CC BY
20
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И СТРОИТЕЛЬСТВО ДОРОГ, МЕТРОПОЛИТЕНОВ, АЭРОДРОМОВ, МОСТОВ И ТРАНСПОРТНЫХ ТОННЕЛЕЙ
УДК 625.7:519.6
КУДУЕВ АЛТЫНБЕКЖАЛИЛБЕКОВИЧ, ст. преподаватель,
altun_12@rambler. ru
Ошский государственный университет,
714000, Киргизия, г. Ош, ул. Ленина, 331,
ЛАХОДЫНОВА НАДЕЖДА ВЛАДИМИРОВНА, докт. техн. наук,
профессор,
lax@mail. ru
ШУМИЛОВ БОРИС МИХАЙЛОВИЧ, докт. физ.-мат. наук, профессор, sbm@tsuab. ru
ЭШАРОВ ЭЛЗАРБЕКАСАНОВИЧ, канд. физ.-мат. наук, доцент, elzare 78@rambler. ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
ВАРИАЦИОННОЕ ТРАССИРОВАНИЕ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ С ПОМОЩЬЮ НОВОГО ТИПА ЭРМИТОВЫХ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙН-ВЕЙВЛЕТОВ*
Рассмотрено применение сплайн-вейвлетов нового типа для вариационного моделирования трасс автомобильных дорог и других линейно-протяженных пространственных объектов.
Ключевые слова: вариационное моделирование, пространственные кривые, сплайн-вейвлеты
KUDUEV, ALTYNBEKZHALILBEKOVICH, Senior teacher, altun12@rambler. ru Osh State University,
331 Lenin st., Osh, 714000, Kirgizia,
* Работа выполнена при финансовой поддержке по проектам РФФИ 09-01-90716 моб_ст, 10-08-90903-моб снг ст и 11-08-90902-моб снг ст
© А.Ж. Кудуев, Н.В. Лаходынова, Б.М. Шумилов, Э.А. Эшаров, 2011
LAHODYNOVA, NADEZHDA VLADIMIROVNA, Dr. of tech. sc., prof., lax@mail. ru
SHUMILOV, BORIS MIKHAILOVICH, Dr. of phys.-math. sc., prof., sbm@tsuab. ru
ESHAROV, ELZARBEKASANOVICH, Cand. of phys.-math. sc, assoc. prof., elzare 78@rambler. ru,
Tomsk state university of architecture and building,
2 Solyanaya sq., Tomsk, 634003, Russia
VARIATIONAL TRACING OF ROADS BY MEANS OF NEW TYPE OF CUBIC MULTIWAVELETS
The application of new type of spline wavelets for variation modeling routes of roads and other linear-extended spatial objects is investigated.
Keywords: variation modeling, spatial curves, splines, wavelets.
Введение
При проектировании нового строительства трасса автомобильной дороги традиционно описывается как набор отрезков прямой, дуг окружностей и клотоид [1]. Для целей реконструкции [2] предпочтительнее интерполяция координат пикетов автомобильной трассы в плане и продольном профиле кривыми Безье и кубическими сплайнами. В процессе визуального редактирования трассы пользователь передвигает контрольные точки и решает задачу сплайн-интерполяции [3] (метод «прямого манипулирования») либо прибегает к сглаживанию кривой в заданном коридоре ограничений с помощью многократного применения формул сплайн-фильтрации [4]. В компьютерной графике известны, по меньшей мере, еще три подхода к редактированию сплайн-кривых. Первый (теоретически наиболее безупречный) состоит в решении задачи построения сплайна в выпуклом множестве [4]. Достоинством этого подхода является то, что в процессе решения экстремальной задачи удаляются «лишние» узлы, в результате чего достигается сжатие информации. Недостатки проявляются в неестественности минимизируемого функционала (интеграла от квадрата второй производной вместо полной кривизны), возможности утраты существенной, с точки зрения инженера-дорожника, информации и отсутствии надежных алгоритмов. Второй подход [5] часто называют вариационным моделированием, поскольку в качестве целевой функции берется полная кривизна как мера «гладкости» кривой, а сплайны служат для приближенного определения «лучшего» геометрического элемента, удовлетворяющего обозначенным условиям. Третий основан на методике вставки/удаления узлов B-сплайн-разложения [6], когда поведение сплайн-кривой локально уточняется по мере введения дополнительных узлов, либо кривая сглаживается путем идентификации и удаления «плохих» узлов.
