CC BY
48
УДК 519.6
МУЛЬТИВЕЙВЛЕТ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
Б.М. Шумилов, Э.А. Эшаров, А.Ж. Кудуев, У.С. Ыманов
Томский государственный архитектурно-строительный университет E-mail: sbm@tsuab.ru; elzare@mail.ru Ошский государственный университет, Кыргызская Республика E-mail: altun_12@rambler.ru; ymanv8106@rambler.ru
Предложены два новых типа мультивейвлетов на основе эрмитовых сплайнов 5-й степени. Получен алгоритм вейвлет-разложения. Представлены результаты численных экспериментов.
Ключевые слова:
Эрмитовы сплайны, вейвлеты, разложение.
Key words:
Hermitian splines, wavelets, decomposition.
Вейвлетом называется маленькая, т. е. короткая или быстро затухающая волна, множество сжатий и смещений которой порождает некоторое пространство ограниченных функций на всей числовой оси [1-4]. Если таких волн несколько, то возникают мультивейвлеты [5, 6].
В данной статье мы построим базисные мультивейвлеты на основе эрмитовых сплайнов пятой степени. При этом, наряду с классическим, рассмотрим неизвестный ранее тип «ленивых» мультивейвлетов и обоснуем новый подход к вычислению вейвлет-преобразования на основе конечных неявных соотношений разложения с расщеплением по четным и нечетным узлам.
Основой для построения вейвлет-преобразования является набор вложенных пространств ...УисУ£сУш.... В данном случае пространство Уь является пространством сплайнов степени 5 гладкости С2 на отрезке [а,Ь] с равномерной сеткой узлов Аь: и=а +(Ь-а) {/2Ь, 1=0,1,...,2Ь, L>0, и базисными функциями Щк^)=щ^Н), &=0,1,2У£, где v=2L(u-a)ДЬ-a)+1, с центрами в целых числах, порожденными сжатиями и сдвигами трех функций вида [7]:
Ро(0 Pi(t) P2(t)
t3(6t2 -ist + іо)
-t 3(3t2 - 7t + 4)
t3
— (t2 - 2t +1)
,о < t < 1;
(2 - t)3(6t2 - 9t + 4) (2 - t)3(3t2 - St + 2)
(2 -1) (t2 - 2t +1)
,1 < t < 2
(рк(г) = 0, к = 0,1,2, г й [0,2].
На любой сетке А\ L>0, интерполяционный эрмитов сплайн 5-й степени может быть представлен как
(u) (u), a <u <b,
(1)
где коэффициенты С^\ к=0,1,2, являются значениями и, соответственно, первыми и вторыми производными аппроксимируемой функции в узлах.
Суть вейвлет-преобразования состоит в том, что оно позволяет иерархически разложить заданную функцию на серию все более грубых приближенных представлений и локальных уточняющих подробностей. При этом «более грубый» уровень представления функции в У^ получается из «более подробного» уровня представления функции в УL посредством прореживания (удаления каждого второго, как правило, отсчета). Здесь необходимо лишь, чтобы каждая базисная функция в У^ могла быть выражена в виде линейной комбинации базисных функций в Уь. В частности, двухмасштабное соотношение для эрмитовых сплайнов 5-й степени можно записать в виде следующей векторной формулы [5]:
(2)
Ро(t) 2 Ро(2 - к)
P(t) - t (N
_Р2(0_ к=о p2(2t - к)
где
Hо и
1 1S о
2 16
S 7 3
32 32 в
1 1 1
64 64 16
- -
1 о о
, H1 и о 1 2 о
о о 1 4 _
H2 и
1 1S о
2 16
S 7 3
32 32 в
1 1 1
64 64 16
В этом случае базисными функциями для У1А будут функции ИУ-1, с носителями в два раза большими по ширине и центрами в четных целых числах. Следующим этапом является определение
її
пространства уточняющих подробностей WL-1. В отличие от классического определения вейвлетов, мы не требуем, чтобы базисные функции из WL-1 были ортогональны базисным функциям в У;-1. Вместо этого просто потребуем, чтобы пространство WL-1 являлось дополнением У;-1 до У;. Следовательно, любая функция в УL может быть записана в виде суммы некоторой функции в У;-1 и некоторой функции в WL-1. Очень простой способ получения базисных функций в WL-1 заключается в использовании функций Щк в УL с центрами в нечетных целых числах [3].
