Напряженно-деформированное состояние пространственных осесимметричных сферических тел при несимметричной нагрузке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Значення цiльовоï функцiï:

L(x) = 400 ■ Ax12 +500 ■ Ax13 + 500 ■ bx23 + 300 ■ Ax34 + 360 ■ Ax36 + 350 ■ Ax45 + 450 ■ Ax56 + +1000 ■ Ax67 = 400 ■ 0 + 500 ■ 1 + 500 ■ 0 + 300 ■ 2 + 360 ■ 1 + 350 ■ 1 + 450 ■ 1 + 1000 ■ 0 = 2260у. о.

Значення цiльовоï функци показуе, що для скорочення термшу реатзацп проекту пусконалагоджувальноï системи вщ ТD = 21мю. До Тз =16 мю. потрiбно понести додатковi витрати, значення яких становить оптимальний розмiр 2260 у. о. Тут мова йде про граничш мшмальш витрати i поняття «менше або бшьше» у додаткових витратах не мае сенсу. Якщо цi витрати не влаштовують iнвеcтора, то рiшення можна переглянути, але з нiчого нiчого не бувае. Для скорочення термшу реатзаци проекту швестору потрiбно додатково залучити кошти вiдповiдно до певноï оптимальноï cтратегiï.

Метод розв'язання задачi об'емний, вимагае спещального прийому приведения до каношчного вигляду, а розв'язання за допомогою потокового алгоритму спрощуе шдхщ. Але попередньо cлiд визначити реальну вартicть Су за скорочення операци на одиницю часу. У будь-якому випадку розбiжнicть у значеннях цшьово1' функцiï становить у розглянутому прикладiL(x) = 2260 у. о., порiвняно з L(x)* = 2360у. о., 4,4 %, що у великих проектах цшком припустимо при використанш потокового алгоритму теори графiв.

Висновки. В результатi проведеного доcлiдження запропоновано пiдхiд до ощнки органiзацiйно-технiчних рiшень реалiзацiï складних будiвельних проектiв у строк, установлений швестором. Новий пiдхiд дозволяе розробити на оcновi потокових моделей ефективнi уиравлшсью рiшения з урахуванням необхiдних i можливих органiзацiйно-технiчних умов та обмежень будiвельного виробництва.

Задача вибору термшу реалiзацiï будiвельного проекту розв'язуеться новацшним методом, що базуеться на теори графiв i потокових алгоритмах. Вш дозволяе визначити оптимальнi строки виконання робiт при реалiзацiï будiвельного проекту в визначений термш з урахуванням часових i вартюних обмежень.

Ефективнють запропонованого методу обгрунтована шляхом порiвняльного аналiзу з унiверcальним симплекс-методом.

ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА

1. Павлов И. Д. Исследование системотехнических и логистических условий по интеграции участников сложных проектов / И. Д. Павлов, А. В. Радкевич, Ф. И. Павлов // Вюник Придшир. держ. акад будiвниц. та архггектури. - Д. : ПДАБА, 2007. - № 11. - С. 38 - 44.

2. Оре О. Теория графов / О. Оре. - М. : Наука, 1980, - 336 с.

3. Филлипс Д. Методы анализа сетей / Д. Филлипс, А. Гарсиа-Диас. - М. : Мир, 1984. - 496 с.

4. Павлов И. Д. Модели управления проектами:учеб. пособ. ЗГИА / И. Д. Павлов. -Запорожье: Изд-во ЗГИА, 1999. - 316 с.

5. Радкевич А. В. Багатоцiльовi моделi оргашзаци каштального вщновлення об'екпв: Монографiя / А. В. Радкевич, I. Д. Павлов. - Д. : Вид-во «П. П. Свщлер», 2003. - 225 с.

УДК 539.3

НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНИЙ СТАН ПРОСТОРОВИХ ОСЕСИМЕТРИЧНИХ СФЕРИЧНИХ Т1Л ПРИ НЕСИМЕТРИЧНОМУ НАВАНТАЖЕНН1

А. М. Смоляр, к. т. н., доц., I. В. М1рошкта, к. т. н.