В предлагаемой статье вейвлет-преобразование нового типа [7] используется для разложения исходной кривой на различные частотные составляющие. Высокочастотные шумы могут быть отфильтрованы в процессе реконструкции. При этом требуется, чтобы алгоритм фильтрации ограничивался лик-
видацией нежелательных дефектов и сохранял изогеометрические характеристики кривой [8, 9].
1. Кратномасштабное разложение эрмитовых кубических сплайн-кривых
Отправным пунктом для построения вейвлет-преобразования является наличие набора вложенных пространств ... ... Вейвлет-преобра-
зование является математическим инструментом, с помощью которого можно иерархически разложить заданную функцию на серию грубых приближенных представлений и локальных уточняющих подробностей. Для этого функция в пространстве V последовательно проецируется на два подпространства, V"-1 и WL-1. При этом «более грубый» уровень представления функции в V"-1 получается из «более подробного» уровня представления функции в V посредством децимации (удаления каждого второго, как правило, отсчета). Здесь необходимо лишь, чтобы каждая базисная функция в V"-1 могла быть выражена в виде линейной комбинации базисных функции в V [10].
В данной статье пространство V" является пространством эрмитовых кубических сплайнов на отрезке [а, Ь] с равномерной сеткой узлов А" : и = а + (Ь - а) I / 2", I = 0, 1,., 2", " > 0 и базисными функциями
(у) = фк (V - 0, к = 0, 1 У^ где V = 2" (и - а) / (Ь - а) + 1, порожденными сжатиями и сдвигами двух масштабирующих функций ф0(0, фКО (рис. 1):
Ф0(ґ) =
ґ2(3 - 2ґ), 0 < ґ < 1,
(2 - ґ)2(2ґ -1), 1 < ґ < 2,
Фі(ґ) =
0,
ґ Є [0,2];
- ґ 2(1 - ґ),
(2 - ґ )2(ґ -1), 0,
0 < ґ < 1, 1 < ґ < 2, ґ,2].
Отметим, что использование в данном контексте эрмитовых сплайнов позволяет в явном виде, через значения сплайн-коэффициентов, учесть геометрические ограничения как на контрольные точки (пикеты автомобильной трассы), так и на тангенсы трассы (заданные направления касательных, например, при въезде на мостовое сооружение).
Вейвлет-пространство WL-1 определяется как ортогональное дополнение V"-1 до V по отношению к определенному скалярному произведению. В этом случае пространство V может быть представлено в виде прямой суммы V"-1 и WL"1: VL=VL-1©WL-1. Для случая неограниченного интервала (- да, да) базис-
ные функции ^Л, имеющие суперкомпактный носитель [0, 2], получены в [7] относительно скалярного произведения (/, £> = )-§■' (г)г (рис. 2):
у 0 (г) = -2ф0 ( 2г) + 4ф0 ( 2г -1) - 2ф0 ( 2г - 2) - 21ф1 ( 2г) + 21ф1 ( 2г - 2 ), (1) у1 (г) = ф0 ( 2г) - ф0 ( 2г - 2) + 9ф1 ( 2г) + 12ф1 ( 2г -1) + 9ф1 ( 2г - 2). (2)
Рис. 2. Графики «материнских» вейвлетов у 0 (г), у1 (г)
Для случая конечного интервала нами предлагается вычесть из исходных координат уравнение прямой, соединяющей первую и последнюю контрольные точки. Тогда их координаты обнуляются, и достаточно адаптировать вейвлеты ^1 по краям отрезка аппроксимации отбрасыванием выступающих половинок. Этот прием позволяет избежать существенных трудностей, связанных с построением граничных вейвлетов [11]. После такой модификации данных пространственная эрмитова кривая может быть представлена в однородных координатах г = [х, у, г, 1]т как
(и ) = £ С™N0 (и ) + £ С^N1 (и ), п = 2і,
і=0
где коэффициенты СЬ,к =
і=0
Ь,к Ь,к Ь,к Ь,к Ь,к Ь,к Ь,к
' ГУ і ^і 5 ГУ і
wi
(3)
к = 0,1 яв-
'* V , У
ляются однородными координатами контрольных точек и, соответственно, направляющих косинусов касательной к кривой, причем С^0 =
= [0,0,0, 0], 1 = 0, п . Удобно записать базисные сплайн-функции на данном
уровне і в виде единой матрицы-строки, ф =
и впредь соби-
рать контрольные точки и направляющие косинусы в вектор, Сь = С^’°,..., С^’1 . Тогда уравнение (3) переписывается как
ГЬ (и ) = фСЬ. (4)
По аналогии запишем базисные вейвлет-функции на данном уровне Ь
, где МЬк являются сжа-
в виде единой матрицы-строки, =
Мь Мь
ш0,0? У1п,1
тиями и сдвигами эрмитовых кубических вейвлетов у0(и), ^(и), определенными последовательностью узлов ДЬ, и будем собирать соответствующие ко-
эффициенты вейвлет-разложения в вектор, БЬ = [о0Ь,°,..., DnI',1], причем ДЬ 0 =[0, 0,0,0] 1 = 0, п .
