CC BY
15
УДК 004.942
М. Ю. Лебедева, В. А. Холоднов, А. М. Гумеров
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЭКСТРАКТОРОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
И СТРАТЕГИИ МИНИМАКСА
Ключевые слова: оптимизация ХТС, параметрическая неопределенность, Mathcad, чувствительность, стратегия минимакса, оптимизация каскада экстракторов с рециклом.
Разработан приближенный метод и программная реализация в среде Mathcad решения задач оптимизации химико-технологических систем (ХТС) при интервальной параметрической неопределенности исходной информации на основе теории чувствительности и стратегии минимакса. При оптимизации используется приближенная модель целевой функции (ЦФ). Предложенный метод позволяет существенно упростить решение такого рода задач оптимизации ХТС. Разработанный метод был протестирован при решении задачи оптимизации в условиях неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом.
Keywords: optimization of CTS, parametric uncertainty, Mathcad, the sensitivity, the strategy of minimax optimization stage extractors
recycle.
An approximate method and program realization of optimization problems in Mathcad solve of chemical-technological systems (CTS) at an interval of parametric uncertainty of the initial information on the basis of the sensitivity theory and the minimax strategy was developed. In this case an approximate model of the objective function (OF) was used. The proposed method can greatly simplify the solution of such problems optimization CTS. The developed method has been tested in solving the problem of optimization under uncertainty for a sequence extractors recycle.
Введение
Постановка задачи
Оптимизация каскада экстракторов с рециклом.
В качестве объекта исследования рассматривается последовательность экстракторов с рециклом (рис. 1), для которого решается задача оптимизации о нахождении максимума дохода в условиях интервальной неопределенности [4].
вЕ
G
Ш
W;
Wj
W4
У-
Уз
1 X, 2 X: 3 Х3 Л х4 5
У^
точек и на число подбираемых параметров коэффициентов детерминации =(>,&?.
Таблица 1 - Численные значения коэффициентов
Полином для переменной ai a2 a3
fi(G) -0.27 0.62 -0.24
f2(x) 27.54 -10.83 1.1
fs(a) 263.01 -29.18 1.07
f4(W2) -2.81 3.26 0.88
f(W3) -9.19 4.89 6.12
fW -17.73 14.80 5.41
Рис. 1 - Последовательность экстракторов с рециклом.
С учетом ограничений на численные значения неопределенных параметров и оптимизирующих переменных
(0.8 < О < 1.2, 0.19 < хг < 0.21, 0.04 < а < 0.06, 0.2 < ^ < 0.7, I = 2,3,4) была получена аппроксимация критерия оптимизации в виде :
Я = /1(О) • /,(х,) • /з(а) • /№) • /5(Жз) • ЛГО
Каждая из функций, входящих в это уравнение, представляет собой полином второй степени: /(х)=а1х2+а2х+а3. Численные значения
коэффициентов для соответствующих полиномов приведены в таблице 1.
Адекватность модели была проверена с помощью скорректированного на число экспериментальных
В условиях рассматриваемой неопределенности воспользуемся чувствительностями критерия оптимизации по соответствующим неопределенным параметрам [1]:
ЗЯ дЯ
Ч =
дв
12 =
dx
h =-
f
dR .
da
Задача решена в системе компьютерной математики Mathcad в соответствии с модифицированным критерием:
Я ф = Я - ^
модиф
где t=tl2+t22+tз2
Здесь t - «штрафная» функция, которая уменьшает значение критерия оптимизации при больших значениях чувствительности. Маргинальное значение t = 0.Задача оптимизации сводится к нахождению максимума Ямодиф по управляющим переменным с минимальной чувствительностью
найденного режима к неопределенным параметрам. Соответствующие значения частных производных были найдены по полученной аппроксимации критерия оптимизации с помощью инструмента символьной математики МаШса^ Результаты решения задачи представлены в нижеследующем протоколе (Листинг 1).
Листинг 1. Протокол нахождения максимума дохода Кмодиф. с минимальной чувствительностью по неопределенным параметрам
¡¡¡¿- 1. *( ;= 0.2 1 := 0.05 « 2 ;= 0.5 ;= 0.3 И"4 0.3
, А Г Ли Л1 .
fl(G) : -4U7G + (1.61С. - 0.24 Г31» := 263.01-в1 29.18 . . 1.07
П(ж() : 17JS4.lT-ШН-хГ +М (4(W1) := 2.813Y21 I 3.26-W2 ■ 0.88
\уз ' W2 л ' 0.2 1
ÉÜL := Mtílmtet(R,WI ,W) ,W4) _ 0.2
,W4 , ..0.2 ..
