CC BY
15
УДК 625.7: 519.6
ШУМИЛОВ БОРИС МИХАЙЛОВИЧ, докт. физ.-мат. наук, профессор, sbm@tsuab. ru
БАЙГУЛОВ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ, главный инженер проектов, anbaigulov@mail. ru
АБДЫКАЛЫККЫЗЫЖЫПАРГУЛ, ст. преподаватель, jypara@lenta. ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
АЛГОРИТМ И ПРОГРАММА ВЕЙВЛЕТ-МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ*
Рассмотрены вопросы разработки алгоритма и программы моделирования поверхностей автомобильных дорог с использованием бикубических эрмитовых сплайн-вейвлетов, ортогональных многочленам, по прямоугольным таблицам материалов лазерного сканирования. Представлены результаты численных экспериментов, описание разработанного пакета и результаты экспорта обработанных с помощью пакета данных в специализированную программу автоматизации проектирования автомобильных дорог.
Ключевые слова: вейвлеты; обработка данных; автомобильные дороги; моделирование; алгоритм; программа.
BORISM. SHUMILOV, DSc, Professor, sbm@tsuab. ru
ANDREI N. BAIGULOV, Project Chief Engineer, anbaigulov@mail. ru
ZHYPARGUL ABDYKALYK, KYZY, Senior Lecturer, jypara@lenta. ru
Tomsk State University of Architecture and Building,
2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia
ALGORITHM AND WAVELET-MODELING PROGRAM FOR ROAD PAVEMENTS
The paper describes the problems of algorithm and program design for modeling automobile road pavements using bicubic Hermitean spline-wavelets orthogonal to polynominals, and orthogonal lists of laser scanned materials. The paper presents results of numerical experiments and describes data burst used for data export in the appropriate CAD program intended for automobile roads.
Keywords: wavelets; data processing; roads; modeling; algorithm; program.
Трехмерные цифровые модели местности (включая объекты транспортного, промышленного и гражданского строительства) находят широкое применение в самых разных областях человеческой деятельности. При создании
* Работа выполнена при финансовой поддержке по проекту РФФИ 13-08-90900-мол_ин_нр.
© Б.М. Шумилов, А.Н. Байгулов, Ж. Абдыкалык кызы, 2014
таких моделей обычно используется твердотельное или поверхностное моделирование [1].
Поверхностью будем называть однозначную функцию высот от планового положения точек. Сверхбольшой поверхностью будем называть такую поверхность, исходные данные которой могут не умещаться в оперативной памяти компьютера либо не укладываться в топологию прямоугольного участка трассы (примыкания, уширения и др.). В настоящее время можно выделить следующие проблемы, связанные со сверхбольшими поверхностями.
Для построения цифровой модели поверхности, как правило, используют триангуляцию - планарный граф, все конечные грани которого являются треугольниками [2]. На сегодняшний день известно несколько видов триангуляций, но наибольшей популярностью пользуется триангуляция Делоне [2], которая обладает свойством хорошей аппроксимации исходной поверхности. Известные алгоритмы построения сверхбольших триангуляций Делоне приведены в работе [3]. Однако авторами этих алгоритмов не было предложено способа эффективного использования таких сверхбольших триангуляций. Поэтому полученные решения носят скорее теоретический характер и приводят к замедлению счета на практике.
В случае прямоугольной топологии алгоритм аппроксимации сводится к простой серии одномерных преобразований по строкам и столбцам таблицы высот - при этом основная трудность состоит в получении прямоугольной таблицы из «облака» данных. В качестве одномерных аппроксимаций могут использоваться сглаживающие сплайны, функции Безье, 5-сплайны, сплайны Эр-мита. В последнее время начали применяться алгоритмы обработки на основе вейвлетов [4], для которых пока не созданы все теоретические предпосылки.
