CC BY
78
Науковий вкник НЛТУ УкраТни Scientific Bulletin of UNFU
http://nv.nltu.edu.ua https://doi.org/10.15421/40280227 Article received 22.03.2018 р. Article accepted 29.03.2018 р.
УДК 536.24
ISSN 1994-7836 (print) ISSN 2519-2477 (online)
Ш
©
Eg] Correspondence author V. I. Havrysh gavryshvasyl@gmail.com
В. I. Гавриш1, В. Б. Ло1'к2, О. Д. Синельтков2, Т. В. Бойко2, Р. Р. Шкраб1
1 Нацюнальнийутверситет "Львiвська полтехтка", м. Львiв, Украта 2 Львiвський державний утверситет безпеки життeдiяльностi, м. Львiв, Украта
МАТЕМАТИЧН1 МОДЕЛ1 АНАЛ1ЗУ ТЕМПЕРАТУРНИХ РЕЖИМ1В У 3D СТРУКТУРАХ 13 ТОНКИМИ ЧУЖОР1ДНИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ
Нерiвномiрне на^вання - один iз факторiв, що спричиняють деформацп та напруження у пружних конструкщях. Якщо з тдвищенням температури нiщо не перешкоджае розширенню структури, то вона деформуватиметься i жодних напружень не виникатиме. Однак, якщо в конструкцп температура зростае нерiвномiрно i воно неоднорщне, то внаслiдок розширення формуються температурш напруження. Першим i незалежним кроком для дослщження температурних напружень е визна-чення температурного поля, що становить основну задачу анал^ично' теорп теплопровiдностi. В окремих випадках визна-чення температурних полiв е самостшною технiчною задачею, розв'язання яко'' допомагае визначити температурш напруження. Тому розроблено лшшш математичш моделi визначення температурних режимiв у 3D (просторових) середовищах iз локально зосередженими тонкими теплоактивними чужорщними включеннями. Класичнi методи не дають змоги розв'язува-ти крайовi задачi математично'' фiзики, що вщповщають таким моделям, у замкнутому виглядь З огляду на це описано спо-сiб, який полягае в тому, що теплофiзичнi параметри для неоднорщних середовищ описують за допомогою асиметричних одиничних функцiй як едине щле для вые'' системи. Внаслщок цього отримують одне диференщальне рiвняння теплопро-вiдностi з узагальненими похщними i крайовими умовами тшьки на межових поверхнях цих середовищ. У класичному ви-падку такий процес описують системою диференщальних рiвнянь теплопровiдностi для кожного з елеменив неоднорiдного середовища з умовами щеального теплового контакту на поверхнях спряження та крайовими умовами на межових поверхнях. Враховуючи зазначене вище, запропоновано споаб, який полягае в тому, що температуру, як функщю одше'' з просторових координат, на боковш поверхш включення апроксимовано кусково-лшшною функцiею. Це дало змогу застосувати ш-тегральне перетворення Фур'е до перетвореного диференщального рiвняння теплопровщност iз узагальненими похiдними та крайових умов. Внаслщок отримано аналiтичний розв'язок для визначення температурного поля в наведених просторових середовищах з внутршшм та нас^зним включеннями. 1з використанням отриманих аналтчних розв'язкiв крайових задач створено обчислювальш програми, що дають змогу отримати розподш температури та аналiзувати конструкцп щодо тер-мостшкость Як наслiдок, стае можливим п пiдвищити i цим самим захистити вiд перегрiвання, яке може спричинити руйну-вання як окремих елеменив, так i конструкцiй загалом.
Ключовi слова: теплопровiднiсть; температурне поле; внутршш джерела тепла.
Вступ. У сучаснш м1кроелектрошщ часто застосову-ють матер1али з чужорвдними теплоактивними включеннями. Шд час нагр1вання наявшсть включень призво-дить до виникнення неоднорвдного температурного поля, що спричиняе термофотопружний ефект, який полягае у появ1 двопроменезаломлення у структурах. Явище термофотопружного ефекту виявлено довол1 давно, але воно 1 доа е малодослщженим. Для вивчення цього яви-ща використовують в експериментах як значш температурш град1енти, так 1 абсолютш значення температури.
