CC BY
12
УДК 539.3
Варивода Ю.Ю., © к.т.н., доц.1, Онишко Л.Й., к.т.н.1,2, Сенюк М.М., пров. шж.2
1Льв1вський нацюнальний утверситет ветеринарног медицины та б1отехнологт iмет С.З. Гжицького 2Фгзико-мехашчний iнститут iменi Г.В.Карпенка НАН Украти,м. Львiв
НАПРУЖЕНИЙ СТАН ЦИЛ1НДРИЧНИХ ПОРОЖНИСТИХ ЕЛЕМЕНТ1В КОНСТРУКЦ1Й ХАРЧОВО1 ТА ПЕРЕРОБНО1 ПРОМИСЛОВОСТ1 ЗА ДИНАМ1ЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ
Новим методом розе 'язування динамiчних задач теори пружностi, який Трунтуеться на застосувант сктчених тыьки за часом, дослiджено
вплив динамiчних навантажень на напружений стан цилшдричних елементiв конструкцш (посудин тиску), яю широко використовуються у технологiчних лШях з переробки харчових продуктiв. Числовi результати проведено для порожнистих цилiндрiв рiзноí товщини за дп iмпульсних навантажень.
Ключоei слова: порожнистий цилтдр, динамжа, iмпульсне навантаження, сюнчеш рiзницi, напруження.
Вступ. Анал^ичш методи розв'язування динамiчних осесиметричних задачам теори пружност в основному базуються на використанш штегральних перетворень Лапласа [1,2]. Отримати обернет перетворення Лапласа анал^ично у багатьох випадках дуже складно i часто використовують чисельне штегрування, що призводить до досить наближених результат. Деяю вчеш розв'язували динамiчнi задачi для цилшдричних елеменив за використання кiнцевого перетворення Ганкеля [3]. Цей метод е бшьш прямий i компактний у порiвняннi з вище згаданим. Однак вони е ефективними для простих геометричних та силових параметрiв динамiчних задач. Зауважимо, що динамiчнi осесиметричш задачi розв'язували i суто числовими методами [4-7] (характеристик, юнцевих i граничних елементiв). У згаданих вище статтях розглядалися рiзнi динамiчнi навантаження, яю прикладенi до кра!в несюнченного цилiндра. Пiд впливом висновкiв [3] про те, що ударне навантаження прикладене до краю отвору приводить до виникнення максимальних колових напружень, якi перевершують свое статичне значення на 25%, а за iмпульсних навантажень щ напруження можуть досягати 54% вщ вiдповiдних статичних значень, щкавим е дослiдження на мщшсть цилiндричних елементiв конструкцiй технологiчних лшш з переробки харчових продуктiв.(посудин тиску), яю знаходяться пiд дiею iмпульсних навантажень.
У цiй статтi розв'язано задачу теори пружност для порожнистого цилiндра, навантаженого iмпульсними силами новим ефективним методом [8]. Вш не використовуе штегральних перетворень Лапласа, а грунтуеться на застосуванш скiнчених рiзниць тiльки за часом, а за шшими просторовими
© Варивода Ю.Ю., Онишко Л.Й., Сенюк М.М., 2008
27
змшними можна використовувати в1дом1 анал1тичш методи. Перевагою цього методу е те, що звичайш неоднорщш диференц1йн1 р1вняння зводяться до однорщних такого ж вигляду, як 1 при застосуванн1 до р1внянь руху перетворень Лапласа 1 можна ефективно використовувати добре розроблеш тдходи для Тх розв'язування.
Постановка задача та метод розв'язування.
Розглянемо тонкий порожнистий цилшдричний елемент конструкций який часто зустр1чаеться в схемах технолопчних л1н1й харчовот та переробнот промисловост1. В1н знаходиться п1д зовшшшм навантаженням, яке можна змоделювати будь-якою функщею в1д часу на внутршнш (р1(г)) 1 зовшшнш (Р2(г)) його поверхнях. Задачу розв'язуемо за мов плоскот деформаци (перем1щення, як1 виникають у вс1х площинах динам1чно навантаженого цшпндра, нормальних до його вкл, будуть однаковими) (рис.1).
