CC BY
26
УДК 517.51
О ДВОИЧНЫХ БАЗИСНЫХ СПЛАЙНАХ 2-Й СТЕПЕНИ
С. Ф. Лукомский, М. Д. Мушко
Лукомский Сергей Федорович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, Астраханская, 83, LukomskiiSF@nfo.sgu.ru Мушко Максим Дмитриевич, студент, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, Астраханская, 83, dart-maximus@yandex.ru
Классические B-сплайны определяются как свертка Bn+i = Bn * B0, где B0 есть характеристическая функция единичного отрезка. Классический B-сплайн является масштабирующей функцией и удовлетворяет неравенству Рисса. Поэтому классический B-сплайн любого порядка порождает крат-номасштабный анализ (КМА) Рисса. В статье рассмотрен новый вид В-сплайнов, которые получаются двукратным интегрированием 3-й функции Уолша. Указан алгоритм построения интерполяционного сплайна второй степени по двоичной системе узлов. Получена оценка интерполяции. Доказано, что система сдвигов построенного В-сплайна порождает КМА (Vn) в смысле Де Бора, ДеВора и Рона. Этот КМА не является Риссовским. Тем не менее мы можем указать порядок приближения функций из пространств Соболева подпространствами (Vn).
Ключевые слова: двоичные B-сплайны, кратномасштабный анализ, пространства Соболева. DOI: 10.18500/1816-9791-2018-18-2-172-182
ВВЕДЕНИЕ
B-сплайны как разделенные разности были введены Карри (Curry) и Шёнбергом (Schoenberg) [1]. Название B-сплайны появилось в работе Шёнберга [2,3]. Подробное изложение этой теории можно найти в [4,5]. Принципиальными здесь являются два момента. Во-первых, совокупность В-сплайнов является базисом в пространстве кусочно-многочленных функций. Во-вторых, в задаче интерполяции изменение значения функции в одном узле не требует пересчета всего представления.
B-сплайны на равномерной сетке были определены в терминах сверток и подробно изучены Стрембергом (Stromberg), Баттлом (Battle) и Лемарье (Lemarie) в [6-8]. Оказалось, что введенные таким образом базисные сплайны порождают КМА Рисса.
Мы предлагаем строить базисные сплайны, интегрируя дважды функцию Уолша W3. После интегрирований получается сплайн 2-й степени, близкий по своим свойствам и возможностям традиционным В-сплайнам.
1. Мы покажем, что сдвиги такого B-сплайна образуют базис в пространстве кусочно-многочленных функций.
2. Мы укажем итерационный алгоритм построения интерполяционного сплайна по равномерной сетке.
3. Получим оценку отклонения интерполяционного сплайна от интерполируемой функции.
4. Мы покажем, что система сдвигов построенного В-сплайна порождает КМА (Vn) в смысле Де Бора, ДеВора и Рона, и укажем порядок приближения функций из пространств Соболева подпространствами (Vn).
1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДВОИЧНЫМИ БАЗИСНЫМИ СПЛАЙНАМИ 2-Й СТЕПЕНИ
x
Пусть If (x) = ff (t) dt (x e [0,1]) — оператор интегрирования, rn(t) = 0
n— 1
= sign sin 2n+1 nt — функции Радемахера, W2n—1(x) = Ц rk(x) — функции Уолша.
k=0
Определение 1. Функцию
í(4I)2W3(x), x e [0,1],
\o, x e [o, i]
будем называть двоичным базисным сплайном 2-й степени (см. [9]).
Очевидно, что ^(x) есть кусочно-монотонная функция, совпадающая с многочленом 2-й степени на каждом отрезке , (k = 0,1, 2,3). Функция ф симметрична относительно точки x = 1, на отрезке [0, 4] задается равенством ф(x) = 8x2 и ф^) = —4(x - 2)2 + 1 при x e [ 1, 3].
На рис. 1 и 2 приведены графики функций 1 ф' и ф.
