Вычисление коэффициентов разложения линеаризаторашкаликова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.43

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕАРИЗАТОРА ШКАЛИКОВА

© А. М. Ахтямов, Э. Н. Ахметвалиева*

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (917) 464 81 17.

Е-таіІ: [email protected]

В работе рассмотрен алгоритм поиска коэффициентов разложений по цепочкам собственных функций в соответствующих сложных пространствах и предъявление решений соответствующих спектральных задач при невыполнении условий подчинения. алгоритм основан на отказе от требования независимости области определения от спектрального параметра X.

Ключевые слова: пучок, коэффициенты разложения.

Введение

В 1983 г. вышла работа [1] А. А. Шкаликова, в которой была построена общая теория спектральных задач с полиномиальным вхождением параметра в краевые условия. Одним из основных наблюдений работы явилось то, что были найдены удачные пространства, в которых задача допускает линеаризацию. Это пространство хС", где С -

пространство комплексных чисел. В этих пространствах при естественных условиях были доказаны теоремы полноты и базисности производных цепочек специального вида (в случае N = 0 эти цепочки совпадают с производными по Келдышу цепочками). Были получены теоремы о разложимости произвольных функций в ряды по цепочкам собственных функций. Разложения проводились в специальных гильбертовых пространствах. Однако коэффициенты разложения функции в ряд по цепочкам собственных функций в этой работе не были найдены.

Позднее А. А. Ахтямовым в работах [2-5] были предложены два метода решения коэффициентной проблемы для разложений в пространствах сложной структуры - метод сопряженного оператора и метод сопряженного пучка операторов. Первый подход использует явное построение оператора, сопряженного к так называемому линеаризатору Шкаликова, а второй подход использует возможность представления задачи в виде пучка неограниченных операторов в расширенном гильбертовом пространстве и дальнейшего применения соотношений биортогональности [6] известных для пучков операторов. Применение метода сопряженного пучка операторов позволило получить не просто алгоритм вычисления коэффициентов, но и, что важно для приложений, эффективную общую формулу, выписанную в терминах коэффициентов уравнения и краевых условий для широкого класса

спектральных задач. Однако хотя круг решаемых задач с помощью этого метода является достаточно широким, он ограничен. Ограничения связаны с условиями подчинения, налагаемыми на уравнение и краевые условия спектральной задачи.

Условия подчинения накладывались в [4] для того, чтобы область определения сопряженного пучка не зависела от спектрального параметра X. В результате сопряженный пучок оказывался пучком сопряженных операторов.

В данной работе показан алгоритм поиска коэффициентов разложений по цепочкам собственных функций в соответствующих сложных пространствах и предъявление решений соответствующих спектральных задач при невыполнении условий подчинения. Этот алгоритм основан на отказе от требования независимости области определения от спектрального параметра X и, таким образом, представляет собой определенную модернизацию метода сопряженного пучка операторов.

Вычисление коэффициентов с помощью сопряженного оператора.

Рассмотрим краевую задачу (1)-(3) и для нее найдем коэффициенты разложения пары произвольных функций (принадлежащих специальным пространствам) в ряды по собственным функциям.

Здесь а1(1) = а11 + 1а12, а2(1) = а21 + 1а22, Ъ1(1) = Ъ11 +ЛЬ12, Ь2(Л) = Ъ21 + 1Ъ22 - линейные функции относительно спектрального параметра 1, где ау , Ъу , q2 єС (і-.у-1,2); а1 (1), а2(1); Ъ1(Х)., Ъ2(1)-

попарно линейно независимы; а2 (1), Ъ2(1) Ф 0 при любом спектральном параметре 1, q2 Ф 0,

Р0 = Л)(*), qo = q°(x), Р1 = л(х), q\ = q\(x) -

непрерывно дифференцируемые комплекснозначные функции.

(1)

1(У, 1) - у' + (Р0 + р1)у + + ql1 + q2l2)у -°

и1(у,Л ) - (ап + 1 а 12 )у'(0) + (а21 + 1 а22 )у(0)-0 (2)

и2(у,1) - (Ъц + ЛЪи )у '(1) + (Ъ21 +1Ъ22 )у(1)-0 (3)

Ахтямов Азамат Мухтарович — д.ф.-м. н., профессор кафедры механики сплошных сред. Ахметвалиева Эльвира Назировна — ассистент кафедры математических методов в экономике.

