CC BY
13
УДК 004.942
М. Ю. Лебедева, В. А. Холоднов, А. М. Гумеров
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЭКСТАТОРОВ С РЕЦИКЛОМ
ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Ключевые слова: параметрическая неопределенность, Mathcad, аппроксимирующая модель целевой функции, оптимизация
каскада экстракторов с рециклом, структура уравнений.
Предложен приближенный метод и программная реализация в среде Mathcad решения задачи оптимизации последовательности экстракторов с рециклом при интервальной параметрической неопределенности исходной информации. При решении задачи оптимизации используется аппроксимирующей модели целевой функции (ЦФ), построенной с использованием вычислительного эксперимента и учитывается структура уравнений математического описания.
Keywords: parametric uncertainty, Mathcad, approximating model of the objective function, the optimization of extractors stage with
recycle,equations structure.
An approximate method and program implementation of the problem solve in Mathcad of optimizing of the sequence extractors with recycle at an interval of parametric uncertainty of the initial information. During the problem, solving the approximating model was used to optimize the objective function (OF) built by using computational experiment and take into account the structure of the equations of mathematical description.
Введение
При математическом моделировании и оптимизации ХТСчасто приходится иметь дело с неполнотой и неточностью исходной информации (физико-химической, технологической,
экономической). Учет этих факторов усилит прогнозирование возможности этих работ
Задача минимизации целевой функции R при интервальной неопределенности параметров[1] имеет вид:
Z = min{ R (ui,u2,...uk,Xi,x2,...xm)},
ugU XGX
i//j(u, x) < 0.
w
Здесь:
и -к-вектор управляющих переменных с областью допустимых значений и,
(ич е и;и = {¡ич: Мич < ич < эириц)),я = 1,...,к,
X -т-вектор неопределенных параметров с заданными интервалами допустимых значений,
х, е Х;Х = : ¡^х, < х, < эирх,}, \ = (1,...,т);
Описание предлагаемого метода оптимизации.
Для оптимизации ХТС в условиях неопределенности предлагается приближенный метод решения задачи с использованием системы компьютерной математики МАТИСАБ [2].
Такую задачу предлагается решить на примере оптимизации последовательности экстракторов с рециклом [3].
Выделим вектор неопределенных параметров Х=(х1,х2,...,хт)Т и вектор оптимизирующих (управляющих) переменных и=(и1, и2,.,ик)Т. Если задать начальные значения неопределенных и оптимизирующих параметров, то уравнения математического описания позволяют вычислить сформулированный критерий эффективности
функционирования ХТС. С учетом существующих ограничений может быть построена функциональная зависимость критерия оптимизации от оптимизирующих неопределенных параметров Я = ¥(и1, и2,...ик, х1, х2,...хт). Максимизацию этой функции проведем на основе метода Брандона [4].
При выборе численных значений неопределенных параметров и оптимизирующих переменных можно использовать идеи планирования эксперимента. Это позволяет резко сократить объем вычислений.
Оптимизация каскада экстракторов с рециклом. В качестве объекта исследования рассматривается последовательность экстракторов с рециклом, решается задача максимизации дохода в условиях интервальной неопределенности.
В ХТС поступает сточная вода с определенным содержанием примеси, которая извлекается в экстракторах 2, 3, 4 с помощью экстрагента. Часть не извлеченной примеси возвращается на вход в систему.
