Дослідження динамічної концентрації напружень на краю колового отвору за дії на нього неосесиметричного навантаження Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539. 3

Онишко Л.Й., к.т.н., доцент Варивода Ю.Ю.,2 к.т.н., доцент Пономаренко О.М., к.ф.-м. н., доцент 3©

1 Ф1зико-мехашчний ¡нститут ¡м. Г.В.Карпенка НАН Украши, м. Лье1е 2Львгвський нацюнальний ушверситет ветеринарное медицини та бютехнологш ¡мет С.З. Гжицького 3 Львгвський нацюнальний аграрний ушеерситет

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ДИНАМ1ЧНО1 КОНЦЕНТРАЦП НАПРУЖЕНЬ НА КРАЮ КОЛОВОГО ОТВОРУ ЗА ДП НА НЬОГО НЕОСЕСИМЕТРИЧНОГО

НАВАНТАЖЕННЯ

Методами сктченних ргзниць за часом та рядгв Фур 'е за кутовою змтною розв 'язано плоску задачу теорп пружност1 про дт симетрично розташованих розподшених неосесиметричних навантажень на краю колового отвору у несюнчентй площит. Особлив1стю модифтованого методу сюнченних р\зниць за часом е можливють звести неодноргдш диференцтш р1вняння задачг до одноргдних, методи розв 'язку яких добре розроблеш. Дослгджено концентрацт напружень на краю колового отвору залежно в1д часу за ргзних коефщент1в Пуассона, коли навантаження моделюеться трьома членами ряду Фур 'е.

Ключовi слова: динамжа, несюнченна пластина, коловий отвiр, сюнченш рiзницi, ряди Фур'е, неосесиметричне навантаження.

Вступ. Доволi часто у багатьох машинах та установках переробно! та харчово! промисловост е елементи конструкцш, яю працюють пщ дieю змшного в час навантаження. Деяю з них можна змоделювати площиною з коловим отвором, який навантажено динамiчними силами. Вщзначимо, що в основному, розв'язування плоских динамiчних задач теори пружноси, базуються на штегральних перетвореннях Лапласа [1]. У багатьох випадках отримати оберненi перетворення Лапласа е складно, тому для розв'язування динамiчних задач використано новий анал^ико-числовий метод [2], який можна застосовувати для будь яко! геометри тш та навантаження. Вiн грунтуеться на застосуванш скiнчених рiзниць тiльки за часом, а за шшими просторовими змшними можна використовувати добре розроблеш анал^ичш пiдходи. За цим методом звичайш неоднорiднi диференцiйнi рiвняння зводять до однорщних такого ж вигляду, як i при застосуваннi до рiвнянь руху перетворень Лапласа, що дозволяе використовувати добре розроблеш пщходи для !х розв'язування. Цим методом були розв'язаш плоскi динамiчнi осесиметричш задачi теори пружностi для одно та двошарових порожнистих цилiндрiв [3-6] .

У цш статтi вище згаданим аналiтико-числовим методом [2] та методом рядiв Фур'е [7] розв'язано динамiчну неосесиметричну задачу для кругового отвору.

© Онишко Л.Й., Варивода Ю.Ю., Пономаренко О.М., 2011

106

Постановка задач1 та метод н розв'язування. Розглянуто елемент конструкци у виглядi несюнченно! площини, яка мiстить коловий отвiр радiуса Г = а. Систему полярних координат Г, 0 вибрано з початком у цен^ кола. На

краю отвору у початковий момент часу t = 0 прикладено розподшене динамiчне навантаження Р(а, 0, t) (рис. 1).

Для розв'язування задачi використано метод скiнченних рiзниць за часом [1], який, як уже вщзначалось рашше, полягае у тому , що замiсть перетворень Лапласа по часу використано скшченш рiзницi. При цьому рiвняння руху зведено до системи неоднорщних диференцiйних рiвнянь вiдносно просторових змiнних. Цю систему розбито на двi незалежнi: однорщну, розв'язок яко! задовольняе ненульовi крайовi умови та неоднорiдну з нульовими крайовими умовами. За нульових початкових умов друга з них мае нульовий розв'язок. Отже, розв'язок задачi зведено до розв'язування однорiдних диференцшних рiвнянь такого ж вигляду, як при застосуванш до рiвнянь руху шших перетворень, якi ранiше використовувались у лiтературi.

