Алгоритм с расщеплением вейвлет-преобразования эрмитовых кубических сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 4(12)

УДК 519.6

Б.М. Шумилов АЛГОРИТМ С РАСЩЕПЛЕНИЕМ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭРМИТОВЫХ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ

В статье исследован неявный метод разложения эрмитовых кубических сплайн-вейвлетов. С использованием расщепления по четным и нечетным узлам получен параллельный алгоритм вейвлет-преобразования эрмитовых кубических сплайнов в виде решения двух трехдиагональных систем линейных уравнений со строгим диагональным преобладанием.

Ключевые слова: эрмитовы сплайны, вейвлеты, соотношения разложения и восстановления.

Вейвлетом называется малая, то есть быстро затухающая волна, множество сжатий и смещений которой порождает пространство ограниченных функций на всей числовой оси [1 - 3]. Вейвлеты используют в тех случаях, когда результат анализа некоторого сигнала должен содержать не только перечисление его характерных частот, но и сведения о локальных координатах, при которых эти частоты проявляют себя. Это бывает важно при обработке и анализе нестационарных (во времени) или неоднородных (в пространстве) сигналов. И. Добеши [1] впервые построила ортонормальные вейвлеты неполиномиального типа с компактными носителями. Недостатками данных вейвлетов является то, что они не имеют аналитического представления и графически похожи на фрактальные кривые. Чуи и др. [2, 3] построили полуортогональные сплайн-вейвлеты. В силу существования явного базиса их можно непосредственно использовать в методах типа Галеркина, однако недостатком данных вейвлетов является то, что они определены на достаточно широком носителе. В ряде работ [4 - 7] уменьшение носителя достигалось построением эрмитовых сплайн-мультивейвлетов, у которых с каждым узлом связано более одной базисной функции.

Вторым важным аспектом применения сплайн-вейвлетов является то, что для них, в отличие от вейвлетов Добеши, не существует явных конечных формул разложения. Поэтому приходится обходиться приближенными соотношениями для главных коэффициентов разложения [2] либо прибегать к решению систем линейных алгебраических уравнений, для которых не гарантирована хорошая обусловленность [3]. В данной работе для случая эрмитовых кубических сплайнов предлагается новый эффективный алгоритм вычисления вейвлет-преобразования на основе впервые полученных в [6, 8] конечных неявных соотношений разложения с расщеплением по четным и нечетным узлам.

Построение системы базисных сплайн-вейвлетов

Отправной точкой для построения вейвлет-преобразования является набор вложенных пространств ... УЬ-1с УЬ с УЬ+1 .... Для случая эрмитовых кубических сплайнов пространство УЬ является пространством сплайнов степени 3 гладкости С1 на отрезке [а, Ь] с равномерной сеткой узлов АЬ : ui = а + (Ь - а) / / 2Ь, / = 0, 1,., 2Ь, Ь > 0, и базисными функциями ^,к (у) = фк(у - г), к = 0, 1 V/, где

V = 2 (и - а) / (Ь - а) + 1, с центрами в целых числах, порожденными сжатиями и сдвигами двух масштабирующих функций вида [9] (рис. 1, а):

Фо (г) =

г2(3 - 2/), о < г < 1,

(2 - г)2 (2г -1),1 < г < 2, ф1(г) =

о, г г [0,2];

г 2(г -1), о < г < 1,

(2 - г)2(г -1),1 < г < 2,

о, /г [0,2].

Рис. 1. Графики масштабирующих функций фо(г), ф1(г) (а) и вид симметричного и несимметричного «материнских» вейвлетов Уо(г), У[(г) (б)

С использованием вейвлет-преобразования функция в пространстве Уь проецируется на два подпространства, Уь-1 и WL-1. При этом «более грубый» уровень представления функции в Уь-1 получается из «более подробного» уровня представления функции в Уь посредством прореживания (удаления каждого второго, как правило, отсчета). Здесь необходимо лишь, чтобы каждая базисная функция в Уь-1 могла быть выражена в виде линейной комбинации базисных функций в Уь. В терминах масштабирующих функций это свойство называется масштабным соотношением, которое для эрмитовых сплайнов 3-й степени и коэффициента прореживания 2 можно получить в виде следующих формул [1о]:

Фо (г) = Фо(2г -1)+1 (о(2г)+Фо(2г - 2))+3 (ф1 (2г) - (2г - 2)),

2 4 (1) Ф1 (г) =1Ф1 (2г -1) -1 ((2г)+ф1 (2г - 2) + фо (2г) - Фо(2г - 2)), о < г < 2.

