ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ХИМИКО- ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 576/8

Vladislav A. Kholodnov, Marina Yu. Lebedeva

В.А. Холоднов1, М.Ю. Лебедева2

APPROXIMATE METHOD OF OPTIMIZATION OF CHEMICAL PROCESSES AT IN THE INTERVAL PARAMETRIC UNCERTAINTY

St Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia Branch "National Research University" «MPEI» in Smolensk Energetichesky Pr-d, 1, Smolensk, 214013, Russia e-mail: holodnow@yandex.ru

It developed an approximate method and program implementation in Mathcad solving optimization of chemical-technological systems (CTS) at an interval of parametric uncertainty of the initial information developed. In solving the problem of approximating the model used to optimize the objective function (TF) built using computational experiment and take into account the structure of the equations of the mathematical description of CTS. The developed method has been tested with the help of computing experiment at and optimization under uncertainty for a sequence of extractors with a recycle.

Keywords: Parametric uncertainty, Mathcad, approximating model of the objective function, the optimization stage extractors recycle structure equations.

Постановка задачи

При проведении работ по математическому моделированию и оптимизации ХТС фактически всегда исследователи сталкиваются с неполнотой и неточностью исходной физико-химической, технологической, экономической информации. Учет этих факторов может существенно повысить предсказательную силу выводов математического моделирования и оптимизации.

Задача минимизации целевой функции R при интервальной неопределенности параметров [1, 2, 8, 9] имеет вид:

,

ueU x<eJ(

ц/j (u, X) < 0 .

Здесь: u - k-вектор управляющих переменных с областью допустимых значений U, (UqeU; U = {V inf Uq < Uq < sup Uq}), q = (1,..., k); x - m-вектор неопределенных параметров с заданными интервалами допустимых значений, x,eX; X = {V Xi : inf Xi < Xi < sup x}, i = (1,.,m).

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД

ОПТИМИЗАЦИИ ХИМИКО-

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ

СИСТЕМ ПРИ

ИНТЕРВАЛЬНОЙ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия

Филиал «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске Энергетический проезд, дом 1 , г. Смоленск, 214013, Россия e-mail: holodnow@yandex.ru

Разработан приближенный метод и программная реализация в среде Mathcad решения задач оптимизации химико-технологических систем (ХТС) при интервальной параметрической неопределенности исходной информации. При решении задачи оптимизации используется аппроксимирующая модель целевой функции (ЦФ), построенной с использованием вычислительного эксперимента и учитывается структура уравнений математического описания ХТС. Разработанный метод были протестированы с помощью вычислительного эксперимента при и оптимизации в условиях неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом.

Ключевые слова: Параметрическая неопределенность, Mathcad, аппроксимирующая модель целевой функции, оптимизация каскада экстракторов с рециклом, структура уравнений.

Описание предлагаемого метода оптимизации

Оптимизация ХТС в условиях неопределенности вызывает необходимость разрабатывать методы, позволяющие принимать решения с учетом этого обстоятельства. В последние годы появились работы, в которых рассматриваются методы решения подобного рода задач [1, 2]. В данной статье предлагается приближенный метод решения задачи оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности параметров с использованием системы компьютерной математики MATHCAD [3].

Работоспособность предложенного метода иллюстрируется на примере оптимизации последовательности экстракторов с рециклом [5].

Интервальное описание неточности информации предполагает естественную для задач химической технологии ограниченность факторов и их представление диапазоном возможных значений переменных.

Рассмотрим предлагаемый метод решения задачи оптимизации ХТС в условиях неопределенности.

1 Холоднов Владислав Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, каф. системного анализа, СПбГТИ(ТУ), e-mail: holodnow@yandex.ru Vladislav A. Kholodnov, Dr Sci. (Eng.), Professor, Department of System Analysis SPSIT(TU)

2 Лебедева Марина Юрьевна, канд техн. наук, доцент, каф. менеджмента и информационных технологий в экономике, Филиал НИУ «МЭИ»в г. Смоленске

Marina Yu. Lebedeva, Ph.D. (Eng.), Assistant Professor, Department. management and information technology in the economy Branch "National Research University" «MPEI» in Smolensk

Дата поступления - 29 октября 2015 года

Выделим вектор неопределенных параметров Х=(х1,х2,...,Хт)т и вектор оптимизирующих (управляющих) переменных и=(иь и2,...,и\)т. Если задать значения неопределенных и оптимизирующих параметров, то уравнения математического описания позволяют вычислить сформулированный критерий эффективности функционирования ХТС. На этой основе с учетом существующих ограничений может быть построена функциональная зависимость критерия оптимизации от оптимизирующих неопределенных параметров Я = F(Ul, и2,...ик, хь х2,...хт). Полученную таким образом функцию предлагается использовать на следующем этапе для решения задачи оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности.