G
1 Xi 2 X; 3 X, 4 К, 5 с
X*
Рис. 1 - Последовательность экстракторов с рециклом
Математическое описание рассматриваемой ХТС (рис. 1) представим в виде уравнений материального баланса:
О ■ хг + ОЯ ■ х4 = (ОЯ + О) ■ х1, (О + ОЯ) ■ х, - ^2 ■ ^2 = (О + ОЯ) ■ х2 У 2 = У (х2)
(О + ОЯ) ■ х2 - Ж3 ■ У3 = (О + ОЯ) ■ х3
Уз = У (xз) (О + GR) • х3 - Ж4 • у4 = (G + GR) • х4
У 4 = У (Х4)
В качестве критерия оптимизации R принят максимальный доход от функционирования установки:
R = Л- О ■ (ху - х4) - а ■ (Ж2 + Ж3 + W^)
Соотношения уравнений равновесия между фазами экстракта и рафината имеют вид:
У1 =■
12.5 • Xj + 3.7 • xj -113 • x)
Xj < 0.1
3.94 • Xj - 29.6 • xj + 74 • x) , Xj >0.1
I = 2,3,4
В уравнениях приняты следующие обозначения:
О, ОR - расходы входного потока и потока рецикла, кмоль*ч-1
ху, хъ У1 - концентрации извлекаемого вещества во входном потоке, в соответствующем потоке экстракта и рафината, мольные доли;
Ж2, - расходы экстрагента, кмоль*ч-1;
а, Я - стоимости растворителя и извлекаемого вещества а = 0.05, Я = 1,
в = 1, GR = 1, х, = 0.2 .
Ограничения на управляющие переменные, I = 2, 3, 4.
Из трех возможных решений этой типичной задачи химической технологии по оптимизации ХТС(декомпозиция на структуре самой ХТС;декомпозиция на структуре уравнений математического описания ХТС;интегральный метод расчета) выбираем наиболее перспективный метод, основанный на учете структуры уравнений математического описания.
На Листинге 1 представлен протокол Mathcad решения задачи на основе учета структуры уравнений. Результаты решения согласуются с литературными данными, полученными с использованием методов декомпозиции на структуре ХТС и интегральным методом расчета.
В соответствие с предложенным методом на первом этапе проводится репрезентативный вычислительный эксперимент в 24 точках по определенному плану.
В качестве неопределенных параметров выбраны параметры, характеризующие внешние условия: расход входного потока, концентрация извлекаемого вещества во входном потоке и стоимость растворителя.
Первые восемь экспериментов представляют собой результаты двухуровневого плана вычислительного эксперимента, девятый эксперемент - результаты решения задачи оптимизации при средних значениях неопределенных параметров, эксперименты с 10 по 24 - результаты решения задачи в случайных точках. Анализ корреляционной матрицы показал отсутствие эффекта мультиколлинеарности, что позволяет судить о достоверности полученных результатов.
Так как для каждого неопределенного параметра и оптимизирующих переменных заданы значения нижней и верхней границы, то с использованием случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0;1], можно сгенерировать дополнительно N их векторных значений по формулам:
xi j =inf xi + sli, j ■ (sup xi - inf xi),
Uj j = inf Uj + slj j • (sup Uj - inf Uj),
где slu, slu - случайные числа, равномерно распределенные на интервале [0;1],i=1(1)m, l=1(1)k, j=1(1)N.
Интервалы изменения численных значений неопределенных параметров приведены в таблице 1.
Программы расчета на основе метода Брандона[4] и с учетом ограничений на численные значения неопределенных параметров и оптимизирующих переменных
(0.8 < G < 1.2, 0.19 < xf < 0.21, 0.04 < a < 0.06, 0.2 < W < 0.7, i = 2,3,4) была получена аппроксимация критерия оптимизации в следующем виде:
R = /(G) • f2(xf) • f3(a) • fW) • f5W3) • f6(WA)
Листинг 1. Протокол Mathcad решения задачи на основе учета структуры уравнений ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
G := 1 GR := 1 xf := 0.2 а := 0.05
W2 1= 0.58 W3 := 0.226 хЗ := 0.058 ФАЗОВОЕ РАВНОВЕСИЕ
(2.5-х + 3.7-х2 - изх3) if х < 0.1
(з.94 х - 29.6-х2 + 74-х3) otherwise
f(x)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПО ФОРМУЛАМ С УЧЕТОМ СТРУКТУРЫ УРАВНЕНИЙ
уЗ f (хЗ) у2 := f(х2)
х2
xl :=
[(G + GR) ■ хЗ + W3y3]
(G + GR) [(G + GR) ■ x2 + W2y2] (G + GR)
x4 : [(G + GR>-4-G-xf] ^ = f(rf)
W4
GR
[(G + GR) x3 - (G + GR) x4]
У4
к.С(хГ - х4) - а■ ( \¥2 + \¥3 + Т¥4) ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
у2 = 0.159 уЗ = 0.135 у4 = 0.096 \¥4 = 0.406
XI - 0.119 Х2 = 0.073 х4 - 0.039 R - 0.101
Таблица 1 - Интервалы численных значений неопределенных параметров
Границы неопределенных параметров G xf a
Нижняя граница 0.8 0.19 0.04
Верхняя граница 1.2 0.21 0.06
Функции от соответствующих переменных,
входящих в это выражение, представлены в виде полиномов второй степени: /(х)=а1-х2+а2-х+а3.