2 о

Базисными функциями для Уь_1 будут функции ^ь-1,,к, с носителями в два раза большими по ширине и центрами в четных целых числах. Следующим этапом является определение пространства вейвлетов. В классической теории вейвлетов построение производится сжатиями и сдвигами единственного «материнского» вейвлета на бесконечной равномерной сетке, на всей числовой оси, и пространство WL-1 является ортогональным дополнением пространства сплайн-разложений на прореженной сетке Уь-\ до пространства сплайнов на густой сетке Уь по отношению к обычному скалярному произведению. Это означает, что пространство Уь представляет прямую сумму Уь-\ и WL-1 : Уь = УL-1®WL-1. В отличие от классических вейвлетов, в [7] были найдены «материнские» вейвлеты вида (рис. 1, б):

Уо (г) = -2Фо (2г) + 4Фо (2г -1)- 2Фо (2г - 2) - 21ф1 (2г) + 21ф1 (2г - 2), (2)

^1 (г) = Фо (2г) - Фо (2г - 2) + 9ф1 (2г) +12ф1 (2г -1) + 9ф1 (2г - 2),

для которых удовлетворяются условия ортогональности относительно скалярного произведения с производными:

I» СО

J фк (х - г)у\ (х - = оУ1, у и к, I = о,1.

Очевидно, что носитель данных вейвлетов много меньше минимального в классической теории сплайн-вейвлетов, а именно, [0, 2]с[0, 7]. Также в [7] было отмечено, что эти вейвлеты удобны для решения по методу Галеркина обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с нулевыми краевыми условиями Дирихле. А в [11] они были успешно использованы при решении интегральных уравнений второго рода.

Что касается моделирования кривых, то часто ограничиваются рассмотрением периодического случая, когда первая и последняя точки кривой совпадают. Это соответствует аппроксимации замкнутых кривых [12]. Для незамкнутых кривых проще всего вычесть из исходных координат уравнение прямой, соединяющей первую и последнюю точки. Тогда их координаты обращаются в нуль, и соответствующие базисные функции удаляются из базиса. В результате, как нетрудно проверить непосредственным вычислением интегралов от произведения производных соответствующих базисных функций, условия ортогонального дополнения выполняются на конечном отрезке аппроксимации. Этот прием позволяет избежать существенных трудностей, связанных с построением приграничных вейвлетов [3, 4]. После такой модификации данных на любой сетке АЬ, I > 0, кубический эрмитов сплайн с нулевыми значениями при и=а, Ь может быть представлен как

Б1 (и) = £ ^ (и) + £С^ (и), а < и < Ъ,

(3)

2=1

і=0

где коэффициенты СЬк, к = 0, 1, являются заданными значениями аппроксимируемой функции и соответственно производными в узлах. Для дальнейшего удобно записать базисные сплайн-функции в виде единой матрицы-строки

фЬ = [ Ж^, Л^Ь0, N1,..., 1 ] и впредь собирать узловые значения сплайна и

производных в вектор СЬ = [С0Ь,\ С1Ь 0, С1Ь1,..., С^] . Тогда уравнение (3) переписывается как ^ (и) = фЬ (и) С1.

Аналогично обозначим базисные вейвлет-функции как Мь,к = ук (у - /), к = 0, 1 V/, и запишем их в виде матрицы-строки уЬ = [М^, М^, М^,..., МЬ 1 ^. Соответствующие коэффициенты вейвлет-разложения на сетке АЬ будем собирать в вектор БЬ = [С1,1, £\1,0, С1,1,..., ^ . Для сетки А1-1, Ь > 1, можно записать функции

фЬ-1 и у1-1 в виде линейных комбинаций функций фЬ, так как каждую широкую базисную функцию внутри отрезка аппроксимации можно построить из трех, а по краям интервала из двух, пар узких базисных функций фЬ-1 = фЬ Р и V1-1 = фЬ О1, где блоки матрицы Р составлены из коэффициентов соотношения (1):

1

0 --

тогда как блоки матрицы О - из коэффициентов соотношения (2):

-2 4 -2 -21 0 21

10 -1 9 12 9

Любая функция в УЬ может быть записана в виде суммы какой-то функции в УЬ-1 и какой-то функции в ЖЬ-1. Следовательно, справедливы равенства

