CC BY
38
УДК 519.6
Д.А. Турсунов
Применение сплайн-вейвлетов для решения интегро-дифференциальных уравнений
D.A. Tursunov
Application of Spline Wavelets to Solve the Integro-Differential Equations
В данной работе используется новый тип эрмитовых кубических сплайн-вейвлетов для построения приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений. Вейвлеты построены в базисе эрмитовых кубических сплайнов. Численные результаты демонстрируют эффективность построенных базисных вейвлетов.
Ключевые слова: вейвлет, эрмитовый кубический сплайн, интегро-дифференциальное уравнение.
In this paper, the author brings into use the wavelet bases of Hermite cubic splines to solve the integro-differential equations. The wavelets are constructed on the basis of Hermite cubic splines. The computational results demonstrate the advantage of the wavelet basis. Key words: wavelet, Hermit cubic spline, integro-differential equation.
Введение. Недостатками построенных ранее вейвлетов является то, что они либо не имеют аналитического представления, либо расположены на достаточно широком носителе. И то, и другое бывает чрезвычайно важно при их использовании для приближенного решения интегро-дифференциаль-ных уравнений. Все обозначения те же, что и в работе [1].
Пусть ф1 и ф2 - кубические сплайны вида: ф1(х) = (х+1)2(1 - 2х) %[-1,0](х) + (1-х)2(1 + 2х)Х[0,1](х) и Ф2М = (х + 1)2ххи,0](х) + (1 - х)2хХ[0,1](х), где Х[а,Ь](х) - характеристическая функция, Х[а,Ь](х) = 1, при x е [а,Ь] и Х[а,Ь](х) = 0, при x £ [а,Ь].
В работе [2] Дамен и соавторы построили би-ортогональные мультивейвлеты в базисе эрмитовых кубических сплайнов ф1 и ф2. Отметим, что их конструкция базисных вейвлетов выглядит слишком сложно [3].
В [1] предложен новый подход к построению базисных вейвлетов на пространстве эрмитовых кубических сплайнов, т. е. наши вейвлеты ортогональны со скалярным произведением (и', у'), а не (и, у). Это требование ортогональности лучше подходит для применения вейвлетов к численному решению ин-тегро-дифференциальных уравнений второго порядка. Вдобавок эти вейвлеты имеют меньший носитель.
Нетрудно заметить, что множество
Фи:= (ф1(2и -}): ] = 1,...,2п - 1} и и{ф2(2И - 7)1 (0,1): ] = 0,...,2п} (1)
является базисом для У„ (¥„ - пространство кубических сплайнов, удовлетворяющих условиям: п > 0, у е С[0,1] п С' [0,1]; у(0) = у(1) = 0). Элементы Фп обозначим через {у1 ,., у2„+1 }.
Пусть Тп множества вейвлетов, которые пока не конкретизируются:
Т : = {^(2п - 7): ] = 1,...,2п - 1} и
и{^(2п - 7)1 (0,1): 7 = 0,...,2п}, (2)
и Wn - линейное пространство, натянутое на Тп, очевидно, что dim(Wn) = 2п+1. В работе [1] доказано равенство:
}w'(х)у'(х)ёх = 0, У^ еТп, Уу еФп . (3)
0
Из этого следует, что Уп п Wn = {0}. Кроме того, ниже будет показано, что ¥п+1 з ¥п + Wn и dim(Vn+1) = dim(Vn) + dim(Wn). Это означает, что ¥п+1 = Уп © Wn. Следовательно, мы получим разложение Н (0,1):
Н 0 (0,1) = V © W1 © W2 ©....
Элементы Тп обозначим через {^2„+1+1,...,^2„+2},
п е N.
Пусть gk: = ук1\\у’к||2 при к = 1, 2, 3, 4 и gk: = = ^к/\Кк\\2 при к> 4. Тогда \\я' к\\2 = 1 при п е N.
Сплайн-вейвлеты. Нетрудно показать, что ф1 и ф2 - кубические сплайны, определенные во введении, удовлетворяют условиям: ф1, ф2 е С1, ф1(0) = 1, ф ' 1(0) = 0, ф2(0) = 0 ф ' 2(0) = 1.