Для облегчения выполнения дальнейших действий удобно записать базисные сплайн-функции в виде единой матрицы-строки и
упорядочить коэффициенты сплайна в виде вектора СМС0;,0,С0;,\С0;,2,С;,0,С;,\.,С£2]Т. Тогда уравнение (1) переписывается как SL (и)=^ (и)С;. Аналогично обозначим базисные вейвлет-функции как М^‘=%^-2£+1), к=0,1,2, i=1,2,...,2L-1, и запишем их в виде матрицы-строки 1/=[М;,оМи,М;,2,...,М212]. Соответствующие коэффициенты вейвлет-разложения на уровне разрешения ; будем собирать в вектор
б;=[б;,0,б;д,б;,2,...,б£2]т.
Тогда для уровня разрешения ;-1 можно записать функции (р;-1 и ^;-1 в виде линейных комбинаций функций (^‘,^1-1=^‘Р; и \/‘-1=^‘О1‘, где блоки матрицы Р; составлены из коэффициентов соотношений (2), так как каждую широкую базисную функцию внутри отрезка аппроксимации можно построить из трех, а по краям интервала из двух, троек узких базисных функций, тогда как все элементы столбцов матрицы - нули, за исключением единственной единицы, так как каждый ленивый вейвлет - это одна узкая базисная функция.
Следовательно, справедлива цепочка равенств С;=^-1С ;-1+ ^1'-1В;-1=^'Р;С ;-1+(^О'Б1'-1.
Таким образом, процесс получения С из С;-1и Б;-1 может быть записан как С;=Р;С;-1+О;Б;-1или, используя обозначения для блочных матриц,
С1
(3)
Обратный процесс разбиения коэффициентов С на более грубую версию С;-1 и уточняющие коэффициенты Б;-1 состоит в решении системы линейных уравнений (3). Для данного случая блоки матрицы [А;|В;], обратной по отношению к [Р^], являются разреженными. Поэтому процесс создания версии с низшим разрешением, С1-1, характеризуемой меньшим количеством коэффициентов, можно выразить в явном виде с помощью матричного равенства С;-1=А;С;. При этом потерянные детали собираются в другой вектор Б;-1, определяемый выражением Б;-1=В;С;.
При выполнении анализа заданной функции в соответствии с полученным выше результатом грубое приближение получается из более точного путем исключения узлов, соответствующих нечетным числам. Следовательно, самое грубое прибли-
жение зависит только от нескольких начальных значений, и оно может оказаться очень плохим приближением исходной функции. Чтобы улучшить усредняющие свойства представленного метода анализа данных, мы предлагаем использовать в качестве вейвлетов для WL-1 функции NLk в У; с центрами в четных целых числах. Поскольку WL-1 должно являться дополнением У;-1 в У;, размерности этих пространств должны удовлетворять соотношению Dim(VL)=Dim(VL-1)+Dim(WL-1). Для выполнения этого условия мы предлагаем из исходных координат вычитать уравнение прямой, соединяющей первую и последнюю вершины при дополнительном условии, что вторая производная в последней точке обращается в нуль.