фЬ СЬ = фЬ-1 С 1-1 + V1-1 С1-1 = фЬ Р1 С 1-1 + V1 О1 С1-1. (4)

Таким образом, восстановление коэффициентов эрмитового кубического сплайна с нулевыми значениями по концам отрезка аппроксимации из коэффициентов вейвлет-разложения может быть записано как С = Р С1-1 + О С1-1, или, используя обозначения для блочных матриц,

сь =[рь | ]

с 1

Б1

(5)

Следующий пример представляет матрицу [Р | О1], соответствующую I = 3:

[ Р3|б3 ] =

1

2 _ 2 4

12

_1 _2 1 9 _21 9 4 0

0 12 _2 _1 _2 1 21 9 _21 9

4 0

О 12 _2 _1 _2 1 21 9 _21 9

4 0

О 12 -2 -1 1 21 9 9

12

Здесь и далее пустые позиции представляют собой нулевые элементы. Определим блочную матрицу, обратную к матрице [Р | О1]:

А

в1

:[ Р1^1 ]_'.

Тогда процесс создания версии с низшим разрешением С , характеризуемой меньшим количеством коэффициентов, можно выразить матричным уравнением

С1-1 = АЬ СЬ,

где АЬ является матрицей размерности 2Ь х 2Ь+1.

При этом потерянные детали собираются в другой вектор БЬ-1, определяемый выражением

БЬ-1 = В СЬ,

где ВЬ - матрица той же размерности. Матрицы АЬ и ВЬ называют фильтрами анализа, а матрицы РЬ и ОЬ - фильтрами синтеза [3].

Процедуру разбиения СЬ на часть СЬ \

соответствующую низшему разреше-

нию, и уточняющие коэффициенты Б можно применить рекурсивно и к самой

этой части СЬ \ Следовательно, исходные коэффициенты можно представить в виде иерархии грубых версий с разрешениями С0, С1, ..., С1-1 и уточняющих деталей Б0, Б1, ..., БЬ-1. Подобный рекурсивный процесс носит название блока фильтров [3]. При этом по величине вейвлет-коэффициентов Б3, 3 =0, 1,..., I—1, можно судить о значимости соответствующих уточняющих деталей. Незначимые убираются с целью сжатия информации. Окончательно, коэффициенты С можно восстановить из последовательности С0, Б0, Б1, ..., БЬ-1.

К сожалению, как нетрудно заметить, матрицы, обратные по отношению к [РЬ | ОЬ], теряют разреженную структуру. Это соответствует тому, как в классической теории вейвлетов разложение в явном виде базисных функций пространства сплайнов на густой сетке содержит бесконечную сумму базисных функций пространства сплайнов на прореженной сетке и вейвлетов [2]. Суть предложенного в [3] для подобных случаев подхода состоит в том, что С1-1 и БЬ-1 можно вычислить из СЬ с помощью решения системы линейных уравнений (5). При этом матрицу [РЬ | ОЬ] предлагается сделать ленточной, просто изменив порядок ее столбцов так, чтобы столбцы матриц РЬ и ОЬ перемежались. Таким образом, операцию вейвлет-разложения можно осуществить и без представления и использования блока фильтров в явном виде. Тем не менее, хотя разрешимость полученной системы и гарантирована линейной независимостью базисных функций, вопрос ее хорошей обусловленности остается открытым.

Получение неявных конечных соотношений разложения

В [6, 8] для частного случая эрмитовых сплайн-вейвлетов с помощью метода неопределенных коэффициентов были впервые получены неявные трехчленные соотношения разложения, включая случай неравномерной сетки узлов сплайна (см. также [13]). Для представленного выше типа мультивейвлетов справедливы аналогичные результаты, которые, используя обозначения для блочных матриц, можно представить в следующем виде.

Лемма 1. Пусть для уровня разрешения I, I > 1,

"16 0 0 0" "8 -96 48 0"

0 -32 0 0 , я1 = 0 96 48 8

8 0 -48 8 1 4 -2 0

_ 0 0 0 16. 0 -4 -2 1.