Рис.1. Порожнистий нескшченний цилиндр пщ д^ею динам^чних навантажень
Таким чином, задача зводиться до знаходження перемщень и( г' , г) у будь-якому перер1з1 тонкого цилшдра (схема к1льця на рис.1) з р1внянь руху [10]
д2 и 1 ди и 1 д2 и
-Т + ^---Т = —Т. (1)
дГ2 г' дх г2 с? дг2
Знаючи перем1щення , компоненти тензора рад1альних та колових напружень визначаемо за формулами:
ди и ди и
а гг = (^ + 2Ц)— + ; аее +(^ + 2Ц)— ,
дг г дг г
28
дe r' - pадiальна кoopдината, t - час, а À, ц - кoнстанти Ламe, якi пoв'язанi зi швидюстю пoздoвжньoï xвилi cl, густитою матepiалy p та Пyассoнoвим кoeфiцieнтoм v спiввiднoшeннями
À + 2ц = pcl ,
2ц = pcl
1 — 2v 1 — v
Для зpyчнoстi запишeмo piвняння (1) y бeзpoзмipниx змiнниx ( r = r'/r , т = Clt/rl, S = u/rl )
d2 œ + 1 dœ œ
22
d 2 œ
(2)
(3)
(4)
drz r dr rz дт
Задачy poзв'язyeмo за нyльoвиx пoчаткoвиx yмoв ш = дш/дт = O, т = O, 1 < r < у; у = rl та кpайoвиx yмoв на внyтpiшнiй i зoвнiшнiй
а= dœ/dr + bvœ = — pj (т)/pq2 ; т > O, r = 1,
а^) = dœ/dr + bva/y = —P2(т)/pq2 ; т > O, r = у,
пoвepxняx цилiндpa, кoли bv = v / (l — v).
Для poзв'язyвaння динaмiчнoï зaдaчi (2)-(4) зaстoсyeмo нoвий мeтoд, який нe викopистoвye пepeтвopeнь Лапласа, а замють ньoгo пo чaсy зaстoсoвaнo скiнчeннi piзницi [8]. Мoмeнт чaсy тj зaпишeмo y виглядi суми скiнчeнниx piзниць за чашм
j
Z Лъ ,
k=1
дe Лтк = тк — тк—1, ( т0 = O), яю за yмoвaми мeтoдy oбoв'язкoвo мають 6ути piзними
Пoxiднi пo чaсy y piвняннi (2) зaпишeмo чepeз лiвi piзницeвi пoxiднi
dœ
"dr
d 2 œ
дт2
j j—l s — &J
Лт j ;
j /—1 S — œJ
œ j—l — œ j—2
Лт2
Лт j Лт j—l
; j = 2,3,...; œO = O.
(5)
i пepeмiщeння y кoжний мoмeнт чaсy т j пoдaмo y виглядi суми дoбyткy нeвiдoмиx кoeфiцieнтiв wjm на нoвoввeдeнi функцп Sm
œ J = Z wjm S m
m =1
(б)
Шсля бeзпoсepeдньoï пiдстaнoвки (5), (б) y piвняння (2), oтpимaeмo нeoднopiднe дифepeнцiйнe piвняння вiднoснo пpoстopoвиx змiнниx, тобто
29
т=т
т=т
виникають фштивш масовi сили у всш областi тша, що утруднюе побудову 1х розв'язку вiдомими методами. Слiдуючи запропонованому методу [8], воно розбиваеться на два незалежних: однорiдне, розв'язок якого задовольняе ненульовi крайовi умови та неоднорщне, розв'язок якого задовольняе нульовi крайовi умови. За нульових початкових умов друге рiвняння мае нульовий розв' язок.
Запропонований метод дозволяе ефективно знаходити розв'язки динамiчних задач вщомими методами, розробленими для розв'язування цих задач за допомогою перетворень Лапласа.
Отже, вважатимемо, що новi функцп б задовольняють однорiдному рiвнянню
82 б1 +1861 8т2 г 8Г
12
1+ ^ V г
б1 = 0;
1
^ 2 = л 2 Ах 1
(7)
за умов, коли невiдомi коефiцiенти виберемо так [8]
ы = 1' " л =
]] 1,1 -1
Ах
1-1
и -
Ах
Ах 1 -1 -Ах 1
; (1 = 2,3,...),
1-п
-п А 2 А 2
Ах 2-п -Ах 2
1 + ■
Ах,
Ах
1-1
Ах
1-1, 1-п
Ах
1-1
1 -2, 1 -п
;(] = 3,4...;п = 2,3,...] -1).