Чтобы не осложнять существо дела, считаем, что все собственные значения задачи (1-3) - простые.

В дальнейшем нам потребуется сопряженная к (1-3) краевая задача. Построение сопряженной задачи для общих краевых задач изложено, например, в книге М. А. Наймарка [7, с. 17-23].

Формы и1(у, 1), и2(у, 1) дополняем формами и3(у, 1)- у’(0) , ^(у, 1)-у'(1) : и(у, 1), и2(у, 1), и3(у,Я), и4(у, 1) составляют линейно независимую систему как формы от у(0), у (0), у(1), у'(1) .

Сопряженной к задаче (1-3) является следующая краевая задача:

1 о,т)- г" - [(р0 + рт) г]+(#0 + дт + ?2т2)2 -0.

и1* (г,т)-[ а2 (1) - а1(1) (Р0 (0) + Р1 (0) т)]г(0)+^(1) г'(0)-0.

и2* (г,т) -[ Ъ2 (1) - Ъ1 (1) (Р0 (1) + Р1 (1) т) М!)+ Ъ (1) г'(1) -0.

Определим в пространстве Ь2х С2 операторы А0, Аь А2 равенствами:

А0 у - { у" + Р0 у' + qoУ, ап у/(0) + а21 у(0), Ъпу'(1) + Ъ21у(1)};

А1 У - { РіУ + qlУ , а12у/(0) + а22У(°), Ъ12у'(1) + Ъ22у(1)};

А2 У - { q2у , 0, 0}

Образуем из этих операторов пучок Лемма (о сопряженном операторе). Пусть в

А( 1 )-А0+1А1 + 12 А2 гильбертовом пространстве Н со скалярным произ-

п г- а ,1.. ведением (■ ■) заданы операторы Н и М, образом

Собственные значения пучка операторов А( 1) \ ’ /и ^ ^ ^

и краевой задачи совпадают. Между собственными которых является все пространство Н. Если опера-

значениями ук краевой задачи и собственными эле- тор Н имеет плотную область определения в Н и

ментами ук пучка операторов можно установить кр°ме того, для любых элементов V є 0(И) и

взаимно однозначное соответствие. Операторы А0, g є Б(М) выполнено равенство (и, #) -

Аі, А2 имеют плотную область определения в про- , , ,, итт

странстве Ь хС2 =^,(2), то операторМ является сопряженным к Н.

Между сопряженной задачей и сопряженным Теорема 1. Сопряженная к пучку А( 1) опера-

к А(1) пучком операторов существует определен- тор-функция [А( 1 )]* задается равенствами:

ная связь. Выявим ее. Для этого при фиксирован-

^ у [А(1 )] -М0+1 М1+12 М2, где В([А(Х)] )- {г -

ном 1 найдем сопряженный к А( 1 ) оператор , , л ■, —:- , - -

т . ={2(х), Л ^2}, где Л і- а-1( 1) (2(0) - (Р0(0) + Р1(0)т)г(0)),

[А(1 )] . Этот оператор представляет собой сопря- Ъ-1^ (-2(1) + (Р0(1)+Р1а)Ж1))/уЄ И?}, где опе-

женную оператор-функцию от 1 . 2 2 0 1 2

раторы М0, М1, М2 действуют по следующим формулам:

М0 Г -{ г"-(Р02)' + , (а21 -апР0(0))г(0)+ ап 2(0), (Ъ21 -Ъ1^.Р0(1))г(1)+ Ъ11 2 (1) },

М1 у -{- (Рі2)' + 41 г,а12 2(0) (а12Р0(0)+аиР1(0)-0l22K°), Ъ12 2'(1) -^0(1) +^^(1)-Ъ22) г(1) }

М2у -{Ц2г , -012 Р1(0)2(0), -Ъ12 Р1 (1) 2(1)}.

Доказательство.

Из (Л(1)у,г) Ь хС 2 - ( у,[ А(1)]* 2)ь ^ где у ={y(x), ^ X2}, у ={z(x), Л Л2}.

(А(1).у,г)Ь хс2 -(l(У, 1), 1) Лі +U2(У, 1) Л2 -(У, 1*(2, 1))+ £ V (г,т) + £ V (г,т).

