Исследование спектра и резольвенты одного дифференциального пучка 4-го порядка с трехкратным характеристическим корнем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА И РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА 4-ГО ПОРЯДКА С ТРЕХКРАТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ КОРНЕМ

Алиев С.А.

Алиев Сахиль Асиф - старший преподаватель, кафедра высшей математики и информатики, Нахичеванский институт учителей, г. Нахичевань, Азербайджанская Республика

Аннотация: в работе в пространстве Ь2 (0; да) исследуется спектр и резольвента пучка дифференциальных операторов четвертого порядка, когда главный характеристический полином имеет один трехкратный корень. Показано, что пучок может иметь в открытой нижней и открытой верхней полуплоскостях конечное или счетное число собственных значений, а непрерывный спектр заполняет всю действительную ось, где могут находиться спектральные особенности. Доказано, что резольвента пучка является ограниченным интегральным оператором, определенным на всем пространстве Ь2 (0; да), с ядром типа Карлемана. Ключевые слова: спектр, собственная функция, резольвента, сопряженный оператор, ядро типа Карлемана.

УДК 517.43

Введение. В пространстве (О, да) рассмотрим пучок дифференциальных операторов Ьал, порожденный дифференциальным выражением

¡(х,— ,я]у = —/А? + гл]г + г(х) ^ + (Ар(х) + д(х))У = О, (1) ^ Сх ) ^ Сх ) ^ Сх ) Сх

и граничным условиям

Ц (У) = а 0У (О, А) + а у '(О, А) + а 2У "(О, А) + а„3 У "'(О, А) = О , V = 1,3 (2)

где А -спектральный параметр, г(х), р(х), д(х) комплекснозначные функции,

определенные и непрерывные на [О, да), соответственно имеют непрерывные производные до порядка 3,4,5 включительно, сходятся интегралы

да да да

|х4\г(5) (х)|Сх < да,5 = ОД |х4р(5) (х)|Сх < да,5 = О,5; |х4\дм (х)|Сх < да,5 = ОД (3)

ООО

а^, V = 1,3, к = О,3 фиксированные комплексные числа такие, что формы Ц, (У) линейно независимы, число граничных условий меняется в зависимости от

местонахождения параметра А в комплексной плоскости.

Специфика пучка является то, что главный характеристический многочлен уравнения (1) имеет трехкратный корень / и простой корень — /. В общем случае кратных корней этого многочлена формальные решения уравнения, с полиноминальным вхождением А, могут содержать дробные степени параметра как в показателе экспоненты, так и при множителе экспоненты, и сама структура асимптотических представлений не только зависят от старших коэффициентов, но и алгебраических комбинаций при низких степенях параметра [1]. Здесь учтены эти свойства таким образом, что формальные решения не содержали дробные степени параметра.

Прямые спектральные аспекты обыкновенных дифференциальных операторов на конечном отрезке в случае различных корней главного характеристического многочлена изучены достаточно хорошо. Наиболее полные исследования различных спектральных аспектов проведеныв работах Г.Д. Биркгофа, Я.Д. Тамаркина, М.А. Наимарка,

11

М.В. Келдыша, А.Г. Костюченко, В.А. Ильина, В.А. Марченко, М.Г. Гасымова, М.Л. Расулова, А.А. Шкаликова и др. В частности, вопросы кратной полноты системы собственных и присоединенных функций подобных пучков решены в зависимости от расположения этих корней. При этом существенным условием кратной полноты является расположение характеристических корней на различных лучах, исходящих из начала координат. При нарушении этого условия данная система присоединенных функций обладает бесконечным дефектом в смысле кратной полноты [2, 3, 4].

Дифференциальные пучки, заданные на бесконечных интервалах также изучены довольно хорошо в случае различных характеристических корней. И здесь обнаружен такой эффект, что число граничных условий на левом конце в случае полуоси также зависит от местонахождения параметра Л и связано с расположением корней характеристического полинома, и соответствующий несамосопряженный пучок не является аналитической функцией параметра Л во всей комплексной плоскости [5, 6], но является аналитической функцией от Я в верхней и нижней полуплоскостях с разрезом вдоль вещественной оси.