У сучаснш оптичнш техшщ важливими 1 критични-ми елементами, яш визначають ефектившсть 1 на-
дшшсть пристроИв, е селективш оптичш фшьтри, що грунтуються на неоднорщних структурах. З часом ви-моги до цих елеменпв зростають: йдеться про забезпе-чення максимально! селективносп й експлуатацшно! стшкосп, тобто про тдвищення якосп, мшггюризащю, здешевлення прилад1в. Тому розробляють нов1 структури штерференцшних фшьтр1в, а також алгоритми роз-рахунку структурних параметр1в. Важливим у цих роз-робках е встановлення зв'язку м1ж параметрами структурних елеменпв фшьтр1в та оптичними характеристиками. Одним 1з основних структурних параметр1в е температура, достов1рне визначення яко! розрахунковим
1нформащя про aBTopiB:
Гавриш Василь 1ванович, д-р техн. наук, професор кафедри программного забезпечення. Email: gavryshvasyl@gmail.com ЛоТк Василь Богданович, канд. техн. наук, доцент кафедри пожежноТ тактики та аваршно-рятувальних робгг. Email: v.loik1984@gmail.com
Синельнiков Олександр Дмитрович, канд. техн. наук, доцент кафедри пожежноТ тактики та аварШно-рятувальних робЬ.
Email: o.synelnikov@gmail.com Бойко Тарас Володимирович, канд. техн. наук, доцент, заступник начальника шституту. Email: boykotaras@gmail.com Шкраб Роман Романович, асистент кафедри программного забезпечення. Email: ikni.pz@gmail.com
Цитування за ДСТУ: Гавриш В. I., ЛоТк В. Б., Синельшков О. Д., Бойко Т. В., Шкраб Р. Р. Математичш моделi аналiзу температурних
режимiв у 3D структурах i3 тонкими чужорщними включеннями. Науковий вкник НЛТУ УкраТни. 2018, т. 28, № 2. С. 144-149. Citation APA: Havrysh, V. I., Loik, V. B., Synelnikov, O. D., Bojko, T. V., & Shkrab, R. R. (2018). Mathematical Models of the Analysis of Temperature Regimes in 3D Structures with Thin Foreign Inclusions. Scientific Bulletin of UNFU, 28(2), 144-149. https://doi.org/10.15421/40280227
шляхом вимагае розв'язування складних крайових задач теплопроввдносп, оск1льки експериментальнi досль дження е практично неможливими.
З огляду на це виникла потреба розробити матема-тичнi моделi визначення температурних полiв у просто-рових структурах iз чужорiдними тонкими включениями, яю дають змогу аналiзувати температурш режими як у всiй обласп системи, так i в обласп неоднорiдиостей.
Аналiз лiтературних джерел та формулювання проблеми. Визначення температурних режимiв як в од-норiдних, так i неоднорвдних конструкцiях привертае увагу багатьох дослщнишв (Carpinteri & Paggi, 2008; Yangian & Daihui, 2009; Podil'chuk, & Sokolovskii, 1991а, 1991Ь). У роботi (Ghannad & Yaghoobi, 2015) от-римано аналiтично-числовий розв'язок осесиметрично! задачi термопружиостi для товстостшного цилiндра за дп теплового потоку з довшьно заданими крайовими умовами. Отриманий розв'язок дае змогу проаналiзува-ти вплив теплових i мехашчних навантажень на термо-мехаиiчну поведшку цилiндра.
Розв'язано одновимiрну стацiонарну температурну та механiчну задачi i наведено сшвввдношення для визначення теплових i мехаиiчних навантажень у порож-нистiй товстостiннiй сферi. Розподiл температури зоб-ражено функцiею вiд ращально! координати для зада-них загальних теплових i мехаиiчних крайових умов на внутршнш i зовнiшнiй поверхнях сфери (Jabbari, rampour & Eslami, 2011).
У роботi (Bayat, Moosavi & Bayat, 2015) розв'язано нестацiонарну задачу теплопровiдностi та термопруж-ностi для функцiонально-градiентних товстостiнних сфер. Теплофiзичнi i термопружнi параметри матерь алiв, за винятком коефiцiента Пуассона, е довшьними функцiями радiально! координати.
Розглянуто осесиметричну стацiонарну задачу теп-лопроввдносп i термопружностi для порожнистих фун-кцiонально-градiентних сфер вiдносно джерела тепла. Отримано розв'язки у виглядi функцiй вiд просторових координат для температури, компонент вектора перемь щень i тензора напружень iз використанням крайових умов за радiальною та кутовою координатами (Mohaz-zab & Jabbari, 2011).
Розроблено методи розв'язування лiнiйних крайових задач теплопровiдностi для однорщних та шаруватих 2D середовищ iз теплоактивними включеннями. Наведено низку побудованих математичних моделей визна-чення температурних полiв у таких середовищах. Зап-ропоновано способи лшеаризацп нелшшних крайових задач теплопроввдносп у термочутливих кусково-одно-рiдних середовищах та наведено математичш моделi аналiзу температурних режимiв для лiнiйно змiнного коефiцiента теплопроввдносп вiд температури у цих системах (Gavrysh & Fedasjuk, 2012).