Базисные сплайн-вейвлеты 3-й степени. Пусть имеется набор вложенных пространств ...Уь_1 сУЬ сУЬ+1... Вейвлетами называется базис разности пространств Ум и УЬ [5]. В данном случае пространство УЬ является пространством эрмитовых кубических сплайнов на отрезке [а,Ь] с равномерной сеткой узлов АЬ : х! = а + (Ь _а)/'/2Ь, i = 0,1,...,2Ь, Ь > 0 и базисными функциями (х) = фк (V _ /), к = 0, IV/, где у = 2Ь (х _ а)/(Ь _ а), с центрами в целых числах, порожденными сжатиями и сдвигами двух базисных эрмитовых функций ф0(0, ф1(^), (е[0,2] [6, 7].
При условии [7] обнуления сплайна в конечных точках будем использовать в качестве вейвлетов линейные комбинации базисных эрмитовых функций на сетке АЬ+1, удовлетворяющие условиям ортогональности всем многочленам четвертого порядка, т. е.
[ЬМЬк(х)xmdx = 0, к = 0,1 V/ (т = 0, 1, 2, 3). (1)
3 а ,
Теорема [8]. Пусть
МЬк(х) = ^(V_/), / = 1, 2,... 2Ь _ 1(к = 0,1),
М0Ь1 (х) = ^1 (V), МЬ2ь ,1 (х) = _^1 (2Ь _ V),
где V = 21 (х - а) /(Ь - а),
у 0() = -2ф0 (2( + 2) + 4ф0(2^ +1) - 2ф0 (2() - 15ф1 ^ + 2) + 15ф1(2^), уДО = 7ф0(2^ + 2) - 7ф0(2^) + 39ф1(2^ + 2) + 132ф1(2^ +1) + 39ф1(20, (2) w1 (О = ф0 (2^ +1) - 4ф0 (21) + 36ф1 (21 + 2) + 63ф1 (2( +1) + 24ф1 (21).
Тогда система функций (М^х),М^к (х), 1 = 1, 2,..., 2L -1(к = 0,1), М^ 1(х)} удовлетворяет условиям (1)
и образует вейвлет-базис для Ь > 1.
Алгоритм вейвлет-преобразования. На любой сетке ЛЬ, Ь > 1 кубический эрмитов сплайн с нулевыми значениями при х = а, Ь может быть представлен как
5і (х) = X С^N1, (х) + X С^(х), а < х < Ь, (3)
г',0 '
/=1 /=0
где коэффициенты Сі,к, к = 0,1 являются значениями и, соответственно, производными аппроксимируемой функции в узлах.
Если записать базисные сплайн-функции в виде единой матрицы-строки фь = [N0^,N0,К^,...,N^11] и упорядочить коэффициенты сплайна в виде вектора С = [С0іД, С1і0, С1і1,..., С^1], то уравнение (3) переписывается как 5і (х) = фь (х)Сі. Аналогично запишем базисные вейвлет-функции на уровне разрешения і в виде матрицы-строки у1 = [М0\, М^, М^,..., М^ ^. Соответствующие вейвлет-коэффициенты будем собирать в вектор DL = [D0і’l,D1і,0,D1і,1,...,Dіі1]. Тогда с использованием обозначений для блочных матриц процесс получения С из Сі-1 и DL-1 [5, 8] может быть записан как
сі-
Сі = [Рі | QL ]
DL-1
(4)
Блоки матрицы РЬ составлены из коэффициентов масштабных соотношений для эрмитовых сплайнов 3-й степени [6], тогда как блоки матрицы QL - из коэффициентов соотношений (2). Обратный процесс разбиения коэффициентов СЬ на более грубую версию СЬ-1 и уточняющие коэффициенты DL-1 состоит в решении системы линейных уравнений (4).
Результирующее вейвлет-разложение сплайна SL (х) с нулевыми значениями по концам отрезка аппроксимации может быть записано в виде
SL(х) = £с,0Х(х) + XМ'(х), а < х < Ь. (5)
1=0 ^=0 1=0
Ниже представлен пример матрицы [Рь | QL ], соответствующий L = 3:
і
і
Г 1
2
1 1 1
8 2 8
1 3 1
8 4 8
1 0
1
0
2
1 1
2 8
3 1
4 8
[Р3^ 3] =
36
2 8
3 1
4 8
1 0
0 I
2
1 1
2 8
_2 -1
4 8
28 2 -1 4 8
10
0 1
2
11
2
4
8
_1
8
_1
8
1
2
2 7
-15 39
4 0
0 132
2 7
15 39
2 7
-15 39
4 0
0 132
2 7 2 7
15 39 -15 39
4 0
0 132
2
15
-7 -1
39 63
36
Здесь пустые позиции представляют собой нулевые элементы.