----д 1
1 2
3 4 0
0 1 1 \ 1 /1
4 2 \ 1 / . 1 / \ 1 /
— 1 \ 1 / /
Рис. 1. График функции 4Ф'(х) Fig. 1. The graph of the function 4ф'(х)
Рис. 2. График функции ф(х) Fig. 2. The graph of the function ф(х)
1
1
Определение 2. Обозначим через [0, совокупность кусочно-многочленных функций 2-й степени, имеющих непрерывные производные на [0, и которые на каждом отрезке [|, ^+4] совпадают с некоторым многочленом второй степени. Аналогично определяется и пространство (-то,
Теорема 1. При всех х е М справедливы равенства
£ * (х + 4) =2- £ * (х + П) =1. (1)
иеъ иеъ
Доказательство. Функция (£) антипериодична на отрезке [0,1] с пе-
риодом Т = 4, т.е. для любых , £2 е [0,1] таких, что |£4 — £21 = 2, имеем
(¿1) = -4/^з(¿2). Поэтому для любых ¿1 , ¿2 £ [0,1] таких, что - ¿21 = 4
4 ^У 4/^з(¿) ^ + У 4/^з(¿) = ф(^) + ф(¿2) = 1.
В самом деле, пусть ¿2 = 1 + ¿1. Тогда ввиду антипериодичности
¿1 ¿2 ¿1 1 2+*1 J 4/^з (¿) ^ + ^ 4/^з (¿) ^ = у 4/^з (¿) ^ + I 4/^з (¿) ^ + J 4/^з (¿) ^
0 0 1
2
1
2
J 4/^з(£) ^ = 1.
Поэтому при х £ [4, ^+4]
Е ф (ж+1) = ф (ж - 4) + ф (ж - V) + ф (ж - V) + ф (ж - V) =2
и при ж £ [2,£+2]
е (,+2)=ф (х -1)+4 - =1. а
Теорема 2. Совокупность функций ф (ж - 4) (п ^ -3,п = -1) образует базис в пространстве ^2[0,
Доказательство. Так как для функции ф справедливы равенства (1), то любая из функций ф (ж + 4) есть линейная комбинация остальных. Поэтому из системы {ф (ж + 4) }ке% можно выбросить любую функцию. Удалим функцию ф (ж + 4) и покажем, что любую функцию / £ [0, можно единственным образом представить в виде ( )
+( ( к) /(ж) = £ Скф ж - - . (2)
к=—з,к=—1 ^ '
Рассмотрим /(ж) £ ^2[0, на отрезке [0, 4], на котором она есть многочлен /0(ж) = а2,0ж2 + а1)0ж + а0,0. Покажем, что на отрезке [0, 4]
/0 (ж) = с-зф (ж + ^ + С—2ф (ж + ^ + С0ф (ж + ^ , (3)
причем слагаемое с—1 ф (ж + 4) в (3) отсутствует. Равенство (3) рассмотрим как уравнение относительно с—з, с—2,с0. В точке ж = 0 должны выполняться соотношения
/0(0) = с—зф (() + 3) + с—2ф (() + 2) , /0(0) = С—зф' (0 + 3) , (4)
так как * (0 + 0) = *' (0 + 0) = *' (0 + |) = 0. Система (4) имеет единственное решение
/0(0) _ /о(0) — С-3* (0 + 4)
С- 3 =
*' (0 + 4)'
С- 2 =
* (0 + 4)
Таким образом, коэффициенты с_2 и с_3 определены однозначно. Для нахождения с0 достаточно в (3) положить х = 4. Так как многочлен 2-й степени на отрезке [0, 4] полностью определяется значениями в граничных точках и производной в точке х = 0, то равенство (3) доказано.
Для нахождения коэффициента с4 записываем равенство (2) на отрезке [4, 4]
2
0
1
/ (х) = С—2* х + - + С0* х + Т + С4 * х — -
4
4
4
(5)
где /4(х) — сужение /(х) на отрезок [4, 4], а коэффициенты с_2 и с0 уже известны. Полагая в (5) х = 4, находим с4 и т. д. Продолжая этот процесс, получаем рекуррентные соотношения для нахождения всех коэффициентов в (2). □
Замечание. Очевидно, что аналогичными рассуждениями можно доказать, что система {* (х + |)есть базис пространства (—то, +то).