Ввиду того, что рассматриваемый здесь пучок имеет один трехкратный характеристический корень, а это означает, что все они лежат на одном луче, выходящего из начала координат, а второй корень на противоположном луче, относительно начала координат, надо провести специальное исследование этого пучка. Когда имеются характеристические кратные корни, но они симметрично расположены относительно начала координат, соответствующие результаты о разложении по собственным функциям непрерывных и дискретных спектров получены в работах [7, 8, 9].

В работах [10, 11] исследовано уравнение (1) и построены операторы

преобразования, переводящие решения уравнения | d _ ,л | | d + iX\Y = 0 на решения

^ёх ) ^ ёх

уравнения (1). В частности, в [11] получено, что уравнение (1) имеет фундаментальную систему решений у (х, Л) , j = 1,4, которые удовлетворяют условиям:

Цт У (х, Л)-х'-1е,Лх ]= 0, j = 13, МЛ > 0;

х—

1т У (х, Л) - е-Лх ]= 0, 1тЛ < 0; (4)

х—

существуют ядра Кт(х, , ), такие, что

то

у (х, Л)= х-1е'Лх + | К} (х, г)е'Л,сН, 1тЛ> 0

Y (x, Л)= е~,Яс + J K_ (x, t)e~iÄ,dt, МЛ< 0

x

при этом Kj (x, t), j = 1,4 удовлетворяют уравнениям

(5)

l Ix, —, ± i —V j (x, t )dt = 0, (6)

dx dtj j

и имеет место

^a + ß

da + PKj (x, t) PI M2 (7)

lim aj ) = 0, a + ß< 4, J\K ^ t) dt <p , (7)

кроме того, функции Кт(х,,) и их производные удовлетворяют определенных интегральных условий на характеристике г = х.

x

В данной работе исследуется структура спектра пучка I"" , построится ядро её резольвенты и изучается аналитические свойства ядра.

Заметим, что для пучка Л" не удается применить технику работы [5] в том

отношении, что применяемый там подход предельного перехода при Ь ^ да для оператора Л", порожденного дифференциальным выражениям (1) в конечном

интервале (0,Ь)и некоторыми регулярными распадающимися краевыми условиями на концах этого интервала. Ввиду того, что эти краевые условия являются нерегулярными в смысле работы [1] для пучка !"яь , с привлечением тонких свойств

оператора Ь"ь таких, как, например, поведение ядра резольвенты (л") 1 при

Ь — да вне малой окрестности спектра, не позволительно использовать этого подхода при выводе интегрального представления резольвенты пучка Л" .

Дискретный спектр пучка Л" . Обозначим через ] совокупность всех функций

у(х,Л)е (0,да) таких, что: _

1)производные Ум (х,Л) , у = 0,3 существуют и абсолютно непрерывны в каждом конечном интервале [0, Ь], Ь > 0, при каждом Я : + 1тЛ > 0;

2) /(х,—^—, л)у е Л(0,да)

(х

Далее, через ^ обозначим совокупность тех функций из ], для которого выполняются условия (2). Определим Л" так: его область определения есть ]]а и

Ь" = х,(, Л^У при У е Обозначим А(Л) = ае1|р (Ук )|]к=1 и

рассмотрим верхнюю полуплоскость А : 1тХ >0. В открытой её части решения У (х,Л), к = 1,3 принадлежат пространству (0, да), а У4 (х, Я)е Л2 (0, Если Л находится в открытой нижней полуплоскости, ни одно из решений У (х, Л), к = 1,3 не принадлежит этому пространству, а у (х, Л) е (0, да). Тогда собственные значения пучка Л" в открытой верхней полуплоскости определяются из уравнения А(Л) = 0.

Собственные значения этого пучка в открытой нижней полуплоскости могут определятся одним краевым условием (у ) = 0, где V может быть одно из чисел

1,2,3. А на действительной оси ни одно из решений у (х,Л), к = 1,4 не принадлежит пространству (0, да), следовательно, при 1тЛ = 0, не одно из краевых условий не входит в О". Значить, на действительной оси пучок дифференциальных операторов Л"" не имеет собственных значений. Действительно, если фиксируем Л с 7тЛ = 0, и, будем считать, что оно является собственным значением, тогда для решений из 7тЛ > 0, будем иметь

3

У (х, Л)=Х С У к (х, Л) и У (х,Л0 )е Л2 (0, да), при этом, хотя бы одно из к =1

чисел , к = 1,3 должен быть отлично от нуля. Но, при х —> да имеем У(х, Л) = С + Сх + С2х2 + 0(1)х.

