CC BY
13II. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК
Vladislav A. Kholodnov, Marina Yu. Lebedeva, Roman Yu. Kulishenko
OPTIMIZATION OF CHEMICAL PROCESSES UNDER CONDITION OF PARAMETRIC PROBABILISTIC UNCERTAINTY
St. Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia Smolensk Branch "MEI" National Research University, Ener-geticheskiy pr-d, 1, Smolensk, 214013, Russia e-mail: holodnow@yandex.ru
We developed a method and a MathCAD implementation of the solution of the problem of stochastic optimization of chemical-engineering systems with unknown parameters using the characteristics of the parameters in the form of independent random variables with known laws and the parameters of the distribution was developed in the Mathcad environment. For optimization, an approximate model of objective function was used. To calculate multidimensional integrals, the Monte-Karlo method was employed. The method we developed was tested by solving the problem of optimization under probabilistic uncertainty for a sequence of extractors with a recycle.
Keywords: Stochastic optimization, extractors cascade, parametric probabilistic uncertainty, Monte Carlo method application to multidimensional integrals, MathCAD
1.011
В.А. Холоднов1, М.Ю. Лебедева2, РЮ. Кулишенко3
ОПТИМИЗАЦИЯ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ВЕРОЯТНОСТНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр., 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия
Филиал «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске, Энергетический проезд, 1, г. Смоленск, 214013, Россия e-mail: holodnow@yandex.ru
Разработан метод и программная реализация в среде Mathcad решения задачи стохастической оптимизации химико-технологических систем в условиях параметрической неопределенности с использованием характеристик параметров в виде случайных независимых величин с известными законами и параметрами распределения. При оптимизации используется приближенная модель целевой функции. Для вычисления многомерного интеграла используется метод Монте-Карло. Разработанный метод опробован при решении задачи оптимизации в условиях вероятностной неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом.
Ключевые слова: Стохастическая оптимизация каскада экстракторов, параметрическая вероятностная неопределенность, метод Монте-Карло для вычисления многомерного интеграла, MathCAD
Введение
В настоящее время в научной литературе математическому моделированию и оптимизации химико-технологических систем (ХТС) с учетом частичной неопределенности исходной информации уделяется большое внимание. Наиболее полные обзоры по основным проблемам в этих направлениях представлены в работах [1, 2].
Неопределенные величин оказывают существенное влияние на протекающие в ХТС процессы. Найденное без учета неопределенности информации решение может существенно отличаться от оптимального или даже не соответствовать предъявляемым к системе требованиям. Как следствие это может привести к снижению качества выпускаемой продукции или даже опасным режимам работы ХТС. Отсюда понятно, что учет изменения неопределенных параметров при решении задач диверсификации существующих или проектирования новых ХТС является актуальной проблемой.
Принято различать два вида неопределенности исходной информации (точнее можно сказать недоопре-деленности): интервальная и вероятностная.
В последнем случае предполагается, что неопределенные величины представляют собой случайные величины, и мы имеем дело с задачей стохастического программирования. В работе неопределенные параметры рассматриваются как случайные величины, для которых известны закон и плотность распределения.
В существующем специализированном программном обеспечении для моделирования и оптимизации ХТС (Aspen Plus, Honeywell UniSim, Aspen HYSYS и др.) отсутствуют возможности для решения задач оптимизации в условиях неопределенности.
Для решения задач оптимизации ХТС в условиях вероятностной неопределенности в статье предлагается комплексный подход, состоящий из двух этапов.