Будем обозначать базисные сплайн-функции и коэффициенты эрмитового сплайна 5-й степени с отсутствующими элементами по концам отрезка аппроксимации как (р0; и С/\ Аналогично обозначим базисные вейвлет-функции как М’г^у^^г), к=0,1,2, £=0,1,...,2;-1 и запишем их в виде матрицы-строки
м1 м1 м1 м1 м1
0,1 ’ 0,2 ’1,0 ’1,1 ’1,2 ’ ***’
мі , мі , мі , Мі
’ 2і-1,0’ 2і-1,1’ 21 -1,2’ 21,1
Соответствующие вейвлет-коэффициенты на уровне разрешения ; будем собирать в вектор
Д1 =
-'-'о
Дід Д1,2 Д1,0 Дід Дд2 0 ’ 0 ’ 1 ’ 1 ’ 1 ’
.,ДІ° , ДІ1 , ДІ2 , Д
’ 2і-Г 2і-1’ 2і-1’ 2
,1,1 21
В результате вейвлет-преобразование может быть записано как
С0 = [рМеТ ]
С1
А"
(4)
Нетрудно проверить, что матрицы, обратные по отношению к [Р0;|ОД теряют разреженную структуру. Поэтому систему линейных уравнений (4) приходится решать численно. При этом матрицу [Р0;|О0;] удобно сделать ленточной, изменив порядок неизвестных так, чтобы столбцы матриц Р0; и О; перемежались [3]. Тем не менее, хотя разрешимость полученной системы и гарантирована линейной независимостью базисных функций, вопрос ее хорошей обусловленности остается открытым. В [6] для частного случая кубических эрмитовых сплайн-вейвлетов с помощью метода неопределенных коэффициентов были впервые получены конечные неявные соотношения разложения. В матричном виде полученные результаты можно представить следующим равенством [P0L|Q0L]RL=GL, где матрица RL представляет собой простую ленточную матрицу, а матрица GL - трехдиагональную матрицу со строгим диагональным преобладанием. После этого решение системы уравнений типа (4) можно записать в матричном виде как [8]:
С1
= [ріа1 ]-1 Сі = я (С1 )-1 С0,
(5)
т. е. решение сводится к трехдиагональнои системе линейных уравнении. Для представленного выше типа мультивейвлетов, как нетрудно проверить непосредственным вычислением, справедливы аналогичные равенства, например,
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
0
0
-32
0
0
0 0 16
0 0 0
[р !Є2
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 01 0 0 0 0 00 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -150 -
-1260 4
30
180
0
75
315
-4
-15
-45
0
0
0
0
0
1
0
0
0
-16
0
-1
-8
-48
0
8
0
1
4
12
0
32 0 0
0 64 0
0 0 0
-16 0 0
0 -16 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
111 16 0 0
0 99 2 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
_1_ 16 0 0
0 1 2 0
0 0 0
-168 0
-1960 0
2 0
14 0
76 0
0 0
84 0
490 0
-2 1
-7 0
0 0 0 0 0 0
-4 0 0 0 1
-19
0
1 0 0
0 1 0
0 0 -5 -5 1 0
0 0 7 -7 1 0
0 0 12 12
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 8
0 0 -15
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0 0 0 8
0 0 15
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 16
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 -16
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
_1_ 16 -1 0
0 -4 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
111 16 1 0
0 -4 0
0 0 1
0 0
0 0
1 0
-8 0
48 64
-16 0
0 0
0 0
-1 0
4 0
-12 -16
8 0
(6)
Следующее утверждение дает последовательность вычисления коэффициентов вейвлет-анализа по известным коэффициентам сплайн-разложения на любом уровне разрешения Ь, Ь>2.
Теорема 1. Пусть значения сплайн-коэффициентов С^2, СЬ0 и СЬ1 в нечетных узлах пересчитаны из последовательного решения трех систем линейных уравнений, соответственно, вида
99 2 -4 1 2
1 2 -4 111 2
111
2
1 2
53 4 8 1 8
1 8 8 111 8
111
8
1 8
-4
-4
СІ'
Сзх'
сХ,(
" сХ,2" " С^2"
СХ ,2 С3 := СХ ,2 С3
СХ ,2 _ 2х-1_ СХ ,2 _ 2х-1_
с1і>0 - с^2
СХ ,0 С^ ,2
С3 - С1
с5 ,0
С"Х ,0
2х-3 тХ,0 "'і1 -1
с
С"Х ,2 2х-1 сХ ,2 2х-1 .
111 1
16 16
1 55
16 8
1 16
_1_
16 111 16 .