В кожний момент часу х = х 1 крайовi умови (4) за використання формул (6) набудуть вигляду:
8б18г + Ьуб1 = р/ / рс12, г = 1;
дб1/8т + Ьуб] /у = р2 /рс12, т = у ; (8)
де функци навантажень р]п, (п = 1,2) визначаються формулами:
1-1
Р}п = Р}п - 2"]трт , Р1п = Рп (х) п = 1,2.
т=1
Таким чином, задача зведена до розв'язування однорщного рiвняння (7) за крайових умов (8).
Загальний розв'язок рiвняння (7) запишемо через функци Макдональда ) та Бесселя А К-) [10]
б \r, 81
) = А (87 ) 11 ^ ) + А (87 )К1 Ц. ) (9)
30
З кpaйoвиx yмoв (8) за викopистaння poзв'язкy (9), з oтpимaнoï систeми piвнянь знaйдeнi нeвiдoмi кoeфiцieнти An (sj ) ( n = 1,2) :
An ( Sj ) =
(—l)
n+1
pcl
■FnJ ( Rl, R2), n = 1,2,
дe
Fi (R R ) = P(S/ )fn (R2,S/' )— p2 (S/ )fn (R1,S/' ) n = l2
/l (Rn, Sj )= — Kl (RnS/ [h — VRn ] — S/Ko (RnS/ ), /2 (Rn, Sj )= Il (RnS/. [у — 1/Rn ] + S/Io (RnS/ )
У peзyльтaтi спiввiднoшeння для нeвiдoмиx фyнкцiй S мaтимe вигляд [9]:
SJ = SJ '
(r, S/ ) = -Ц- [ (Rl, R2 )Il (rS/ ) — F2 (Rl, R2 )Kj (rS. )]
(10)
pcl
Знaчeння тaнгeнцiaльниx аee та pадiальниx аrr нaпpyжeнь в мoмeнт часу т = тj зaпишeмo чepeз лiнiйнy кoмбiнaцiю дoпoмiжниx функцш у чaсoвиx вyзлax:
а
/ -
ee
= Z
m=1
wjmаee,
а
/
= Z
m
w а
/m rr
m=1
дe
^ m 2
аee = pci
я" m ~ m Л
dœ s
dr
• + ■
" m 2
а rr = pcl
^dSm , s'
dr
+ bv
(11)
(12)
За викopистання фopмyл (10), (12) знaxoдимo виpaзи для аee, а1Т в кoжний мoмeнт часу т = т.
аe/'e (r, Sj ) = Fl (Rl, R2 )I(j ) — F2J (Rj , R2 )K(rS. )
j (r, Sj )= Fj'(Rl,R2)L(rS/ )— F2j(Rl,R2)M(rS. )
(l3)
дe
I(rS/ ) = SjbvIo (rSj )+ ^ Il (rS/ ), K(rSj ) = —SjbvKo (rS/ )+ ^Kl (rS/ )
l(s/ ) = S/I0 (rSi) — -y Il (rSi),
M (rS. )=— S/Ko (rS. )—av Kl (rS. )
b
v
r
r
31
Числов1 результати.
За формулами (11), (13) проведет обчислення та побудоваш графжи тангенщальних напружень сее на внутршнш поверхш порожнистих цилiндрiв (товщин у=1,3 i у=5) залежно вiд часу т (рис.2), коли дшть прямокутнi iмпульси рiзноl ширини т* (0 < т < т*). За отриманими графжами (рис.2), видно, що коли дiя iмпульсу припиняеться спостерiгаeться скачок напружень (динамiчний ефект) та наступний стрiмкий спад розтяжних напружень, як переходять у стискальнi, якi досягають 50% вiд максимальних розтяжних. Вщзначимо, що у початковий момент часу, тсля безпосереднього прикладення iмпульсу отримаемо не нульове стискаюче напруження сее (стрибок напружень), яке спостерiгалося i для ударного навантаження. Зi збшьшенням товщини цилiндра вiд у=1,3 (рис.2.кривi 2) до 7=5(рис.2.кривi 1), наприклад, для iмпульсу ширини т* =1 максимум колових напруження Сее зменшуеться вiд 1,7 до 0,7 i пiсля припинення ди iмпульсу рiзко зменшуються до нуля для широкого цилшдра (7=5) (рис.2,суцiльна лiнiя у кривих1), а для вузького (7=1,3) (рис. 2,суцшьна лiнiя у кривих2) продовжуе збiльшуватись вiд 1,7 до 2,65 , що свщчить про суттевий вплив кра1в цилiндра (ефект вщбитих хвиль) i вже поим плавно зменшуеться переходячи з розтяжних до стискальних.