1 Xc^c^cm Владислав Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, каф. системного анализа и информационных технологий, СПбГТИ(ТУ), e-mail: holodnow@yandex.ru
Vladislav A. Kholodnov, Dr. Sci. (Eng.), Professor, Department of System Analysis and Information Technologies SPSIT(TU)
2 Лебедева Марина Юрьевна, канд. техн. наук, доцент, каф. менеджмента и информационных технологий в экономике, Филиал НИУ «МЭИ» в г. Смоленске
Marina Yu. Lebedeva, Ph. D. (Eng.), Associate Professor, Department of Management and Information Technology in Economy, Smolensk Branch "MEI" National Research University
3 Кулишенко Роман Юрьевич, канд. техн. наук, старший преподаватель, каф. системного анализа и информационных технологий, СПбГТИ(ТУ) Roman Yu. Kulishenko, Ph. D (Eng.), Senior Lecturer, Department of System Analysis and Information Technologies SPSIT(TU)
Дата поступления - 29 октября 2015 года
На первом этапе для рассматриваемой ХТС на основе вычислительного эксперимента строится регрессионная мультипликативная модель с использованием метода Брандона.
На втором этапе решается задача оптимизации максимизации математического ожидания целевой функции с учетом вероятностной неопределенности. При вычислении многомерных интегралов используется специфическая особенность метода Брандона: представление регрессии в мультипликативном виде, что существенно облегчает вычисление многомерных интегралов.
Предметом исследования данной работы является использование предлагаемого подхода для повышения эффективности функционирования технического объекта ХТС (на примере последовательности экстракторов с рециклом), решаемая с применением простого арсенала программных средств.
Из вышеизложенного можно заключить, что обозначенная в статье проблема является актуальной как в научном, так и в практическом плане.
Постановка задачи стохастического программирования при вероятностной неопределенности исходных данных
Задача стохастического программирования для целевой функции с использованием характеристики неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения имеет вид [1]: .
Здесь ü - /с-вектор управляющих переменных с областью допустимых значений U, (ич е U-, и = {vu4: inf uq <uq< supu4}), q = 1,... k, X
- m-вектор неопределенных параметров с заданными интервалами допустимых значений, M[xi] - 3и[Х(] < Xi < M[xi] 4- 3a[xi], где М[хг],ст[х;]- заданные значения математического ожидания и среднеквадратичного отклонения случайных величин; 4>j(ü,х)
- ограничения, которые выполняются для всех х е X,j =
(1.....у).
- математическое ожидание значения целевой функции; Pi(.x1)p2(x2),-,Рт(.хт) - известные распределения плотности вероятностей неопределенных параметров в виде независимых случайных величин.
Вычисление многомерного интеграла осуществлялось методом Монте-Карло [6].
Оптимизация математического ожидания целевой функции с учетом неопределенности параметров для последовательности экстракторов с рециклом
Объект исследования. В качестве объекта исследования рассматривается каскад экстракторов с рециклом (рисунок 1).
GR
Рисунок 1. Последовательность экстракторов с рециклом
Ранее для критерия оптимизации данной ХТС нами получено мультипликативное уравнение регрессии в следующем виде [4]:
Я = Л (С)/2 Ы/з (а)/4 (Ш3)/6 (1У4)
при ограничениях на численные значения неопределенных параметров переменных М2, Wз, W4:
(0,8 < С < 1,2; 0,19 < хг < 0,21; 0,04 < а < 0,06;
Здесь G - расход входного потока, кмоль-ч-1; Xf - концентрации извлекаемого вещества во входном потоке, мольные доли; W2, Wз, W4 - расходы экстрагента, кмоль-ч-1; а - стоимость растворителя.
Каждая из функций, входящих в уравнение регрессии, представляет полином второй степени:
р(х) = — ехр Численные значения коэффи-
циентов для соответствующих полиномов приведены в таблице.
Таблица. Численные значения коэффициентов
Полином для переменной ai a2 a3
f(G) -0,27 0,62 -0,24
m 27,54 -10,83 1,1
m 263,01 -29,18 1,07
f4(W2) -2,81 3,26 0,88
fs(Ws) -9,19 4,89 6,12
fe(W4) -17,73 14,80 5,41
Рассмотрим задачу нахождения максимального значения математического ожидания целевой функции по оптимизирующим переменным для всего диапазона изменения неопределенных параметров с учетом нормального распределения плотности вероятности неопределенных параметров для ХТС последовательности экстракторов с рециклом.