При фиксированном п е М, п ^ 4, определим функцию ^(х) := * (4х). Для нее Бирр V = [0, П], <^(х) есть многочлен 2-й степени на каждом отрезке [—, -1],
V(°) = V (4) = V' (4) = V (4) = п, (3) = —п.
Рассмотрим следующую интерполяционную задачу. Пусть /(х) непрерывна на [0,1], хк = 4 (к = 0, п) — равномерная сетка на [0,1]. Через 5(х) обозначим интерполяционный сплайн 2-й степени, совпадающий с /(х) в узлах хк, который построим следующим образом:
(—1)-й шаг. Пусть М0 е М произвольно. Полагаем 5_4(х) = — М0V (х + . В этом случае 5_4(0) = М0.
0-й шаг. Определим 50(х) равенством
2
0
0
50 (х) = 5_1 (х) + V х — - / - — 5_1 —
п
В этом случае 50(0) = /(0), 50(0) = М0. к-й шаг. (1 ^ к ^ п)
5к (х) = (х) + 2^х —
к1
п
п
После к-го шага, 5^(4) = / (¿), (; = 1, 2,..., к).
Наконец полагаем 5(х) = (х). Очевидно, что 5(х) интерполирует функцию /(х) в узлах хк = 4 (к = 0,1,..., п) и (0) = М0.
Для оценки погрешности интерполяции определим функции
*к(х) = /(хк_1 + х) — /(хк_2 + х) + • • • + (—1)к_4/(х0 + х), х е [0,1/п] , к = 1, п.
Теорема 3. Выберем М0 = |(/(х1) — /(х0)) и пусть к = хк — хк_1. Тогда для х е [хк_1 ,хк] (к = 1,п) справедливо неравенство
|5 (х) — / (х) | < и (к, *к_1) + и(к, *к) + и (к, /),
где и (к,/) — равномерный модуль непрерывности.
Доказательство. Пусть жк = 4 (к = 0,1,... ,п) — узлы интерполяции и S(ж) — интерполяционный многочлен функции /(ж) на [0,1], построенный по этим узлам.
Обозначим Mj = S/(жj) = S/ (4). На отрезке [ж,— 1, ж,] производная S/(ж) есть линейная функция, поэтому при ж £ [жj_1 , ж,]
5'(ж) = М_!^ + М^, (Л = 1/п).
Проинтегрируем это равенство на [жj_1 ,Жj], получим:
S(ж) - S(Жj—) = Л|-1 [(ж, - ж,— )2 - (ж, - ж)2] + Л (ж - ж,_1)2. (6)
Подставляя в (6) ж = ж,, получаем:
/(ж,) - /(ж,—) = — (м,— + М) у = 1, п). (7)
Таким образом, для нахождения М0, М1,..., М4 имеем систему уравнений
М0 + М1 + 0М2 + 0Мз + • • • + 0МП_1 + 0МП = (/(Ж1) - /(Ж0))|, М1 + М2 + 0Мз + • • • + 0МП_1 + 0МП = (/(Ж2) - /(Ж1))|,
Мп_1 + Мп = (/(жп) - /(Ж4_1))|. В этой системе М0 = S/(0) считаем известным. Решая ее, находим
М1 = (/(Ж1) - /(Ж0))| - М0,
М2 = (/(Ж2) - 2/(Ж1) + /(Ж0)) I + М0,
Мз = (/(жз) - 2/(Ж2) + 2/(Ж1) - /(Ж0))I - М0,
Мк = |(/(жк) - 2/(жк_1) + • • • + 2(-1)к—1 /(Ж1) + (-1)к/(Ж0)) + (-1)кМ0, к = 1ГП
Если выберем М0 = |(/(ж1) - /(ж0)), то для Мк получим выражение 2
Мк = -(/(жк) - 2/(Жк_1) + 2/(Жк_2) + • • • + 2(-1)к_2/(ж2) + (-1)к-1 /(Ж1)).
