В п.2.1 вводятся экспоненциальные сплайны Е(х^), зависящие от вещественного параметра х, а в п.2.2 на основе результата п. 1.1 доказывается однозначная разрешимость задачи кардинальной

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 98-01-00196)

© Желудев В. А., Певный А. Б., 1999.

интерполяции. Заключительный раздел 3 посвящен самодвойственному сплайну <^(7), сдвиги которого образуют ортонормированную систему в £2(Ъ), и эти же сдвиги образуют базис в пространстве дискретных сплайнов.

1. Дискретные В-сплайны

Дискретные сплайны определим на множестве целых чисел Ъ. Зафиксируем натуральные р, п, причем п—нечетное, п = 2л/ + 1. Определим дискретные В-сплайны Д[ (./),..., ВР(з) (] € 2) следующим образом. Положим

В (п) = / ^’ ^ ^ (1^

^ О, при остальных 3 £ Ж.

Здесь —V : V—множество целых чисел {—1/, — I/ + 1,..., г/}.

Далее используем рекуррентное определение Вг = В1 * Вг-1, г £ 2 : р, или

и

Вг{з) = Вг-1(з - к), 1 г = 2,...,р.

к=-и

Нетрудно подсчитать, что

Я __ / п~ Ь’1> ;'е-п + 1:п-1,

'(О, |;| > п. (2)

График В2 представляет собой ’’домик”.

Лемма 1. В-сплайн Вр и обладает следующими свойствами:

Яр(-;) = -ВрО) для любого целого (3)

ВрО) > 0 — Р^ < 3 < рг/ и

ВР{]) = 0 при остальных ]]

(4)

Вр(±р!/) = 1; (5)

При р > 1 справедливы неравенства

Вр(-ри) < Вр(-ри -1-1) < ... < 5р(-1) < Вр{0),

Бр(0) > Вр(1) > ... > Вр(ри).

Доказательство (3),(4),(5) легко проводится индукцией пор. Последние неравенства также доказываются по индукции. При р = 2

неравенства следуют из явной формулы (2). Допустим, что результат

верен для Вр-1, где р> 3. При 1 € -рр : —(р ~ 2)р

э+»

Ври) = Вр- 1(г).

г=—(р— 1)и

Отсюда следует, что Вр(^) строго возрастает на —рр : —{р — 2) р.

Пусть теперь У,У + 1 € — (р — 2)г/ : 0. Тогда

ВрИ +1) = вр-+ 1 — р) + ... + Вр-х^ + р) + Вр-\{з + 1 + р)

= вр(Л + 1вр- 1О’ +1 + р) - вр- 1С? ~ ")]•

Выражение в квадратных скобках положительно (например, при =

— 1 имеем Вр-1(1/) — Вр-х(—1 — р) = Вр_х(г/) — Вр-\{р + 1) > 0). Поэтому Вр{з + 1) > Вр{]). Строгое возрастание Вр на —рр : 0 доказано.

Убывание на 0 : рр следует из (3). ■

Отметим, что в силу определения и леммы В-сплайн Вр принимает только целые неотрицательные значения. Для нас главным свойством В-сплайна будет свойство (4): носителем Вр является целочисленный отрезок — рр : рр. Следует также заметить, что В-сплайн Вр^) не является следом непрерывного В-сплайна на 2, а является самостоятельным объектом, достойным изучения.

Формула (2) показывает, что В2(У) является кусочно-полиномиальной функцией первой степени. На самом деле каждый В-сплайн Вр является кусочно-полиномиальной функцией степени р — 1. Чтобы доказать это используем ^-преобразование [10].

Пусть / = {/(^)}£_00 —последовательность такая, что /(А:) = 0

для всех к < — ко. Тогда г-преобразованием / называется функция

переменной г:

ОО

С[/] = В(г) = /{к)гк, 0 < \г\ < р, (6)

к=—ко

где р—радиус сходимости ряда.

Для нас важно свойство, связанное с дискретной сверткой :

Ш*д] = С[/]СЫ, (7)

и сдвиговое свойство :

Л№)] = С[/(-- /)]• (8)

Через к+* будем обозначать усеченный факториальный полином:

1,(0 _ / к(к+ 1).. .(к + I — I), к € 1 : оо,

+ ~ \ 0, к<0, ке%. 1 ;

В частности, к+^ = 1 при к > 0 и 40) = О при к < 0. Имеем

Ф?1 = (ю)

Легко видеть, что

V

С[в,]= ^г> = г-'(1 + г + ... + г”-‘).