Подано математичну модель визначення температурного поля, зумовленого тепловим потоком, у термо-чутливому 2D середовищi з наскрiзним включенням (Havrysh, 2017).
Огляд основних лггературних джерел показав, що малодослвдженими та не розробленими залишилися модели як1 враховували б структуру конструкцш з тонкими включеннями. Осшльки конструкцп пiддаються тем-пературним впливам, то у певних iнтервалах температур стае ввдчутним вплив неоднорщностей щодо тер-мостiйкостi. Це приводить до розроблення математич-
них моделей процесу теплопроввдносп та аналiзу цих моделей для просторових середовищ i3 чужорщними теплоактивними включениями. Розрахунки температурних полiв у таких системах використовують у подаль-шому для проектування складних систем i3 метою тер-мостiйкостi. Точнiсть цих розрахуншв впливатиме на ефективнiсть методiв, яш використовують у процесi проектування.
Мета i завдання досл1дження. Метою роботи е створення математичних моделей визначення темпера-турних режимiв у просторовому середовищi i3 тонкими включеннями, в обласп яких зосереджеш внутрiшнi джерела тепла. Це дасть змогу тдвищити точшсть визначення температурних полiв у складних системах i ефективнiсть методiв проектування.
Для досягнення поставлено! мети сформульовано такi задачi:
• отримати вихщне р1вняння теплопровщност 3i сингулярными коефщентами з крайовими умовами та його аналтч-ний розв'язок для конструкцй "шар-тонке включення". Цей розв'язок дае змогу розробити алгоритм i розрахункову програму для визначення температурного поля в довшьшй точщ ще! конструкци";
• отримати вихщне рiвняння теплопровiдностi зi сингулярни-ми коефщентами з крайовими умовами та його аналтч-ний розв'язок для конструкцй "шар-тонке нас^зне включення". Цей розв'язок дае змогу розробити алгоритм i роз-рахункову програму для визначення температурного поля в довшьшй точщ ще!' конструкцй.
Результата досл1дження процесу теплопроввднос-Ti для кусково-однорiдних середовищ. Сформулюемо крайовi задачi теплопроввдносп та наведемо методику розв'язування для просторових середовищ, що мютять тони включення, в обласп яких дiють рiвномiрно роз-подiлеиi виутрiшиi джерела тепла.
Об'ект досл1дження та математична модель. Роз-глянемо просторове середовище, описане iзотропним шаром, який мiстить паралелетпедне включення з об'емом V0 = 8hbd, в областi Q0 якого дшть рiвиомiрио розподiлеиi виутрiшиi джерела тепла з потужшстю q0 = const. Наведену коиструкцiю вiднесеио до декартово! прямокутно! системи координат (x, y, z) iз початком в цеитрi включення. На поверхиi включення юнують умови iдеальиого теплового контакту, а на межових поверхнях шару Kb, Kn задано умови конвективного теп-лообмiиу iз зовшшшм середовищем зi сталою температурою 1С = const (рис. 1).
Припустимо, що чужорiдие включення е тонким. Для визначення температурного поля t(x, y, z) у наведе-ному неоднорвдному середовищi скористаемось рiвнян-ням теплопровiдиостi (Podstrigach, Lomakin & Koljano, 1984; Koljano, 1992)
div |Л( x, y, z) gradß(x, y, z)] = -Q (x, y, z), (1)
де: M(x, y, z) = Л1 + A0N (z, d)S(x, y) (2)
- коефiцieнт теплопровiдностi неоднорiдного шару; Л0 = 4hbM - зведений коефщент теплопровiдностi включения; Л0,Л1 - коефщенти теплопровiдностi мате-рiалiв включения i шару вщповвдио; N(z, d) = S_(z + d) - S+(z - d) ; Q(x, y, z) = Q0N(z, d)S(x, y) ; Q0 = 4hbg0 - зведена потужнiсть внутрiшнiх джерел тепла; S(x,y) - дельта-функщя Дiрака (Korn & Korn, 1977);
[1, Z > 0,
0(x, y, z) = t(x, y, z) - tc; S±(Z) = 10,5 + 0,5, Z = 0, асимет-
[o, z < 0.
ричш одиничнi функцп (Korn & Korn, 1977). Крайовi умови запишемо у виглядi
, дв Ля —
dz
дв
, Л-Г
z= d+ib dz
= а„в
= _d _l.