Поэтому

N N ту-3 ту-5 (ОЧ

I\У(х, Л )2с1х = ||С0 + Схх + Сх2 + 0(1)| с1х =С2 • N + С22--+ С32--+ 0(1). ( '

0 0 3 5

Если у(х, Л)е Ь2 (0, то), тогда все С, к = 0,1,2 должны равняться нулю,

т.е. У(х, Л) = 0, а это означает, что соответственно к Л, не существует

нетривиальное решение.

Приближаясь к действительной оси из открытой нижней полуплоскости и из

условии, что у (х, Л) е Ь2 (0, то), у (х, Л)еЬ2 (0, то), к = 1,2,3, 1тЛ < 0

подобным образом проверяется, что на действительной оси не имеются собственные значения.

Теперь предположим, что Л является точкой открытого верхнего и открытого

нижнего полуплоскостей.

Теорема 1. Для того, чтобы Л : + /тЛ> 0 являлась собственным значением

пучка необходимо и достаточно, что А(Л ) = 0.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что число Л из открытой верхней полуплоскости является собственным значением оператора Ь" . Тогда решение уравнения (1), принадлежащее пространству Ь2 (0, то) является линейной комбинацией решений у (х, ), к = 1,2,3 :

У (х, Л ) = С1 у (х, Л ) + С2У (х, Л ) + С3У3 (х, Л ), (9) здесь С, I = 1,3 определенные коэффициенты. С другой стороны у(х,Л) как решение уравнения (1) из Ь2 (0, то) должен удовлетворить краевые условия (2). Подставляя (9) в (2) получаем:

3

X Ски,(ук )= 0, V = 1,2,3. (10)

к=1

Для того чтобы (10) имело ненулевое решение относительно Ск, к = 1,3 должно быть А(Л ) = 0.

Достаточность. Предположим, что А(Л) = 0. Тогда система (10) имеет нетривиальную систему решений , С2, С }, причем \С\| + \С2| + |С31 ^ 0. Разрешая систему (10), затем подставляя найденные решения в (9), находим функцию у(х, Л)е для которой 11 х, ^ , Л у = 0 , т.е. является собственным

значением пучка Ь . Теорема доказана.

Подобным образом получаем, что в открытой нижней полуплоскости имеются собственные значения, которые являются корнями уравнения В(Л) = и (у ) = 0, где V одно из чисел 1,2,3.

Теорема 2. Оператор в открытой верхней и в открытой нижней

полуплоскостях имеет собственные значения, которые являются соответственно корнями уравнения А(Л) = 0 и В(Л) = 0. Этот оператор не имеет собственных

значений на действительной оси. Если числа Л0 и Л с 1тЛ = 0 и 1тЛх = 0

соответственно, являются корнями уравнения А(Л) = 0 и В(Л) = 0, тогда эти

числа являются спектральными особенностями пучка .

Предположим, что Л является собственным значением пучка Ь" .Тогда соответствующая собственная функция определяется из формулы

у (х) = XX Сук (х, Л ) Положим С3 = 1. Тогда из краевых условий (2)

к=1

находим:

2

„ „ _ _ . „ V

X Скиу (ук ) + (У) = 0, V = 1,2,3. (11)

к=1

Ввиду того, что мы ищем ненулевые решения, ранг этой системы должен меньше 3. Пусть ranq = 2. Тогда при условии, что

и (у) и (у)

д (Л) = ^ 0 можно из системы

0( ) сад) ^(у) ,

\с и2(Г1) + сии2(72) = -и2(73)

определить Сг, / = 1,2. Для них С = — Д'(Л) , ( = 1,2. Здесь Д (Л) получается

Д0(Л)

из Д0 (Л) заменой элементов столбца с номером I на элементы

{— и1(у3),—и2^3)}'.