Черкаський державний технолог1чний утверситет

Ключовi слова: просторовi осесиметричт сферичт тыа, несиметричне навантаження, аналтично-чисельна методика, узагальнений метод сктченних ттегральних перетворень, сферичний метск

Вступ. Проcторовi осесиметричт сферичш тша е розрахунковою моделлю класу об'екпв будiвництва та техшки, таких як корпуси атомних реакторiв, доменних печей, елементи корпушв л^альних об'екпв, наприклад, носових частин ракет самонаведення тощо.

Щд осесиметричними сферичними тшами будемо розум^и проcторовi тша у сферичнш cиcтемi координат, обмежеш двома боковими поверхнями, що однозначно проектуються на

17

деяку опорну осесиметричну сферичну поверхню уздовж твiрних торцево! поверхнi [5].

Часто навантаження осесиметричних тiл мае несиметричний вигляд, тому напружено-деформований стан таких тш мае тривимiрний характер i описуеться рiвняннями просторово! задачi теорп пружностi.

Аналiз публiкацiй. Розв'язати просторову задачу теори пружностi для осесиметричних сферичних тш iз несиметричним навантаженням можна за допомогою унiверсальних чисельних методiв, таких як метод сюнченних елементiв [4] чи метод сюнченних рiзниць [6]. Останнiм часом спостер^аеться тенденцiя до розвитку комбiнованих методiв [1; 2], коли для отримання розв'язку вихiдна задача спочатку математично перетворюеться, а потiм застосовуються чисельш методи.

Мета статтi. Як альтернатива ушверсальним чисельним методам для кшьюсного аналiзу напружено-деформованого стану осесиметричних сферичних тш iз несиметричним навантаженням пропонуеться спецiалiзована аналiтично-чисельна методика.

Розв'язок просторово! задачi теори пружностi за анал^ично-чисельною методикою отримуеться в два етапи. На першому етапi математично знижуеться вимiрнiсть вихщно! задачi, а на другому етат редукована задача розв'язуеться чисельно [5].

Основна частина статть Напружено-деформований стан товстих осесиметричних сферичних тш iз несиметричним навантаженням описуеться тривимiрними рiвняннями теори пружностi, в яких усi похiднi по окружнш координатi в вiд геометричних параметрiв дорiвнюють нулю. Система вихiдних рiвнянь мае вигляд: • рiвняння рiвноваги

1_Я° дтв 3тв-2Ы5/В!°)тв,

->0 , I___/„ , г>0 I ал Г>0 , •=„ Г>0

(R0 + r)cos(s/R0) дв R0 + т дs дт Я0 + т

1 дТв + Я° да* , дТ + 3т- + + р _ 0

(К0 + r)cos(s/R0) дв К0 + г дs дт К0 + т

1 дт + Я0 дТт + даг + 2аг-а,tg(s/R0)тsr + р _

- + ~п--~+ ^ +-—п-+ РГ _ 0;

(Я0 + т)соз(з/Я°) дв Я0 + г дs дт Я0 + т

фiзичнi рiвняння

2 + 2 и див Я0 ди_ 2 + 2 и 0 пдиГ 2( 2 +ц)

а в _—0---0--в + я~0-----0— tg(5 /Я0 М!,- + 2—- + 0

в (Я0 + г)со8(з/Я0) дв Я0 + г д8 Я0 + т дт Я0 + т

2 див Я див 2 ^ диГ 2( 2 + ц)

а, _—0-0--- + (2 + 2ц)—-----0-tg(s/Я )и +Л—г- + ——г

s (Я0 + r)cos(s/R0) дв Я0 + т дs Я0 + т дт Я0 + т

2 див „ Я0 ди_ 2 „ , л , „ , дит 2Л

а- _—0-;-—^-тв + 2—0---—0-tg(s/R0)us + (2 + 2ц)-;- +

(Я0 + r)cos(s/R0) дв Я0 + т дs Я0 + т дт Я0 + т

я0 див +_ц_ди± | ц

Я0 + г дs (Я0 + г)со8(8/Я0) дв Я0 + г

Тв _ ц—0--г^ + —о-, , + ^^tg(s/R0)uв,

Тsr --(1)