(3)
де S±(Z) =
dS±(Q dZ
- асиметричш дельта-функцп Дiрака.
(6)
Пiдставивши вирази (5) у спiввiдиошения (4), при-ходимо до диференцiального рiвияния з частинними похщними iз розривними та сингулярними коефщента-ми
AT = Л0 {в(0,0, z) [S/(*, y) + Sy"(x, y)] N(z, d) +
+[в(0,0, _d)S_'(z + d) _ в(0,0, d)S+'(z _ d)] S(x,y)} _ Q(x,y, z).
де A - оператор Лапласа в декартовш прямокутнiй сис-
д д2 д2 д2 темi координат, A = —- +—- + —-.
дx2 дy2 д22
Аналiтично-числовий розв'язок. Апроксимуемо функцiю в(0,0, z) у виглядi (рис. 2)
в/аил
/ ß, / / { Ö„
¡4. f
-i..... 1 ____
——:-------1......в, f Z
-ü z. j. 0 г. - d
Рис. 2. Апроксимащя функци 0(0,0, z)
в(0,0, z) = ß + 2 в+1 _ ej)S_(z _ zj) ,
j=1
(7)
де zj e]-d; d[, _ d<z1 < z2 < ... < zn-1 < d; ßj(j = 1,n) - невь
домi апроксимацшш значения.
Пiдставивши вираз (7) у рiвняння (6), отримаемо
AT = Лг
ßN(z, d) +2 (ej+i - ej)N(z, z j, d)
j=1
S'(x, y) + Sy''(x, y)] +
(8)
+ [в(0,0, -dS'(z + d) - в(0,0, d)S+' (z - d)] S(x, y)} - Q(x, y, z), де N(z, zj, d) = S-(z - zj) - S+(z - d).
Застосувавши iнтегральне перетворення Фур'е за координатами x та y до рiвняння (8) та умов (3) iз ураху-ваниям спiввiдиошения (4), приходимо до звичайного диференцiального рiвияния зi сталими коефщентами
= -аьв
z=d+lb
в[ =в\\ = 0. llxl ^да llyl ^да
де ab, an - коефщенти тепловiддачi з крав Kb, Kn шару ввдповвдио.
Введемо функцiю
T = M(x, y, z)e(x, y, z) (4)
i продиференцшемо ll' за змiнними x,y, z iз урахуван-иям опису коефiцiента теплопроввдиосп Л(x, y, z) (2). Тодi отримаемо:
дв дТ
Л(x, y, z)— =--Л0в(0,0, z)N(z, d)Sx(x, y),
дx bx дв дТ
Mx y, z)— =--Л0в(0,0, z)N(z, d)Sy(x, y), (5)
by дy
дв дТ
Mx y, z)— =--Л0 [в(0,0, -d)S-(z + d) - в(0,0, d)S+(z - d)] S(x,y),
дz дz
-y2T =— {в(0,0, -d)S-(z + d) - в(0,0, d)S+(z - d) -dz2 2n
-y2 [ßN(z, d) + 2 (ßj+1 - ej)N(z, zj, d)
j=1
i крайових умов
dT_ dz
z=d+lb
Olf Л
z=d+lb
да
df dz
- Qn N(z, d) 2n
_ an T
=—d -i.
Л1
(9)
(10)
де T(%,-q, z) = — J ei^xdx J T(x, y, z)enydy;y2 =^2 +ц2.
2П -да -да
Загальний розв'язок рiвияния (9) матиме вигляд:
Т(4,П, z) = c1eyz + c2e-Yz +
+2-{Л0 [ß(0,0, -d)chy(z + d)S-(z + d) --ß(0,0, d)chy(z - d)S+(z - d) + ßF(y, z) + n-1 Q0
(11)
+ 2(ßj+1 -ßjW(r,z,zj)] f(y,z) \
j=1 Y2
де: c1, c2 - сталi iитегрувания;
F(y, z) = N(z, d) - chy(z + d)S-(z + d) + chy(z - d)S+(z - d); F(y, z, zj) = N(z, zj,d) - chy(z - zj)S-(z - zj) + chy(z - d)S+(z - d).
Використавши крайовi умови (10) для визначения сталих iнтегрувания c1, c2, отримаемо частковий розв'язок задачi (9), (10)
в(0,0,d)\ ^^F4(y,z) -A*
т (4,п, z) =
-chy(z - d)S+(z - d)) + ß(0,0, -d) \chy(z + d)S-(z + d) -
- ^ F6 (у, г )] + ß1(F(y, z) + ^ Fy z) ] +
+21 (ßj+1 - ßj)[f(Y,z,zj) + ^FYF6(y,z)
(12)
Q0
FY)+2Ш Fy z)
y A*
де:
A* Jy + an\\y+ai\eY(2d+lb +ln) - \ y — aL}lУ — al | e-y(2d+lb+ln).