3 = -у

Используя свойство (7), получаем следующее утверждение.

Лемма 2. Z-npeoбpaзoвaнue от В-сплайна дается формулой

р1/

Дор] = 53 В„иу = --'И! + г + гг + ... + г”-1)-.

]=-ри

Таким образом, Вр(]) есть коэффициент при ,г^+рг' в полиноме (1 + г + г2 -+ ... 4- гп~1)р. Теперь можно получить кусочно-полиномиальное представление В-сплайна.

Теорема 1. В-сплайн Вр есть кусочно-полиномиальная функция степени р — 1:

ад) = (^Л)! 5('"1)Г (г) 0 +Р*' + 1 <П)

Доказательство. По лемме 2

СЩ, - Я-*")’’ _ Е^о(-1Ге)^ _ У( 1)^г,У'"~,,1'"У(>->1

и- ”1 - ^(1 - г)! - Ч’-У(р-1)! +

(12)

Отсюда следует (11). ■

Из теоремы следует, что при У <Е —р» + гп : —рг/ + (г + 1)п - 1 В-сплайн Вр совпадает с некоторым полиномом степени р — 1. Поэтому точки вида — рь> + кп, А: 6 0 : р, можно назвать узлами сплайна Вр.

Х>р(Л = »р- (13)

jeZ

которое следует из леммы 2 при Z — 1.

Лемма 3. Для всех целых к, q справедливо соотношение

оо

Bp(j - kn)Bp{j - qn) = В2р{(к - q)n). (14)

jzn — oo

Доказательство основано на свойстве Вр* Вр = В2р . Я

1.1. Полиномы Эйлера - Фробениуса

Определим четный тригонометрический полином, который будет играть важную роль в дальнейшем. Положим Ьр(к) = Вр{кп). Напомним, что Ьр(-к) = Ьр(к) и Ьр(к) отлично от нуля, если |&| < ц —

[тг] = • Здесь [а] означает целую часть а.

Четный тригонометрический полином

ц м

тр{х) = ьг(кУкх = ьр(°)+2Y1 cosкх (15)

к=-ц к=1

называется полиномом Эйлера-Фробениуса (см. [5]).

Основное свойство этих полиномов—положительность дл всех X. Чтобы установить это, понадобится следующая лемма.

Лемма 4. Пусть т—четное. Для всех А 6 1 : т/2 и любого натурального р функция

v

s=0 \ьш тп /

(16)

строго положительна и справедливы неравенства

1, р—нечетное

в{Х,р)> < (■ (17)

V — 1 18Ш^1 ? р—четное 4 '

Доказательство. Оценка для четных р устанавливается легко, так как в этом случае все члены суммы (?(А,р) положительны и, поэтому, значение суммы превосходит первый член . Для не-

четных р ситуация более сложная.

Функция q\-,(x) = sin имеет единственный максимум на от-

резке [0,п — 1] в точке х0 = п/2 — Х/т. На отрезках [0, ж0] и [ж0,п — 1] функция строго монотонна. Поэтому минимальный член в положительной последовательности

, / ч / . 7rfsm + Л) \ -1

h\(s) — ( sin---------) , se0:n-l,

v тп /

есть h\(v), где v = и подпоследовательности {h\(s)}^=0 and

{Ы5)}"= *+1 строго монотонны.

Вернемся к сумме G(X,p). Случаи четного и нечетного и слегка различаются.

1. В случае когда v—четное, запишем сумму так:

п—1

С?(А,р) = Е ((-1)* ЛдМ

«=0

= £ ((-!)'ЛаМ)' + АлМр+ Е ((-1)'Ал«)'- (18)

«=0

i/—1 п—1

в=0 .9 = ^+1

Благодаря монотонности суммы в (18) положительны. Получаем

0(Х,р) > > 1. (19)

2. Когда V—нечетное, имеем

V п—1

С(Л,Р)= 53 ((-!)'лаМ)' + Ал(-' + 1)"+ Е ((-Ч'^м)".

Отсюда выводим неравенство

&{Х,р) > Ь,\(и + 1)р > Ь,\(р)р > 1. (20)

Теперь можно установить основное свойство полиномов Эйлера-Фробениуса.

Теорема 2. Полином Тр(х) строго положителен для всех х. Доказательство. Возьмем любое четное т, удовлетворяющее неравенству т > 2 ц + 2. Обозначим и}т — е2т^т. Тогда

/ с\ 7\ М т/2-1

Т> (— = Е = Е м*к;ы = Рт(ь,)(1).