ди, ц Я0 ди

'—--^—и --

дт Я0 + т Я0 + т дs Граничнi умови на бокових поверхнях мають вигляд:

на боковш поверхнi т _ к -_ Я0 скТ(8) - - -

Твт -~0---Твs _ В [gв- кв(ив- ивср)]'

Я0 + т й8

Я0 йк-(8)

Т--—0--:— а _в [gs -К(и* -uscp)]'

Я0 + Г й8

Я0 + Г й8

на боковш поверхш т _ к+(s)

+ Я &к (8) + + + 1+/ + + 17

Т+Г ---Тв s _ В [gв- кв (ив- ивср)]'

Я0 + Г d8

----;— Т- _ в [g- - К (и- - и-ср )];

Я0 ёк+а+ В+г^ + + ( + и + ,п

Я0 + г

Я0 ёк+(5)

< -~о°--Т^Т = В+ [ё+г-К(и+-и+ср)]. (2)

Я0 + г йя

де: к+, к- , к+, кг , кд , к- - коефiцieнти пружностi в'язей мiж точками тiла i середовища; и+, и- , и+, иг , ид, ид - перемщення точок поверхш тiла;

и +Ср, и-Ср, и+Ср, игср, идср, идср - перемiщення точок навколишнього середовища;

ё+, ё- , ё+, ёг , ё+, Я- - навантаження на поверхнi тiла. Граничш умови на торцевих поверхнях:

• на торцевш поверхнi - = 0

4- = ё°в -к°в(и° -и°срX а° = ё°-к°(и°-и°срX = ё°-к°°(и°-и°ср);

• на торцевш поверхш - = Ь

= ё- -кЬ(4 -4Ср), а- = ёЬ -^(и- -и^), т- = ё- -кГ(иГ -и1ГСр). (3)

Зниження вимiрностi вихщних рiвнянь теори пружност (1) по окружнш координат здшснюеться у виглядi розкладу невщомих функцiй по координатi в у ряд Фур'е.

При застосуваннi розкладу в ряд Фур'е довшьне навантаження 2q, несиметричне в напрямку окружно! координати в, будемо розглядати як суму симетричного та кососиметричного навантажень вщносно деяких напрямкiв в = 0 та в = п [3]. Це дозволяе моделювати будь-яке навантаження i значно спрощуе процедуру редукування, тому що зумовлюе подiл функцш вихiдних рiвнянь на парнi та непарш. Першi будуть мати в розкладi доданки, якi мiстять тшьки со8 тв (т = 0,1,2,3,.. ,,М):

т т 1 п

/(в ,5,г) ^ и-,г), ¡со(5,г) = -| /(в,-,г)са-т вёв, (4)

п -п

а друп - доданки, як мiстять тшьки 8т т в :

т т 1 п

/(в,-,г) ^ и-,г), и-,г) = -I/(в,-,г)-тт в ёв, (5)

п -п

де М - кшькють гармошк.

Для похiдних по в розклади в ряд Фур'е матимуть вигляд:

д/( в-,г)

д в

д/со-(я,г) дв

т д/( в ,я,г)

д

дЫ5,г) дв

= -т/со-(я,г). (6)

Похiднi по 5 та г залишаються iнварiантними вiдносно введених перетворень.

Розклад вихщно! крайово! задачi в ряд Фур'е по координат 9 полягае в замш И елементв (функцш та операторiв диференцiювання) виразами (4) - (6).