Численные значения коэффициентов для соответствующих полиномов приведены в таблице 2.
Таблица 2 Численные значения коэффициентов
Численные значения коэффициентов выражения для полиномов a1 a2 a3
fi(G) -0.27 0.62 -0.24
f(x) 27.54 -10.83 1.1
f3(a) 263.01 -29.18 1.07
fm -2.81 3.26 0.88
f5(W3) -9.19 4.89 6.12
fö(W4) -17.73 14.80 5.41
Адекватность модели была проверена с помощью скорректированного коэффициента детерминации Я2 =0.98 на число экспериментальных точек 24 и на число подбираемых параметров 16 по формуле:
= 1 - (1 - я-6)- (24- -1 -- ц. = аз?
Результаты оптимизации приведены ниже.
Листинг 2. Протокол приближенного решения нахождения максимума дохода
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
&:= 1. 1Г 0.2 я 0.05
ТО 0.5 5= 0.33 №4 := 0.3
АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ПОЛИНОМЫ
ШС) -0.27О1* 0.62 С- 0.24 Щх!) :- 27.54 1Г2 - ЮЗ-!! + 1.1
Заключение
Предложен приближенный метод и его программная реализация с помощью Mathcad для оптимизации ХТС в условиях параметрической неопределенности информации.
Разработанный метод протестирован с помощью вычислительного эксперимента при моделировании и оптимизации в условиях неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом, что подтверждает его работоспособность.
Литература
1. Холоднов В.А., Хартман К. и др. Химико-тенологические системы. Синтез, оптимизация и управление /Под ред. Мухленова И.П.-Л.: Химия, 1986. -С.3-109, с. 420.
2. Холоднов В.А., Лебедева М.Ю. Системный анализ и принятие решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем в среде Mathcad и Excel .Учебное пособие. СПб: СПбГТИ (ТУ), 2005. - 220 с.
3. Холоднов В.А., Дьяконов В.П., Кирянова Л.С., Иванова Е.Н. Оптимизация химико-технологических процессов: Практическое руководство. - СПб: АНО НПО «Профессонал», 2003. - 480 с.
4. Brandon D.B. // I.S.A. Journal, 6, №7 (1959).
rs(W3) :- -SU9-W32 - 4W-W3 + 6.12 re(W4) := -1Ç73-W43 + 14.80-W1 +■ 5.41
J^:- (-0.I7-G2 + U.62 U - 0.24) 127.54-If2 - 10.83 sf + l.l) (l63.{Jl a2 - 29.18 a + 1.0?) ЦЕЛ1ВАЯ ФУНКЦИЯ
W{TOrW3,W4) :- R.Í4fW2>B(W3)-«{W4) R1(W2.W3.W4) a U.1U6
© М. Ю. Лебедева, доцент кафедры «Менеджмент и информационные технологии» Филиала ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске, [email protected]; В. А. Холоднов, профессор кафедры «Системного анализа» Санкт-Петербургского государственного технологического института (Технический университет), [email protected]; А. М. Гумеров, профессор кафедры Химической кибернетики, Казанский национальный исследовательский технологический университет, [email protected].
© M. Y. Lebedeva, assistant professor of "Management and Information Technologies" Department of the branch of National Research University MEI in Smolensk, [email protected]; V. A. Kholodnov, Professor of "System analysis" Department, St. Petersburg State Technological Institute (Technical University), [email protected]; A. M. Gumerov, professor, Department of Chemical Cybernetics, Kazan National Research Technological University, [email protected].