Таким образом, собственная функция, отвечающая собственному значению Л выражается формулой

ум( х) = —Х Д у (х, Л> у3 ( х, Лм) (13)

г=1 Д 0

Непосредственным вычислением с использованием формулы Лейбница для дифференцирования производных, из формул (5) перенумерацией у, у, у, у, на

у+, у+, у+, у , получаем

(у; (х, Л))(к) = е ]Лх х (± ¡); лс; х )(к—;) +

;=0

то^к^±(х, |) (14)

±г л;„± / \ , Г У V ' / ±г Л1 I,

+ е ХЛ8м.ку (х)+|-у-е Л

/и=0

где

£кк0 = 0, £±,1,У = —К± (x, x), £±2,У = + К7 С^ х), К] (x, х) =

-.то -.то

1 ¡£урШ— х^ +1 {У^ — Ж,

х х

К; (х, х) = +1 —1 (/ — х)хУг(х)

ах 8Н 8

d ± / ч К (х, I)

± (х

£ «%■(х )=-(х,х)—V

I=х

#2 3, (х) = ±^±2, (X), gfз, (X) = gl±2у (X) ± &0 2, (х)

д кК± (0,1)

Используя оценки

дхк

, к = 0,1,2,3 из [11], подставляя (14) в (2),

х=0

убеждаемся, что функции А(Л) и В(Л) соответственно, являются регулярными функциями в верхней и нижней полуплоскостях, следовательно, нули этих функций образуют конечное или счетное множество.

Теорема 3. Операторный пучок может иметь лишь конечное или счетное

число собственных значений, образующих ограниченное множество в комплексной Л -плоскости с разрезом вдоль вещественной оси. Предельные точки этого множества могут находиться только на вещественной оси.

Резольвента и непрерывный спектр пучка 1"". Теперь построим явный вид

резольвенты Я^" дифференциального пучка в каждой полуплоскости

± 1тЛ > 0 в отдельности.

Предположим, что область определения резольвенты содержит функции

/(х), равные нулю вне произвольного конечного интервала [0, а]. Положим

Щ" / = ?, те. ЬЛУ = /. Это означает, что У (х,Л) есть решение уравнения

(х, кх яУ =/ (15)

для любой функции /(х) е £2 (0, да). Это решение принадлежит (0, да) и удовлетворяет краевым условиям (2).

Имея фундаментальные системы решений у (х, Л), к = 1,4 однородного

дифференциального уравнения (1), методом вариации произвольных постоянных находим общее решение неоднородного дифференциального уравнения(15). Общее решение ищем в виде

4

У (х, Л) = X су (х, Л) (16) i = 1

Согласно этому методу, предположим, что С, С, С, С являются функциями от х. Вычисляя все производные до 4-го порядка включительно, выражения (16) и подчиняя дополнительным условиям, получаем некоторую систему уравнений относительно С1 (х), г = 1,4. Решая полученные системы, относительно

С1 (х) имеем

'5

где

с' (х) = Z5r_i (х, Л)/ (х), (17)

25\(х,Л) = Жг(х,Л), г = 1,2,3,4 (18) 5-гЧ ' Ж(х, Л)

'5-

Здесь Ж(х, Л) определитель Вронского от у (х, Л), у (х, Л), у (х, Л), у (х, Л),

а Щ (х,Л) -алгебраическое дополнение элемента у(3) (х,Л) в вронскиане Ж(х,Л). Из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что

функции Z+i (х, Л), , = 1,4 являются решениями уравнения /* | х, , л = 0, транспонированную к уравнению (1). Из (17) получаем

с (х) = с z (4, л)/ (4^4

(19)

Подставляя (19) в (16), имеем

у (х, Л) = XX

у (х, Л).

(20)

С, +1 z 5— (4,Л)/(4^4

0 _

В открытой верхней полуплоскости у (х, Л) е Ь2 (0, то), , = 1,2,3; Г4 (х,Л)е Ь2 (0, то),

Z1+ (х, Л) е Ь2 (0, то), Z!+ (х, Л)еЬ2 (0, то), , = 2,3,4. Поэтому

у(х, Л) е Ь2 (0, то) возможно лишь тогда, когда сумма коэффициентов при

у4 (х, Л) равна нулю, т.е. когда С4 = - Г Z1+(4, Л)/(4^4 ■ Подобнее равенство

0

то

можно

также записать в виде С4 =Z^(4,Л)/(4^4, ибо /(х)= 0 при

х > а. С учетом этого, выражение (20) имеет вид

у(х, Л) = X с, +1 z5—, (4, Л)/у, (х, л)—| Zl+ (4, Л)/(4^4 • у4 (х, л).