сХ
СХ
с
СХД + ИС^0 + СХ С3ХД - 15С1Х,0 - СХ СХД
С
С,
2х - 3 Х,1
-15С,і , + С,Г, 2х-1 2х-1
15С
С
-150 -16 -168
-1260 0 -1960
4 -1 2 16
30 -8 14 0
180 8 4 - 76 0
Здесь точки, расставленные по диагонали, означают, что предшествующий столбец повторяется соответствующее число раз, сдвигаясь при этом вниз на одну позицию.
Тогда вектор сплайн-коэффициентов на прореженной сетке АЬ-1 представляет собой результат умножения матрицы
1 0
- 8 0 48 64
-1 0 -8 0 - 48 0
на вектор [СЬ,0,СЬД,СЬ,2,...,СЙ]т сплайн-коэффициентов в нечетных узлах густой сетки АЬ, тогда как вектор вейвлет-коэффициентов равен такому же произведению с матрицей
75 8 84
315 0 490
-4 1 -2 -16 -1 0
-15 4 -7 0 4 0
-45 12 -19 0 -12 -1
4 0 2
-30 0 -14 '
180 0 76
20 1 24
0 -8 0
-360 48 -1048 '
4 -1 2' 16 1 0
30 -8 14 ' 0 -8 0
180 8 4 - 76 ' 0 48 64
0 -16 0
1
4
12
-4 0 -2
15 0 7 '
-45 0 -19 ''
-20 -1 -24 '
0 4 0 '
90 -12 262 '
-4 1 -2 ' -16 -1 0
-15 4 -7 ' 4 0 0
-45 12 -19 '' 0 -12 -16
0 8 0
при условии добавления к результату вектора [С0ь,1,Сь,2,СЬ,0,СЬ,1,СЬ,2,.,С2ьь1]т сплайн-коэффициентов в четных узлах густой сетки. Здесь точки, расставленные по диагонали, означают, что предшествующие три столбца повторяются соответствующее число раз, опускаясь при этом вниз на три ряда.
Доказательство. Согласно построению, на каждых т внутренних шагах сетки АЬ перекрываются по 3(т-і) широких базисных функций и вейвлетов и 3(2т-1) узких базисных функций. Поэтому после соответствующего изменения нумерации узлов на отрезке [0, т] можно записать следующие три конечных неявных соотношения разложения:
2т-2
£ а^к (2х - і) =
і=0
= £ Е (*ЛV (2X -1 - 2у) + 0к‘ V (х - Л), к = 0,1,2, (7)
1=0 У=0
где рк(2х-) - эрмитовы базисные сплайны на густой сетке; р(х-]) - эрмитовы базисные сплайны на прореженной сетке, р(2х-1-2]) - базисные вейвлеты на прореженной сетке.
Тогда для вычисления неопределенных коэффициентов соотношения (7) при к=0 с использованием табл. 1 и легко проверяемых равенств
1
—Гр,(2г) = 2', ? = -, к,/ = 0,1,2, соот-
ветственно, в точках
1
00 1 + с001 (- — 0 I 32
0 = с001!+с01 \-1.
0 8 + с° I 16
0 = с"! + с02 (-4) .
+ с0
+ сл’
64’
32,
х = 1: а0 = Ь000 + с™,
А £.01 О I .01
0 = Ьо ' 2 + со ,
0
02
0
02
0 = Ь - 4 + с0,
- + с„
32
- + с„
64
32
+ с/
64
+ с0015 + с01 (-— 1+ с02
1
16
П 01 I 3 | I 02 I 1
0 = с0 I — I + с I —
32
+ с
01 3 02 I 1
+ с, I —
'2 1 ( 4
х = т -1:
2т -1
= Ь
2 т—3 ‘-т-2
т_
0 = Ь01
+ ст
• 2 + с 2 2 + Ст-2 ,
2
0 = ьт2-2 • 4 + с“2,
а20 2 = с00 2 1 + с012 —
2т-2 т-2 2 т-2 32
64
0
0 = ст
0 = с0
15
— 1+с
- 3)+ст
— I+ст' 16) т
1
"32
Одно из решений полученной системы уравнений имеет вид: аот=Ь0=1, ./=0,...,т-2, при условии, что все остальные коэффициенты равны нулю. Это означает, что в нечетных узлах выполняются тождества для базисных сплайн-вейвлетов
%(2х-1-2;).