Рис.2. Залежност концентрацп напружень Сее в1д часу т на внутр1шнш поверхш цилшдр1в товщини 7=1,3 (рис.2, крив1 2) та при у=5 (рис. 2, крив1 1) за прямокутних 1мпульсни\ навантажень рпноУ ширини т* (т* =1, суц1льн1 лшп; т* =5, штрихов! лшй' ).
Результати цих дослiджень можуть бути використанi при проектуванш цилiндричних елементiв конструкцiй (вузлiв технолопчних лiнiй), якi знаходяться пiд дiею iмпульсних навантажень.
32
Висновки. Новим методом розв'язано задачу про пружний нескшченний порожнистий цилiндр тд дieю iмпульсного навантаження на його поверхнях за нульових початкових умов. Дослiдження показали, що при дп на внутршню поверхню цилiндра прямокутного iмпульсу виникають максимальнi напруження (пiки), якi значно бiльшi вiд тих, якi виникають внаслщок прикладання до ще! поверхш ударних навантажень i пiсля припинення дп iмпульсiв напруження з максимальних розтяжних стрiмко переходять у стискальш. Максимальнi напруження, якi виникають внаслщок дп iмпульсiв та подальшого накладання прямих та вiдбитих хвиль е джерелом руйнування поверхнi цилiндра. Представлеш у статтi кривi напружень можуть допомогти в оптимiзацil пiдбору (конструюванш) вузлiв технологiчного обладнання, якi пщдаш згаданому виду динамiчного навантаження.
Лггература
1. Kroom A. Zur Ausbreitung von Stobwellen in Kreislochscheiben // (ZAMM)Zeitschrift fur angewandt Mathematik und Mechanik, 28(4), 1948. - 104-114 p. and 297-303 p.
2. Selberg H.L. Transient compression waves from spherical and cylindrical cavities // Arkiv for Fyzik. - 1952. - 5. -P.97-108.
3. Cinelli G. Dynamic vibrations and stresses in elastic cylinders and spheres // J.Appl. Mech.-1966.- 33.- Р.825-830.
4 Chou P.C., Koenig H. A. A unified approach to cylindrical and spherical elastic waves by method of characteristics // J. Appl. Mech.- 1966.- 33.- Р. 159-167.
5. Fu C.C. A method for the numerical integration of the equations of motion arising from a finite-element analysis // J. Appl. Mech. - 1970.- 37.- Р.399-605.
6. Chung-Cheng Wang, Hui-Ching Wang, Gin-Show Liou Two-dimensional elastodynamic transient analysis by QL time-domain BEM formulation // International journal for numerical methods in engineering.- 1996.- 39.- Р. 951-985.
7. Frangi A. Elastodynamics by BEM: a new direct formulation // Int. J. Numer. Meth. Eng.-1999.- 45.- Р 721-740.
8. Саврук МП Новий метод розв'язування динамчних задач теори пружност та мехашки руйнування // Фiз.-хiм. механка матерiалiв. - 2003.-№4. - С.194-198.
9. Саврук М., Онишко Л., Сенюк М. Плоска динамiчна осесиметрична задача для порожнистого цилiндра // Фiз.-хiм. механiка матерiалiв - 2007 - :№6.- С.54-62.
10. Сагомонян А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. - Изд.-во Московского университета, 1985. - 416 с.
11. Абрамовиц М., Cтиган И. Справочник по специальним функциям - М.: Наука, 1979.- 832 с.
12. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - К.: Наук. думка, 1968.888 с.
Summary
Varyvoda Yu.Yu., Onyshko L.Yo., Senyuk М.М.. STRESSED STATE OF CYLINDRICFL ELEMENTS FOR PROCESSING FOOD INDUSTRY UNDER DYNAMIC LOADING
By new method of solving dynamic problems of elasticity based on using finite differences with respect to the time the influence of dynamic loading on the stressed state of cylindrical constructive elements (pressure vessels) widely used in processing lines of foodstuffs alteration is researched. Numerical calculations are made for whole cylinders of different thickness under impulse loading.
Стаття надшшла до редакцИ 20.02.2008
33
