CC BY
4УДК 576.8
Vladislav A. Kholodnov, Marina Yu. Lebedeva, Roman Yu Kulishenko
SENSITIVITY THEORY METHODS AND MINIMAX STRATEGY, ITS APPLICATION TO OPTIMIZE THE CASCADE OF EXTRACTORS
St Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia Smolensk Branch of "MEI" National Research University, Energetichesky Pr-d, 1, Smolensk, 214013, Russia e-mail: holodnow@yandex.ru
An approximate method also the program implementation in MathCAD for solving the problems of optimization of chemical-engineering systems in the case of an interval parametric uncertainty of the initial information is developed. The method is based on the theory of sensitivity and minimax strategy. While dealing with optimization procedure an approximate model of the objective function is used. The method allows one to significantly simplify the solution of this kind of optimization problems. The proposed method was tested to find the minimum of the objective function under uncertainty for a cascade of extractors with recycle.
Keywords: Optimization, chemical-engineering system, parametric uncertainty, MathCAD, sensitivity, minimax strategy, extractors cascade.
В.А. Xолоднов1, М.Ю. Лебедева2, Р.Ю. Кулишенко3
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И СТРАТЕГИИ МИНИМАКСА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ КАСКАДА ЭКСТРАКТОРОВ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия
Филиал «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске Энергетический проезд, дом 1 , г. Смоленск, 214013, Россия e-mail: holodnow@yandex.ru
Разработан приближенный метод и программная реализация в среде MathCAD решения задач оптимизации химико-технологических систем при интервальной параметрической неопределенности исходной информации на основе теории чувствительности и стратегии минимакса. При оптимизации используется приближенная модель целевой функции. Предложенный метод позволяет существенно упростить решение такого рода задач оптимизации. Разработанный метод был протестирован при решении задачи оптимизации в условиях неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом.
Ключевые слова: оптимизация, химико-технологическая система, параметрическая неопределенность, Mathcad, чувствительность, стратегия минимакса, каскад экстракторов с рециклом.
Введение
В последнее время большое внимание уделяется теории проектирования гибких или работоспособных химико-технологических систем (ХТС), для которых в изменяющихся условиях эксплуатации могут быть найдены управляющие параметры, при которых ХТС точно или с заданной вероятностью будет удовлетворять всем проектным требованиям.
Стремление учесть неопределенность в исходной информации приводит к постановкам задач проектирования оптимальных ХТС в виде задач стохастической оптимизации, учитывающих частичную неопределенность в исходной информации.
Детальный обзор исследований стохастической оптимизации и подходов к их решению в России и за рубежом приведен в работах [2, 3]. При проектировании, моделировании и анализе ХТС широко используется специализированное программное обеспечение -моделирующие программы, такие как: Aspen Plus, Hon-
eywell UniSim, Aspen HYSYS, ChemCAD, gPROMS и др. Данные программные продукты позволяют создавать модели ХТС с высокой степенью достоверности (high-fidelity), однако, в ряде случаев их функциональные возможности ограничивают области их применения, в частности, отсутствуют возможности для решения задач оптимизации в условиях неопределенности.
Для решения задач оптимизации ХТС в условиях частичной неопределенности предлагается воспользоваться значениями чувствительности критерия оптимизации по соответствующим неопределенным параметрам, к управляющим переменным, а также решать задачу поиска компромиссного решения с учетом чувствительности критерия оптимизации к управляющим переменным и неопределенным параметрам [5].
Предметом исследования данной работы является использование методов теории чувствительности и стратегии минимакса для повышения эффективности функционирования технического объекта ХТС (на примере
1 Xc^c^cm Владислав Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, каф. системного анализа и информационных технологий, СПбГТИ(ТУ), e-mail: holodnow@yandex.ru
Vladislav A. Kholodnov, Dr Sci. (Eng.), Professor, Department of System Analysis and Information Technologies SPSIT(TU)
2 Лебедева Марина Юрьевна, канд техн. наук, доцент, каф. менеджмента и информационных технологий в экономике, Филиал НИУ «МЭИ» в г. Смоленске Marina Yu. Lebedeva, Ph.D. (Eng.), Associate Professor, Department. management and information technology in the economy Branch "National Research University" «MPEI» in Smolensk
3 Кулишенко Роман Юрьевич, канд. техн. наук, ст. преподаватель, каф. системного анализа и информационных технологий СПбГТИ(ТУ) Roman Yu. Kulishenko, Ph.D (Eng.), Senior Lecturer, Department of System Analysis and Information Technologies
Дата поступления - 29 октября 2015 года
последовательности экстракторов с рециклом), решаемая с применением простого арсенала программных средств.