Л л Л
у-ЛЛ Jly-Л1,1 e
F1(y) = yshylb +—chylb; F2(y) = yshy(2d + lb) +—chy(2d +1 Л1 Л1
F)(y) = y(shy(2d + lb) - shylb) +ab (chy(2d + lb) - chylb);
Л1
n-1
n-1
d-l
z
да
+
y
Ft(Y) = r(shr(d + lb - z) - shylb) +a (chy(d + lb - z,) - chylb);
A
F5(y) = —; FY, z) = ychy(z + d + 4) + d + y.
Y A
Перейшовши у спiввiдношеннi (12) до орипналу, знаходимо вираз для шукано! температури
1 да I
T(x,y,z) = —- J J■! cos£,xcosny
•d^dr).
+©5
®1 = 0(00,00,d)I F6(y,z) - chy(z - d)S+(z - d)
©2 = 0(0,0, -d) | chY(z + d)S-(z + d) - 2F^(y) Fs(y, z)
©3 = 0\ F(y, z) + ^^F6(Y, z)
(13)
©4 = Z(0/+1 - 0j) f F(Y, z, zj) + -FY F6(Y, z)
А*
©5
Q0 i F(y, z) , 2F5(y)
+
-F6(y, z)
1 да 0/ -nA/J
Л° (0(0,0, d)-FY F6(y, zj-i) + 0(0,0, -d) • А*
chY(z/-1 + d) - ^ F6(Y, z/-1) | + 01 F(y, z/-1) + F6(Y, z/-1) | +
+ £ (0/+1 - 0/) I F(Y, z/-1, z/) + ■2FY F6(y, z/-1) j=1
А*
d^dn =
= "—iJ1I+ ~~YYF6(Y,z/-1) |d^ = 1n,z0 = -d;
n A0 0 Yf Y
1 CO
0(0,0, d) ——JJ n2A> 0
А*
Л0 (0(0,0, d)2А^ f6(y, d) + 0(0,0, -d)
А*
ch2J;d -F6(Y,d) | +0 (f(y,d) + F6(Y,d) | +
n-1
+ £ (0/+1 -0j)
j=1
F(Y, d, zj) + ^^ F6(Y, d)
А*
d^dr =
JJY
nA0 0 Yf Y
Q0 r7 11 F(Y, d) , 2F5(Y)
А*
F6(Y, d) | d^d);
1 да
0(0,0, -d) —1"JJ
x2A>-
Л0 (0(0,0, -d)2^ F6( Y, -d) +
v А*
+0(0,0, -d) | 1 - ^^ F6(Y, -d) 1+011 F(y, -d) + F6(Y, -d) | +
А*
А*
+ Z(0j+1 - 0j) (F(Y, -d, zj) + ^АМ F6(Y, -d)
А*
d^dr =
_JQ^jJI IFY) + f6(y,-d) |d{dr. 0 Y f Y
включення з об'емом V0 = 8hbd, в обласп Q0 якого дiють рiвномiрно розподiленi внутрiшнi джерела тепла з по-тужнiстю q0 = const. Наведену конструкцiю ввднесено до декартово! прямокутно! системи координат (x, y, z) iз початком в цен^ включення. На поверхнi включення кнують умови iдеального теплового контакту, а на межових поверхнях шару Kb, Kn задано крайовi умови другого роду (рис. 3).
Y f Y А*
Невiдомi апроксимацiйнi значення температури 0j (j = 1, n) та величину 0(0,0, ±d) знаходимо, розв'язу-ючи систему n + 2 лшшних алгебра!чних рiвнянь, отри-ману iз виразу (13), у такому виглядг
Рис. 3. 1зотропний шар iз тонким наскрiзним включениям
Для визначення температурного поля г(х, у, z) у наве-дешй систем! скористаемось рiвияииям теплопровщ-носп (Podstrigach, Lomakin & КоЦапо, 1984; КоЦапо, 1992)
diVLl(x, y)gradв(x, у, z)] = -О(х, у), (14)
де: Л(х, у) = Яц + Ао^(х, у) (15)
- коефщент теплопров!дност! неоднор!дного шару; Л0 = ^Ь^о - зведений коефщент теплопровадносп включення; О(х, у) = О0З(х,у).