Для редукци по радiальнiй координатi г застосовуеться узагальнений метод скiнченних iнтегральних перетворень [5], що е розвитком проекцшного методу Векуа. Як ядра штегральних перетворень В. К. Чибiряков запропонував використовувати ортонормованi полiноми Лежандра. Це дозволило формалiзувати процедуру застосування узагальненого методу скiнченних iнтегральних перетворень. Для компонент вихвдних рiвнянь та граничних умов авторами побудована таблиця проекцшних спiввiдношень. Редукування вихiдних рiвнянь зводиться до замши !х компонент проекцшними спiввiдношеннями:

/(5, г) ^ / (5) (/ = 0, 1, 2,., Л/),

д/1(5,г) ^/(81 _1

д5

д/к+ (5) - к-(5)

Ок^О /+ - /-(5)(е1 - 4) аа

р] + г- (5)./¡(5),

д1(8,г1 ^ 1 /- /.-- е-^ - 2

дг д/к+ (5) - кг(5) к (5) - к (5)

Т5г

т

т

т

>

>

^ УМ. - r;(s)fi(s).fsrl ^ 1 mi fits), (7)

ds ds dr h (s) - h (s)

де fi, f 2 - функци типу напружень та перемiщень;

e'i, e'2, S1J, m', r' - матриц сталих та змiнних коефщенпв;

pl - полiноми Лежандра; N - стешнь полшомiальноl апроксимаци.

Пюля зниження вимiрностi редукована система рiвнянь для осесиметричних сферичних тiл i3 несиметричним навантаженням е одновимiрною у звичайних похiдних, вона мае вигляд:

ml

due 1 . /no,m' jml m 1 m 1 1 Ui, m

-=--wtg(s/R0)ue+ ri ue±—0-Us +--^b'J Tees,

ds R0 s R0cos(s/R0) j R0 r

m1

dus _ mX 1 1 m ,,mJ X 1 . .п.™' 2X 11 ,„ ,a m"

-= +--„-j— ue+ r Us +---tg(s/R )us---„-b-rmJ Ur -

ds X + 2jR0 cos(s/R0) s X + 2jR X + 2jR0 h(s)

2(X + u) 1 m' 11 71, mJ

—!-—Ur +--Tbj as,

X + 2j R0 X + 2jR0 r

ml ...

du 2 1 ma 1 ml 11 mJ

r -bll_rm'aus +—us + r'ur +--jb'lrTsr,

ds R0h(s) R0 jR

4j(X + u) 1 1 ,jmJ 6 j 1 jmJ 3ju, jmJ 4j 1 a aßmß

--2-^b'J ue—0-ml ue+—0br ue+~0-b\m4maß ue -

ds X + 2j R0cos2(s/R0) R0 h(s) R0 R0 h2(s) r

2u 1 mß 11m + ma

- ^—Vm^bfue + keb\d'iJaue-R0 h(s) r R0 h(s)

1 1 m- mY

- ЮК(7)В~ keb-r(e{a - e12a)d]aß(eßr- eß )ue+

+ m4j( X + u) 1 tg(s/R0) mj(7X +10 U) 1 1 J! +

+---n--n-br us + n n <Jr u,r±-

X + 2u R0cos(s/R0) X + 2u R0cos(s/R0)

m4Xj 1 1 ,,т} - 1 1 w, aaßmß^

+--j-m1 ur + m2j—0-T-bJmabczrß ur +

X + 2j R0 h(s)cos(s/R0) R0 h(s)cos(s/R0) r

. mX 1 1 m nml 2 . ,n0 m 1 ,,, m

(s- rj'zes + —^tg(s/R0)tes--wb'Jr Fe -

X + 2jR0 cos(s/R0) s R R0 -r

1 1 m + m + m + 1 1 m m m

В+(ge+ keu&p№rPJ (ge+ keu6bp)b'^r(eja -e? )pa,

m + ma

D+ U LÜ .

daL = + m4j(X + u)^tg(s/R^ me + iU(X+U)Jltg2(s/R0b t + + ks b^r u, -

ds X + 2j R0 cos(s/R0) X + 2j R0 R0 h(s) -r 1

1 1

-BT ks b^r(ej" - eJ)d*aß(eßY - eßY)us -

„0 7/ I /"1 /"s-

R h(s)

