CC BY
32
Кудряшова Н.Ю. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ, СОДЕРЖАЩИХ КОМПЛЕКСНО СОПРЯЖЕННЫЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ
При решении многих задач теории упругости, физики, аэродинамики, гравиметрии, теории оболочек, электродинамики и др. приходится сталкиваться с сингулярными интегральными уравнениями (СИУ). В связи с тем, что точные решения известны только для очень немногих классов СИУ, возникает необходимость в разработке численных методов решения СИУ. Приближенным методам вычисления сингулярных интегралов и решения СИУ посвящены многочисленные работы, среди которых в первую очередь следует указать монографии [1,2,3,4]. Фундаментальный вклад в становление и развитие приближенных методов решения СИУ внесли такие ученые как Белоцерковский С.М., Бойков И.В., Гохберг И.Ц., Иванов В.В., Лаврентьев М.А., Лаврентьев М.М, Лифанов И.К. и многие другие.
Рассмотрим СИУ
а (і ) х(і )+а ()х (і)+Г ііт+Г $т+
7ТЇ •'Г- І 7ГІ •'Г- І
У У (1) +Гкх (і, г)х(г)(Яг +Гк2 (і, г)х (г)(Яг = /(і),і є у,
где функции а(І) — Ъ2р(1), р = 1,2, могут обращаться в нуль на множествах с мерой большей нуля, у -единичная окружность с центром в начале координат на комплексной плоскости. Будем предполагать, что а (і), а (0>Ъ (0,Ъ2 (і), х(і), х (і) є На . Перейдем сначала с помощью преобразования Гильберта [ ] от уравнения (1) к следующему уравнению
• 1 / ІВ ч 2л _
а(є1-)х(є1-) + а2(є1-)х(е—-) — Г х(еШ)Ща—-йа —
2л 0 2
— | х{є-*)сі80—±іа + + ^ | х(єіа)іа +Ъ^|хЬ^а + (2)
2п 0 2 2п 0 2п 0
2х 2х
+І Г Ь(є1 ,є1а)х(є'а)іа + 1 Г й2(є1 ,є'а)х(е—а)іа = /(є1 ),0 < 5 < 2л.
0 0
Введем обозначения ар (є1-) = ар1(-') + шр2(-), Ър (є1- ) = ЪрЛ-)+1Ър2(-Х Ьр(е'\е'а) = Ьр^а')+Мр^аі р=1,2,
х(є1- ) = X (-) + 1x2 (-), х(є~ 15 ) = Х^ (— — ІХ2 (5) .
Приравнивая отдельно действительные и мнимые части в уравнении (2) и вводя обозначения А11(-) = аП(-) + а21(-) А12(з) = а22(-) — а12(-\ А21(з) = а12(-) + a22(-), А22(з) = аП(-) — а21(-) В11(-) = Ъ12(-) +
В12(-) = Ъ11(-) — Ъ21(-) В21 (-) = —Ъ11(-) — Ъ21(5Х В22(-) = Ъ12(-) —
Н \(-,а) = Ъ>11^-') + Ии (я,а) + Ьі (я,а), Н12 (я,а) = ^21^) + Ь22 (-, а) — Ь12 (я,а),
2х 2х
Н21 (-, а) = Ъи(-) + Ь2 (я,а) + Ь2 (-,а), Н22 (я,а) = — Ъ'22(- ) + ки (я,а) — ^ (э,а).
2х 2х
получим систему уравнений следующего вида
, 2я
А11(з)х1(з) + А12(з)х2(з) + Г Х1(а)сІ8 а +
2Х І 2 г> / \2л 2л 2л
В12 (в) р ( л а — в
+—12(-) Г х (а)^-аа+ Г Нп (в,а)х (а)іа + | Н12 (в,а)х2 (а)іа = Л (я),
2л 0 2 0 0
..... . , , , , В21(-)2^ а — - (3)
А2і(-)х1(-) + А22(-)х2(-)— І хі(а)с^——аа +
2л і 2
+ В22І-) Г (а)^а—-іа+ ГН21 (-,а)х(а)іа+ Г Н22(-,а)х2(а)іа =
2л * 2^ ^
2л 0 0 0
= /іі-), 0 < - < 2л.
Построим вычислительную схему для приближенного решения системы (3).
Выберем две системы узлов
лк * лк 7 _ 7 л 1 _
-к =—, -к =---------+ Ь, 0 < Ь <—, к = 0,...,п.