В этом случае:
Где М[Х] = m - математическое ожидание соответствующего неопределенного параметра, D[X] = a2 -диспеосия соответствующего неопределенного параметра /_+с™P(x)dx = 1 .
Традиционный метод оптимизация с использованием метода Монте-Карло для вычисления многомерного интеграла
Задача нахождения максимального значения математического ожидания целевой функции [1, 5] по оптимизирующим переменным для всего диапазона неопределенных параметров с известным распределением плотности вероятности неопределенных параметров может быть представлена в следующем виде:
тахМ[[(№2,\Кг,х3)] =
= иЖз СС а)р(.С)р(хг)р(а) ЧС Ох, йа.
Ниже представлены протоколы решения задачи в рамках системы компьютерной математики MathCAD (рис. 2).
Начальное приближение для задачи оптимизации
\У2 := 0.6 \¥3 := 0.2 хЗ := 0.04
R^W2,W3,x3)
уз
2.5x3
3.7х32 - ИЗхЗ3 if хЗ < 0.1
3.94 x3 -29.6 x3 + 74 x3 otherwise N <- 1000000 for ie 1..N-1 k <— rnd(l) 1 rnd(l) m <- rnd(l) G <- 0.8 + 0.4k xf <- 0.19 + 0.02 1 a <- 0.04 + 0.02 m
(G + l)x3 + W3 y3
ul
x2 <-n2 <-
(G+l) ul if ul > 0 0.001 otherwise
2.5x2 + 3.7x22 - 113x23 if x2 < 0.1 3.94 x2 - 29.6 x22 + 74 x23 otherwise
(G + l)x2 + W2 \2 (G+l) xl <- I u2 if u2 > 0
| 0.001 otherwise u3 (G + l)xl - G xf
x4
v4 <-
u3 if u3 > 0 0.001 otherwise
2.5x4 + 3.7x42 - 113x43 if x4 < 0.1
3.94 x4 - 29.6 x42 + 74 x43 otherwise
u4 <-W4 4-
CG+ l)x3 - (G + l)x4
У4
0.7 if u4 > 0.7 0.2 if u4 < 0.2 u4 otherwise pr G (xf - x4) - a (W2 + W3 + W4) фв <- dnorm(G, 1,0.05) c|>xf dnorm(xf, 0.2,0.0033) фа <- dnorm(a, 0.05,0.0033) v. <- рг-фв-фх^фа
0.4-0.02-0.02 mean(v) R(W2 , W3 , x3) = 0.124
Given
R .
/VWAV
^ ЛАЛА/>
:= Maximize (R. W2 . W3. x3) =
R( W2 . W3 . x3~> = 0.12306
0. < x3 < 0.06 0.60343 0.2 0 04025
Погрешность вычисления многомерного интеграла составила менее 10-3.
При вычислениях используется статистическая функция нормального распределения dnorm(x,y,о) (р -среднее значение, о - среднеквадратичное отклонение).
Предлагаемый метод оптимизации с использованием приближенной зависимости критерия оптимизации от оптимизирующих и неопределенных
параметров
Для преодоления трудностей, связанных с многочасовыми расчетами, предлагается использовать метод аппроксимации значений целевой функции. С помощью метода Брандона [4] целевая функция может быть представлена в виде произведения соответствующих функций:
= ЛОО/гСи2) .../йО^)^(хд<рг(х2)-<Рт(хт)-
С учетом этого обстоятельства математическое ожидание целевой функции Р(и1,и2, ...,ик,х1,х2, ...,хт) в зависимости от величины неопределенных параметров (х1,х2,... ,хт) с известными распределениями плотности вероятности неопределенных параметров р1(х1)р2(х2)) - ,Рт(хт) может быть определено по формуле:
= АСиО/гСиг) .../к(ик)М{ф(_х1,х2,...,хт)}, где М{ф(хъх2,...,хш)} =
= Я 1,х2.....хт)р1(х1)р2(х2) ...рт{хт)йх1 ...йхт..