4Xj 1 1 , , n0 , ,,ml 4u(X + u) 1 ,„o„nml X 9 'Jg(s /R )m ur - X j-jtg(s/R0)b''Jur +

X + 2j R0 h(s) X + 2j R0

2j 1 у /п0Г nm 3 m' 2 1 1„ „■ma _ m 1

----0tg(s/R0)&s- r l (Ts--0Tsr+-bLm^Tsr+-0~-

X + 2j R0 R0 R0 h(s) r R0cos(s/R0)

1 mJ 1 1 m^ m^ m^ 1 1 m m m

- - wimB <g'+k-u*pJ+i?4mB-<g-+)p',

ёт5г _т2и 1 1 ,,т1 ти( Л + 6 и) 1 1 1ит'

-= +—&--^т ив±-— —г-^Ъ1- ив±

Я° к(s)cos(s/Я0) Л + 2и Я0cos(s/Я0) г

т4Ли 1 1 1 в, 4и 1

2 1 т!

- 0 0 Ъ-гта1Ъа/ив-^--цё5/Я0)Ъг их -

Л + 2и Я0 к(5) со5(5 /Я0) - г Л + 2и Я0 г

4Хи 1 1 (ё( 5/Я0 )Ъ-гтаЪа "и* + т2и1-2 1 0 + -

Л + 2и Я0 к(з) Я0 со52(5/Я0) Л + 2и Я

4ц(3Л + 4 и) 1 1 -т' 4 Ли 1 1 и„ аавтв

- —-——К-т1 иг +----7г-Ъ1гта1Ъ":р иг +

Л + 2и Я0 к(5) Л + 2и Я0 к(5)

16 и( Л+и) 1 1 ,,, а, аВ тв 1 1 + т + ,, та

+ -/V -Ъ11гта тар и г + В+ кг Ъ а,1аиг -

Л + 2и Я0 к2 (5) Я0к(5) -г 1

1 1 т- тУ

1 1 В- кг Ъ'-г(е-а - еа)а]ар(еву - ев/)иг +

Я0 к(5)

2и 1 mi 2 Л 11 та т- 1 т' 1 т1

+ —--1" а* + —--- г-'тг +-^1ё(5/Я0)т5г---¿Ъ^г-

Л + 2и Я0 Л + 2и Я0 к(5) г 5 Я0 Я0

1 1 т + т + т+ 1 1 т- т- т-

В+ (ёг + кг игср— + (ёг + кг игср)Ъ'-г(е— -е^)ра, (8)

я0 [6г р/ -гУ я0 фк(7)

де ',-,а,в - порядок iндексiв проекцiйного стввщношення;

к+ (5)

Я0 +

Ъ'1 = Г 1 рнрнёг •

к- (в)

{Ъ1-г } - обернена матриця до матрицi {Ъ1г } .

Подвiйний арифметичний знак у деяких доданюв пояснюеться розкладом навантаження на симетричне (верхнiй знак) та кососиметричне (нижнш знак).

Граничш умови на бокових поверхнях (2) увшшли в рiвняння (8), тому редукуемо тшьки граничш умови на торцевих поверхнях (3):

• на торцевш поверхш 5 = 0

т0' т0' т0 т0' т0' т0' т0' т0 т0' т0' т0' т0' т0 т0' т0'

тв5 = ёв - кв( ив - и в ср ), а 5 = ё5 - ks(us - ия ср ), т^ = ёг - кг(иг - игср );

• на торцевш поверхш 5 = Ь

тЬ' тЬ' тЬ тЬ' тЬ' тЬ' тЬ' тЬ тЬ' тЬ' тЬ' тЬ' тЬ тЬ' тЬ'

тв5 = ёв- кв(ив - ивср), а 5 = - ks(us - ия ср),твг = ёг - кг(иг - игср). (9)

Система редукованих рiвнянь, на вщмшу вщ початково! (1), складаеться iз шести звичайних диференщальних рiвнянь (8) та трьох алгебра!чних. Рiвняння системи зв'язаш по полiномах Лежандра i незалежш вiдносно гармонiк т, тобто кожнш гармонiцi вiдповiдае своя система звичайних диференцшних рiвнянь (8).