Рис.1 Коловий отв1р у нескшченнш пружнш площиш шд д1сю розпод1леного динам1чного навантаження

Розподiл радiальних <ГГ, колових <00 та дотичних <г0 напружень для

поставлено! задачi одержано за формулами [8]

, _2 ~ 2ф, 1 дф2 1 д2ф9ч аГГ = XV 2ф, + —-—^ +--,

ГГ 1 дг2 г 2 д0 г дгд0

<00 = XV 2ф + ^ (дф1 -1 ^ +1 - ^ (1)

00 1 г дг г д02 г д0 дгд0

< = 2 д2ф! 2 дф1 + 1 д2ф2 д2ф2 + 1 дф2) ^ = д2 + 1 д + 1 д2

> дгд0 г2 д0 г2 д02 дг2 г дг дг2 г дг г2 Ш2

через хвильовi потенщали фг (г = 1,2), яю знайдено з двох рiвнянь руху:

д 2ф^+1 +.1 д 2ф<- =1 д 2ф*

г = 1,2.

(2)

дг2 г дг г2 д02 с2 дt2 ' де С1, С2 - вщповщно швидкостi поздовжнiх та поперечних хвиль, X, д - сталi Ляме.

Пщставимо у рiвняння (2) розвинення допомiжних функцiй фг у ряди

Фур'е:

ад ад

ф1 (г, 0, t) = 2 Ап (г, t) соб п0, ф2 (г, 0, t) = 2 ^2„ (г, t) ми п0,

де невiдомi коефiцiенти Акп (к = 1,2) у кожний момент часу подамо через новi функцл [7]:

АП =2, t] = 2 А/к , А/к = tk -tk_1; to = 0,

у=1 к=1

а похщну за часом подано через рiзницевi рiвняння

(3)

(4)

д 2 А

кп

дГ

А' _ А-/'-1 А-7'-1 - А'-2

кп ^кп кп кп _. 7 = 23

а//

А0 а0-1

У результатi на основi нового методу cкiнченних рiзниць за часом [2] отримано однорщну систему рiвнянь вiдносно невiдомих функцiй Акп

(5)

д2 А'п 1 дА

дг2

+ ■

кп

г дг

- (^ + 4) А'п = о,

5 2 =_^_

ск а/2

(6)

за умов виконання рекурентних спiввiдношень для коефщентсв

IV

п= о

п=0

2

г

wjj =1 wj,j-1=Лт-1/(Лт-1 -Лт); (j=2,3,...х

Лт

w.

J-n

j, j- n

Лт- n-ЛТ

' Лт ^ 1+

ЛТ-1 у

Лт,.

w

-w.

J-1, J-n Л „- J-2J-n

Л T J-1

;(J = 3,4...; n = 2,3,...J -1).

(7)

Загальний pозв'язок piвнянь (б) запишемо чеpез функцп Макдональда к' (skJr ) n -го поpядку:

(8)

AJn = CJ; (SJ ) K; (sJr ) (8)

Розподш напpужень визначено за фоpмулами (1) вpахувавши виpази (3) -

аГг (t, r, e) = ¿¿ [[ (S1J )LV; (r )+C2n (S2 J )LV; (r )] cos ne,

n=1 V=1

а^ (t, r, e) = ¿¿[ (S1V )LVn (r )+CV; (S2V )L4 ; (r )] sin ;e,

n=1 v=1

aee(t,r,e) = ¿¿C(S1J)L5;(r) + Df (s,)%„(r)] cosлб,

(9)

ÀÀ L1n (r) = (À + K"n (S1 Jr) + rK'n (S1 Jr) - rVKn (S1 Jr)

L2n (r) = ~K'n (S2 Jr) - "t Kn (S2 Jr)

ÀÀ L3n (r) = (À + У; (S1 Jr) + -1; (S1 Jr) -"ГIn (S1 Jr)

À

L4n (r) = ]~In (S2Jr) - ^In (S2 Jr), L5n (r) = -

r r2 r

Kn (S2 J r) Kn (S2 J r)

1

2 к; (S1 / ) + 2 K; (S1 ^^r )

L6; (r )=- к; ( S2 Jr )

+ ■

rr Задачу pозв'язуeмо за нульових початкових

2

ur = dur/ dt = 0, ue = due/dt = 0

та наступних кpайових умов

arrL = р(e,t К a J _ = 0

(10)

Для pозв'язування задачi pозвинено ^икладене навантаження у pяд Фуp'e

2

r

Р(/, 0, а) = 2 Р„ (а, / )соб п0 (11)

п=0

Виходячи з крайових умов (10) та стввщношень (9), (11) отримано систему алгебра!чних рiвнянь для визначення С' ():

С 1п (81 / )Ц1п (а) + С2п (82/ ) Ц2п (а) = Рп

С{п (81 / )Ьзп (а)+ С'п (82 / )Цп (а)= 0 (12)