' 711 ' к=-ц к——т/2

Здесь -Рт(6р) обозначает т-точечное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности Ьр. Представим его в явном виде. Для этого положим N — тп и найдем ^-точечное ДПФ последовательности {£р(У)}^^дг/2- Для В-сплайнов первого порядка и / £ —N/2 : N/2 — 1 имеем:

N/2-1 v ( 2l/ + 1 = П, I = О,

и(1) := Fjv(Bp)(1) = 22 = Y1 Ьш*1 = \ s™llh± I ф о

j=—N/2 j=-v I Sinjr//JV’

По сверточному свойству

FN(Bp)(l) = [ЫМХ)(/)]Р = up(0-

Продолжим периодически последовательность it(/) с периодом N. Тогда и(зт) = 0 при s € 1 : п — 1 и

N-1

ВЛз) = 4 £ J е -^/2 : ЛГ/2 - 1-

1=0

(21)

Отсюда для к € —fj, : fj,

N-1

«*) = в,(*п) = -£

N ,

1=0

Представляя l в виде I = sm + r, s€0:n — 1, r€lO:m — 1, приходим к соотношению

m — 1

r=0

1

— > up(sm + r) n

s=0

,rk

LO

(22)

Для четных p равенство (22) установлено в [4]. Из (22) следует, что

2тгА

m

72 — 1

^m(6p)(A) = ~У2ир(зт + А) ?? * ■

1

5—0

(sin Ах/т)р G(А, р), р-i

А € 1 : m - 1, А - 0.

Функция G(A,p) определена в (16).

Достаточно вычислить Тр (~) для Л Є 1 : т/2. В интервале (0, |)

Снова рассмотрим случаи четного и нечетного р .

1. Для четного р оценки (19) и (17) прямо приводят к неравенству

2. Для нечетного р справедлива только оценка С(Х.р) > 1 . Имеем

При неграниченном возрастании т в пределе получаем оценки

при р четном и Тр(х) > ^(х/тг)р Ух Є [0, 7г] при р нечетном. Поскольку Гр(0) = > 0 и Тр(27г — х) = Тр(х) получаем, что Тр(х) > 0 Ух. ■

2. Дискретные сплайны и кардинальная интерполяция

В этом разделе также считаем п нечетным, п = 2і/+1. Это позволяет рассматривать центральные В-сплайны £Р(І), введенные в разделе 1.

2.1. Экспоненциальные сплайны Сначала рассмотрим экспоненциальные сплайны

При каждом ] е 2 в сумме (1) конечное число слагаемых, поэтому при фиксированном j функция Е{х,з) является тригонометрическим полиномом от х. Аналогичные сплайны рассматривались в [5, с.17] и [б]. Имеем с учетом результатов раздела 1.1

справедливы неравенства ~х < sin х < х . В результате получаем

(25)

(26)

оо

(1)

оо

Е(х,0) = £ bp(-l)e~ilx = Тр(х) > О,

(2)

При ] = 0 получим

Е(х,кп) = е~{кхТр(х). (4)

. Отсюда следует, что функция 50') = Е(х^)/Тр(х) решает интерполяционную задачу 5(Ьг) = е~гкх, к € Ъ.

Кроме свойств (2)-(3) отметим также следующее равенство

1 Г2т

ВрЦ) = _У Е{х,1)Лх, ;ег. (5)

Действительно, пусть у € : (к + 1)п — 1. Тогда

£<*,»= £ егл*в,а-1п), (6)

1=к—ц

где, как и раньше, /х = [ри/п]. Действительно, при I (£ к — р : к + р + 1 точки 7—1п не принадлежат вирр Д, = —рг-' : рг/ и поэтому Вр(у—1п) — 0. Отсюда

^ /*2тг &+Д+1

2тг

£(ж, Л <1х = ^(0-ВД ~ 1п) ~ 21 6(1)Вр(з ~ 1п) = Вр(з)‘

1=к-а /=-оо

Здесь 5(0) = 1, £(/) = 0 при I ф 0. Из (6) следует неравенство \Е(х^)\ < Ср, где Ср = (2/л + 2)ВР(0).

2.2. Задача кардинальной интерполяции Дискретные сплайны удобно определить, используя язык теории 27г-периодических распределений. ПуСТЬ Ъ-----ПрОСТраНСТВО беСКОНеЧНО ДИффереНЦИруеМЫХ 27Г-

периодических функций, а Т>'— пространство распределений на Т>. Определение. Дискретным сплайном порядка р назовем функцию

8(]) = ^{С,Е(;])), ;ег, (7)

где С € Т)'. Множество всех сплайнов порядка р обозначим ВР.