К] Г4(\У2>-Г50>3)-'6ПУ4) = 0.077
Найденное значение вектора управляющих воздействий "т=(0.2,0.2,0.2) показывает относительно устойчивое значение критерия оптимизации по отношению к изменению неопределенных параметров.
Метод позволяет определить чувствительность критерия оптимизации к неточности осуществления оптимального режима. Некоторые отклонения от оптимального режима приводят к незначительным потерям, но зато удобно с технологической точки зрения. Использование вторых производных критерия оптимизации по управляющим переменным позволяет записать критерий оптимизации в модифицированном виде:
д2 Я
д2 R
д2 R
V =-
К =-о у2 —-Т' у3~ 2
1 дЖ22 2 дГ32 3 дж42
Ямодиф1 = Я ,
2 2 2 где V = vl + у2 + v3 .
Соответствующие значения частных производных были рассчитаны по полученной аппроксимации критерия оптимизации с помощью инструмента символьной математики Mathcad. Результаты решения задачи представлены в нижеследующем протоколе (Листинг 2).
Значения 0.11 и 0.418 в выражении для целевой функции представляют собой маргинальные значения
R, v, которые были найдены решением соответствующих задач оптимизации.
Листинг 2. Протокол решения задачи нахождения максимума Ямодиф1 с минимальной чувствительностью к управляющим
переменным
Исходные данные
t jf 0.2 я 0.0S
brR := 1 til. := ] W2 0.5 W3 := OJÍO W4 0.3
n(G) ;= -0.27-G1 + 0.62 G - 0.24 [2(ll) ;= 27.54 i!1 - 1 U.S.Vil + 1J
(3(0) 263.01 a3 29.18 a > (.07 H(W1) ■ 2.81W22 i 3.26 W2 1 0.88
l^iW -9.19 W32 + J.S9-W3 4- 6.12 16(W4) -¡7.73-W42 - 14.80W4 ■ J.41 Вычисление значения критерия оптимизации по аппроксимирующей функции
I5(W3) := -9.19 ЛУЗ -г 4.89 ЛУЗ + 6.12 I6(W4)l» -1T.H W4 + 14.80W4 + 5,41 HjGifi) : l-0.27-G2 + |№в- *.м){17Л4жН - M.M-Xf + l.l l.l 2ЙЛ.01 а2 - 29.!8а + 1 .От)
tí ('WI, W3 , W4) i» Wí) -<S(W3) (6(W4)) , *í, •)
ДгГ
<2(WJ,W3 ,W4) (H(WI) ■ fS(\V3} ■ Í6{ \V4) > ■ — R (С. if, •)
Эа
I.' \\ - . W3 . \\ l. : M \\ ' i I"- \\ л. w; К. C. il
BG
t(W2 . WS, W4) := ti (Vil, W3, W4) + tt(W2 ,W3,W4) + t3(\V2 . \V3 . \V4) R1 :- ( 0.27 G2 ■ 0.62 С O.24) (27.54if2 10.83-if 1 l.lMlóJ.ül a2 25.18 . • 1.07^ Ki WI . \Y3 . \Y4) := K1Í4< «2)15 íW3VIS|ЛУ4) - i(\У2 . \Y3 . \Y4) Cfvea
1V3 0.2 W3 0.2 W4 > 0.2 WI < 0.7 W3 < 0.2 \V4 < 0.7
R1 - 1 0.27-G ■ 0.62 C. 0.24М27.54-1Г 10.83 if
4 1-lU
263 01»* 29.18 • ■ T .071
giWl.W3.W4) := R1 -f4(Wl) B(W3)-«(W4)
Вычисление частным производных
д!