Крайов! умови запишемо у вигляд! дв
dz
= 0, 0\. =0 = 0.
(16)
Продиференцiюeмо функцiю (4) за змiнними x,y, z iз урахуванням опису коефiцieнта теплопровiдностi A(x, y) (15). Тодi отримаемо:
d0 dT
Ax,y)— = — - Л00(0,0, z)SX(x,y), dx dx
,30 dT
d0 dT
(17)
A(x,y)— =--Л00(0,0, z)Sy(x,y), X(x,y)— = —
dy dy dz dz
Пiдставивши вирази (17) у сшввщношення (14), приходимо до диференщального рiвняння з частинними похщними з сингулярними коефiцiентами
АT - Л0 0(0,0,z)[¿Kx,y) + fyx,y)] = -Q(x,y). (18) Аналiтично-числовий розв'язок. Апроксимуемо функцiю 0(0,0, z) у виглядi (див. рис. 2)
0(0,0, z) = 01 + £ (0j+1 - 0j)S-(z - zj),
j=1
(19)
А»
Отже, шукане температурне поле у наведенш систем! описуе формула (13), з яко' дктаемо значення температури в довшьнш точц! шару та чужор!дного тонкого включення.
Шар iз тонким наскрiзним включенням
Об'ект досл1дження та математична модель. Роз-глянемо просторове середовище, описане !зотропним шаром, який мктить паралелеп!педне тонке наскр!зне
де zj e]-d;d[, - d<z1 < z2 < ... < zn-1 < d; 0j(j = 1,n) - невь
домi апроксимацiйнi значення.
Поставивши вираз (19) у рiвняння (18), отримаемо
АГ =Л
01 + £(0j+1 -0j)S-(z - zj)
j=1
\8xx y)+sy(x, y)]-Qx y). (20)
Застосувавши iнтегральне перетворення Фур'е за координатами x та y до рiвняння (20) та крайових умов (16) iз урахуванням сшввщношення (4), приходимо до
4
i=1
0
0
d
z
0
n-1
n-1
звичайного диференщального рiвияиия зi сталими ко-
ефiцiеитами
d2T - 1 , n-1
-Y2T = -—{Лог2 [61 +2 J -0j)S-(z - Zj)] +Qo} (21)
2ж
. „ dT
i краиових умов —
dz
J=1
= 0.
(22)
Загальний розв'язок рiвияиия (21) матиме вигляд:
T = ceYZ + c2e~Yz + —Л0[61 + 2 (вj+1 - 6j) ■ 2n! j=1
■ (1 - chy(z - ZJ))S-(Z - zj)] +Y0
(23)
Використавши крайову умову (22), отримаемо час-тковий розв'язок задачi (21), (22)
T z) = - -]Л0 ж
1 shyd . — + -7 shyz 1 +
2 sh2yd
1
+— 2
2(вJ+1 -6j )l(1 - chy(z - zj)) S-(z - zj) + (24)
V J=1 V
+ shy(d-zj) chyz sh2yd
Перейшовши у спiввiдиошеииi (24) до орипналу, знаходимо вираз для шукано! температури
2 да _
T(x, y, z) = —JJ cos^x cosnyT (£,ц, z)d^dq. (25)
ж 0
Невiдомi апроксимацшш значення температури 6j (j = 1, n) знаходимо, розв'язуючи систему n лшшних алгебрачних рiвияиь, отриману iз виразу (25) у виглядi
в- П Ji
I!1 +4Y1sl,rz,-1 |+ 2 2(6,1 -6j )■
2 sh2yd
■J=1
■!1 +
shy(d - zj) sh2yd
chyz
J-1
Q0 ff d^dn ,
d^dn J J-z0 = -d-
0 Y
Отже, шукане температурне поле в неоднорiдиому шарi описуе формула (25), з яко! дiстаемо значення температури в довшьнш точцi шару та чужорщного вклю-чення.
Обговорення результат досл1джень математич-них моделей визначення температурних режимпв. У
процесi розроблення та дослiджения лшшно! та нель ншно! математичних моделей визначення температурного поля для конструкцш, яш геометрично описано наведеними 3D структурами з теплоактивними вклю-ченнями, виявлено, що хоча чужорiдне включення е ма-лим, зате врахування його конструкцшного матерiалу е важливим, про що стверджують числовi розрахунки. Усереднення значень коефiцiента теплопровiдиостi для матерiалiв шару та включення приводить до значно! по-хибки результатiв обчислень температурного поля. Тому у таких дослвдженнях важливим е врахування ло-кальних неоднорiдиостей, як1 мютять подiбнi структу-ри. Це значно ускладнюе розв'язування вiдповiдних ль ншно! та ^лийно! крайових задач, зате розв'язки цих задач адекватнiше до реального процесу описують шу-каш результати.