Учитывая определение фк, имеем
22
Мк = - (фк(-) - фк(0)) ^ |Мк | < -и(-, фк). (8)
При ж £ [жк—1 ,жк] получаем:
^(ж) - S(Жк—1)| < 2(|Мк| + |Мк_11) < и(-, фк—1) + и(-,фк). Поэтому при ж £ [жк—1 ,жк]
|S(ж) - /(ж)| < |S(ж) - S(жк—1 )| + ^(жк—1) - /(ж))| < < и(-, фк—1) + и(Л, фк) + и(-, /).
□
Теорема 4. Если f" существует и ограничена на [0,1], то при x € [xk-1,xk] |S(x) - f (x)| < kh2 sup |f''(x)| + 3h sup |f'(x)|.
Доказательство. Пусть x € [xk-1,xk]. Из (8) находим
2
Mk = (&)h = (&), & € [0,h].
Из определения получаем:
к
ф(«к)1 < Л- вир |/"(х)| + вир |/'(х)|.
Поэтому
|5(х) - &(х)| < Л(|Мк| + |М*_1!) < Л2к вир !/''(х)| + 2Л вир !/'(х)|,
откуда и следует утверждение теоремы. □
2. ДВОИЧНЫЙ БАЗИСНЫЙ СПЛАЙН 2-Й СТЕПЕНИ КАК ГЕНЕРАТОР КМА
Традиционно кратномасштабный анализ (КМА) определяют как совокупность замкнутых в Ь2 (М) подпространств (^)иеЪ, удовлетворяющих следующим условиям (аксиомам):
А1) к, с Уп+1; А2) и К = ^2 (М);
иеЪ
А3) р| Уп = {0};
иеъ
А4) /(х) е Уд тогда и только тогда, когда /(2х) е Уи+1;
А5) существует функция ф е Ь2(М), сдвиги (ф(х + -))кеЪ которой образуют орто-нормированный базис У0 (базис Рисса УО).
В этом случае КМА называют соответственно ортогональным или КМА Рисса. Функция ф из аксиомы А5 называется масштабирующей. Она удовлетворяет уравнению
ф(х) = ^ виф(2х + п), (ви) е 12,
иеъ
которое называют масштабирующим.
При определении КМА можно поступить по-другому. Сначала задать функцию ф е Ь2 (М), построить замкнутые в Ь2 (М) подпространства
Уи = (2 2 ф(2и х + к)),еъ
и потребовать, чтобы выполнялись аксиомы А1)-А3) (см. [10,11]). Такой КМА называют часто обобщенным или порожденным функцией ф.
В этом параграфе мы покажем, что базисный сплайн ф порождает обобщенный КМА, который не является КМА Рисса. Сначала покажем, что базисный сплайн ф(ж) удовлетворяет масштабирующему уравнению.
Теорема 5. Обозначим Р(ж) = ф(х). Справедливо равенство
Р(ж) = 1 Р(2ж) + 1 Р(2ж - 1) + 2Р(2ж - 2) + 1 Р(2ж - 3) + 1 Р(2ж - 4). (9) 4 2 2 2 4
Доказательство. По построению Р(2) = 1, Р(0) = Р(4) = 0, Р(1) = Р(3) = 2, Р (1) = Р (4 - 2) = 1, Р (2 + 2) = Р (2 - 2) = 1 - |. Обозначим для краткости Sо(ж) = (Р(2ж) + Р(2ж - 4)) 1, ^(ж) = Sо + 2(Р(2ж - 1) + Р(2ж - 3)), S2(ж) = Sl(ж) + 2Р(2ж - 2).
Так как S0(ж) = Р(ж) = 0 при ж = 0, ж = 4, S0(ж) = Р'(ж) = 0 при ж = 0,4, то S0(ж) = Р(ж) на [0,1] и [4 - 2,4], причем S0(ж) симметрична относительно точки ж = 2.