VifW2 ,\V3, W4) ■ — R(W2.W3.W4)
ew2 a1
v2(W2,W3 \V4) :- H[W2„W3,W4)
ew3
v3fW2 W3 W4) :- R(W2 .W3.W4)
m*
T(W2.W3.W4) = vl(W"2.W3.W4):-f v20V2.W3.W4)1 + v3(W2. W3. W4)J
krR ._ krC
RIW2\V3\V4J —— R1 E4(W2)-I5lW3)-r(¡(W4) - ——1Í3V2 \V3 W1) 0.11 0.41N
Решение задачи оптимизации i .'i. []
0.2 < 3V2 s 0.7
0.2 < W3 í 0.7
0.2 •„ U.l ■ D.7
"ш" ' W2 ' 0.2 1
за - Myiinjki-i R . W2 . W3. W4 ) W3 _ 0.7
, W4. W4 0.417 ,
И-*[*1)-В013)-даИ) 0.064 RfWl.WS.W4) 0.128
Найденное значение вектора управляющих воздействий "т= (0.2, 0.7, 0.417) дает устойчивое значение критерия оптимизации по отношению к неточности осуществления оптимального режима.
Предлагаемый метод позволяет также решать задачу поиска максимума дохода с минимальной чувствительностью к управляющим переменным и неопределенным параметрам[1]. В этом случае критерий оптимизации имеет следующий вид:
Ямодиф2 = Я (1 -О-У ,
где а - весовой коэффициент, учитывающий вклад того или иного показателя в критерий оптимизации.
Найденное значение вектора управляющих воздействий "т= (0.2, 0.7,0.2) дает устойчивое значение критерия оптимизации по отношению к изменению управляющих переменных и неопределенных параметров (Листинг 3).
Листинг 3. Протокол решения оптимизации с минимальной чувствительностью к
управляющим переменным и неопределенным параметрам
:и):- (-0.27С + 0,62 в - 0.24М27.М II" - 10.83
|ЩУ2ЛУЗЛУ4) ) (б(ЛУ4)) Е(С,II,а)
да
(2(\У2 ЛУЗ ЛУ4)(14;\У2)■ [5( УУЗ) ■ И(УУ4))■ - \i C.ii.i}
&
(3{\У2 ЛУЗ . \У4) {14(\У2)-15{\УЗ)-Ш\У4))£- Е(С,1Г,«)
ас
НЛУ2 ЛУЗЛУ4: :- Ч(т,1И,\У4)2 - (2(\У2 ЛУЗ ЛУ4)1 * 13(1*7, ТУЗ ЛУ4)2
2 „„,. 1Г ^ 1.|).(2(з.Ма2-29.1»-1+1.07)
ЯЛУ2 .УУЗ ЛУ4) := Н1Г4(\У2) й(УУЗ) (8(1*4) у1(\У2 ЛУЗ ЛУ4) ;= Щ1У2 ЛУЗ ЛУ4) 1'2(1У2 ЛУЗ ЛУ4) := - °П(\У2 ЛУЗ ЛУ4)
даг г\уз
УЗ(УУ2 ЛУЗ ЛУ4) ,,К;\У2 ИЗ \У4)
Э\У4
Ж(1|У2 ЛУЗ ЛУ4) := К1Г4(\У2) В(\УЗ) ■«(№<) - <И4(\У2 ЛУЗ ЛУ4) - а2л-(\У2 ЛУЗ ЛУ4)
С. ГП
\У2 > 0.2 №3 > 0.2 \У4 >0.2 \У2 < 0.7 \УЗ < 0.7 \У4 < 0.7
К < , Ч *, ХЗ)
\УЗ
:= Мл1шЬе|Е ЛУЗ ,\УЗ,\У4)
'УУ2- 0.2
ДУЗ - 0.7
.0.2,
Значение критерия оптимизации е оптимальной точке
М-Г4(\У2)-150УЗ)-К(\У4) = 0,058
Использование стратегии минимакса для последовательности экстракторов с рециклом. Для
решения рассматриваемой задачи можно использовать стратегию минимакса [2]:
Ям = т1п{ тахЯ(и1,и2,...ик,х1,х2,...хк) }.
иеи хеХ
Это означает, что необходимо минимизировать максимальное значение дохода в области изменения неопределенных параметров Х.
Таким образом, сначала определяется максимум дохода в области Х. Затем находят такие значения управляющих переменных, при которых максимум дохода принимает наименьшее значение в области допустимых решений.
