CC BY
8рида отгоняют в вакууме до 1/3 от исходного объема, а остаток тонкой струей, при перемешивании, выливают в 100 мл холодной воды. Выпавший осадок отфильтровывают, тщательно промывают водой (до отсутствия запаха уксусного ангидрида) и высушивают. Получают 0,86 г (61%) соединения VII в виде белого аморфного порошка с т. пл. 179-180°С, хорошо растворимого в ацетоне, спирте и хлористом метилене и других полярных растворителях, не растворимого в гексане, бензоле и воде. Результаты элементного анализа и спектральные данные этого соединения приведены в табл. 1,2.
2-Азидо-4,6-диморфолил-1,3,5-триазин (VIII). К раствору 0,5 г NaNO2 в 10 мл воды при внешнем охлаждении льдом прибавляют 1,5 мл 17,5%-ной соляной кислоты, содержащей 0,0072 моль HCl. К полученной смеси медленно прикапывают раствор 1 г (0,0035 моль) 2-гидразино-4,6-диморфолил-1,3,5-триазина в 20 мл спирта при температуре 0±1°С. Реакционную смесь выдерживают еще 1 ч при этой температуре и оставляют на ночь. Образовавшийся осадок отфильтровывают, тщательно промывают водой и высушивают в вакууме при 50-60°С. После очистки кристаллизацией из этанола получают 0,74 г (70%) соединения VIII в виде белого цвета мелкокристаллического порошка с т. пл. 185-185,5°С.
Найдено, %: C 45,49; H 5,68; N 38,48. C11H16N8O2. Вычислено, %: C 45,20; H 5,52; N 38,39.
Кафедра органической и физколлоидной химии
ИКС, v, см-1: 2100 (N3); 1570, 1550, 1505 (-C=N- сопр.).
ПМР, 5, м.д.: 3,55-3,75(16Н м., 4NCH + 4OCH2).
Мол.ион, m/z 292.
Другие азиды получают из соответствующих гидразино-триазинов I аналогично. Их константы и спектральные характеристики соответствуют описанным нами ранее в работе [8].
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайличенко С.Н. и др. //Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2003. Т. 46. Вып. 4. С. 98.
2. Погосян Г.М. и др. Политриазины. /Под общей ред. Коршака В.В. Ереван: Изд-во АН АрмССР. 1987. 615с.
3. Мельников Н.Н., Баскаков Ю.А. /Химия гербицидов и регуляторов роста. М.: ХЛ. 1962. С. 613625.
4. Вейганд-Хильгетаг. Методы эксперимента в органической химии /Под редакцией Н.Н.Суворова. М.: Химия. 1969. С. 475.
5. Несмеянов А.Н., Несмеянов Н.А. Начала органической химии. Кн.1. М.: Наука. 1969. С. 375.
6. Хрипак С.М. и др. ЖорХ.. 2000. Т. 36. Вып. 3 С. 48-49.
7. Войтенко З.В. и др. ХГС. 2002. №9. С. 1179- .
8. Михайличенко С.Н. и др. //Изв.вузов. Химия и хим. технология. 2002. Т. 45. Вып. 4. С. 136-144.
9. Гордон А., Форд Р. /Спутник химика. М.: Мир. 1976. -541с.
УДК 658.512.011.56
В.А. ХОЛОДНОВ, М.Ю. ЛЕБЕДЕВА
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЭКСТРАКТОРОВ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (СООБЩЕНИЕ 3)
(Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет))
В данной работе предлагается оригинальный метод решения задачи оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности параметров с использованием современных программных продуктов. Работоспособность предложенного метода иллюстрируется на примере оптимизации последовательности экстракторов с рециклом в рамках программного продукта EXCEL.
Оптимизация химико-технологических систем (ХТС) в условиях неопределенности вызывает необходимость разрабатывать методы, позво-
ляющие принимать решения с учетом этого обстоятельства^]. В последние годы появилось достаточно много работ [например,2,3], в которых
рассматриваются методы решения подобного рода задач.