Математична постановка крайових задач для осесиметричних сферичних тш з

несиметричним навантаженням така: - в област £2 = [[0 < в < 2п] х [0 < 5 < Ь] х х [к (5) < г < к+(5)]] на опорнш сферичнiй поверхнi г = Я0 необхщно визначити

т т т т т т' т т т

сукупнiсть вектор-функцiй ав, , аг, т 5г, т в, твг, ив, и5, иг , що задовольняють рiвнянням (8) та граничним умовам (9).

На торцевих поверхнях Г сферичних тш можуть бути задаш напруження чи перемщення.

1снування та однозначнють розв'язкiв поставлених крайових задач витшае з iснування та однозначностi розв'язюв вiдповiдних задач й способу зниження вимiрностi поставлених задач.

Розроблена анал^ично-чисельна методика покладена в основу алгоритму, не залежного вщ М та N. Основш похибки методики виникають на етапi математичного зниження вимiрностi вихiдних рiвнянь, вони зумовленi урiзанням системи редукованих рiвнянь, наближеним задоволенням граничних умов на бокових поверхнях, тощо.

///

х/ ло-.^

Рис. 1. Схема навантаження та розрахункова схема просторового мемска

Похибки чисельно! частини методики виникають у процесi розв'язування крайово! редуковано! задачi для систем звичайних диференцшних рiвнянь зi змiнними коефiцieнтами методом дискретно! ортогоналiзащ! С. К. Годунова. Основою алгоритму дискретно! ортогоналiзацi!' е iнтегрування систем диференцiйних рiвнянь, ортогоналiзацiя систем векторiв, визначення обернених матриць тощо. 1нтегрування систем диференцiйних рiвнянь проводиться за методом Рунге - Кутти - Фельберга четвертого-п'ятого порядку точносп з автоматичним контролем похибки, це гарантуе задану точшсть обчислень. Процедура ортогоналiзацi! систем векторiв та визначення обернених матриць виконуеться з точшстю до машинних заокруглень математичних дiй та функцiй. Тому можна стверджувати, що чисельний етап методики виконуеться з наперед заданою точшстю.

Створена анал^ично-чисельна методика реалiзована у програмному комплексi «1нтеграл».

Практична задача. Як практична задача був розглянутий осесиметричний сферичний мешск, виготовлений з оптичного скла К-8, з несиметрично прикладеним зосередженим навантаженням. Такий мешск е розрахунковою моделлю носово! частини ракет iз системою iнфрачервоного наведення. Особливо небезпечними для такого мешска е додатш (розтягувальнi) напруження с $. Це пов'язано з наявшстю трiщинуватого шару у структурi скла, який складаеться з мiкротрiщин. Мшротрщини при > 0 швидко розвиваються у трiщини, що спричинюе руйнування менiска.

Розрахункова схема мешска наведеш на рисунку 1. Подiбна схема навантаження менiска може виникати тд час його експлуатацi!. Зосереджене навантаження моделюеться рiвномiрно розподiленою силою, що дiе на поверхню оболонки в обмеженш областi. Рiвнодiйна розподшеного навантаження = 5,1 МПа становить 100 Н. Фiзико-механiчнi властивостi

матерiалу менiска - Е = 6 ■ 104 МПа, V = 0,23. Параметри обчислювального процесу: стешнь полiномiально! апроксимацi! - N = 6, кшьюсть гармонiк - М = 10, абсолютна та вщносна точностi штегрування диференцiйних рiвнянь - 10, 10-3 вiдповiдно.