Пример 1. Пусть дана кубическая функция f (х) = х(х- 2)(х -1) с числом разбиений п = 2і на интервале 0 < х < 1, длина шага h = 1/ п, где і -уровень разрешения. Индекс і связан с числом используемых значений функции и производной на интервале при выполнении вейвлет-преобразования. С целью компенсации единичного шага сетки в соотношениях уточнения (4) при выполнении вейвлет-преобразования в качестве исходных используются значения функции и производной, домноженной на Ь. ^ (0)^, /к)(і^)^к, к = 0,1, і = 1,..., п-1, f (1)^, всего 2п чисел. Начиная с і = 5 находим на последнем этапе рекурсивного алгоритма вейвлет-разложения два значения производной сплайна (5°)'(х) в концах отрезка С0 = [1; -2] Т. При этом все вейвлет-коэффициенты пренебрежимо малы и могут быть обнулены. На рис. 1 представлены результаты обратной вейвлет-реконструкции значений сплайна 55(х) и его первой производной в узлах сетки А5. Этот пример демонстрирует свойство точности аппроксимационной схемы на многочленах третьей степени, обеспечивая в данном случае коэффициент сжатия 64/2 = 32.
Пример 2. Для функций, не равных нулю на концах отрезка, предлагается вычесть из исходных координат уравнение прямой, соединяющей первую и последнюю точки. В результате алгоритм вейвлет-преобразования сводится к рассмотренному случаю, а уравнение прямой добавляется к полученному решению (рис. 2).
Г г
Рис. 1. Воспроизведение функции и производной
О.:1------------1----------1----------1-----------
О 0.2 0:4 0.6 0:8
Рис. 2. Результаты вейвлет-реконструкции коэффициентов эрмитового сплайна 3-й степени для функции / (х) = (х2-1/4)х -1/2)
Вычисление производных по выборке. Использование при трассировании автомобильных дорог эрмитовых сплайнов позволяет в явном виде, через значения сплайн-коэффициентов, учесть геометрические ограничения как на пикеты автомобильной трассы, так и на направления касательных, например, при въезде на мостовое сооружение. В большинстве практических ситуаций даны только точечные значения функции. В этом случае при использовании вейвлет-преобразований, основанных на кубических эрмитовых сплайнах, мы должны будем вычислить приближенные значения производных
в узлах самой густой сетки А1" с подходящей точностью и затем применить наши алгоритмы. Отметим, что с точки зрения сжатия данных количество вейвлет-коэффициентов при этом по сравнению с методами, основанными на В-сплайн-вейвлет-преобразованиях [5], увеличится с п до 2п. Однако в итоге с учетом аннулирования незначимых вейвлет-коэффициентов этот подход может все еще быть конкурентоспособным.
В случае равномерной сетки для вычисления первых производных точечно-заданных функций предлагается решить линейную систему [9]
; + 4,7;+4й= 2 - (б)
которая обеспечивает приближение к точечным значениям для производных с ошибкой 0(й4) в предположении соответствующей гладкости.
В присутствии сингулярностей (нарушений монотонности в данных) линейность системы вносит большие ошибки, и не только на шаге, на котором функция не гладкая, но также и на нескольких соседних шагах, где функция гладкая. Это важно с точки зрения сжатия данных, потому что влечет дополнительные существенные вейвлет-коэффициенты в представлении (5). В исследовании [9] предлагалось для исправления полученных значений производных применять схему ENO. Мы предпочитаем использовать следующий результат из теории кубических эрмитовых сплайнов.
Лемма о монотонности [10]. Если /[х и хт] > 0 и 0</; < 3 /[х и хг+1],
; = i,i + 1, то ^)'(х) > 0 для хе[х и хг+1].