16

0 -28 0 12 0 4 0 0

8 0 -60 0 8 0 12 0

0 0 32 0 0 0 0

0 0 0 16 0 0 0

4 0 12 0 -24 0 12

0 12 0 8 0 -72 0

0 0 0 32 4 0 4 0

0 0 0 0 4 8 0 12

0 4 0 12 4 0 0 0

0 0 12 0 4 16 0 0

0 -28 0

8 0 -60

Я' =

-96 48 0

-4 -4 28 0 -4 4 0

48 24 0 8 -48 24 0

0 -4 -4 28 ‘ 0 -4 4

0 48 24 0 ; 8 -48 24

0 96 48 8

4 -2 0

1 1 1 0 1 -1 0

-2 -1 0 1 2 -1 0

0 1 1 1 ■ 0 1 -1

0 -2 -1 0 ■ 1 2 -1

0 -4 -2 1

где точки, расставленные по диагонали, означают, что предшествующие четыре столбца повторяются соответствующее число раз, опускаясь при этом вниз в первом случае на четыре и во втором случае - на два ряда.

Тогда базисные функции пространства эрмитовых кубических сплайнов на густой сетке, базисные функции на прореженной сетке и вейвлеты удовлетворяют матричному равенству

ф оь = [фі-1 | ^-1] Я'.

(6)

Доказательство. Согласно построению, на каждых трех внутренних шагах сетки Д' перекрываются по две пары широких базисных функций и вейвлетов и пять пар узких базисных функций. Поэтому после приведения к сетке с единичным шагом на отрезке [-1, 2] с использованием неопределенных коэффициентов можно записать неявный аналог разложения базисных функций пространства сплайнов на густой сетке на конечную сумму базисных функций пространства сплайнов на прореженной сетке и вейвлетов в виде следующих двух соотношений:

2 0 0 0

X аі Фк (2х-і )= X ЬТ ^0(х - і )+ X (х - і )+ X і Фс(х - і )+

і=-1

і=-1

+ Е сі !Ф1 (х - і ), к=0,1,

(7)

где ф0 (2 х- і), фі (2 х- і) - эрмитовы базисные сплайны на густой сетке, ф0 (х - і), фі (х - і) - эрмитовы базисные сплайны на прореженной сетке, у0 (х - і), ^ (х - І) -базисные вейвлеты на прореженной сетке.

Поскольку по обе стороны равенств (7) присутствуют эрмитовы кубические сплайны, для их тождественного совпадения достаточно равенства соответствующих значений сплайнов и их производных в узлах густой сетки. В табл. 1 выписаны значения масштабирующих функций, «материнских» вейвлетов и их производных, принимаемые в точках, принадлежащих отрезку [0, 2].

Т аблица 1

Значения масштабирующих функций, «материнских» вейвлетов и их производных в точках отрезка [0, 2]

х фп(2х) ф'п(2х) ф1(2х) ф'1(2х) ф„(х) ф'п(х) ф1(х) ф'1(х) ¥п(х) ¥'п(х) ¥1(х) У1ОО

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1/2 1 0 0 2 1/2 3/2 -1/8 -1/4 -2 -42 1 18

1 0 0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 24

3/2 0 0 0 0 1/2 -3/2 1/8 -1/4 -2 -42 -1 18

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Найдем коэффициенты первого из соотношений (7). В точках отрезка (-1, 2), согласно табл. 1, для сплайнов имеем соответственно при

, 00 / . 00 1 .01 . 01 I 1 I

= ь_! (-2)+ с-! 2 + Ь-! + с-! |-8] ,

1

х = —: а

2

х = 0: а-1 = Ь-0 • 4 + с-°,

1

х = —

2

і 0 » 00 л і 0

х = 1: а1 = Ь0 • 4 + с0

0 г,00 / . , 00 / . 00 1 . 00 1 . ,01/ . ,01 . 01 1 . 01 I 1 |

а0 = Й-1(-2) + й0 (-2) + с-1^ + с0 ^ + Й-1(-1) + Ь + с-1£ + с0 I- 8

х = —:

0 />00 / . 00 А . ^01 / і\ . 01 А

а2 = Й0 (-2)+ с0 Т + Й0 (-1) + с0 «.

2 2 Аналогично, для производных при

0 = Ь-0 (-42) + с-0 3 + Ь-1 48 + с-11-4),

= -1: х = 2 :

х = 0: 0 = Ь-1 • 24 + с-1

1

2

— 1 —1 ?