Информацию можно трактовать в смысле уменьшения неопределённости наших знаний об объекте. В этом заключается парадокс - с одной стороны информация уменьшает неопределённость наших знаний об объекте, с другой вносит неопределенность. Используемую при оптимизации ХТС информацию можно разделить на три вида:
- детерминированную информацию,
- вероятностную информацию, характеризующую случайные величины с известными законами и параметрами распределения. Этот вид информации называется неполной.
- неопределенную информацию. При этом виде информации используют различные способы описания, из которых в работе нашли применение интервальное описание.
Интервальное описание неточности информации предполагает, естественное для задач химической технологии, ограниченность факторов и их представление диапазоном возможных значений переменных.
В работе рассматриваются следующие источники неопределенности информации: изменение внешних условий функционирования ХТС (изменение характеристик внешних потоков: состав, расход), изменение экономических условий функционирования ХТС.
С точки зрения теории принятия решений основная задача оптимизации в условиях неопределенности состоит в том, чтобы риск от решения, обусловленный этой неопределенностью, был минимален.
Для решения задачи оптимизации в условиях рассматриваемой неопределенности предлагается следующий метод. Предполагается, что известно математическое описание исследуемой ХТС, которое состоит из Кг уравнений и содержит N неизвестных. Выделим вектор неопределенных параметров Р={рь р2, ..., Рк} и вектор управляющих воздействий и={иь и2, ..., ип}. Если задать Кх- N переменных, то уравнения математического описания позволяют решить задачу оптимизации поиска оптимальных управляющих воздействий для сформулированного критерия эффективности функционирования ХТС при заданных значениях неопределенных параметров. Решая задачу оптимизации для некоторого заданного набора значений неопределенных параметров с использованием вычислительного эксперимента, можно получить множество оптимальных значений критерия эффективности функционирования ХТС, которое
можно представить в виде некоторой функции Я=Г(р1, р2, ..., рк, иь и2, ..., ип). Полученную таким образом функцию предлагается на следующем этапе использовать для решения различных задач оптимизации в условиях неопределенности [4].
При этом возникают следующие проблемы:
1. определение числа точек для вычислительного эксперимента,
2. выбор численных значений для неопределенных параметров при численном эксперименте,
3. многочисленные расчеты критерия оптимизации требуют многократное решение уравнений математического описания.
Для решения первой проблемы предлагается использовать метод построения мультипликативной модели для критерия оптимизации в виде Я=А(рь р2, ..., рк, и1, и2, ..., ип). В связи с этим, в отличие от аналогичных существующих методов, которые требуют тк вычислений значений функции (здесь т-число интервалов разбиения каждого из к неопределенного параметра, возможно проведение к+п+1 решения задачи оптимизации.
При выборе численных значений для неопределенных параметров можно использовать идеи планирования эксперимента.
При этом, так как для каждого из неопределенных параметров известны значения его нижней и верхней границы, то можно с использованием случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0,1) сгенерировать j точек (|=1,(1), к+п+1) по формуле:ру = шГ ру + 81-(8ир ру - т£ ру).
Кроме того, для каждого неопределенного параметра можно определить его математическое ожидание М^х] и среднеквадратическое отклонение ст;[х]:
c;[x] =
sup Р; - inf p; 6
M;[x]=sup p; - 3-c[x]
Наоборот, если для каждого неопределенного параметра известно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, то можно определить границы каждого неопределенного параметра: sup pi=Mi[x]+3-c[x], inf p;=M;[x] - 3-c[x],
Для преодоления трудностей многочисленных расчетов при оптимизации предлагается использовать предложенный нами ранее метод оптимизации ХТС с учетом структуры уравнений математического описания [5].
В качестве объекта исследования рассматривается задача оптимизации ХТС нахождения максимума дохода в условиях интервальной неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом [5].