Следствие (нелинейный алгоритм). В окрестности точек, где _ / '(х) = 0, либо в местах, где производная функции изменяется быстро, а точки располагаются достаточно редко, вначале производные вычисляются с использованием (6), а затем значения, которые не удовлетворяют условиям леммы, корректируются согласно следующему алгоритму:
Для каждого i, такого, что | /■ |>3 тт(]/[х хг]|, |/[х и хг-+1]|), заменяем
7 на
min(|/[x г-_1, хг]|, |/[х „ хг+х]|) sign( ~ ),
где применительно к этой формуле берем/[х _1, х0] = /[х м, хдг+1] = да.
Тогда интерполяционный эрмитов сплайн SL(x) будет монотонно возрастающим на участках возрастания значений / и монотонно убывающим на участках убывания значений /.
Пример 3. На рис. 3 приведен результат вейвлет-сжатия одного трека данных лазерного сканирования. Достигнуто сжатие с коэффициентом 15,9. Наибольшая возникающая погрешность не превышает 3,5 см. Общая длина трека более 4 км, показан профиль Y - Z участка длиной 450 м.
Моделирование поверхностей. Важной вспомогательной задачей при интерполяции незамкнутых поверхностей бикубическими сплайнами Эрмита с нулевыми краевыми условиями является построение поверхности Кунса [11]. Уравнение билинейной поверхности Кунса, значения которой на сторонах прямоугольной сетки совпадают со значениями аппроксимируемой поверхности, необходимо вычесть из исходных координат. Тогда исправленные значения координат по краям обнуляются, и к полученному после вейвлет-обработки бикубическому эрмитовому сплайну требуется добавить вычтенное ранее уравнение.
В частном случае, когда требуется вычислить функцию Кунса в узлах равномерной по параметрам и и V сетки, формула существенно упрощается:
К ;) = Z (0,;)(1 - и) + Z (п,;)и + Z (i, га) V + Z (i,0)(l - V) -^(0,0)(1 - и)(1 - V)- Z (0, т)(1 - и)V - Z(п,0)и (1 - V)- Z (0,0)и • V, где и = i/n, V = ;/га.
Рис. 3. Результат сжатия информации для одного трека
В результате на данном уровне Ь = Ь1 ■ Ь2 исправленную, как указано выше, поверхность следует аппроксимировать согласно формуле
/(и,V) -£ £ £ £ с;М*1 (и)М2 (V), (7)
/=0 ;=0 ^1=0 к,=0
где N - базисные кубические сплайны Эрмита; С; - значения функции,
её градиентов по каждому направлению и смешанного градиента в точке i,;.
Обратим внимание на то, что значения функции в правой части формулы (7) равны нулю на всей границе прямоугольника [а1,Ь1] х [а2,Ь2].
С учетом этого запишем базисные сплайн-функции в виде двух строк:
фЬ = |м0,м0,м1,М0,м1,...,м2ы-1,м2ы| и фЬ2 = |м1,м°,м1,М20,м2,...,м^,| для направлений и и V соответственно. При введенных обозначениях формула для аппроксимации поверхности перепишется как [4]
/(и,V) -фЬ • Сь |фЬ |Г .
Здесь коэффициенты сплайна С*1’к2 образуют матрицу
Сь —
1,1 0,0 С1’0 с0,1 0С1 ,, с ,,
0,1 1,0 С0,0 С1,1 С 0,1 с1,1 * С 0,1 " С1,2Ц2
1,1 1,0 о 1, С1,1 С1,1 1,1 с1,1 " 1,2і2
/~»0,1 /^0,0 /^0,1 /^0,1
С2Ц -1,0С2£1 -1,1С 2і1 -1,1 "'С2І1 -1,2і2
С 1,1 с1,0 с1,1 с1,1
С 2Ц 0 С 2 Ц 1 С 2Ц 1 * " С 2 Ц 2 Ц2
Тогда для двумерного случая имеет место формула [4]
Т _Т , I |Т_
СЬ — рЦ СІі-1’і 2-1 . |р^2 | Е11-1’Ь 2 -1 . |^^2 I
і |Г її
-1,Ц 2 -1 . Р^2 + -1,А 2 -1 . ^^2
+
где С^ 1Д'2 \ Е^ 1Д'2 \ ^ 1Д'2 \ 1Д'2 1 - матрицы коэффициентов двумерного
вейвлет-разложения. Последняя формула показывает, что двумерное вейвлет-разложение сводится к одномерному вейвлет-разложению для каждого столбца исходной матрицы данных Сi и получению при этом двух матриц промежуточных данных. Затем строки этих промежуточных матриц также подвергаются одномерному вейвлет-преобразованию - при этом получаем четыре итоговых матрицы и т. д.