Рис. 3. ЪолШг компонент вектора перемщень та тензора напружень просторового мешска в перер1з1 в = ± п (ыв= 0, т. = 0, т.. = 0 )

Рис. 4.1золтг компонент тензора напружень просторового мешска в перер1зах в _±

Гзолши компонент вектора перемщень та тензора напружень зображеш для перерiзу в _ 0 на рисунку 2, для перерiзу в _ ±п - на рисунку 3, для перерiзiв в _±ж/2 - на рисунку 4. Вигляд цих

iзолimй свщчить про складний, просторовий характер розпод^ приведених компонент напружено-деформованого стану. Напруження с3 набувае найбiльших додатних значень на протилежнш боковiй поверхнi до поверхш прикладання навантаження i становить - с8 = 1,2 МПа. Цей результат дае змогу зробити висновок про зменшення впливу нецентрально! сили порiвнянно з центральною на штенсивтсть додатного нормального напруження с8, оскiльки для центрально завантаженого менiска силою в 100 Н найбшьша величина напруження шд точкою його прикладання становить с8 = 6,1 МПа [3].

Похибка збiжностi чисельних результатiв iз граничними умовами не перевищила 4 %.

Висновки. Розв'язки практичних задач доводять ефектившсть застосування розроблено! аналiтично-чисельно! методики до важливих практичних задач.

Розроблена методика може бути використана для розрахунку напружено-деформованого стану корпушв реакторiв АЕС, доменних печей тощо.

Розроблена аналiтично-чисельна методика розвинута також на задачi теплопровiдностi та термопружност осесиметричних сферичних тiл.

ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА

1. Верюжский Ю. В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики / Ю. В. Верюжский. - К. : Вищашк, 1978. - 183 с.

2. Кушшр Р. М. Анал^ично-чисельне розв'язування контактних задач термопружностi для термочутливих тш / Р. М. Кушшр, В. С. Попович, Г. Ю. Гарматш // Фiз.-хiм. мехашка матерiалiв. - 2001. - № 6. - С. 39 - 44.

3. Мiрошкiна I. В. Анал^ично-чисельна методика визначення напружено-деформованого стану товстих неоднорщних осесиметричних сферичних оболонок: дис. ... канд. техн. наук : 05.23.17 / Мiрошкiна 1рина Володимирiвна. - К., 2005. - 168 с.

4. Перельмутер А. В. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа / А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. - М. : ДМК Пресс, 2007. - 600 с.

5. Чибiряков В. К.Теорiя товстих пластин та оболонок / В. К. Чибiряков, А. М. Смоляр. -Черкаси : ЧДТУ, 2002. - 160 с.

6. Шимановский А. В. Теория и расчет несущих элементов большепролетных пространственных конструкций / А. В. Шимановский, А. И. Оглобля. - К. : Сталь, 2002. - 369 с.

УДК 697.1

ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СОЛНЕЧНОЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ОТОПЛЕНИЯ И ГОРЯЧЕГО ВОДОСНАБЖЕНИЯ ЗДАНИЙ В СЕВЕРНЫХ

ШИРОТАХ

С. З. Полищук, д. т. н., проф., Л. А. Шамрицкая, ст.

Ключевые слова: потенциал солнечной энергии, солнечные колекторы, породный бункер, горячее водоснабжение, система отопления, моделирование

Постановка проблемы. Человек использует тепло солнца с незапамятных времён. Солнце - самый доступный и неисчерпаемый из всех источников энергии, которые природа дарит человеку. Возможности использования экологически чистой, повсеместно доступной возобновляемой солнечной энергии сегодня привлекают все большее внимание. Рациональным результатом такой политики является использование энергии солнца непосредственно коллекторами. Ведь использование солнечных коллекторов в существующих системах - это уже не будущее, а реальное настоящее. Учитывая, что цены на другие виды топлива и электроэнергию будут увеличиваться, установка системы солнечных коллекторов - это подлинные инвестиции в будущее.

Анализ публикаций. Вопросу использования различных типов коллекторов и анализу способов аккумуляции солнечной энергии посвящены работы [1 - 5]. В настоящее время солнечные коллекторы широко распространены и на территории Украины, а также имеют широкий спрос. Но всего полтора десятка лет назад украинские ученые в этой области только слышали об этой технологии. Впервые идея «тепловой трубы» была предложена Гоглером в