Из сказанного можно заключить, что обозначенная в статье проблема является актуальной как в научном, так и в практическом плане.
Объект исследования
В качестве объекта исследования рассматривается последовательность экстракторов с рециклом (рисунок 1).
Рисунок 1. Последовательность экстракторов с рециклом
Ранее для критерия оптимизации этой ХТС нами [4] получено мультипликативное уравнение регрессии в следующем виде:
при ограничениях на численные значения неопределенных параметров jgnb переменных
(0,8 ~С ~ г'2' 0,19 - */ - °'21' °'04 - а - °'06'
Здесь: О - расход входного потока, кмоль ч-1; X/ -концентрации извлекаемого вещества во входном потоке, моль. доли; - расходы экстрагента кмольч-1;
а, - стоимость растворителя.
Каждая из функций, входящих в уравнение регрессии, представляет полином второй степени: /(х)=агх2+а2-х+аз. Численные значения коэффициентов для соответствующих полиномов приведены в таблице.
Таблица. Численные значения коэффициентов
Полином для переменной ах а2 аз
НО) -0,27 0,62 -0,24
Нхг) 27,54 -10,83 1,1
/з(а) 263,01 -29,18 1,07
!№2) -2,81 3,26 0,88
/з(Шз) -9,19 4,89 6,12
-17,73 14,80 5,41
Адекватность модели была проверена скорректированным на число экспериментальных точек и на число подбиоаемых параметров критерием детерминации
»2 _ п 07
'хкор и,о/ .
Решение задачи оптимизации последовательности экстракторов с учетом неопределенности с использованием методов теории чувствительности
Постановка задачи и поиск нахождения максимума дохода с его минимальной чувствительностью по неопределенным параметрам. Для решения задачи оптимизации в условиях рассматриваемой неопределенности воспользуемся чувствительностями критерия оптимизации по соответствующим неопределенным параметрам [5]:
Ч =
дя до
дя
дх,
дЯ
С их помощью задача нахождения максимума дохода с его минимальной чувствительностью по неопределенным параметрам была решена в системе компьютерной математики Mathcad в соответствии с модифицированным критерием:
-^модиф К
и
где t = ^12+Г22+Гз2.
Здесь г - «штрафная» функция, которая уменьшает значение критерия оптимизации при больших значениях чувствительности. Маргинальное значение г = 0. Задача оптимизации сводится к нахождению максимума Ямодиф по управляющим переменным с минимальной чувствительностью найденного режима к неопределенным параметрам. Соответствующие значения частных производных найдены по полученному аппроксимацией критерию оптимизации инструментом символьной математики Mathcad. Результаты решения задачи представлены в нижеследующем протоколе (рисунок 2).
В(\УЗ)
:= 0.05 \¥2 := 0.5 \¥3 := 0.3 \У4 := 0.3
-9.19\УЗ + 4.89\\'3 + 6.12 (6(>У4) := -17.73 \У4 К(С,хГ,а) :=П(СИ2(х10-га(а)
И(\У2,\¥3,\¥4) := (Г4(\¥2И5(\УЗИ6(\¥4))-— ЩС,х!,а)
Ж
12(\У2,\УЗ,\У4) := (Г4(\У2И5(\¥ЗИ6(\У4))-— , а)
tЗ(W2,WЗ,W4) := (Г4(\У2)-К^З)-К(\У4))-—Щв.хГ, а)
дс
Ы1 := ЩС,хГ,а)
, \УЗ , \¥4) := Н1 1'4(\¥2)-В(\¥3) 1'6(\¥4) - t(W2 , \¥3, W4)
14.8W4 + 5.41
0.2 < \У2 < 0.7
СНсп 0.2 < W3 < 0.7
0.2 < W4 < 0.7
Ж Ж
:= Махнпие(К, W2 , W3, W4) =
Ш -Г4(\У2) -Г5(\УЗ) Г6(\У4) = 0.058
Рисунок 2. Протокол нахождения максимума дохода Ямодиф с минимальной чувствительностью по неопределенным параметрам
Найденное значение вектора управляющих воздействий WT = (0,2, 0,2, 0,2) обеспечивает относительно устойчивое значение критерия оптимизации по отношению к изменению неопределенных параметров.