(у, Г(г, 1 ))+Р(у, г)+и1(у, 1) Л +^(у, 1) Л2 -(у, І*(г, 1))+ £ V (г, т) + £ ^2 (г, т) . Расписав Р(у, г), получаем:

иэ(у, 1) ^1( z,m)+U4(y,Л)V2( г, т) + а-1( 1) и1(у, 1) (г' (0) - (р0 (0)+р1 (0)Л.)г(0))+Ъ-1 (1) и2(у, 1)( 27(і)+(Р0(1)+p1(l)Л)z(l))+ul(y,Л)Л"l+u2(y, 1)л?-£1 Vl(2,m)+X2 V2(z,m) или V2(г,т) (U4(У, 1)-£2 )+ V!(г,т) (Uз(У, 1)- Xl)+Ul(У, 1)(а-1( 1 )(7/(0)-(р0(0) + p1(0)Л)z(0)) +

+ л )+ и2(у, 1) (Ъ21( 1) (-г/(1) + (Р0 (1) + Р1 (1)Л)z(1)) + л2 )-0.

Из последнего равенства получаем, что £і - и3(у, 1)- у'(0) , £ - и(у, 1)- у'(!) ;

л -а-1( 1) (/(0)-(Р0(0)+Рі(0)Я)г(0)), л,-а-\ 1) (г (0)-(рй(0)+Рі(0)т)г(0))

_ 1.-1

Л2-Ъ2- (1)(-2/(і)+(Р0(1)+Рl(і)Л)z(і)), Л2-Ъ-1(1)(-г'(1)+(Р0(1)+Рі(Г)тМ1)).

Из равенства (А(Л)у ^хс2=(у,[а(1)]*г)^хс2,

следует включение для областей определения оператор-функций ЩМ0 + М1Л + М2Л2) £ ЩАЛ)]*) . Из леммы о сопряженном операторе и того, что

оператор-функция (М0+ ЛМ1+ ЛМ2) является отображением на все пространство Ь2 х С2, вытекает,

что [А(Л )] =М0 + Л М1 +Л М2. Доказано.

Следствие. Собственные значения сопряженной краевой задачи и собственные значения сопряженной к А(Л) оператор-функции [А(Л )] совпадают, а каждой собственной функции гк сопряженной задачи, отвечающей собственному значению

Лк, соответствует собственная функция 1к оператор-функции [А( Л )] , отвечающая тому же собственному значению Лк. При этом первые компоненты элемента 2к оператор-функции [А(Л )] совпадают с элементами. Более точно, собственные функции 2к сопряженной оператор-функции и

собственные функции гк сопряженной задачи, соответствующие одному и тому же собственному значению Лк, связаны равенством: 1к ={2к, Т\к , Т2к },

где Т1к = (<(0)~(Ро(0)+ЛР1(0К(0))/а2 (Лк ) ;

Т2к=-к (1)+(Р©+ХРтк (1))/ Ь2сЛк).

Лемма (о плотности). Области определения операторов А0, А1, А2 плотны в пространстве Ь2 х С2.

Из леммы следует, что пучок операторов также имеет плотную область определения и у него существует сопряженная оператор-функция [А(Л )] . Соотношение биортогональности.

Пусть собственные функции задачи (1-3) образуют каноническую по Келдышу систему собственных

функций. Тогда соответствующие функции ук ={у(х), Ук (0) , ук (1) } образуют каноническую по Келдышу

систему собственных функций пучка А(Л).

Согласно [2], задача (1-3) допускает линеаризацию по параметру в пространстве Ж. Линеаризатор Н задачи (1-3) задается следующими равенствами: Н V =Л V ; где V =(у0, у;), у0=у, Лу0=Лу=у1; Н{у0, у1} = {у1, - ?2_1(у0 + РоУ0 + 40У0 + Р1у1 + 91у1)},

так как 4Лу = 42Ну= -у - (Ро + р1Л)у - (4о + 4:%. Б(Ы)={ V =(у0,у;)/у0=у£ Ж22 , у;Е. Ж2' ,

У1( V )= а11у0 (0) + а12у[(0) + а21У0 (0) + а22У1 (0) =0,

^2( У )= ЬпУ'о (1) + *12у1(1) + ^Уо (1) + *22 V ( О =0}. Линейная спектральная задача Н V = Л V имеет те же собственные значения, что и сама задача (1—3), а собственные функции оператора Н, соответствующие собственным значениям Лк , имеют

вид Ук ={ук, Лкук}, где ук - собственные функции задачи (1-3), отвечающие тем же собственным зна-

чениям Лк . Образуем из этих функций ук систему

производных по Келдышу цепочек Ук ={ук, Лкук}.