Пусть фЬ-1, уЬ-1 обозначают базисные функции для УЬ-1 и соответ-
ственно. Поскольку Р*-1 и ж1-1 являются подпространствами Р, мы можем записать функции фЬ-1 и ^-1 в виде линейных комбинаций функций фЬ. Таким образом, существуют две матрицы Р и $, удовлетворяющие соотношениям фЬ-1 = фЬРЬ, уЬ-1 = фLQL . Поэтому справедливы выражения
фЬ СЬ = фЬ -1СЬ -1 + уЬ ~ХВЬ-1 = фЬРЬ СЬ -1 + фLQLDL-1. (5)
Таким образом, вейвлет-преобразование кривой может быть записано как
Очевидно, что вейвлет-преобразование обратимо также в виде линейной системы. Для этого с помощью формулы (6) следует вычислить С 1-1, DL-1 из
СL . Переход от уровня с номером L к уровню с номером L-1 называется разложением. Восстановление обратно процессу разложения. Матрицу Р можно вычислить непосредственно, с помощью двухмасштабных соотношений для эрмитовых сплайнов 3-й степени, записанных в виде следующих формул [12]:
ф0 (Г) = 2 ф0 (2Г) + ф0 (2Г -1) + 2 фД2Г - 2) + 3 (ф (2г) - ф^2г - 2)),
ф1 (Г) =1 ф1 (2Г -1) -1 ф1 (2Г) -1 ф1 (2Г - 2) -1 (фД2Г) - ф^2Г - 2)), (7)
2 8 8 8
а матрицу $ нетрудно получить, используя явные представления (1), (2). Для
облегчения численного решения блочную матрицу [Р | Q£] лучше сделать
ленточной, изменив порядок ее столбцов так, чтобы столбцы матриц Р и $
перемежались.
2. Сглаживание с оптимизацией пространственных кривых
Вейвлет-преобразование позволяет разложить данную функцию на различные частотные составляющие, которые могут быть использованы для обнаружения и удаления высокочастотного шума. Сначала мы должны определить критерий оптимальности. Например, во введении обсуждался вариационный критерий улучшения плоских и пространственных сплайн-кривых. Полученные в [8, 9, 13] результаты позволяют рассмотреть еще один критерий оптимальности.
Критерий. Кривая является оптимальной, если:
1) ее графики кривизны и кручения являются непрерывными и
2) они имеют как можно меньше локальных экстремумов.
В соответствии с данным критерием требуется определить и удалить узлы с относительно низкой оптимальностью. Предлагаемый алгоритм [13] включает в себя два различных разложения исходной кривой, сначала исполь-
СL = pL с + QLDL -1 или СL = [ Р1^ | QL ]
зуется подмножество всех нечетных внутренних узлов, чтобы построить под-
т г Т. 1 ^
пространство у с целью удалить шум, связанный со всеми четными внутренними узлами. Затем все четные внутренние узлы выбираются так, чтобы
Т _1
построить подпространство У2 с целью удалить шум, связанный с нечет-
ными внутренними узлами. Наконец, мы берем среднее полученных двух кривых в качестве конечного результата. Алгоритм обобщается в виде следующих шагов.
1. Удаление всех четных внутренних узлов, чтобы получить подпро-
Т _1
странство у .
2. Вейвлет-разложение кривой в уь-1.
3. Удаление всех нечетных внутренних узлов, чтобы получить подпро-
Т _1
странство к2 .
4. Снова разложение исходной кривой, теперь в У^-1.
5. Если больше геометрических деталей должно быть сохранено, полученные детализирующие функции могут быть разложены далее. При этом
проекция в пространстве Ж^-1 разлагается далее с использованием подпространства У2ь-1, тогда как проекция в пространстве Ж^-1 разлагается с помощью У1Т_1.
6. Синтез масштабирующих частей §]ь_1 (и) и восстановление кривых
§1,2 (и ) .
7. Окончательно результатом оптимизации является среднее арифмети-
6 ь ( ) §Ь (и ) + (и )
ческое двух кривых, построенных на шаге 6, § (и ) =----- ^.