Функции пакета прикладных программ для моделирования трасс и поверхностей автомобильных дорог. Изложенные выше алгоритмы были положены в основу пакета программ для обработки данных лазерного сканирования. Программы пакета позволяют решать следующие задачи [12]:
1. Импортировать данные лазерного сканирования, заданные в текстовых файлах.
2. Проводить разделение «облака» данных на сканы.
3. Убирать повторы сканов.
4. Выделять из «облака» данных поверхность дорожного полотна и производить прямоугольную выборку данных, пригодную для построения модели дорожной поверхности.
5. Представлять графическое изображение сканов, треков и поверхности дороги в выбранных профилях и планах с любой степенью детализации.
6. Давать визуальное трехмерное представление поверхности дороги с использованием технологии OpenGL.
7. Проводить вейвлет-анализ любого выбранного скана, любого трека дороги и всей поверхности с использованием как билинейных [4], так и бикубических эрмитовых вейвлетов с получением статистических оценок погрешности, возникающей при сжатии информации.
Внешний вид главного окна пакета представлен на рис. 4.
Рис. 4. Главное окно пакета после считывания «облака» данных лазерного сканирования
Результат экспорта обработанных с помощью данного пакета данных в систему автоматизированного проектирования автомобильных дорог IndorCAD/Road [13] приведен на рис. 5.
Рис. 5. 3Б вид верха земляного полотна автомобильной дороги, запроектированной по восстановленной сплайн-поверхности
Таким образом, с помощью разработанных на основе вейвлет-представлений алгоритмов могут быть решены основные проблемы обработки данных лазерного сканирования автомобильных дорог - это фильтрация шумов и сокращение объемов данных за счет удаления избыточной и несущественной информации, снижая тем самым вычислительные затраты на последующую обработку. Алгоритмы обработки данных, основанные на вейвлет-анализе (или анализе всплесков), достаточно просты и эффективны в реализации.
Библиографический список
1. Роджерс, Д. Алгоритмические основы машинной графики : [пер. с англ.] / Д. Роджерс. -М. : Мир, 1989. - 512 с.
2. Скворцов, А.В. Триангуляция Делоне и её применение / А.В. Скворцов. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2002. - 128 с.
3. Скворцов, А.В. Построение сверхбольшой триангуляции Делоне / А.В. Скворцов // Изв. вузов. Физика. - 2002. - № 6. - С. 22-26.
4. Вейвлет-преобразование и сжатие данных лазерного сканирования автомобильных дорог / А.Т. Бекмуратов, Г.А. Онопенко, А.Ж. Кудуев, Б.М. Шумилов, Э.А. Эшаров // Вестник ТГАСУ. - 2011. - № 4. - С. 228-238.
5. Столниц, Э. Вейвлеты в компьютерной графике : [пер. с англ.] / Э. Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин. - Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 272 с.
6. Strela, V. Multiwavelets: Theory and Applications: PHD Thesis (Math.) / V. Strela. - Cambridge. - Massachusetts, 1996. - 99 p.
7. Jia, R.Q. Wavelet bases of Hermite cubic splines on the interval / R.Q. Jia, S.T. Liu // Advances Computational Mathematics, 2006. - V. 25. - P. 23-39.
8. Шумилов, Б.М. Кубические мультивейвлеты, ортогональные многочлены и алгоритм с расщеплением / Б.М. Шумилов // Сибирский журнал вычислительной математики. -Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2013. - С. 283-297.
9. Arandiga, F. Discrete multiresolution based on hermite interpolation: computing derivatives / F. Arandiga, A. Baeza, R. Donat // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2004. - V. 9. - P. 263-273.