Аналогично убеждаемся, что S1 (ж) = Р(ж) на [0,1] и [3,4] и S2(ж) = ^ (ж) + + 1Р(2ж - 2) = Р(ж) всюду. □
Преобразование Фурье функции / £ Ь2(М) определим равенством
—
/Н = ^ f (x)e-2™ dx.
Лемма 1. Справедливо равенство
F(^) = -43-eni4w sin 2п^ sin2 п^ = 27eni4w cos п^ 81П
(пи^ \ пи
Доказательство. Дважды интегрируя по частям, находим
+( 1
ф(и)= [ ф(ж)е—2^ж = [ ^з(ж)е—2™ ^ж
7 (п^и)2 ]
0
4 . п^ \ 16 . п^ . 2 п^
2 sin —--зтп^ = -—— e ' ш sin —— sin
(п^)3 V 2 ) (п^)3 2 4
Поэтому F) = ф. i = 4ф(4^) = sin2nw sin2 п^. □
Образуем подпространства
Vn = (22F(2nx + k))fcGz .
Теорема 6. Совокупность (Кобразует КМА, т.е. выполнены аксиомы А1)-А3).
Доказательство. Функция Р(ж) — масштабирующая, имеет компактный носитель, и Р(0) = 0. Поэтому по теореме 1.4 из [10, с. 20] образуют КМА (см. также [12,13]). □
Определение 3. Пусть /,д £ Ь2(М). Выражение
[/,д ](и) = ^ / (и + -)д(и + к)
ке^
называют скобочным произведением (см. [14]).
—ос
Определение 4. Пусть 5 > 0. Множество
И?(М) = {/ е ¿2(М) : II/Н^(Ж) = 11(1 + | ■ |)7||ь2(Ж) < называют пространством Соболева.
Определение 5. Пусть у е ¿2(М), уи , к = 22у(2их + к). Оператор
ри : / (/ Уи , кV
кеъ
называют квазиинтерполяционным оператором.
Определение 6. Оператор ри доставляет аппроксимацию порядка т е М+, если для всех / е И2т(М)
II/ - Ри/||ь2(Ж) = 0(2-ит).
Лемма 2. [7, с. 22; 8] Пусть функция у удовлетворяет условиям:
1) скобочное произведение [у, у] существенно ограничено;
2) [у, у] -|у|2 = 0(| ■ |2т);
3) 1 - И2 = 0(| ■ Г»).
Тогда ри доставляет аппроксимацию порядка т1 = ш1п(т, 2т0). Здесь символ / = 0(| • |т) означает, что ИшБир ^Й1 < С, С > 0.
0
Отметим, что если скобочное произведение [ф (ф] существенно ограничено, то модуль |(ф| тоже существенно ограничен.
Лемма 3. Справедливо равенство
' 8 13 |F'(ш + k)|' = 4 cos' пш Í ■
fceZ ^
Доказательство. Используя лемму 1, имеем
У | F(ш + k) |2 = 47 cos2 пшУ f sin п(ш + kЛ 6 = 47 sin6 пш cos2 пш V —. ttz ttz\ п(ш + kW tz (п(ш + k))6
(8 13 1 \
— + — cos 2пш + — cos2 2пш ) .
15 30 30 )
При m G N справедливо равенство [15, c. 149],
(x + пк)2т = - (2m - 1)! dx2m—1 ctgx'
Учитывая, что при m = 3
^2m-1
-——-ctg X
dx2m-1 &
1/8 13 1 2n N
— + — cos 2x + — cos 2x
m=3 sin6 x\ 15 30 30
получаем утверждение леммы. □
Определим функцию ((x) = 27F(x). Из лемм 1 и 3 следует, что
Л / Ч ™ > ( sin пш\ 3
ф(ш) = cos пш ( -— J ,
(8 13 1 \
— + — cos 2пи + — cos2 2пи ) , 15 30 30 /
ф(ж) удовлетворяет масштабирующему уравнению (9), и, значит, функция ф порождает КМА (КОднако этот КМА не является риссовским, так как сумма |ф(^ + к)|2 неограничена снизу положительной постоянной.
fcez
Теорема 7. Оператор рп, построенный по функции ф(ж) = 27^(ж), доставляет аппроксимацию порядка 1.