х = - : 0 = й-0 • 42 + й000 (-42) + с-0 |-+ сЦ01 + Ь-1 • 18 + й001 • 18 +

+<-4 )+с01 (-1

X = 1: 0 = Ь001 • 24 + с001,

_ 3 . гч _ 1,00 л о . 00 [ 3 ] . ,01 1 о . 01 [ 1

Х = “: 0 = Ь0 • 42 + С0 (-2^+ Ь0 ^18 + С0 I - 4

Одно из решений полученной системы уравнений имеет вид

0 0 (-\ ,00 -1 , 00 1 00 00 * ,01 ,01 /■>01 а о

а _1 = а 1 = 0, Ь 0 = 1, Ь _1 = 1, с _1 = с 0 = -4, Ь _1 = 2, Ь 0 = -2, с _1 = -48,

01 0 0 0 с 0 = 48, а _2 = а 2 = 4, а 0 = —24.

Имеется еще одно решение, когда

а0-2 = а0-1 = 0, Ь000 = 1, с000 = 28, Ь00-1 = с00-1 = Ь01-1 =Ь010 = с01-1 = с010 = 0,

0 0 0

а 0 = а 2 = 12, а 1 = 32.

И для случая, когда а01 = а02 = 0, имеется третье решение, симметричное полученному.

Найдем коэффициенты второго из соотношений (7). С помощью табл. 1 для значений сплайнов имеем следующие соотношения соответственно в точках

_ 1 . гч _ 1,10/ . 10 1 г,11 , 11/ 1 \

Х = - ^: 0 = Ь-1(-2) + с-1~2 + 1 + с-1(- 8),

X = 0: 0 = Ь11! • 4 + с-0,

1

х = -

п_г,10/ , г,10/ оч , 10 1 , 10 1 . ,11/ 1Ч . ,11 . 11 1 . 11/ 1

0 = й-1(-2) + й0 (-2) + с-1Т + с0 Т + й-1(-1) + й0 + с-177 + с0

2 1 2 2

х = 1: 0 = Й0 • 4 + с00,

3 . гч __ 1*10 / 10 1 | ї*11/ | 111

х = ~ : 0 = Й0 (-2) + с0 ~ + Й0 (-1) + с0~. 2 2 8

Для производных соответственно при

X = -

х = 0:

2а-1 = б" • 24 + с-1,

1

X = —

2

х = 1:

2а1 = Ъ" • 24 + с!1,

3

х = —:

2

Одно из

' из решений полученной системы уравнений имеет вид

а1_1 = а11 = 0, Ъ100 = 1, 610_1 = -1, с10_1 = 4, с100 = -4, 611_1 = Ъп0 = -1, с11-1 = сп0 = 24, а1-2 = а\ = 12, а'о = -72.

Имеется еще одно решение, когда

а1-2 = а1-1 = 0, Ъ1\ = 1, сп0 = 8, 610-1 = Ъ100 = с10-1 = с100 = 611-1 = с11-1 = 0,

а10 = а12 = 8, а11 = 16.

Для случая, когда а11 = а12 = 0, решение симметрично полученному.

По краям отрезка аппроксимации, согласно построению, функции ф0 и у0 отбрасываются. Поэтому на двух крайних слева шагах сетки АЬ после приведения к сетке с единичным шагом на отрезке [0, 2] аналогично получаются разложения

16 ф1 (2х + 1) + 8 ф1 (2х) = ^1 (х + 1) + 8 ф1 (х + 1),

-28 ф0 (2х) + 4 ф0 (2х - 2) = у0 (х) + 4^1 (х + 1) - 2^1 (х) - 4 ф0 (х) -- 96 ф1 (х + 1) + 48 ф1 (х),

-60 ф1 (2х) + 12 ф1 (2х - 2) = у0 (х) - 2^1 (х + 1) - ^1 (х) - 4ф0 (х) +

+ 48 ф1 (х + 1) + 24 ф1 (х).

На правом конце разложения симметричны полученным. И на нулевом уровне разрешения разложения имеют вид

16 ф1 (2х + 1) + 8 ф1 (2х) = ^1 (х + 1) + 8 ф1 (х + 1),

-32ф0 (2х) = 4^1 (х + 1) - 4^1 (х) - 96 ф1 (х + 1) + 96 ф1 (х),

-48 ф1 (2х) = - 2^1 (х + 1) - 2^1 (х) + 48 ф1 (х + 1) + 48 ф1 (х),

8 ф1 (2х) + 16 ф1 (2х - 1) = ^1 (х) + 8 ф1 (х).