Постановка задачи и поиск максимума дохода с минимальной чувствительностью к управляющим переменным. Предлагаемый метод позволяет решать задачу нахождения максимума дохода с минимальной чувствительностью к управляющим переменным, что позволяет определить чувствительность критерия оптимизации к неточности осуществления оптимального режима. Если некоторое отклонение от оптимального режима приводит лишь к малым потерям, однако удобным с технологической точки зрения, то такое изменение режима может быть оправдано [1]. Для этого вводятся вторые производные от критерия оптимизации по управляющим переменным:
2 =
д 2 R ÔW0 2
д2 R dW32
д2 R dW2
Критерий оптимизации представляется в следующем модифицированном виде:
где V = у} + +
Задача оптимизации - найти максимум Ямодиф1-Соответствующие значения частных производных были рассчитаны по полученной аппроксимации критерия оптимизации с использованием пакета символьной математики Mathcad. Результаты решения задачи представлены в нижеследующем протоколе (рисунок 3).
Значения 0,11 и 0,418 в выражении для целевой функции представляют маргинальные значения Я, V, которые были найдены решением соответствующих задач оптимизации.
где а - весовой коэффициент, учитывающий вклад того или иного показателя в критерий оптимизации.
Найденное значение вектора управляющих воздействий WT= (0,2, 0,7, 0,2) является устойчивым значением критерия оптимизации по отношению к изменению управляющих переменных и неопределенных параметров (рисунок 4).
f3(a) := 263.01а - 29.1
:= 0.05 W2 := 0.5 W3 := 0.3 W4 := 0.3 al := 0.5 a2 := 1 - al
1.07 f4(W2) := -2.81 W2 + 3.26W2 + 0.8
R(G,xf,a) := fl(G)-f2(xf)-f3(a)
tl(W2,W3, W4) := (f4(W2) f5(W3)f6(W4)) •——R(G, xf, a)
&f
t2(W2,W3, W4) := (f4(W2) f5(W3)-f6(W4))—R(G,xf, a)
Исходные данные
1. xf := 0.2 a := 0.05 W2 := 0.5 W3 := 0.336 W4 := 0.3 krR := 1 krU := 1
t3(W2 , W3, W4) := (f4(W2) f5(W3)-f6(W4))-—R(G, xf,
dG
RI := R(G,xf, a)
RJAV2,W3,W4) := Rl-(f4(W2)-f5(W3)-f6(W4))
Вычисление значения критерия оптимизации по аппроксимирующей функции
Rl := И (в)-О(й)-О (а)
, \¥3 , W4) := Rl(f4(W2) •f5(WЗ) •f6(W4)) Вычисление частных производных:
vi (W2 , W3 , W4) :
;R(W2 , W3, W4)
v3(W2, W3,W4) :=
;R(W2,W3,W4)
Rj;W2 , W3 , W4) := Rl -f4(W2) -f5(W3) f6(W4) - al -t(W2, W3 , W4) - a2 -v(W2 , W3, W4)
0.2 < W2 < 0.7
Given 0.2 < W3 < 0.7
0.2 < W4 < 0.7
v2(W2,W3,W4) :
v3(W2,W3,W4) :=•
,R(W2,W3,W4)
:R(W2 , W3, W4)
R(W2,W3,W4) := — Rl f4(W2) f5(W3) f6(W4) v(W2, W3, W4)
0.11 0.418
Решение задачи оптимизации
Given
0.2 < W2 < 0.7 0.2 < W3 < 0.7 0.2 < W4 < 0.7
Ж
WAWV
[MJ
Maximize (R, W2 , W3, W4)
0.2 0.7 0.417
R(W2 , W3 , W4) = 0.128
Рисунок 3. Протокол решения задачи нахождения максимума RмодифlC минимальной чувствительностью к управляющим переменным
Найденное значение вектора управляющих воздействий
WT= (0,2, 0,7, 0,417) дает устойчивое значение критерия оптимизации по отношению к неточности осуществления оптимального режима.