С учетом специфики аппроксимации методом Брандона последнее выражение можно представить в следующем виде:
= ^г&гЪг&г)^ -1 <Рт(.хт)рт(х^хт.
Таким образом, задача нахождения максимума математического ожидания может быть представлена в следующем виде:
^г^ШщШщ) -/к(ик)] М{ф(.х1,х2,-,хт)}.
Предлагаемый метод существенно упрощает процедуру решения задач оптимизации в условиях рассматриваемой неопределенности. На основе полученной аппроксимации для критерия оптимизации последовательности экстракторов с рециклом сформулируем задачу максимизации математического ожидания дохода от оптимизирующих переменных в следующем виде: найти
^тах, (сМа{я(Ж2, Щ,в,хг,а)})
\Ш2)Ш3ШЮ М {Л(С)/2(х/)/3(а)}|
= max
Wo,W*,W
На рисунке 3 представлены результаты решения
задачи.
Рисунок 2. Протокол решения задачи оптимизации с вычислением подынтегральной функции по точной модели
11П
Задание значений среднеквадратичного отклонения
0.4
CTG :=
б 0.02
0.02
rG(G) := dnorm(G,l,CTG) rxf(xf) := dnorm(xf, 0.2, axf) ra(a) dnornK а . 0.05. oa)
Задание значений для начального приближения задачи оптимизации
\У2 := 0.23 \¥3 := 0.4 №4 := 0.2
fl(G) := -0.27 G + 0.62 G - 0.24
f3(a) 263.01 а - 29.18 а + 1.07
12 (xf) := 27.54 xf - 10.83 xf + 1.1 f4(W2) := -2.81W22 + 3.26-W2 + 0.88
"J,
fl(G)rG(G)dG I f2(xf)-rxf (xf) <Jif-1 D(a) ra(a) da
0.8 0.19 0.04
/•0.0 ;fJ
■ /I n.
R(W2, W3, \V4) f4(W2) f5(W3) f6(W4) R1 Given
0.2 < W2 < 0.7 0.2 < W3 < 0.7
0.2 < W4 < 0.7
W2^
W3
W4
:= Maximize (R, W2, W3. W4)
R(W2,W3,W4) = 0.11
W2 0.58 ~
W3 = 0.266
W4 j 0.417,
Рисунок 3. Протокол нахождения максимального значения математического ожидания критерия оптимизации
Заключение
Достоинство предлагаемого метода состоит в том, что при вычислении интеграла не нужно решать сложные уравнения математического описания ХТС, а можно воспользоваться приближенной мультипликативной зависимостью значения критерия оптимизации от неопределенных параметров и оптимизирующих переменных.
Предлагаемый метод предъявляет серьезные требования к точности приближенной зависимости значения критерия оптимизации от неопределенных параметров и оптимизирующих переменных.
Использование метода Монте-Карло упрощает решения задачи, однако связано с большими временными затратами.
Литература
1 Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В. Оптимизация технических систем М.: КНОРУС, 2012. - 432 с.
2. Лаптева Т.В. Основы методологии решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности в исходной информации: дис. ... д-ра техн. наук: Казань: КНИТУ, 2014. - 401 с.
3. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А. Оптимизация последовательности экстракторов в условиях интервальной неопределенности // Известия вузов. Химия и химическая технология, 2003. - Т. 46. - Вып. 5. - С. 47 - 50.
4. Brandon D.B. Developing mathematical models for computer control // Instrument Society of America (ISA) Journal. - 1959. - V. 6. - № 7. - P. 70-73.
5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учеб. для вузов. 6-е изд. стер. М.: Высш. шк., 1999. 576 c.
6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: уч. пособие / МГУ им. М. В. Ломоносова. 3-е изд., доп. и перераб. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. - 636 с.