Следовательно, эрмитова интерполяция для функции И е С1 (*), имеет следующий вид:
ы = X И ( 7 ) ф ( - 7 ) + И ) ф2 (- 7) ,
Зе
У/ е 2: и() = И(/), ы(/) = И '(/).
Пусть 5” представляет собой инвариантное пространство сдвигов, порожденное ф1 и ф2. Функция g принадлежит пространству 5 тогда и только тогда,
Применение сплайн-вейвлетов для решения ... уравнений
когда существуют две последовательности Ь1, Ь2 на Z, для которых выполняется равенство:
g = X [Ь1 () ф1 (- 7) + Ь2 () ф2 ( - 7)].
Пусть 51 = {g(2•): g е 5}, тогда 5 с 51. Мы ищем пространство вейвлетов W, для которого 51 = 5 © W. При этом хотим найти два вейвлета уь у2, так что их сдвиги порождают W. Кроме того, потребуем выполнения равенств
(V1, ф 'т( -/)) = (V2, ф 'т( -/)) = 0, т = 1,2, У/- е Z. (4)
Отсюда имеем два материнских вейвлета уь у2:
у1(х) = -2ф1(2х + 1) + 4ф1(2х) - 2ф1(2х - 1) -- 21ф2(2х + 1) + 21ф2(2х - 1),
у2(х) = ф1(2х + 1) - ф1(2х - 1) + 9ф2(2х + 1) +
+ 12ф2(2х) + 9ф2(2х - 1).
Носителями построенных вейвлетов у, у2 является отрезок [-1, 1], они удовлетворяют условию (4), и их сдвиги генерируют пространство вейвлетов W, так что 51 является прямой суммой 5 и W. Кроме того, у - симметричен, а у2 - антисимметричен.
Вейвлеты на отрезке. В данном разделе мы используем сплайн-вейвлеты из предыдущего раздела для построения вейвлет-базиса в пространстве Н (0,1). Пусть Фп, Тп будут множествами, определенными в (1) и (2) соответственно. Тогда Фп -базис для Уп, а Wn пусть будет линейным пространством, натянутым на Тп. Нетрудно доказать, что Уп е N (у', w'п) = 0, (^ 'т, w'п) = 0, т Ф п (доказательство можно найти в [1]). Отсюда
>'+У w ’
n
n=i L2 (0,i
Пусть 4'n- j(x )^v7s:
Il2 (0,i i
+ZI lw'
n=i
,2-n l2^i
i|2
IIl2(0,i) .
(5)
Wn,j (x) =
при j = 2,4,...,2 -2,
i 2-nlV2 12nx-
л/15З.б
при j = З,5,...,2«+і -1 i
y«i (x >=ж (x ) =
2-nlV2 (2nx),
i
л/Тб.
r2-nI2w2 (2nx - 2n ).
^1,1 (x) = ^24^1 (2x - ^ Фі,2 (x) = у15ф2 (2x),
ф,З (x) = ^^ (2x - 1) , ф,4 (x) = ijj-A (2x - 2) .
при «єN и хє(0,1).
Ясно, что Vi разлагается на ф1, j, j = 1, 2, З, 4. Следовательно, Hj(0,l) разлагается на gj,j = 1, ...,
2n , где gj = ф1, j , при j = 1 ..., 4, и g2n+i +j =y„j,
n e N, j = 1, ..., 2n+1.
В работе [1] доказано, что (' ■) +1 яв-
V >J 'neN,1<j<2n
ляется базисом Рисса в L2(0,1).
Аналогично доказывается, что (g' tj) eN - базис Рисса в L2(0,1).
Применение. В этом разделе мы используем построенные вейвлеты для решения интегро-диффе-ренциальных уравнений вида:
d и / ч du / ч / ч
+ p (x )—+ q (х )и (х) +
dx dx
х (6)
+| K (х, s)u (s)ds = f (x), 0 < x < 1,
0
с граничными условиями
u(0) = u(1) = 0, (7)
где p(x), q(x), fx), K(x,s) - заданные непрерывные функции.
Коэффициенты и ядро K(x,s) уравнения (6) удовлетворяют условиям:
0 < p(x) < c3, 0 < q(x) < c4, 0 < K(x, s) <c5,
x e [0, 1], s e [0, 1]. (8)
Отметим, что если граничные условия являются неоднородными т.е. u(0) = a u(1) = в, то с помощью преобразования u(x) = U(x) + a + x(fi - a) можно привести их к однородным U(0) = U(1) = 0.