Попытаемся найти систему уравнений, связывающую коэффициенты разложения для четных узлов (случай, когда а01=а03=.=а02т-3=0). При т=2, 3 нетрудно убедиться, что система имеет только тривиальное решение. При т=4 решение имеет
вид: а01=а03=а05=Ь011=с011=0, Ь000=Ь002=-4, Ь00х=-20, Ь010=-15, Ь012=15, Ь020=Ь022=-45, Ь021=90, с000=с002= 4, с001=20, с010=30, с012=-30, с020=с022=180, с021=-360,
0 и 2 и 0 и 2
а00=а06=1/8, а02=а04=111/8.
Таким образом, из соотношения (7) выделяется неявное четырехчленное разложение вида р0(2х) +111ф0 (2 х - 2) + 111р0(2 х - 4) + р0(2 х - 6)
8
(>0(х) + 5^0(х -1) +^0(х - 2)-
1-р0(2х -1) - 5р0(2х - 3) - р0(2х - 5)) +15(2р1(х) - 2ф1( х - 2) - ф1(2 х -1) + ф1(2 х - 5)) + +180(р2(х) - 2р2(х -1) + р2(х - 2)) --45(р2(2 х -1) - 2р2(2 х - 3) + <р2(2 х - 5)).
Таблица. Значения базисных функций и их производных в точках отрезка [0,2]
X ро(х) р0(х) Ро(х) Р|(х) р1(х) р'1(х) рг(х) р2(х) р”(х)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1/2 1/2 15/8 0 -5/32 -7/16 3/2 1/64 1/32 -1/4
1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
3/2 1/2 -15/8 0 5/32 -7/16 -3/2 1/64 -1/32 -1/4
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Совершенно аналогично с помощью табл. 1 нетрудно убедиться, что для эрмитовых базисных сплайнов первых производных на густой сетке справедливо неявное трехчленное разложение вида (р1(2 х) +110р2(2 х - 2) + р2(2 х - 4)
16 =
Р0(2х - 1) - р0(2х - 3) - Р0(х) + Р0(х- 1) + +4(рД2х -1) + (р1(2 х - 3) - 2^1( х) - 2^1( х - 1)) + 12(^2(2х -1) -р2(2х - 3) - 4р2(х) + 4р2(х-1)),
а для базисных сплайнов вторых производных имеет место неявное четырехчленное разложение вида р2(2х) + 111р2(2 х - 2) + 111р2(2 х - 4) + р2(2 х - 6) = 8 = 2(Р0(х) + 12Р0(х - 1) + Р0(х - 2) - ^ +
1-р0 (2х -1) - 12р0(2х - 3) - р0(2х - 5)1 +7(2ф1(х) - 2ф1(х - 2) - (р1(2х -1) + (р1(2х - 5)) + +38р2 (х) - 524р2 (х -1) + 38р2(х - 2) -19р2 (2 х -1) + 262р2 (2 х - 3) - 19р2 (2 х - 5).
Соответствующие разложения по краям отрезка аппроксимации содержатся в матричном равенстве (6). Введем последовательности матриц Оь и Яь, блоки которых составлены из коэффициентов левых и правых частей полученных разложений, соответственно. В результате находим, что базисные функции пространства эрмитовых сплайнов 5-й степени на густой сетке, базисные функции на прореженной сетке и вейвлеты удовлетворяют равенству р0;Оь=[р!т1\у0г1] Нь, Ь>2.
Отсюда, используя свойство дополнения пространства вейвлетов, находим
х=
ivL-1]
cL
__ Ls~rL
= Co C0
= [Co
1 v0i-
1] rl ( gl )-1 c(
После этого решение системы уравнений (4) можно записать в виде (5), откуда после расщепления по четным и нечетным узлам вытекает утверждение Теоремы 1.