10. Мирошниченко, В.Л. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных сплайнов класса C2 / В.Л. Мирошниченко // Приближение сплайнами. - Новосибирск, 1990. - Вып. 137: Вычислительные системы. - С. 31-58.
11. Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения : [пер. с англ.] / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. - М. : Мир, 1972. - 350 с.
12. Предварительная обработка материалов лазерного сканирования автомобильных дорог / Д.А. Турсунов, Б.М. Шумилов, А.Н. Байгулов, С.Н. Колупаева // Вестник ТГАСУ. - 2011. - № 3 (32). - С. 184-191.
13. Система проектирования IndorCAD. Проектирование автомобильных дорог: руководство пользователя / И.В. Кривых, Д.А. Петренко, В.Н. Бойков [и др.] - 2-е изд., испр. -Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. - 250 с.
References
1. Rodgers, D.P. Improvements in multiprocessor system design. Moscow: Mir, 1989. 512 p. (transl. from Engl.)
2. Skvortsov, A.V. Triangulyatsiya Delone i ee primenenie [Delaunay triangulation and its application]. Tomsk: TSU Publishing House, 2002. 128 p. (rus)
3. Skvortsov, A. V. Postroenie sverkhbol'shoi triangulyatsii Delone [Very large Delaunay triangulation plotting]. News of Higher Educational Institutions. Physics, 2002, No. 6, Pp. 22-26. (rus)
4. Bekmuratov, A.T., Onopenko, G.A., Kuduev, A.Zh., Shumilov, B.M., Esharov, E.A. Veivlet-preobrazovanie i szhatie dannykh lazernogo skanirovaniya avtomobil'nykh dorog [Wavelet transformation and data compaction of road laser scanning]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building, 2011, No. 4, Pp. 228-238. (rus)
5. Stollnitz, E.J., DeRose, T.D., Salesin, D.H. Wavelets for Computer Graphic. Theory and Applications. Izhevsk: NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2002. 272 p. (transl. from Engl.)
6. Strela, V. Multiwavelets: Theory and Applications, PHD Thesis (Math.), Cambridge, Massachusetts, 1996. 99 p.
7. Jia, R.Q., Liu, S.T. Wavelet bases of Hermite cubic splines on the interval. Advances Computational Mathematics, 2006, V. 25, p. 23-39.
8. Shumilov, B.M. Kubicheskie mul'tiveivlety, ortogonal'nye mnogochlenam, i algoritm s ras-shchepleniem [Cubic multi wavelets orthogonal to polynomials and splitting algorithm]. Siberian Journal of Numerical Mathematics. Novosibirsk: Siberian Branch Russian Academy of Sciences Publishing House, 2013. Pp. 283-297. (rus)
9. Arandiga, F., Baeza, A., Donat, R. Discrete multiresolution based on hermite interpolation: computing derivatives. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2004, V. 9, Pp. 263-273.
10. Miroshnichenko, V.L. Dostatochnye usloviya monotonnosti i vypuklosti dlya interpoly-atsionnykh splainov klassa C2 [Sufficient conditions of monotony and convexity for interpolated splines of C2 class]. Priblizhenie splainami. Vychislitel'nye sistemy. Novosibirsk, 1990. V. 137. Pp. 31-58. (rus)
11. Alberg, J.H., Nilson, E.H., Walsh, J.L. The theory of splines and their applications. Moscow: Mir, 1972. 350 p. (transl. from Engl.)
12. Tursunov, D.A., Shumilov, B.M., Baigulov, A.N., Kolupaeva, S.N. Predvaritel'naya obrabotka materialov lazernogo skanirovaniya avtomobil'nykh dorog [Pretreatment of materials for automobile road laser scanning]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building, 2011. No 3. Pp. 184-191. (rus)
13. Krivykh, I.V., Petrenko, D.A., Boikov, V.N., et al. Sistema proektirovaniya IndorCAD [Indor-CAD design system]. Proektirovanie avtomobil'nykh dorog: User guide. Tomsk: TSU Publishing House, 2010. 250 p. (rus)