Это определение оправдано. При фиксированном 3 в ряде (1) только конечное число слагаемых отлично от нуля. Почленно применяя функционал С, получаем

ОО

ЗД = £ с(0ВД - М), (8)

1=—оо

где с(7) = ~(С,е~г1х)—коэффициенты Фурье распределения С.

Нас будет интересовать задача кардинальной интерполяции. Дана последовательность 2 = {г(к)}%удовлетворяющая условию

\г(к)\ < М(1 + \к\)\ к(=Х, (9)

при некоторых М, з. Требуется найти сплайн 3 € §р такой, что

3(кп) = г (к), к € Ъ. (10)

Эта задача легко решается. Действительно, в силу (4) уравнение (10) переписывается в виде

э(кп) = -Цс, аде-“*> = ^-{ст„, е~‘к°) = *(*), к е а.

1тг

Итак, распределение СТР имеет коэффициенты Фурье г (к), т.е.

ОО

СТР = Я, где г(х) = ]Г ФУкх-

&=—оо

В силу (9) Z € ЗУ. Отсюда С = где Т/(ж) = 1/Тр(х) ( по теореме 2 функция V € I)). Тем самым задача (10) имеет решение и оно

единственно.

Коэффициенты с = {с(к)} получаются в виде свертки с = V * г, где

V = {и(&)}—последовательность коэффициентов Фурье функции V.

3. Отцовские сплайн-вейвлеты

Рассмотрим сплайн вида

ч>и) = ±1 £(*)£(*> .7 М*» з е 2, (1)

где функция £ предполагается бесконечно-дифференцируемой и 2ж-периодической, т.е. £ 62). Как отмечалось выше, функция (р представляется в виде

ОО

<еи) = £ аад -'«). (ч

1=.—оо

где = -^{{;,е~г1х)—коэффициенты Фурье функции £(ж). Поскольку £ 62), то коэффициенты £/ убывают при / —*• оо быстрее любой степени 1/1, а тогда и <р(з) убывает при ] —► оо быстрее любой степени 1/у.

Определение. Сплайн <р называется отцовским вейвлетом (ОВ), если сдвиги {<£>(■ — кп)}кех образуют базис в пространстве сплайнов §р, т.е. всякий сплайн 5 £$р разлагается в ряд

ОО

%) = с(*М-7' “ кп)’

к——оо

сходящийся для каждого 3 £ Ъ.

Теорема 3. Если £(:г) ^ О Уж € К, то сплайн <р является ОВ. Доказательство. Ввиду свойства (3) в разделе 2.1

1 /-2тг

Л'-Ь) = — / е‘к^(х)Е(х,з)Лх, (3)

т.е. + кп) является коэффициентом Фурье функции £(х)Е(х,у), поэтому

оо

Кх)Е(х,]) = £ е-^(з - кп), х 6 К. (4)

к=—со

Пусть £(х) ф 0 Ух € М. Тогда для произвольного сплайна 5'(]) -(С, £(•,.?')}, где С € V, имеем

ОО

50) = (С/и(х)Е(х,])) = £ (СП,е-““Мз - кп), ] € г.

к— —оо

Поскольку любой сплайн разлагается по системе сдвигов — то —ОВ. ■

Пусть кроме ОВ у? есть также ОВ

1 [2*

Ф(з) = у т](х)Е(х^)ёх, (6)

где Т] € Т), Г)(х) ф 0 для всех X.

Определение. ОВ <р> и ф называются двойственными, если

ОО

22 *Р(з-кп)ф^-дп) = 6(к-д), 6 2, (7)

j=—оо

где черта обозначает комплексное сопряжение.

Установим равенство типа Парсеваля.

Теорема 4. Для вейвлетов (1) и (6) справедливо равенство

00 ____ I /*27Г _____

XI = 2^ / £(®М*)2Ух)<*х.

]=-<х> 0

Доказательство. Имеем из (6)

____ 1 [21Г_________________

<р{з)ФИ) = ^ уо (9)

Рассмотрим сумму

ОО

°‘(а;) = X) ^10)

3~~ ОО

В силу (2)

СО

= ^2 &Е(хЛ)врц -1п). (п)

/=—ОО

Имеем

/+р

£(^7)ВД - /гг) = X е^ЗД - МЗД - /п). (12)

к—1—р

Отметим, что Вр(У — кп)Вр(^ — 1п) = 0 при |&п — /п| > р(п — 1). Это выполняется .при |& — /| > р. Поэтому в (12) суммируем только по к Е 1 — р : I + р.