Пусть a(u,v) обозначает билинейную форму,
u, v e H (0,1):
a (u, v) = j ^u '(x)v' (x)dx +| ^ p (x)u' (x)v (x)dx+
1 1 x
+j q(x)u(x)v(x)dx+jjK(x,s)u(s)v(x~)dsdx.
0 0
Тогда вариационная запись (6)-(7) имеет следующий вид:
a(u, v) = (f,v), Vv e H (0,1).
Соответствующая задача аппроксимации Галер-кина: найти un e Vn, при котором
a(un,v) = <fv> Vv є Vn.
(9)
По лемме Лакса-Милграмма (см. [4, с. 60]) задача (9) имеет единственное решение. Мы предлагаем использовать найденное выше множество вейвлетов О = •••, g2n+l } как базис для У„. С этим базисом
для Уп задача (9) может быть дискретизирована следующим образом:
Е а (, = ^, /), І = 1,...,2п+1.
к =1
Число обусловленности матрицы Ап равномерно ограничено, А п = (а(gi,gk))і <і,к<2п + 1.
К задачам типа (6)-(7) сводятся задачи для различных уравнений, например, дифференциальное уравнение третьего порядка:
4З
- у'' + р(х)у’' + д(х)у' + И(х)у = /х), (10)
с начально-граничными условиями:
У(0) = У (0) = у (1) = 0. (11)
Введем обозначение у (х) = ы(х), тогда из (10) имеем (6), при К(х, я) = И(х), а из (11) получим (9). Решение задачи (10)-(11):
X
у(х) = | и (я.
0
Рассмотрим примеры.
г
1. -и "+ СОБ(г)| и (я=
0
= П2 8Ш(П) - СО^г(С08(П) -1), и(0) = и(1) = 0. п
Точное решение и(г) = 57п(П).
\\и(г) - и4(г)\\2 = 2,389 х 10-3, \\и(г) - и8(г)\\2=
= 2,092 х 10-4, \\и(г) - и16(г)\\2 = 1,291 х 10-5,
С(А4) = 1,667; С(А8) = 2,342, С(А16) = 3,205.
г 9 7 5
2. -и"+ \(г + я)и (я)ds = — г5 — г4 +—г3 -6г+4,
0 20 6 6
и (0) = и (1) = 0.
Точное решение u(t) = t - 2t2 + t,
||u(t) - u4(t)||2 = 3,908 X 10-8, ||u(t) - u8(t)||2 =
= 3,894 x 10-8,
C(A4) = 1,672; C(A8) = 2,342.
3. y' ' + 2y ' + xy' + 3y = 4x - 5x2/2,
y(0) = y (0) = y (1) = 0.
Точное решение y(x) = x2(2x - 3)/6, u(x) = x2 - x. ||u(t) - u4(t)||2 = 4,209 X 10-8, ||u(t) - u8(t)||2 =
= 1,02 x 10-8,
C(A4) = 1,667; C(A8) = 2,342.
4. y'' + xn2y' - n2xy’ + n4xy = 2ncos(nx),
y(0) = y (0) = y (1) = 0.
Точное решение y(x) = sin(nx)/n2 - xcos(nx)/n, u(x) = xsin(nx).
||u(t) - u4(t)||2 = 1,309 X 10-3, ||u(t) - u8(t)||2 =
= 1,202 x 10-4, ||u(t) - u16(t)||2 = 1,101 x 10-5,
C(A4) = 1,867; C(A8) = 2,342, C(A16) = 3,205.
В примерах ||u (t)- un (t)||2 = ^ j (u (t)- un (t))2 dt -
норма разностей; C(An) - число обусловленности матрицы Ап.
Библиографический список
1. Турсунов Д.А., Губская М.М. Построение новых типов эрмитовых кубических сплайн вейвлетов // Молодежная научная конференция. - Томск, 2009.
2. Dahmen W., Han R.Q. Jia and A. Kunoth. Biorthogonal
multiwavelets on the interval: Cubic Hermite splines, Constr.
Approx. - 2000. - V. 16.
3. Heil C., Strang G., Strela V. Approximation by translates of refinable function // Numer. Math. - 1996. - V. 73.
4. Brenner S.C., Scott L.R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. - New York, 1994.