Для этой системы верны следующие теоремы. Теорема 2. Если задача (1-3) является нормальной краевой задачей, то система производных

по Келдышу цепочек ук полна в пространстве [Ь2X С2]2.

Доказательство следует из замечания 2.3 [7]. Теорема 3. Если задача (1-3) является нормальной краевой задачей, то система производных

по Келдышу цепочек ук минимальна в пространстве [Ь2X С2]2. Соответствующие соотношения биортогональности таковы:

= 8Щ . Здесь 8Щ -~к ={ ук , Лкук },

{^Уїс, Zj) [L2XC 2]2 ^ Gl~k , ~k ) LxC2]2 l'kJ . l'kJ

символ Кронекера, G =

Al A2

A2 0

ук ук (о), ук аж ~к ={ 4, Лк^к},

гк ={гк, Т, Т },гдеТ1к =(4 (0) - (Р0(0) + ЛШ)^ (0))/а2Л),

Т2к = «(1) + (Р® + ЛРа)К(1))/Щ), а гк(х) - каноническая по Келдышу система собственных функций сопряженной краевой задачи.

Доказательство. (А0+ Лк А1+Л'^ А2) ук =0 ^

Ук

\

=0, где G =

k У

Ao 0

0 - A,

({G, Л)~, ,j [ ^ ,],-0.

((G0 + Afi,)>k j,) [iixc,],-a

Вычитая последние равенства, получаем: ( Лк -Л; )( ,~^ [ L,xc 2]2=0.

При к ф j , Л ^ , (Gjk ,~.) [ L, xc 2]2=0.

ПРИ к = j , Лк =lj , (G\ ~ к , ~k ) [L XC 2]2 = COnSt (в силу полноты системы функций в рассматриваемом пространстве).

=1. Доказано.

^1^ ,~j) [ L2XC 2]2/ ^1^ ’Zk)

Теорема 4. Если задача (1-3) является регулярной краевой задачей, то любой элемент V =(у0, у;) пространства Ж20 может быть разложен в ряд по

элементам Ук ={ук, Лкук}: V = ^ скУк, который

к=1

сходится в норме пространства Ж20. Отсюда следует, что ~ ^скук , где ~ ={ у , Л у }, у ={у(х), к=1

у"(0), у'аж ук ={ ук , Лкук }, ук ={Уk(x),

ук (0), ук (1) }. Т аким образом,

СкЧС1-у, ~к )[12хс2]2 Кк , [ь2хс2]2 =^k/бk, где

(^1у,~к) ^^хС2]2 (А1у + А2Лу, гк)12хс! ^А2 у,Лк2к)11хС 2 ,

Рк |[р1 у + (41 + 42Л + 42Лк ')у]2кйх + (а12у (0) + а22у(0)) Т1к + (Ь12у (1) + Ь22 у(1)) Т 2к ’

0

1 ____________________________________________________________________________________ ___________________________________

Qk= | [ Р1 ук + (41 + 42 Лк + 42Л ) ук ]?к^х + (а12 ук (0) + а22 ук (0)) Т1к + (Ь12 ук (1) + Ь22 ук (1)) Т 2к , где

^к = {гЬ Тк , Т2к },Т1к =(zk(0)-(Ро(0)+1tР(0))Zk(0)]/а2(Лк ), Т2к = (ЧФ+(Ро(1)+ЛР(%(1)УЬ2 (Лк )

а гк(х) - каноническая по Келдышу система собственных функций сопряженной краевой задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1983. №9. С. 190-229.

2. Ахтямов А. М. // Известия вузов. Математика. 2000. №2. С. 13-18.

3. Ахтямов А. М. // Математические заметки. 2001. Т. 69. №4. С. 622-624.

Ахтямов А. М. // Математические заметки. 2004. Т. 75. Вып. 4. С. 493-506.

Ахтямов А. М., Ахметвалиева Э. Н. // Международная Уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИО БашГУ, 2007. С. 28-55.

Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи связанные с ними // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1989. №14. С. 140-224. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.

М.: Наука, 1969. 526 с.

о

4

5

6

7

Поступила в редакцию 21.05.2009 г.