Постановка задачи и поиск компромиссного решения. Предлагаемый метод позволяет также решать задачу поиска компромиссного решения максимума дохода с его минимальной чувствительностью к управляющим переменным и неопределенным параметрам[5]. В этом случае критерий оптимизации имеет следующий вид:
Ж Ж
:= Maximize(R, W2 , W3 , W4) =
Значение критерия оптимизации в оптимальной точке
Rl f4(W2) f5(W3) f6(W4) = 0.058
Рисунок 4. Протокол решения задачи поиска компромиссного решения
Использование стратегии минимакса при оптимизации последовательности экстракторов с рециклом
Для решения рассматриваемой задачи в статье используется стратегия минимакса [2, 3]:
rm = mjn( maxR(u1,U2,...uk,x1,X2,...xk) }.
ueU xeX
Это означает, что необходимо минимизировать максимальное значение дохода в области изменения неопределенных параметров X.
Таким образом, вначале определяется максимум дохода в области X. При этом убеждаются, что в этой области не существует его большего значения. Затем находят такие значения управляющих переменных, при которых максимум дохода принимает наименьшее значение в области допустимых решений. Стратегию минимакса называют пессимистической, так как при этом подходе к решению задачи всегда исходят из такой комбинации параметров, которая максимально ухудшает значение дохода.
V
V
Vo =
2
ii. информационные системы. автоматизация и системы управления
Известия СПбГТИ(ТУ) № 35 2016
На рисунке 5 показан протокол решения задачи минимакса и полученные результаты.
R(W2 , W3 , хЗ) = 0.188 Рисунок 5. Протокол решения задачи минимакса
Результат решения задачи показывает, что отклонение дохода и управляющих переменных относительно оптимальных значений сравнительно велики. Затраты машинного времени на решение этой задачи существенно возрастают при усложнении математической модели ХТС, увеличении числа параметров модели и управляющих переменных.
Для охвата области допустимых значений неопределенных параметров используется метод статистических испытаний с использованием чисел, равномерно распределенных на интервале [0,1].
Заключение
Аналитическая функциональная зависимость критерия оптимизации от неопределенных параметров и оптимизирующих переменных сочетает достоинство детерминированной модели, по которой она построена, и простоту статистической модели.
Использование чувствительности критерия оптимизации к управляющим переменным и неопределенным параметрам позволяет прогнозировать результаты оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности.
Результаты решения согласуются с литературными данными, полученными с использованием при оптимизации методов декомпозиции на структуре ХТС [6].
Предложенный метод позволяет использовать общедоступные инструментальные средства Mathcad для решения задач оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности параметров, используя достоинства символьной математики и пакета программ оптимизации Mathcad .
Литература
1. Письмен Л.М. О чувствительности оптимальных режимов химических процессов. Моделирование и оптимизация каталитических процессов. М.: Наука, 1965. С. 225-233.
2. Островский Г.М. , Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В. Оптимизация технических систем М.: КНОРУС, 2012. 432 с.
3. Лаптева Т.В. Основы методологии решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности в исходной информации: дис. ... д-ра техн. наук. Казань: КНИТУ, 2014. 401 с.
4. Лебедева М.Ю. Оптимизация химико-технологических систем при неопределенности исходной информации. Методы и программная реализация: дис. ... канд. техн, наук. Санкт-Петербург, 2005. С. 60-65.
5. Холоднов В.А., Хартманн К. [и др.]. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление. / Под ред. И.П. Мухленова Л.: Химия, 1986. С. 3-109.
6. Фан Лянь-Цень, Вань Чу-Сен. Дискретный принцип максимума. М.: Мир, 1967. С. 52.