На рис. 3 показана плоская незамкнутая кривая - участок плана трассы автомобильной дороги со значениями координат пикетов, представленными в таблице. После оптимизации по сравнению с исходной кривой график кривизны кривой содержит гораздо меньше монотонных участков. Другими словами, оптимизированная кривая становится лучше.
Значения координат пикетов участка плана трассы автомобильной дороги
; х; у; ; х; у; ; х; у;
1 240 186 12 36 57 23 96 8
2 225 170 13 17 57 24 118 16
3 209 152 14 8 54 25 136 29
4 190 134 15 2 48 26 155 42
5 173 118 16 4 34 27 170 58
6 155 102 17 7 28 28 186 75
Окончание таблицы
; х; у; ; х; у; ; х; у;
7 135 89 18 21 15 29 201 95
8 117 77 19 36 6 30 218 119
9 97 67 20 50 3 31 233 146
10 76 60 21 64 2 32 250 177
11 54 57 22 82 4
Рис. 3. Результат оптимизации плана трассы автомобильной дороги:
а - исходная кривая (сплошная линия) с 32 контрольными точками; б, в - графики кривизны исходной кривой и кривой после оптимизации
Заключение
В представленном алгоритме оптимизации трасс автомобильных дорог высокочастотный шум удаляется в два этапа. Во-первых, мы удаляем шум, соответствующий всем четным внутренним узлам, а затем удаляем шум, соответствующий всем нечетным внутренним узлам. По сравнению с результатом, полученным от однократного разложения (состоящего из удаления только четных или только нечетных внутренних узлов), представленный алгоритм
лучше удаляет высокочастотные шумы при сохранении в то же время геометрических особенностей кривой. Новая кривая после оптимизации имеет гораздо меньше всплесков на графике кривизны.
Главное преимущество данного алгоритма по сравнению с ранее представленным методом вариационного моделирования [14] состоит в том, что он позволяет избежать сложной операции вычисления кривизны и ее производных, чтобы найти «плохие» узлы, и, кроме того, он не нуждается в итерациях.
Библиографический список
1. Проектирование автомобильных дорог : справочник инженера-дорожника / под ред. Г.А. Федотова. - М. : Транспорт, 1989. - 437 с.
2. Бойков, В.Н. Сплайны в трассировании автомобильных дорог / В.Н. Бойков, Б.М. Шумилов . - Томск : Изд-во ГУ Томский ЦНТИ, 2001. - 164 с.
3. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. - М. : Наука, 1980. - 352 с.
4. Вершинин, В.В. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания / В.В. Вершинин, Ю.С. Завьялов, Н.Н. Павлов. - Новосибирск : Наука, 1988. - 102 с.
5. Математика и САПР: В 2 кн. / П. Жармен-Лакур, П.Л. Жорж, Ф. Пистр [и др.]. - М. : Мир, 1989. - Кн. 2. - 264 с.
6. Де Бор, К. Практическое руководство по сплайнам : [пер. с англ.] / К. Де Бор. - М. : Радио и связь, 1985. - 304 с.
7. Jia, R.-Q. Wavelet bases of Hermite cubic splines on the interval / R.-Q. Jia, S.-T. Liu // Advances Computational Mathematics. - 2006. - V. 25. - P. 23-39.
8. Бойков, В.Н. Обеспечение оптической ясности и плавности автомобильных дорог при пространственном трассировании / В.Н. Бойков, П.А. Елугачёв, Б.М. Шумилов // Вестник ТГАСУ. - 2007. - № 3 (16). - С. 229-241.
9. «Калькулятор кручения» автомобильных дорог / П.А. Елугачёв, Б.М. Шумилов, Е.Г. Приходько [и др.] // Вестник ТГАСУ. - 2007. - № 3 (16). - С. 242-256.
10. Столниц, Э. Вейвлеты в компьютерной графике : [пер. с англ.] / Э. Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 272 с.
11. Biorthogonal multiwavelets on the interval: cubic Hermite splines / W. Dahmen, B. Han, R.-Q. Jia [etc.] // Constr. Approx. - 2000. - V. 16. - P. 221-259.
12. Heil, С. Approximation by translate of refinable functions / С. Heil, G. Strang, V. Strela // Numer. Math. - 1996. - V. 73. - P. 75-94.
13. Wang, W. Wavelets-based NURBS simplification and fairing / W. Wang, Y. Zhang // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 2009, doi: 10.1016 / j.cma. 2009.04.003.
14. Шумилов, Б.М. Нестационарные сплайн-вейвлеты в ГИС и САПР линейнопротяженных пространственных объектов / Б.М. Шумилов, Э.А. Эшаров // Вестник ТГАСУ. - 2006. - № 1 (12). - С. 153-163.