Доказательство. Воспользуемся леммой 3. Во-первых, [ф, ф] существенно ограничены. Во-вторых,
8 13 1 2п /sin пи\6
Т^ + ^ cos2n^ + ™ cos 2пи - -
15 30 30 \ пи J
2 2 2 2 [<£, J — |<£| = cos пи I — + — cos 2пи + — cos 2пи — ( ——- ) | « и .
Наконец,
1 1^.2 , 2 (sin пи\ 2
1 — | =1 — cos пи - « и .
пи
Поэтому по лемме 3 оператор pn доставляет аппроксимацию порядка 1. □
Благодарности. Авторы выражают благодарность рецензенту за полезные замечания. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 1601-00152) .
Библиографический список
1. Curry H. B., Schoenberg I. J., On spline distributions and their limits: the Pollya distributions // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. Vol. 53. Abstract 380t. P. 1114.
2. Schoenberg I. J. On spline functions (with a supplement by T. N. E. Greville) // Inequalities I / ed. O. Shisha. N. Y. : Academic Press, 1967. P. 255-291.
3. Schoenberg I. J. Contributions to problem of approximation of equidistant data by analytic functions // Quart. Appl. Math. 1946. Vol. 4. P. 45-99, 112-141.
4. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М. : Мир, 1972. 319 с.
5. Де Бор С. Практическое руководство по сплайнам. М. : Радио и связь, 1985. 304 с.
6. Stromberg J.-O. A modified Franklin system and higher-order spline systems on Rn as unconditional bases for Hardy spaces // Conference in Harmonic Analysis in Honor of A.Zigmund (The Wadsworth Mathematics Series) / eds. W. Beckner, A. P. Calderon. Springer, 1982. Vol. 2. P. 475-494.
7. Battle G. A block spin construction of ondelettes. Part 1: Lemarie functions // Comm. Math. Phys. 1987. Vol. 110. P. 601-615.
8. Lemarie P.-G., Meyer Y. Ondelettes et bases Hilbertiennes // Rev. Math. Iber. 1987. Vol. 2, № 1/2. P. 1-18.
9. Чумаченко С. Об одном из аналогов системы Фабера - Шаудера // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. 2016. Т. 53. С. 163-164.
10. Mathematics in image processing / ed. Hongkai Zhao. IAS/Park City Mathematics Series. 2013. Vol. 19. 245 p.
11. De Boor C., DeVore R. A., Ron A. Approximation from shift-invariant subspaces of L2(Rd) // Transactions of the American Mathematical Society. 1994. Vol. 341, № 2. P. 787806.
12. De Boor C., DeVore R. A., Ron A. On the construction of multivariate (pre) wavelets // Constructive approximation. 1993. Vol. 9, № 2. P. 123-166.
13. Jia R. Q., Shen Z. Multiresolution and Wavelets // Proc. Edinb. Math. Soc., II. Ser. 1994. Vol. 37, № 2. P. 271-300.
14. Jia R. Q., Micchelli C. A. Using the refinement equations for the construction of pre-wavelets II: Powers of two // Curves and surfaces / eds. P.-J. Laurent, A. Le Mehaute, L. L. Schumaker. Elsevier Inc., 1999. P. 209-246.
15. Чуи Ч. Введение в вейвлеты. М. : Мир, 2001. 412 с.