Полученные выше соотношения можно представить в виде равенства (6), где блоки матриц ОЬ и Р составлены из коэффициентов левых и правых частей полученных разложений соответственно. Лемма 1 доказана.

Следствие 1. Для любого уровня разрешения Ь матрица вейвлет-разложения эрмитовых кубических сплайнов удовлетворяет уравнению

Доказательство. Из определения матрицы вейвлет-разложения следует, что

9і =[ФІ-1ІУЬ-1 ]■

А

в1

Подставляя полученное разложение в равенство (6) и учитывая линейную независимость базисных функций и вейвлетов, приходим к утверждению следствия 1.

Алгоритм с применением расщепления

Из полученного результата вытекает следующее утверждение, дающее последовательность вычисления коэффициентов вейвлет-разложения по известным коэффициентам сплайн-разложения на любом уровне разрешения Ь.

Теорема 1. Пусть величины ЕЬ = ^ЕсТ1, ЕЬ,°, Е^1, ..., ] , Ь > 1, получены из

соотношений вида

?ь,° = 1_сЬ°, I = 2,4,..,2Ь -2; ^,1 = — СЬЛ, I = °,2,..,2Ь;

16

-28

4

32

4

-24

4 -28

1 іГїї , о ] " С1ь,0 - 125І'0 "

о, ^ СО * * н/> = Сзь,° — 12(5і,0 +5І'0)

5І,0 _ 2ь -1 ] Сь,0 - щЬ0 _ 2ь -1 2ь-2 ]

-60 12 12 -72 12

12 -60

і , 1 С , - ( , + , ]

5ЬД = Сзьл - 8(5ід +5ЬД)

5ь,! _ 2ь -1 сV - 8(5ьь +5ь^) _ 2ь -1 2ь-2 2ь ]

5!'° = -^сГ ?!•’ “С -8(50‘ +Й1)).

Здесь точки, расставленные по диагонали, означают, что предшествующая строка повторяется соответствующее число раз, сдвигаясь при этом вправо на одну позицию.

Тогда коэффициенты вейвлет-разложения на низшем уровне представляют собой результат линейного отображения

-.1,-1'

С ь Бь

= Я

ь—ь

Доказательство. Из соотношения (6), используя первое равенство в (4), находим

[ФЬ-1ІУЬ-1 ]

С

Б1

ь-1

= Ф

Сь =[фь-1 | уь-1 ]Яь (оь) 1 Сь.

Вычислим вспомогательные переменные 2 из системы линейных уравнений Оь 2Ь = СЬ. При этом, как нетрудно видеть, матрица ОЬ представляет собой ленточную матрицу. Более того, после расщепления системы по четным и нечетным

узлам алгоритм сводится к решению независимо двух трехдиагональных систем уравнений. Теорема 1 доказана.

Теорема 1 полностью определяет вейвлет-разложение эрмитового кубического сплайна с нулевыми значениями по концам отрезка аппроксимации на любом уровне разрешения.

Утверждение 1. Полученные выше соотношения вейвлет-разложения для эрмитовых сплайнов 3-й степени обладают свойствами существования, единственности и обратимости.

Доказательство. Поскольку невырожденность линейных отображений гарантирована линейной независимостью базисных функций и равенством размерностей соответствующих пространств, а отыскание коэффициентов разложения сводится к решению трехдиагональных систем уравнений теоремы 1, то для доказательства достаточно наличия у них строгого диагонального преобладания. Ч.т.д.

Пример

Пусть дана кубическая функция /х) = х(х - 2)(х - 1) с числом разбиений п = 2Ь на интервале ° < х < 1, длина шага Ах = 1/п, где Ь - уровень разрешения. Индекс Ь связан с числом используемых значений функции и производной на интервале при выполнении вейвлет-преобразования.

В данном примере начнем с уровня разрешения Ь = 5, то есть п = 32.