При решении задачи используется известный подход построения модели для критерия оптимизации -метод Брандона [10].

При выборе численных значений неопределенных параметров и оптимизирующих переменных можно использовать идеи планирования эксперимента [4].

Предложенный и развитый нами метод оптимизации ХТС с учетом структуры уравнений математического описания позволяет избежать многочисленных расчетов.

Оптимизация каскада экстракторов с рециклом

В качестве объекта исследования рассматривается последовательность экстракторов с рециклом, для которой решается задача оптимизации о нахождении максимума дохода в условиях интервальной неопределенности[6,7].

В ХТС поступает сточная вода с определенным содержанием примеси, которая извлекается в экстракторах 2, 3, 4 с помощью экстрагента. Часть не извлеченной примеси возвращается на вход в систему.

Рисунок 1. Последовательность экстракторов с рециклом

Математическое описание рассматриваемой ХТС (рисунок 1) представим в виде уравнений материального баланса:

В качестве критерия оптимизации Я принят доход от функционирования установки:

Я = Л- О ■ (Хг - х4) - а ■ (Ж2 + Ж3 + Ж4)

Соотношения уравнений равновесия между фазами экстракта и рафината^имеют вид:

В уравнениях математического описания приняты следующие обозначения: G, GR - расходы входного потока и потока рецикла, кмоль-ч-1; Xf, xi, yi - концентрации извлекаемого вещества во входном потоке, в соответствующем потоке экстракта и рафината, мольные доли; W2, W3, W4 - расходы экстрагента, кмоль-ч-1; a, X - стоимости растворителя и извлекаемого вещества a = 0,05, X = 1, G = 1, GR = 1, xf = 0,2..

Ограничения на управляющие переменные, I = 2,

3, 4.

Для решения этой типичной задачи химической технологии по оптимизации ХТС существуют три традиционных метода:

- декомпозиция на структуре самой ХТС;

- декомпозиция на структуре уравнений математического описания ХТС;

- интегральный метод расчета.

Наиболее перспективным из них является предлагаемый нами метод, основанный на учете структуры уравнений математического описания.

В соответствии с его алгоритмом в качестве оптимизирующих приняты переменные W2 , W3 , X3. В этом случае расчет ХТС на каждом шаге оптимизации осуществляется без итераций.

На рисунке 2 представлен протокол Mathcad решения задачи на основе учета структуры уравнений. Результаты решения согласуются с литературными данными, полученными с использованием методов декомпозиции на структуре ХТС и интегральным методом расчета [6].

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

G, := 1 GR := 1 xf := 0.2 а := 0.05

W2 := 0.58 W3 := 0.226 хЗ := 0.058 ФАЗОВОЕ РАВНОВЕСИЕ

f(x) := (2.5-х + 3.7-х2 - 113Х3) if х < 0.1

(з.94 ■ х - 29.6 ■ х2 + 74 ■ х3) otherwise

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПО ФОРМУЛАМ С УЧЕТОМ СТРУКТУРЫ УРАВНЕНИЙ

уЗ := f (хЗ) у2 := f(х2)

х2 :

xl :

[(G + GR)-x3 + W3-y3]

(G + GR) [(G + GR)-x2 + W2-y2]

(G + GR)

x4 := [(C+GR).xl-G.xf] y4 ;= f(rf)

W4 :=

GR

[(С + GR)^xЗ - (в + GR)■x4] У4

Е1:= С (хГ - х4) - а (\У2 + ЛУЗ + \У4) ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

у2 = 0.159 уЗ = 0.135 у4 = 0.096 \¥4 = 0.406

XI = 0.119 х2 = 0.073 х4 = 0.039 R = 0.101

Рисунок 2. Протокол Mathcad решения задачи на основе учета структуры уравнений.

В соответствии с предложенным методом на первом этапе проводится репрезентативный [7] вычислительный эксперимент в 24 точках по определенному плану.

В качестве неопределенных параметров выбраны параметры, характеризующие внешние условия: расход входного потока, концентрация извлекаемого вещества во входном потоке и стоимость растворителя.

Первые восемь экспериментов представляют собой результаты двухуровневого плана вычислительного эксперимента, строка 9 - результаты решения задачи оп-

тимизации при средних значениях неопределенных параметров, эксперименты с 10 по 24 - результаты решения задачи в случайных точках. Анализ корреляционной матрицы показал отсутствие эффекта мультиколлинеарно-сти, что позволяет судить о достоверности полученных результатов.