Висновки
1. Розроблено математичну модель визначення температурного поля у просторовому середовищi з теплоактив-ним включенням. Отриманий аиалiтичииИ розв'язок дае змогу визначити розподiл температури в конструк-цii "шар-включення" i на основi цього аналiзувати тем-пературнi режими у просторових середовищах, якi геометрично можна описати такою конструкщею.
2. Розроблено нелшшну математичну модель визначення температурного поля в термочутливому просторовому середовищi з включенням. Застосовано перетворення Юрхгофа, яке дало змогу лшеаризувати вихiдну нель нiИну крайову задачу теплопровiдностi. Для заданих залежностей коефiцiента теплопровiдностi вщ температури матерiалiв конструкцii отримано розрахунковi формули для визначення температурного поля. Вони дають змогу аналiзувати температурш режими у тер-мочутливих 3D середовищах, якi мають геометричну форму "шар-включення".
Перелiк використаних джерел
Bayat, A., Moosavi, H., & Bayat, Y. (2015). Thermo-mechanical analysis of functionally graded thick spheres with linearly time-dependent temperature. Scientia Iranica, 22(5), 1801-1812.
Carpinteri, A., & Paggi, M. (2008). Thermoelastic mismatch in non-homogeneous beams J. Eng. Math., 61(2-4), 371-384. https://doi.org/10.1007/s10665-008-9212-8
Gavrysh, V. I., & Fedasjuk, D. V. (2012). Modeljuvannja tempera-turnyh rezhymiv u kuskovo — odnoridnyh strukturah. Lviv: V-vo Nac. un-tu "Lvivs'ka politehnika", 176 p. [in Ukrainian].
Ghannad, M., & Yaghoobi, M. P. (2015). A thermoelasticity solution for thick cylinders subjected to thermo-mechanical loads under various boundary conditions. Int. Journal of Advanced Design & Manufacturing Technology, 8(4), 1-12.
Havrysh, V. I. (2017). Investigation of temperature fields in a heat-sensitive layer with through inclusion. Materials Science, 52(4), 514-521.
Jabbari, M., Karampour, S., & Eslami, M. R. (2011). Radially symmetric steady state thermal and mechanical stresses of a poro FGM hollow sphere. International Scholarly Research Network ISRN Mechanical Engineering, 1—7.
https://doi.org/10.5402/2011/305402
Koljano, Ju. M. (1992). Metody teploprovodnosti i termouprugosti ne-odnorodnogo tela. Kyiv: Naukova dumka. 280 p. [in Russian].
Korn, G., & Korn, T. (1977). Spravochnik po matematike dlja na-uchnyh rabotnikov i inzhenerov. Moscow: Nauka. 720 p. [in Russian].
Mohazzab, A. H., & Jabbari, M. (2011). Two-Dimensional Stresses in a Hollow FG Sphere with Heat Source. Advanced Materials Research, 264-265, 700-705. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/amr.264-265.700
Podstrigach, Ja. S., Lomakin, V. A., & Koljano, Ju. M. (1984). Termo-uprugost' tel neodnorodnoj struktury. Moscow: Nauka. 368 p. [in Russian].
Podil'chuk, Yu. N., & Sokolovskii, Ya. I. (1991a). Stress state of a transversely isotropic medium with an anisotropic spheroidal inclusion. Arbitrary uniform stress field at infinity. Soviet Applied Mechanics and International Applied Mechanics, 27(6), 551-558.
Podil'chuk, Yu. N., & Sokolovskii, Ya. I. (1991b). Stress state of a transversely isotropic medium with an anisotropic inclusion. Arbitrary linear force field at infinity. Soviet Applied Mechanics and International Applied Mechanics, 27(7), 644-653.