Математическое описание рассматриваемой ХТС представим в следующем виде:
Охр + ОЯ^х4= (ОЯ + 0)х1 (1)
(О + Ок)х1 - W2•У2= (О + Ок)х2 (2) У2=ад (3)
(О + Ок)х2 - Wз•yз = (О + Ок)хз (4) Уз = « (5)
(О + Ок)хз - = (О + Ок)х4 (6) У4 = АМ (7)
В качестве критерия оптимизации Я принят доход от установки:
Я = О(хр-х4) - a•(W2+Wз+W4) (8)
Соотношения для равновесия имеют вид:
У = { 2.5 • х1 + з.7 • х2- 11з • хз х1 < 0.1 т=1(1)4
1 [3.94 • х1 - 29.6 • х2 + 74 • хз х! > 0.1
Здесь приняты следующие обозначения: О, ОЯ - расходы входного потока и потока рецикла, кмоль/час; хр, хь У1 - концентрации извлекаемого вещества во входном потоке, в соответствующем потоке экстракта и рафината, мольные доли; W2, W3, - расход экстрагента, кмоль/час; а -относительная стоимость растворителя. (а=0.05); О=1, Оя=1 хр=0.2.
В соответствии с предлагаемым нами алгоритмом^] оптимизирующие переменные W2, W3, хз, последовательность решения уравнений и расчета неизвестных приведены в табл. 1 и 2. Расчет ХТС на каждом шаге оптимизации осуществляется без итераций.
Таблица 1.
Исходная таблица связей.
В качестве неопределенных параметров выбраны: расход входного потока, концентрация извлекаемого вещества во входном потоке, относительная стоимость растворителя. Численные значения неопределенных параметров приведены в табл.3.
Таблица 3.
G xf a
Нижняя граница 0.8 0.19 0.04
Верхняя граница 1.2 0.21 0.06
Среднеквадратическое отклонение ст1[х] 0.067 0.0033 0.0033
Математическое ожидание М1[х] 1 0.2 0.05
Для вычислительного эксперимента нами был предложен и реализован следующий план (табл. 4).
Таблица 4.
№ G xf a W2 W3 W4 R
1 1,20 0,210 0,0600 0,640 0,380 0,300 0,117
2 1,20 0,210 0,0400 0,680 0,470 0,440 0,146
3 1,20 0,190 0,0600 0,550 0,350 0,310 0,102
4 1,20 0,190 0,0400 0,610 0,440 0,400 0,128
5 0,80 0,210 0,0600 0,400 0,250 0,220 0,077
6 0,80 0,210 0,0400 0,440 0,320 0,290 0,096
7 0,80 0,190 0,0600 0,340 0,240 0,210 0,067
8 0,80 0,190 0,0400 0,380 0,300 0,270 0,084
9 1,00 0,200 0,0500 0,500 0,336 0,300 0,101
10 0,87 0,194 0,0492 0,408 0,292 0,263 0,085
11 0,87 0,193 0,0463 0,412 0,301 0,273 0,087
12 0,93 0,192 0,0483 0,440 0,31 0,280 0,090
13 0,96 0,205 0,0570 0,481 0,303 0,267 0,093
Уравнения Неизвестные, входящие в уравнение
1 x4, x:
2 xi, W2, y2, x2
3 x2, y2
4 x2, W3, Уэ, x3
5 x3, Уэ
6 x3, W4, У4, x4
7 x4, У4
8 R, x4, W2, W3, W4
Таблица 2. Преобразованная таблица связей.
Уравнения Выходные переменные
1 Уэ
2 x2
3 У2
4 x1
5 x4
6 У4
7 W4
8 R
Здесь первые 8 экспериментов представляют собой двухуровневый план, дополнительный эксперимент 9 проводится при средних значениях неопределенных параметров, эксперименты 10-13 проводятся в случайных точках с использованием рассмотренной выше процедуры. В результате проведения вычислительного эксперимента по такому плану с помощью пакета "Поиск решения" программы EXCEL были получены исходные данные (последний столбец таблицы 4), необходимые для определения функциональной зависимости критерия оптимизации в мультипликативной форме. Результаты решения задачи оптимизации в исходной точке представлены в таблице и совпадают с найденными нами ранее значениями [5]: x1=0,12, x2=0,08, x3=0,06, x4=0,04, y2=0,16, y3=0,13, y4=0,10, W2=0,50, W3=0,34, W4=0,30, R=0,101.