п п 2п
Решение будем искать в виде полиномов
2 п—1
хПр)(-) = 2 акр)^к (-)> р=1,2 к=0
где
І0, - = -*, і ф к,
¥к (-) = \ ■’ . .
[ I - = -к
2л
Для сингулярного интеграла ! x(а)cІg-1іа построим две квадратурных формулы
^ 2
0 2
(4)
к=0, к —1,]+1
2- 2 n-1 ^+1 sJ+2
J x(—)ctg ——sd-= 2 x(s*) J ctg ——sd- + x(s*) J ctg ——sd-+ R(('}. (5)
0 2 к=0, о, 2 о., 2
0 tej-lJJ+l Sk j
Заменим первый сингулярный интеграл в первом уравнении и второй сингулярный интеграл во втором уравнении системы (3) квадратурной формулой (4), а второй сингулярный интеграл в первом уравнении и первый сингулярный интеграл во втором уравнении той же системы по квадратурной формуле (5). Регулярные интегралы заменим квадратурной формулой прямоугольников. К системе (3) применим метод
коллокации по узлам зк, к = 0,...,2п — 1. Получим систему уравнений
2 Al p (s]) xp (sJ)+
-n(sj) 2p
p=l
2-
к=0, к *j-\J+1
Ч-V * С — — s i 2 Фк) J ctg-^-Ld— +
-l2(sj)
2n
^ / ‘/T — — J+2 — — s j
2 x2(sk) J ctg~~d— + X2(Sj) J ctg—~d—
к=0, si s • і
hjljj+l к j
+-2 2 hi p (sJ, sk )xp(sk)=fl(sJ ъ
p=1 к=0
(б)
Л . —i (s ,)
2 A2 p (sj ) xp (sj ) +
sj+2
2 xO*) J ctg —d —+xl(sj) J ctg —d—
к=0, к J \JJ+1
sj-1
-„ (sп ) 2n-1 , у ——sп
2 X2(sk) J ctg —TLd— +
2-
к=0, к *j-l,j+1
+-2 2 н2 р (з] , зк )хр (4)=ло] х ] = 0,...,2п—\. п р=1 к=0
Пользуясь теоремой Адамара [6], нетрудно убедиться, что выбором параметра h можно добиться того, чтобы система (6) была однозначно разрешима.
Справедливы оценки погрешности квадратурных формул (4) и (5):
R(2) <— in n.
' ' na
K1 < -a ^ n,
n
Пусть уравнение (1) при правой части f(t) имеет единственное решение x = xx + ix2 є Ha ,0 <a< 1.
п 1-2
Обозначим единственное решение системы (б) xn =xn + ixn . Обозначим через Kn оператор, описываемый системой уравнений (б) в пространстве R2n, а через K оператор, описываемый уравнением (1). Обозначим через Pn оператор, проектирующий пространство X = Нр (0 <p<a) на интерполяционные
многочлены по узлам s , к = 0,...,2n — 1. Тогда
ж Ж 1 Ж Ж 1 sk 1 sk ж
Xn — PnX = K-\Kn (Xn — PnX )) = K-\Pnf — KnPnx ) = K-\PnKx — KnPnx ) =
= K- \PnKx —PnKPnX ) + K- \PnKPnX* —PnKnPnxt).
Переходя к норме в пространстве R2n имеем
II Ж Ж II II Ж МІІ _ ^ ■*> II sk sk II . in n
x„ — Px < AAx —Pnx • 2in n + 2A2 in n KPx — KnPnx < 2A---------.
Тогда справедлива оценка
II k k II || п п|| || k k || in n
x — x* < x —Px + Px — x„ < 2A------------------.
Теорема. Пусть уравнение (2) имеет единственное решение х (з') € На, 0 <а< 1, и пусть функции
а (я), &2 (з), Ь (З),^ (3), / (з), / (з) € На . Тогда существуют такие значения Л, что система уравнений (6) имеет
единственное решение xn(s) = x(l)(s) + ix(Z)(s) и справедлива оценка llx — xJI < 2A
(2)
in n
n
ЛИТЕРАТУРА
1. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. -М.: Наука, 1978.- 296 с.
2. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных. - Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.
3. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. - М.: ТОО
«Янус», -1995.- 520 с.
4. Бойков И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. - Пенза: Изд-во Пенз. Гос. Унив-та, 2004. - 316 с.
5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968, 512 с.
6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967, 576 с.
2 2n 1
n
n