При условии / ’(х) = Зх2 - 6х + 1 находим последовательно при

Ь = 5: Ба’° = [°, ..., °] Т, Б4Д = [°,121; °,°9898; °,°784; °,°5925; °,°4151;

°,°2519; °,°1°29; -°,°°3193; -°,°1525; -°,°259; -°,°3512; -°,°4293; -°,°4931; -°,°5428; -°,°5783; -°,°5996; -°,°6°67] Т;

Ь = 4: Б3,0 = [0,..., °] Т, Б3,1 = [°,°6°49; °,°392; °,°2°75; °,°°5144; -°,°°7627;

-°,°1756; -0,02466; -0,02891; -0,03033] Т;

Ь = 3: Б2,0 = [0, 0, 0] Т, Б2,1 = [0,03024; 0,01038; -0,003814; -0,01233;

-0,01517] Т;

Ь = 2: Б1,0 = 0, Б1,1 = [0,01512; -0,001907; -0,007583] Т;

Ь = 1: на последнем шаге остается два коэффициента разложения, близких к

значениям производной на концах интервала С0,1 = [2,12103; -0,96979] Т, и два вейвлет-коэффициента Б0,1 = [0,00756; -0,00379] Т.

Результирующее вейвлет-разложение сплайна 55 (и) с нулевыми значениями по концам отрезка аппроксимации может быть приближенно записано в виде

55 (и) * £ С?’1 № (и) + £ £ (и), 0 < и < 1.

г =0 _/=0 г=0

Таким образом, в данном случае для сжатия достаточно 38 значений, что дает коэффициент сжатия 62/38^1,632.

Заключение

Представленные в статье схемы построения эрмитовых кубических сплайн-вейвлетов с уменьшенным носителем и получения для них неявных соотношений разложения с расщеплением по четным и нечетным узлам могут быть распространены и на сплайны более высокой степени [13, 14] и предоставляют широкие возможности для создания параллельных алгоритмов построения и использования эрмитовых сплайн-вейвлетов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам: пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 332 с.

2. Чуи Ч. Введение в вейвлеты: пер. с англ. М.: Мир, 2001. 412 с.

3. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике: пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 272 с.

4. Dahmen W., Han B., Jia R.-Q., Kunoth A. Biorthogonal multiwavelets on the interval: cubic Hermite splines // Constr. Approx. 2000. V. 16. P. 221-259.

5. Han B. Approximation properties and construction of Hermite interpolants and biorthogonal multiwavelets // J. Approxim. Theory. 2001. V. 110. P. 18-53.

6. Попова О.О., Ручкина Ю.Ю., Шумилов Б.М. Построение системы базисных вейвлетов Эрмита для случая неравномерной сетки // 4-я Всерос. науч.-практич. конф. студентов «Молодежь и современные информационные технологии». Томск: ТПУ, 2006. С.37-38.

7. Jia R.-Q., Liu S.-T. Wavelet bases of Hermite cubic splines on the interval // Advances Computational Mathematics. 2006. V. 25. P. 23-39.

8. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Построение эрмитовых сплайн-вейвлетов // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. № 19. С. 260-266.

9. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

10. Heil С., Strang G., Strela V. Approximation by translate of refinable functions // Numer. Math. 1996. V. 73. P. 75-94.

11. Maleknejad K., Youse M. Numerical solution of the integral equation of the second kind by using wavelet bases of Hermite cubic splines // Applied Mathematics and Computation. 2006. V. 183. P. 134-141.

12. Zhao G., Xu S., Li W., Zhu X. Wavelets-based multiresolution representation and manipulation of closed B-spline curves // Proceedings of IC-SEC. 2002. P. 490-493.

13. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Нестационарные сплайн-вейвлеты в ГИС и САПР линейно-протяженных пространственных объектов // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2006. № 1(12). С. 153-163.

14. Турсунов Д.А., Шумилов Б.М., Эшаров Э.А., Турсунов Э.А. Новый тип эрмитовых мультивейвлетов пятой степени // Пятая Сибирская конференция по параллельным и высокопроизводительным вычислениям: Программа и тезисы докладов (1 - 3 декабря 2009 г.). Томск: Изд-во Том. ун-та, 2009. C. 57-58.

Статья принята в печать 20.10.2010 г.

Shumilov B.M. AN ALGORITHM WITH SPLITTING OF THE WAVELET TRANSFORM OF HERMITIAN CUBIC SPLINES. In this paper an implicit method for the decomposition of Her-mitian cubic spline wavelets is investigated. A parallel algorithm of the wavelet transform of Hermitian cubic splines has been found as a solution of two three-diagonal systems of linear equations with a dominating principal diagonal by use of splitting with respect to the even and odd mesh points.

Keywords: Hermitian splines, wavelets, relations of decomposition and restoration

SHUMILOV Boris Mikhailovich (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]