Пример. Рассмотрим в качестве тестовой функции функцию Хартена:
У$т(3жх), х < у,
/(х) =
|sin(4^x)|,
- "2sin(3^ x),
< x < f,
x >-
Начиная с верхнего уровня разрешения 1=5, то есть при числе разбиений и=2ь=32, на интервале 0<х<1 с длиной шага Ах=1/п находим последовательно, при Ь=5: Д)4=[-5,856, -88,1, 3,295, 5,904, -25,81, 14,12, 2,663, -173,8, 8,263, -1,359, -83,65, 11,54, -4,808, -144,9, 2,226, -19,38, 60,93, 66,25, 0,1275, -855,7, 6,406, -8,153, 0,7788, 23,93, -12,57, -352, 6,406, 8,153, 0,7788, 66,25, -0,1276, -855,7, 2,029, 10,15, 78,23, -8,348, -5,076, 95,12, -11,52, -1,357, 132,6, -10,86, 2,664, 124,9, -6,528, 5,788, 75,11, 6,961]т;
1=4: Д)3=[-407,3, -2522, -121,3, 15,31, 2087, 44,06, -29,11, -313,5, 17,2, -9,35, 2376, 127,6, -0,003728, -3,504, 17,1, 9,76, 2375, 74,52, -8,945, -885,9, 93,62, 10,86, -1204, 28,64]т; 1=3: Д)2=[-13980, -80860, -1099, 986, 23240, 459,8, -10,01, -5093, -1401, 235,3, 19260, -802,2] т; 1=2: £„‘=[-11760, 225000, 27040, 1022, -262700, 15090] т; Ь=1: на последнем шаге остается три коэффициента разложения производных на концах интервала С00=[-3,871-106, -4,62 5 107, 5,768 105]т и три вейвлет-коэффициента £00=[2,018-106,
1,2 1 4 107, -3,156 1 05] т.
При условии обнуления незначимых вейвлет-коэффициентов Д)2(6),ДД3), .,£04(48) итоговый коэффициент сжатия равняется 3*33/(96-32)=99/64=1,55.
Несложно предложить параллельную реализацию представленного в статье алгоритма вейвлет-преобразования эрмитовых сплайнов 5-й степени, в которой три прямых хода прогонки выполняются независимо, а три обратных хода выполняются с максимальным запаздыванием на два такта. Это позволит преодолеть некоторое отставание в вычислительной эффективности вейвлет-алгоритмов в сравнении с универсальными алгоритмами сжатия [9].
Работа выполнена при поддержке РФФИ 13-01-90900 молиннр, 13-07-90900 мол_ин_нр.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / пер. с англ. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. -332 с.
2. Чуи Ч. Введение в вейвлеты / пер. с англ. - М.: Мир, 2001. -412 с.
3. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике / пер. с англ. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 272 с.
4. Исаев Ю.Н. Конструирование биортогональных вэйвлет-бази-сов для оптимального представления сигналов // Известия Томского политехнического университета. - 2004. - Т. 307. -№ 1. - С. 37-42.
5. Strela V. Multiwavelets: Theory and Applications. - Cambridge: Massachusetts Institute of Technology, 1996. - 99 p.
6. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Построение эрмитовых сплайн-вейвлетов // Вестник Томского государственного университе-
та. Сер. Математика. Кибернетика. Информатика. Приложение. - 2006. - № 19. - С. 260-266.
7. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976. - 248 с.
8. Шумилов Б.М. Алгоритм с расщеплением вейвлет-преобразования эрмитовых кубических сплайнов // Вестник Томского государственного университета. Сер. Математика. Механика. - 2010. - №4 (12). - С. 45-55.
9. Замятин А.В., То Динь Чыонг. Повышение эффективности трехэтапного алгоритма сжатия многозональных аэрокосмических изображений // Известия Томского политехнического университета. - 2008. - Т. 313. - № 5. - С. 24-28.
Поступила 09.01.2013 г.