Розв'язавши цю систему, запишемо невiдомi коефiцiенти С' (8к/ ) наступним чином:

С/ („ ) = Р1Ц4п(а) С/ („ ) = -р1Ц3п(а) (13)

Чп ^) = Ц (а) Чп (82 /) = Ц (а) ' (13)

де

Цп (а) = Ц4п (а)Ц1п (а) - Ц2п (а)Ц3п (а)

Ц1п (г=а = Цп (а), Ц2п (г}г=а = Ц2п (а)>

Ц5п (г)|г = а = Ц3п (а), Ц6п (г}г=а = Ц4п (а)

/-1

рп = р3п ()-2 'рт.

т=1

Приклaденi на краю отвору розподшеш сили моделюемо трьома членами ряду Фур'е

Р(/, 0, а) = 2 Рп (а, /) соб п0 = р(1 - соб20), (14)

п=0

де його коефщенти матимуть вигляд:

р0(а,/) = р, р1(а,/) = 0,р2(а,/)=-р, рп(а,/)= 0, п = 3,4,...

(15)

Скориставшись спiввiдношеннями (9) розв'язано поставлену задачу за початкових та крайових умов (10), (11), (14). Знайдено сшввщношення для визначення розподiлу напружень для плоского елементу конструкци з коловим отвором у безрозмiрних величинах

р rr (t, r, e) =

n=0 v=1

L (-j - ) (L4j (-2v )L1j (-1v ,-1v ) - L3j (-1v )L2j (-2v , -2v )) lj (-1v , -2v )

W^Jv cos ne

P re(t.r,e) =

n=0 v=1

L ( F" - )(L4n (s2v)L3n (-1v ,-1v) L3n (-2v , -2v ))

Ln (-1v , -2v )

wnJv sin ne

Pee (t, r, e) p

œ J

n=0 v=1

L (-П - ) (L4n (-2v )L5j (-1v, ~1v )_ L3n (-1v )L6n (-2v , ~2v )) Ln (-1v , -2v )

wnJv sin jO

(16)

v-1

де p J" = pv (( WJmpm i коефщенти p"v (t ) (15) у безрозмiрному виглядi

m=1

будуть

pv(a,t)= 1, pv(a,t)= 0, pv(a,t)=-1, pjv(a,t)= 0, n = 3,4,...

а наступнi параметри прийматимуть значення

Ln (-1v , -2v ) = [[4n (-2v )L1n (-1v ) - L2n (-2v )L3n (-1v )]

-

L1n (-1v , -1v)= + 2)KJ (-1v )-1v 2 KJ (-1v ) "-1v - J 2—"V Kn (-1v ),

- a2

ц

ц

ц r

2n

L1n (-1v ) = L1n (-1v , -1v ^

-1v =-1v

L2n (-2v , -2v ) = 2i

Kn (-2v )-2v 2 Kn (-2v )

r r 2

L2j (-2v ) = L2j (-2v , -2v )|

L3n (-1v , -1v ) = 2n

-2v =-2v

--^ (~lv ) -lv + a2 KJ (~lv )

r r 2

L3n (-1v ) = L3n (-1v , -1v ^

-1v = -1v

(17)

L4n (*^2v , -2v ) = Kn (-2v )-2v + Kn (-2v )-2v n 2 ~2 Kn (-2v ),

2a

v 2 ^"-j '

r2

L4j(-2v) = L4j(-2v,-2v ^

-2v =-2v

r

L5n (1v , s1v)=~ K"n (~1v ) Sfv + (- + 2) - s1v K'n (~1v ) - n 2(- + 2) -2" Kn (~1v ) Ц 1v Ц Г Ц r

L5n (s1v ) = L5n (s1v , s1v |s

ls1v = s1v

_ " - 2 L6n (s2v, s2v) = 2n

2 Kn (s2v ) Kn (s2v ) s2v Г Г

Ln (s2v ) = Ц>п (s2v, s2v)L =s >K'n(skv) = Kn+1(skv ) + ^ Kn (skv\

2v 2v skv

K'n (skv ) = K'n kv I ~ =Skv

k;&)=—K^fo)+k;(5J--^-2-Kn (J, r;(skv) = Kn(kv)

n V Kv / ч

skv (skv)

sKv=skv

коли S1v = CtIC1 Alv , S2v = 1/Alv , ~1v = С2ГIa^v , S2v = г/a Alv ,

Axv = c2Atv /a.