Так как для каждого неопределенного параметра и оптимизирующих переменных заданы значения нижней и верхней границы, то с использованием случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0;1], можно сгенерировать дополнительно N их векторных значений по формуле:

Uj j = inf Ut + slj j • (sup ul - inf ul) ,

где sli,j, sli,j - случайные числа, равномерно распределенные на интервале [0;1], i = 1(1)m, l = 1(1)k, j = 1(1)N.

Вычислительный эксперимент производился с использованием программного продукта Mathcad.

Интервалы изменения численных значений неопределенных параметров приведены в таблице 1.

Таблица 1. Интервалы численных значений неопределенных параметров

Границы неопределенных параметров

Нижняя граница

Верхняя граница

0.8

1.2

0.19

0.21

0.04

0.06

С помощью разработанной программы на основе метода Брандона [10] и с учетом ограничений на численные значения неопределенных параметров и оптимизирующих переменных

была получена аппроксимация критерия оптимизации в следующем виде:

Я = /№) • /2(х,) • /3(а) • /4(Ж2) • /5(Ж3)• /6(Ж4)

Каждая из функций от соответствующей переменной, входящих в это выражение, представлена в виде полинома второй степени: Цх)=агх2+а2-х+аз. Численные значения коэффициентов для соответствующих полиномов приведены в таблице 2.

Таблица 2. Численные значения коэффициентов

Численные значения коэффициентов выражения для полиномов

fi(G)

f2(Xf)

fs(a)

f4(W2)

fs(W3)

fe(W4)

а1

-0,27

27,54

263,01

-2,81

-9,19

-17,73

а2

0,62

-10,83

-29,18

3,26

4,89

14,80

аэ

-0,24

1,1

1,07

0,88

6,12

5,41

Адекватность модели была проверена с помощью скорректированного критерия детерминации R2 = 0,98 на число экспериментальных точек 24 и на число подбираемых параметров 16 и с помощью коэффициента детерминации по формуле:.

г>2 — 1

лскор -1-

(1 - R2 )■ (24 - 1)/(24 - 16 - 1),

^скор — 0-87

Ниже приведены результаты оптимизации, полученные с использованием, найденной на основе метода Брандона, приближенной зависимости критерия оптимизации от оптимизирующих переменных и неопределенных параметров.

Результаты решения задачи оптимизации совпадают с известным из литературы решением [6].

Рисунок 3. Протокол приближенного решения нахождения максимума дохода

Заключение

Предложен приближенный метод и его программная реализация с помощью Mathcad для оптимизации ХТС в условиях параметрической неопределенности информации.

Разработанный метод протестирован с помощью вычислительного эксперимента при моделировании и оптимизации в условиях неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом, что подтверждает его работоспособность.

Литература

1. Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В. Оптимизация технических систем. М.: КНОРУС, 2012. 432 с.

2. Лаптева Т.В. Основы методологии решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности в исходной информации: дис. ... д-ра техн. наук. Казань: КНИТУ, 2014. 401 с.

3. Холоднов В.А., Дьяконов В.П., Кирьянова Л.С., Иванова Е.Н. Математическое моделирование и оптимизация химико-технологических процессов: практическое руководство. СПб: АНО НПО «Профессионал», 2003. 480 с.

G

a

4. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. М.: Высшая школа, 1985. 205 с.

5. Холодное В.А., Лебедева М.Ю. Системный анализ и принятие решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем в среде Mathcad и Excel .учеб. пособие. СПб: СПбГТИ (ТУ), 2005. 220 с.

6. Лебедева М.Ю. Оптимизация химико-технологических систем при неопределенности исходной информации. Методы и программная реализация: дис. ... канд. техн. наук. Санкт-Петербург, 2005. С. 60-65.

7. Холоднов, В.А. Лебедева М.Ю. Оптимизация последовательности экстракторов в условиях интерваль-

ной неопределенности // Изв. вузов. Химия и хим. технол. 2003. Т. 46. № 5. С. 47-51.

8. Холоднов В.А., Хартманн К. [и др.]. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление / под ред. И.П. Мухленова Л.: Химия, 1986. С. 3-109.

9. Grossmann I.E., Floudas C.A. Active constraint strategy for flexibility analysis in chemical processes // Comp. and Chem. Eng. 1987. V. 11. № 6. P. 675-693.

10. Brandon D.B. Developing mathematical models for computer control // Instrument Society of America Journal. 1959. V. 6. N 7. P. 70-73.