Yangian, Xu, & Daihui, Tu. (2009). Analysis of steady thermal stress in a ZrO2/FGM/Ti-6Al-4V composite ECBF plate with temperature-dependent material properties by NFEM. WASE Int. Conf. on Informa. Eng., 2-2, 433-436.
d
z
n-1
( n-1
0
В. И. Гаврыш1, В. Б. Лоик2, А. Д. Синельников2, Т. В. Бойко2, Р. Р. Шкраб1
1 Национальный университет "Львовская политехника", г. Львов, Украина 2 Львовский государственный университет безопасности жизнедеятельности, г. Львов, Украина
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИЗА ТЕМПЕРАТУРНЫХ РЕЖИМОВ В 3D СТРУКТУРАХ С ТОНКИМИ ИНОРОДНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Неравномерный нагрев - один из факторов, который вызывает деформации и напряжения в упругих конструкциях. Если с повышением температуры ничто не препятствует расширению структуры, то она деформируется и никаких напряжений не возникает. Однако, если в конструкции температура возрастает неравномерно и она неоднородная, то в результате расширения формируются температурные напряжения. Первым и независимым шагом для исследования температурных напряжений есть определение температурного поля, что составляет основную задачу аналитической теории теплопроводности. В отдельных случаях определение температурных полей является самостоятельной технической задачей, решение которой помогает определить температурные напряжения. Поэтому разработаны линейные математические модели определения температурных режимов в 3D (пространственных) средах с локально сосредоточенными тонкими теплоактивными инородными включениями. Классические методы не дают возможности решать граничные задачи математической физики, которые соответствуют таким моделям, в замкнутом виде. В связи с этим описано способ, который состоит в том, что теплофизические параметры для неоднородных сред описывают с помощью асимметрических единичных функций как единое целое для всей системы. В результате этого получают одно дифференциальное уравнение теплопроводности с обобщенными производными и граничными условиями только на граничных поверхностях этих сред. В классическом случае такой процесс описывают системой дифференциальных уравнений теплопроводности для каждого из элементов неоднородной среды с условиями идеального теплового контакта на поверхностях сопряжения и граничными условиями на граничных поверхностях. Учтя изложенное выше предложен способ, который состоит в том, что температура, как функция одной из пространственных координат, на боковой поверхности включения аппроксимирована кусочно-линейной функцией. Это дало возможность применить интегральное преобразование Фурье к преобразованному уравнению теплопроводности с обобщенными производными и граничным условиям. У результате получено аналитическое решение для определения температурного поля в рассматриваемых пространственных средах с внутренним и сквозным включениями. С применением полученных аналитических решений граничных задач созданы вычислительные программы, которые дают возможность получить распределение температуры и анализировать конструкции на термопрочность. В следствии стает возможным ее повысить и тем самым защитить от перегрева, которое может вызвать разрушение как отдельных элементов, так и конструкций в целом.
Ключевые слова: теплопроводность; температурное поле; внутренние источники тепла.
V. I. Havrysh1, V. B. Loik2, O. D. Synelnikov2, T. V. Bojko2, R. R. Shkrab1
1 Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine 2 Lviv State University of Life Safety, Lviv, Ukraine
MATHEMATICAL MODELS OF THE ANALYSIS OF TEMPERATURE REGIMES IN 3D STRUCTURES WITH THIN FOREIGN INCLUSIONS
Uneven heating is one of the factors that cause deformation and stress in elastic structures. If nothing prevents the expansion of the structure with increasing temperature, it will deform and no tensions will arise. However, if the temperature increases unevenly and it is heterogeneous in a construction, then due to the expansion, the temperature stresses are formed. The first and independent step to study the temperature stress is to determine the temperature field, which is the main task of the analytical theory of thermal conductivity. In some cases, the determination of temperature fields is an independent technical problem; its solution helps to determine the temperature stresses. Therefore, linear mathematical models for determining the temperature regimes in 3D (spatial) environments with locally concentrated thin, thermal active alien inclusions are developed. Classical methods do not allow solving the boundary value problems of mathematical physics corresponding to such models, in the closed form. Concerning the above work, a method is described that the thermophysical parameters for inhomogeneous media are described with the help of asymmetric unit functions as a single whole for the whole system. As a result, one differential equation of heat conduction with generalized derivatives and boundary conditions is obtained only on the boundary surfaces of these media. In the classical case, such a process is described by a system of differential heat equations for each element of an inhomogeneous medium with conditions of ideal thermal contact on the surfaces of conjugation and boundary conditions on boundary surfaces. Considering mentioned above, the authors present a method that the temperature, as a function of one of the spatial coordinates, is approximated by the piecewise linear function on the lateral surface of the inclusion. This enables applying the Fourier integral transformation to a transformed differential heat equation with generalized derivatives and boundary conditions. As a result, an analytical solution was obtained for determining the temperature field in the above spatial media with internal and transient inclusions. Using the obtained analytical solutions of boundary value problems, computational programs have been created that allow obtaining temperature distribution and analyse constructions concerning thermal stability. As a result, it becomes possible to increase it and thereby protect from overheating, which can cause the destruction of both individual elements and structures in general.
Keywords: thermal conductivity; temperature field; internal heat sources.