Образец для цитирования:
Лукомский С. Ф., Мушко М. Д. О двоичных базисных сплайнах 2-й степени // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 2. С. 172-182. ЭО!: 10.18500/1816-9791-2018-18-2-172-182
On Binary B-splines of Second Order S. F. Lukomskii, M. D. Mushko
Sergey F. Lukomskii, https://orcid.org/0000-0003-3038-2698, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, 410012, Russia, LukomskiiSF@info.sgu.ru
Maxim D. Mushko, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, 410012, Russia, dart-maximus@yandex.ru
The classical B-spline is defined recursively as the convolution Bn+i = Bn * B0, where B0 is the characteristic function of the unit interval. The classical B-spline is a refinable function and satisfies the Riesz inequality. Therefore any B-spline Bn generates the Riesz multiresolution analysis (MRA). We define binary B-splines, obtained by double integration of the third Walsh function. We give an algorithm for constructing an interpolating spline of the second degree for a binary node system and find the approximation order of this interpolation process. We also prove that the system of dilations and shifts of the constructed B-spline generates an MRA (Vn) in De Boor sense. This MRA is not Riesz. But we can find the approximation order of functions from the Sobolev spaces W2s , s > 0 by the subspaces (Vn).
Key words: binary B-splines, multiresolution analysis, Sobolev spaces.
Acknowledgements: The authors are grateful to the referee for useful comments. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 16-01-00152).
References
1. Curry H. B., Schoenberg I. J., On spline distributions and their limits: the Pollya distributions. Bull. Amer. Math. Soc., 1947, vol. 53, Abstract 380t, p. 1114.
2. Schoenberg I. J. On spline functions (with a supplement by T. N. E. Greville). Inequalities I. Ed. O. Shisha. New York, Academic Press, 1967, pp. 255-291.
3. Schoenberg I. J. Contributions to problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Quart. Appl. Math., 1946, vol. 4, pp. 45-99, 112-141.
4. Alberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. The theory of splines and their Applications. Academic Press, 1967. 296 p.
5. De Boor C. A practical guide to splines. New York, Springer-Verlag, 2001. 348 p. (Russ. ed.: Moscow, Radio i sviaz', 1985. 304 p.)
6. Stromberg J.-O. A modified Franklin system and higher-order spline systems on Rn as unconditional bases for Hardy spaces. Conference in Harmonic Analysis in Honor of A.Zigmund (The Wadsworth Mathematics Series). Eds. W. Beckner, A. P. Calderon. Springer, 1982, vol. 2, pp. 475-494.
7. Battle G. A block spin construction of ondelettes. Part 1: Lemarie functions. Comm. Math. Phys, 1987, vol. 110, pp. 601-615.
8. Lemarie P.-G., Meyer Y. Ondelettes et bases Hilbertiennes. Rev. Math. Iber., 1987, vol. 2, no. 1/2, pp. 1-18.
9. Chumachenko S. On an analogue of the Faber - Schauder system. Trudy matematicheskogo centra N. I. Lobachevsky [Proceedings of the N. I. Lobachevsky Mathematical Center]. 2016, vol. 53, pp. 163-164 (in Russian).
10. Mathematics in image processing. Ed. Hongkai Zhao. IAS/Park City Mathematics Series. 2013, vol. 19. 245 p.
11. De Boor C., DeVore R. A., Ron A. Approximation from shift-invariant subspaces of L2(Rd). Transactions of the American Mathematical Society, 1994, vol. 341, no. 2, pp. 787-806.
12. De Boor C., DeVore R. A., Ron A. On the construction of multivariante (pre) wavelets. Constructive approximation, 1993, vol. 9, no. 2, pp. 123-166.
13. Jia R. Q., Shen Z. Multiresolution and Wavelets. Proc. Edinb. Math. SocII. Ser, 1994, vol. 37, no. 2, pp. 271-300.
14. Jia R. Q., Micchelli C. A. Using the refinement equations for the construction of pre-wavelets II: Powers of two. Curves and surfaces. Eds. P.-J. Laurent, A. Le Mehaute, L. L. Schumaker. Elsevier Inc., 1999, pp. 209-246.
15. Chui Ch. K. An Introduction to Wavelets. San Diego, CA, USA, Academic Press, 1992. 264 p. (Russ. ed.: Moscow, Mir, 2001. 412 p.)
Cite this article as:
Lukomskii S. F., Mushko M. D. On Binary B-splines of Second Order. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2018, vol. 18, iss. 2, pp. 172-182 (in Russian). DOI: 10.18500/18169791-2018-18-2-172-182