Результаты вычислительного эксперимента представлены в таблице 5.
G xf a w2 w3 W4 R расчет R аппроксимация Относительная погрешность,% Квадрат относительной погрешности Найденные значения коэффициентов
1,2 0,21 0,06 0,64 0,38 0,3 0,117 0,1167 0,2411 5,81E-06 -0,10
1,2 0,21 0,04 0,68 0,47 0,44 0,146 0,1457 0,2332 5,44E-06 0,46
1,2 0,19 0,06 0,55 0,35 0,31 0,102 0,1026 -0,5411 2,93E-05 0,06
1,2 0,19 0,04 0,61 0,44 0,4 0,128 0,1282 -0,1772 3,14E-06 1,22
0,8 0,21 0,06 0,4 0,25 0,22 0,077 0,0769 0,0748 5,60E-07 -0,46
0,8 0,21 0,04 0,44 0,32 0,29 0,096 0,0966 -0,6650 4,42E-05 0,33
0,8 0,19 0,06 0,34 0,24 0,21 0,067 0,0671 -0,1752 3,07E-06 1,08
0,8 0,19 0,04 0,38 0,3 0,27 0,084 0,0841 -0,1465 2,15E-06 0,18
1 0,2 0,05 0,5 0,336 0,3 0,101 0,1010 0,0360 1,30E-07 -0,16
0,9 0,19 0,049 0,408 0,292 0,26 0,085 0,0845 0,5588 3,12E-05 2,50
0,9 0,19 0,046 0,412 0,301 0,27 0,087 0,0869 0,1204 1,45E-06 0,40
0,9 0,19 0,048 0,44 0,31 0,28 0,09 0,0904 0,66 4,31E-05 0,38
1 0,21 0,057 0,481 0,303 0,27 0,093 0,0932 -0,1964 3,86E-06
1,73E-04
В результате решения задачи нахождения минимума суммы квадратов относительной погрешности (последняя строка в предпоследнем столбце таблицы 6) с помощью пакета «Поиск решения» программы EXCEL критерий оптимизации был получен в следующем виде: R=(0.77-G + 1.17)(-0.59xF + 2.61)(-1.69-a - 0.18)х x(-3.38-W2 - 0.45)(-0.84/W3 + 1.87)(-0.1-W4 - 0.06)
Максимизация целевой функции без учета чувствительности дает решение: G=0.8, Xf=0.21, a=0.04, W2=0.7, W3=0.5, W4=0.5, R=0.172.
Для решения задач оптимизация в условиях неопределенности на основе чувствительности воспользуемся нормированными чувствительно-стями критерия оптимизации по соответствующим параметрам:
SR _ дR G SR - dR xf SR _ дR a
Jix G _--, SR xf —--, SR a —--
G дG R xf dxf R a дa R С их помощью можно сопоставлять и оценивать влияние различных параметров на критерий оптимизации в любой точке поиска. С учётом чувствительности критерия к различным неопределенным параметрам, критерий оптимизации представим в следующем модифицированном виде: Rмодиф _ -R + aiSRG +a2SRf +a3SRa2 (*)
где aj - весовые коэффициенты, £ б i - 1. Задача оп-
l
тимизации найти максимум Имодиф. Соответствующие значения частных производных были найдены по полученной аппроксимации критерия оптимизации.
Результаты решения задачи (*): G=0.8, Xf=0.21, a=0.04, W2=0.3, W3=0.5, W4=0.2, R=0.074.
Полученные значения частных производных:
SRG = 0.44, SRXf = 1е - 4, SR 2 = 4е - 3.
Другой способ решения задачи оптимизации связан с нахождением максимума критерия R, при ограничениях на чувствительность по отношению к неопределенным параметрам в виде:
дRG < ср дR xf
< е 1 ,SR xf
SR g _
д G R
dxf R
< е -
SR дR а <
SR а =--< е 3
а д а R 3
Результаты решения этой задачи: G=0.8, xf=0.21, а=0.04, W2=0.7, Wз=0.5, W4=0.5, R=0.172.
