CC BY
52
УДК 514.18
Ю. Я. ПОПУДНЯК, Т. В. УЛЬЧЕНКО, А. С. ЩЕРБАК (ДПТ) НАБЛИЖЕН1 РОЗГОРТКИ СФЕРИ
У CTarri розглядаються i аналiзуються найпоширенiшi методи приблизно! розгортки сфери. Наведено приклади i послвдовне виконання.
Ключовi слова: розгортка сфери, сферичш поверхш, метод допомгжних цилiндрiв, метод допомiжних ко-нусiв
В статье рассматриваются и анализируются наиболее распространенные методы приближенной развертки сферы. Приведены примеры и последовательное выполнение.
Ключевые слова: развертка сферы, сферические поверхности, метод вспомогательных цилиндров, метод вспомогательных конусов
In the article the most common methods for approximate involute of sphere are considered and analyzed. The examples and sequential performance are presented.
Keywords: involute of sphere, spherical surfaces, method of auxiliary cylinders, method of auxiliary cones
Вступ
Вщомо, що в практищ будiвництва фахiвцi рiзних спещальностей використовують розгортки рiзних поверхонь. Наприклад, проектуван-ня та будiвництво по^вель, резервуарiв, ма-лих архiтектурних споруд, тощо [1, 2].
Окрему увагу хочеться придшити розгортцi сферичних поверхонь, так як вони мають форму тша, що не розгортаеться. Тому до них мо-жна побудувати лише приблизш розгортки, через що втрачаеться точнiсть зображення даного тша на плоскш поверхнi. На жаль, в багатьох шдручниках з «Нарисно! геометри» не придшя-еться надежна увага розгортщ подiбних тiл. Тому важливим е питання дослiдження спосо-бiв розгортки сферичних об'ектiв.
Постановка проблеми
Для будь-якого многогранника можливо побудувати точну розгортку. Цилшдр i конус та-кож мають точнi розгортки. Деякi поверхнi не можуть бути розгорнутi на площиш точно, без розривiв i складок, наприклад сфера (поверхня кулi). Вони мають назву поверхонь, яю не роз-гортаються. Для цих поверхонь можливо побу-дувати лише наближенш розгортки. Якщо скласти наближену розгортку, ми отримаемо деяку iншу поверхню, наближену по формi до вихiдноi, але не повнiстю з нею сшвпадаючу.
Розглянемо деякi способи наближено! розгортки сфери на прикладi вщомих об'ектiв.
Очистити апельсин вiд шкуринки можливо наступним способом: розрiзати !! ножем по дугах великих кш (розрiз кулi площиною, яка проходить через центр) так, як проходять ме-рищани земно! кулi. При цьому слiд вiдзначи-ти, що кожна частина шкуринки не плоска, а випукла, i спроби зробити !! плоскою мождивi лише в тому випадку, якщо шкуринка достат-ньо еластична, i ми зможемо стиснути середину та розтягнувши при цьому кра!. Подiбна розго-ртка сфери знаходить широке застосування, наприклад, при виготовленш поверхнi глобуса [3].
Розгортка тим точшша, чим бшьше число частин, на якi розрiзана сфера. Кожна частина мае назву сферичного двокутника.
1снують й iншi способи наближених розгор-ток сфери, наприклад обгортка тенюних куль, яка складаеться з двох однакових частин, форма яких нагадуе вiсiмку; обгортка футбольних куль, яка складаеться з п'яти та шестикутниюв та iншi (рис. 1).
Результати дослiджень
Заздалепдь поверхня, що не розгортаеться, апроксимуеться дшянками розгорнутих поверхонь, будуеться розгортка цих дiлянок, сукуп-шсть яких i е умовною розгорткою поверхнi.
© Попудняк Ю. Я., Ульченко Т. В., Щербак А. С., 2011
Якщо ця поверхня лiнiйчата, доцiльно умовну розгортку будувати способом ^ангуляци, тоб-то шляхом розбиття поверхнi на трикутники, яю послiдовно поеднуються з площиною крес-лення.
Умовнi розгортки поверхш обертання за-звичай будують способом допомiжних цилшд-рiв (рис. 2, 3).
розгортщ радiуси секторiв кругiв вiдповiдають довжинам твiрних конушв, а центральнi кути секторiв визначеш за формулою ф = 360 Я/Ь .
Рис. 1. Розгортка сфери
За допомогою вертикальних площин, що проходять через центр сфери, розiб'емо И пове-рхню на дванадцять рiвних вщсшв. Попарно протилежнi вiдсiки апроксимуемо цилшдровою поверхнею (цилiндр, описаний навколо сфери). Будуемо розгортку вщсшу, який знаходиться мiж сумiжними меридiональними перетинами. Дванадцять подiбних розгорток i складуть умо-вну розгортку сфери. Для побудови розгортки вщсшу цилшдрово! поверхнi проводимо в його межах декшька змiнних твiрних - горизонталь-них вiдрiзкiв 1-2, 3-4, 5-б, 7-8. Цi твiрнi проек-туються на горизонтальну площину проекцiй у натуральну величину (1121; 3141; 5161; 7181). а вщстань мiж ними проектуеться у натуральну величину твiрних - отримаемо розгортку вщс> ку. Так, на плоскш мапi земно! кулi площа ма-терикiв та островiв, якi знаходяться ближче до швшчного i твденного полюсiв виглядае бшь-ше шж насправдi (рис. 4).
Спосiб допомiжних конусiв (рис. 4) полягае в тому, що сфера горизонтальними площинами розбиваеться на ряд сферичних, якi апрокси-муються конiчними поверхнями, вписаними або описаними. Сукупшсть розгорток усiчених конушв i представлятиме умовну розгортку сфери. Вона розбита на три сферичш пояси, кожний з яких замшений вписаними конiчними поверхнями з вершинами в точках 5. 5' i 5". На
Рис. 2. Розгортка сфери
Рис. 3. Розгортка сфери
Рис. 4. Розгортка земно! кулi
Висновки
При дослщженш приблизно! розгортки сфери ми розглянули та рекомендуемо най-бшьш ефективш та прост у використанш способи, а саме:
- метод допом1жних цилшдр1в;
- метод допом1жних конус1в.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Михайленко, В. Е. Инженерная графика [Текст] : учеб. для вузов / В. Е. Михайленко, А. М. Пономарев. - 2-е изд., перераб. и доп. - К.: Вища шк. Головн. вид-во, 1985. - 295 с.
2. Тимрот, Е. С. Начертательная геометрия [Текст] / Е. С. Тимрот. - М.: Высш. шк., 1962. - 216 с.
3. Чалый, А. Т. Курс начертательной геометрии [Текст] / А. Т. Чалый. - К.: Вища шк., 1959. -232 с.
Надшшла до редколегп 10.05.2011. Прийнята до друку 12.05.2011.
Рис. 5. Розгортка сфери