Числов1 результати та висновки. За формулами(16), (17) проведено числовi розрахунки розподiлу напружень у нескiнченнiй пластиш з навантаженим динамiчними розподiленими зусиллями коловим отвором. На рисунку 2 приведено

графши залежностей концентрацп напружень Gqq (t, Г, 0)/p на краю отвору

j

(—Г =1) у точщ 0 = 0 вiд часу Тj =^Alv для розподiленого динамiчного

v=1

навантаження P(t, 0, a) = p(1 — cos 20) за рiзних значень коефщенпв Пуассона (v = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,49). У розрахунках використовувались вирази для С2 / С1 та X/ Ц через коефiцieнти Пуассона:

С2/С1 = [(1 — 2v)/(1 — v)]1/2/V2, х/ц = 2v/(1 — 2v). Видно, що значення

максимальних напружень СТ00 (t, Г, 0)/p суттево зростають (вiд 2,3 до 2,85) в

дiапазонi змiни коефiцiента Пуассона v вщ 0 до 0,49. Починаючи з Т j =9

концентращя колових напружень на краю отвору мало залежить вщ коефiцiента Пуассона, а отже числовий розв'язок динамiчноl задачi близький до статичного.

Рис.2 Залежшсть концентрат!" напружень аее /Р на краю колового отвору в1д часу для р1зних значень коефщкнпв Пуассона

Рис.3 Залежнкть концентрат! напружень аее /Р на краю колового отвору

ввд часу для р1зних значень кута е

На рисунку 3 приведет графши залежностi колових напружень на краю отвору вщ часу у рiзних його точках е для конкретного значення коефщента Пуассона (V = 0,3) .Вщзначимо, що як i у випадку осесиметричних задач [3-6] у початковий

момент часу спостер^аеться динамiчний ефект - стрибок напружень (рис.3), величина якого суттево залежить не тшьки вщ пуассошвських коефщенив, але i вiд самого розпод^ заданих динамiчних навантажень на краю колового отвору. Найбшьше значення цього стрибка спостер^аеться при 0 = П/2 (рис.3) i е близьким до нуля в точщ 0 = 0.

Л1тература

1. Frangi A. Elastodynamics by BEM: a new direct formulation // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1999.- 45.- Р. 721-740.

2. Саврук М.П. Новий метод розв'язування динамiчних задач теорп пружност та механiки руйнування // Фiз.-хiм. механiка матерiалiв. - 2003.-№4. -С.194-198.

3. Варивода Ю.Ю.,Онишко Л.Й., Сенюк М.М. Напружений стан цилiндричних порожнистих елементiв конструкцш харчово! та переробно! промисловостi за динамiчних навантажень. // Науковий вюник ЛНУВМБТ iм. С.З. Гжицького Том 10, №2 (37). Частина 5, 2008. - С. 27 - 34.

4. Варивода Ю.Ю.,Онишко Л.Й., Сенюк М.М. Розподш колових та радiальних напружень в порожнистому цилiндрi за iмпульсних навантажень на його поверхнях. // Науковий вшник ЛНУВМБТ iм. С.З. Гжицького Том 10, №3 (38). Частина 3, 2008. - С. 211-217.

5. Онишко Л.Й., Сенюк М. М. Напружений стан порожнистого двошарового цилшдра тд динамiчним навантаженням // Фiз.-хiм. мехашка матерiалiв. - 2009. - № 1. - С.55-61.

6. Варивода Ю.Ю., Онишко Л.Й., Сенюк М.М. Вплив на мщшсть цилiндричних елеменив конструкцiй прямокутних iмпульсних навантажень. // Науковий вкник ЛНУВМБТ iм. С.З. Гжицького Том.11, №.3 (42). Частина.3, 2009. - С.198-205.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.:Наука,1981. - 720с.

8. Гршченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. - Киев: Наук. Думка, 1981. - 284с.

Summary

Onyshko L. Yo., Varyvoda Yu. Yu., Ponomarenko O. M.

INVESTIGATION OF DYNAMIC STRESS CONCENTRATION AT THE CIRCULAR WHOLE BOUNDARY UNDER NONAXISYMMETRICAL LOADING

The plane elastic problem, about action of symmetrically located nonaxisymmetrical distributed loading at the circular whole boundary in unlimited plane is solved by the finite difference method with respect to the time variable and by the Fourier series with respect to the angular wariable. The distinction of modified finite difference method with respect to the time is the possibility of reducing of non-homogeneous differential equations to homogeneous ones. The stress concentration at the circular whole boundary subject to the time for different Poisson's ratios and load modeling by three terms of the Fouries series is analysed.

Рецензент - д.т.н., проф. Бшонога Ю.Л.