Полученные значения частных производных:
SRG = 0.44, SR2f = 1е - 4, SR 2 = 4е - 3.
Все в были приняты равными 0.05. Значения весовых коэффициентов были приняты одинаковыми.
Еще один способ решения такого рода задач - это иерархическая оптимизация. В соответствии с этой стратегией сначала нами решается основная задача оптимизации о нахождении максимума R без учёта чувствительности. В результате получаем оптимальное значение вектора управляющих воздействий И!^, х£, а1), которое было приведено ранее. Затем нами решается задача нахождения минимума
С = a1SRG +а ^^ +а 3SR2, £а 1 = 1
1
При этом находим и2^2, х^, а2). Решение этой задачи:
G=0.8, х|=0.21, а=0.04, W2=0.7, Wз=0.5, W4=0.5, R=0.172. Значения частных производных:
0.33 • SRG = 0.44, 0.33 • SR Xf = 9е - 5,
0.33 • БЯ2 = 4е - 2 .
На втором этапе оптимизации необходимо выполнение одного из двух ограничений: значение функции цели при и=и2 не превышало значение функции цели при и=и1 более чем на е1, значения и2 и и1 отличались друг от друга не более чем на е2. Как видно из решения задач они эквивалентны.
Достоинство предлагаемого метода состоит еще и в том, что он позволяет решать также задачу поиска оптимальных управляющих воздействий в различных постановках с ограничениями на чувствительность критерия оптимизации к управляющим воздействиям.
Для этого введем нормированные чувствительности критерия оптимизации по управляющим воздействиям:
дЯ со _ дЯ Wз
БЯ
БЯ
W
2 дW2 Я дЯ W
БЯ
W3
дW3 Я
4
Возможно также решение задачи оптимизации нахождения максимума Я, при ограничениях на чувствительность по отношению к управляющим воздействиям в виде:
БЯ W9
БЯ
БЯ
Wз
W4
дЯ W2 д Я дЯ W3 дW3 Я
дЯ ^ <р
<Р 1,
< Р:
з
д W4 Я
С учётом чувствительности критерия к различным управляющим воздействиям, критерий оптимизации представляется в следующем модифицированном виде:
Ямодиф1 _-Я+Р1 • бя^2 +Р2 • бя№з2 +Рз • бя^2 (**),
где р1 — весовые коэффициенты, 2Р1 _ 1. Задача
1
оптимизации найти максимум Ямодиф1. Решение задачи (**) : О=0.8, х|=0.21, а=0.04, W2=0.7, Wз=0.5, W4=0.5, Я=0.172.
Значения частных производных: 0.33БЯ№2=0.013, 0.33БЯ№=8е-4, 0.33, БЯ№4=5е-3.
д W4 Я
Решение этой задачи : О=1.2.8, х|=0.19, а=0.04, W2=0.7, Wз=0.5, W4=0.25, Я=0.079.
Значения частных производных: БЯ ^ =0.02, БЯ №з =1е-3, 0.33, БЯ _ 0.01.
Результаты проведенных исследований показывают, что предложенный метод решения задач оптимизации носит достаточно универсальный характер и позволяет решать практические задачи оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Островский Г.М., Волин Ю.М, Головашкин Д.В. //
ДАН. Химическая технология. 1994. Т.339. №6. С.782-784.
2. Левин В.И.Нелинейная оптимизация в условиях интервальной неопределенности.// Кибернетика и системный анализ.1999.№2.С.138-147.
3. Островский Г.М., Волин Ю.М. // ДАН. Химическая технология. 2001.Т.376. №2. С.215-218.
4. Холоднов В.А. и др. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление//Под ред. Мухленова И.П. Л.:Химия.1986.423 с.
5. Холоднов В.А., Хартманн К. Изв. вузов. Химия и хим. технология. 1998.Т.41.Вып.6. С.66-70.
Кафедра математического моделирования и оптимизации химико-технологических процессов