Просуммируем (12) по ] € 2. По лемме 3

оо 1+р

£ Щ7)ВД -1п)= £ - /) = в"'Г2р(х).

7——оо к=1—р

Суммируя (11) по всем 1 € 2, получаем

ОО

<г(1) = 53 (1е-‘*Т2р(х).

/ = — ОО

Ряд (10) сходится равномерно по х. Суммируя (9) по всем $ (Е 2, получаем (8). ■

Теперь можно сформулировать критерий двойственных ОВ. Теорема 5. Сплайны (1) и (6) являются двойственными ОВ выполнено соотношение £(х)г](х)Т2р(х) = 1 Ух € К.

Доказательство, сдвигищ иф}и) = Фи-<?»)

являются О В, соответствующими фуНКЦИЯМ £г(х) = в* Х£(х) И щ(х) = Т](х) (см. формулу (3)). По теореме 4

оо і л2тг _____

]Г v(j - кп)ф{] -qn) = — у ei(fe_?)^(^)7(^)r2p(^)dx.

J = —ОО

Отсюда следует утверждение теоремы .1

Доказанная теорема позволяет легко строить пары двойственнных ОВ. Рассмотрим два важнейших случая.

I.Самодвойственный вейвлет. Получается при £(ж) = 7?(;г) = 1/\/Т2р{х). Тогда

,fU)’m = bLi

Функции Е и Т2Р обладают свойствами: Е(х, ~1) = Е(х^) = Е(—х,У), Т2р(—х) = Т2Р(х). Отсюда <£>(—У) = <^(Я и ¥> вещественно для всех 7 € 2. Сдвиги {<,£>(• — кп)}ке^ образуют ортонормированную систему в 12(Ъ). В непрерывном случае самодвойственый вейвлет исследовали ВаШе[11], Ьетапё[12] и У.А.7Ье1ис1еу[6].

2. Вейвлет, двойственный В-сплайну. Согласно формуле (5) раздела 2 при £(х) = 1 получаем <р{^) — Вр(^). Двойственный вейвлет ф определяется формулой

*U) = ±f

E{xJ)dx.

Т2р(х)

Здесь также ф веществен и четен.

Литература

1. Schoenberg I. J. Cardinal interpolation and spline functions //«/. Approx. Theory. 1969. V.2. №2. P.167-206.

2. Малоземов B.H., Певный А.Б. Дискретные периодические В-сплайны // Вестник СПб. ун-та. Сер.1. 1997. №4• С. Ц-19.

3. Певный А.Б. Дискретные периодические сплайны и решение задачи о бесконечной цилиндрической оболочке //Вестник Сыкт. ун-т,а. Сер.1. 1996. Вып.2. С.187-200.

4. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Дискретные периодические сплайны и их вычислительные приложения // Ж. вычисл. мат. и матем. физ.. 1998. Т.38. №9.

5. Schoenberg I. J. Cardinal spline interpolation. Regional Conf. Monogr. №12. Philadelphia: SIAM. 1973.

6. Zheludev V.A. Integral representation of slowly growing equidistant splines and spline wavelets. Technical Report 5-96. Tel Aviv University. School of Math. Sciences. Tel Aviv, 1996.

7. Schumacker L.L. Constructive aspects of discrete polynomial spline

functions // In: Approximation Theory, G.G.Lorentz ed. 1973.

P 469-476.

8. dLe Bobr C., Hollig K., Riemenschneider S. Box splines. New York: Springer-Verlag, 1994.

9. Петухов А.П. Дисретные периодические всплески // Алгебра и анализ. 1996. Т.8. Вип.З. С. 151-183.

10. Jury ЕЛ. Theory and application of the Z-transform method. New York: John Wiley &; Sons. 1964.

11. Battle G. A block spin construction of ondelettes. Part I. Lemarie functions // Comm. Math. Phys. 1987. V.110. P. 601-615.

12. Lemarie P.G. Ondelettes a localization exponentielle j j J. de Math. Pures et Appl. 1988. V.67. P. 227-236.

Summary

Zheludev V.A., Pevnyi A. B. On the cardinal interpolation by discrete splines

In this paper we consider equidistant discrete splines S(j), j € Z, which may grow as 0(\j\) as |j| —> oo. Such splines are of intrest for the purposes of digital signal processing. We give the definition of the B-spline of the order p and describe their properties. We define the discrete spline as a linear combination of shifts of the B-spline. It is shown that the problem of the cardinal interpolation has the unique solution.

Тель-Авивский университет

Сыктывкарский университет, Поступила 20.09.98