Решения задачи показывают, что отклонения величины дохода и значения управляющих переменных относительно оптимальных значений сравнительно велики. Затраты машинного времени на решение этой задачи сильно возрастают при усложнении математической модели ХТС, увеличении числа параметров модели и управляющих переменных.
Для охвата области допустимых значений неопределенных параметров используется метод статистических испытаний с использованием чисел, равномерно распределенных на интервале [0,1].
На Листинге 4 показан протокол решения задачи минимакса и полученные результаты.
Листинг 4. Протокол решения задачи минимакса и полученные результаты
Задание начального приближения для задачи оптимизации №2 0.5 №'3 0.336 хЗ 0.04 Вычисление максимума целевой функции
уз 4— (2_5-хЗ -4 (3.94 13 N *- 10(1(1
Гог I 5 1N (
С. < 0.8 ггк| (1) ■ 0.4 хГ 4- 0-19 -4 0.02 ги|Ц I) ¡1 4- 0.04 + 0.02т<)(1)
+■ 1)-13 + V« уз
II1 4-
3.7-Х32 - ИД ХЗ3) 11" хЗ £ 0.1 '9.6 132 » 74-и1) о(Игт1!г
х2 <
ч> <
№ + I)
п 1 11 1|1 > II 0.(Н11 и I Гм'1
(и й 4-3.7 I'2 113-123) и 12 2 0.1 (з.94.д2 - 29.6-Х2* ■+ 74 II5) (« + 1) 12 + (в+ 1) Г1 4— I п2 1Г В1 > О
| 0.001 11:1 л IV,*
иЗ 4- (С+ 1)-11 - С-1Г х4 4- I иЗ вЗ > 0
| 0.001 о1Ьепу1ае у4 4- (и 14 4- 3.7 142 - 113-Х43) 1Г х4 к 0.1 13.94 *4 29.6 \4* 4 74-143) ОСЬ (чикс
и4 ■
КС ■ р-лЛ (С ■ 1)14] у4
\\4 4- 0.7 (Г и4 г.- 0.7 0.1 1Г аЛ 0.2 и 4 ', 111 : | II \!' рг 4- - 14) - 11-^2 + \УЗ + УУ4)
4- Р1
- 11II. ' \
KtW2.W3.l3) = 0.182 Решение минимаксной задачи оптимизации
гп
0.2 \У2 0.7 0.2 г5 ИЗ £ 0.7 0.01 13 0.1)5
'жО ' \У2 '' ' 0.5 4
ж = 0.336
. *з , . 0.04
RCW2.W3.l3) = 0.1М6
Заключение
Функциональная зависимость критерия оптимизации от неопределенных параметров и оптимизирующих переменных сочетает в себе достоинство детерминированной модели, по которой она построена, и простоту статистической модели.
Использование чувствительности критерия оптимизации к управляющим переменным и неопределенным параметрам позволяет
прогнозировать результаты оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности.
Предложенный метод позволяет использовать общедоступные инструментальные средства Mathcad для решения задач оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности параметров, используя достоинства символьной математики и пакета программ оптимизации Mathcad.
Литература
1. Островский, Г.М. Оптимизация технических систем / Г.М. Островский, Н.Н. Зиятдинов, Т.В. Лаптева. - М.: КНОРУС, 2012. - 432 с.
2. Холоднов В.А., Хартманн К. и др. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление / Под ред. Мухленова И.П. - Л.: Химия, 1986. - С. 3-109, с. 420.
© М. Ю. Лебедева, доцент кафедры «Менеджмент и информационные технологии» Филиала ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске, marilieb@yandex.ru; В. А. Холоднов, профессор кафедры «Системного анализа» Санкт-Петербургского государственного технологического института (Технический университет), holodnow@yandex.ru; А. М. Гумеров, профессор кафедры Химической кибернетики, Казанский национальный исследовательский технологический университет, gumerov_a@mail.ru.
© M. Y. Lebedeva, assistant professor of "Management and Information Technologies" Department of the branch of National Research University MEI in Smolensk, marilieb@yandex.ru; V. A. Kholodnov, Professor of "System analysis" Department, St. Petersburg State Technological Institute (Technical University), holodnow@yandex.ru; A. M. Gumerov, professor, Department of Chemical Cybernetics, Kazan National Research Technological University, gumerov_a@mail.ru.