г=1 |_ 0 _ х

Отсюда

3 г х 1 то

уи(х,л)=х с, z5+-,(4,л)/(4^4 у(г)(х,л)—|Zl+(4,л)/(4)d4• у(х,л)

,=1 _ 0 _ х

Поскольку из определения функции Zl+ (х, Л), г = 1,4 следует, что

4

Ху(к) (х, Л) • Z5+_. (х, Л) = 0, к = 0,1,2.

(21)

С помощью граничных условий имеем:

3

и.у )=х си (у, )■

—

I z¡(4,л)/ (4)44

иV (у )= 0,

т.е. ]Г си (г,) = Iz;(4,л)/(4)d4Uv(Y4). ,=1 0

Решая эту систему уравнений относительно с., , = 1,3, получим

с =

АЛ I ^ (4)°'4!

(22)

где А(Л)= ёй\иу (ук ) ^^ ^ 0, А, (Л) определитель, полученный из А3 (Л)

заменой

иу(у ) на иу(ТА ).

х

0

х

0

,=1

1

0

то

Обозначая через

К (х, Л) = АЛ ^+(х,Л), г = 1,3

можем записать:

С = / К(ё,Л)/ (ё)кё, г = 1,2,3.

(23)

(24)

Подставляя эти значения в (21) имеем:

3

у М)=2

г=1

х

/(к+(ё,Л) + 2+ъ_г (ё,Л))/ (ёк

у (х,Л)+

:

2/К(ё,Л)/(ё)кё у(х,Л)-/(ё)ё у(х,Л)

г =1 х J х

Обозначая через К: (х, ?, Л) ядро резольвенты в верхней полуплоскости

2 [к; (ё, Л) + Z5-г (ё, Л)]Гг (х, Л), приё< х

г=1 3

2 к: (ё, Л)у (х, Л) - Z+ (ё, Л)у4 (х, Л), при ё> х,

г=1

и введя переобозначения Z\_i (ё, Л) = (ё, Л), г = 1,4 ,

К +(х,ё,Л) =

(25)

имеем

к +(х,ё,Л) =

где к+ (х, Л) =

2 [к: (ё, Л)+^;(ё, Л)у-1 (х, Л), приё < х

г=1 3

2 к: (ё, Л)у-1 (х, Л) - а:(ё, Л)у- (х, Л), при ё

(26)

А (Л) а + ■а.

(ё,Л) .

А(Л)

Из последнего выражения можем написать

да

у (х, Л) = КЛ"/ = / К :(х,ё,Л)/ (ё )кё.

(27)

Теперь рассмотрим открытую нижнюю полуплоскость. В этой полуплоскости у- (х, Л) е Ь2 (0, да), а у: у: , у: , не принадлежать пространству Ь2 (0, да).

А для решений сопряженного уравнения ZT (х, Л) е Ь2 (0, да), г = 1,3; Z-(x,Л)еЬ2 (0, да). Вэтом случае, перенумеруя у-, у: у: , у: соответственно через у, у, у, у имеем, что у (х, Л) е Ь2 (0, да), у (х, Л) е Ь2 (0, да) Тогда функция у (х, Л), выраженная в виде

4

у (х,Л)=2

г=1

С Z5--г(ё,Л)f (ё)кё

у (х,Л),

(28)

принадлежит Ь2 (0, да)тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов функций у (х,Л), г = 2,3,4 равен нулю, т.е.

0

0

да

да

г=1

0

0

с, =—|z5——,(4,Л)/(4У4,, = 2,3,4

(29)

где /(х) = 0, при х > а. С учетом (29), выражение (28) имеет вид

у (х, Л) = Отсюда у(к )(х, л) =

с1 + (4,Л)/ (4)d4

уМ—X

jz5——1(4,л)/ (4)d4

у (х,л).

(30)

с1 +| Z4— (4, л)/ (4)d4

0

4

у(к )(х, л)—хх

то

i z5——, (4,л)/ (4)d4

у, (к )(х,Л).

Учитывая, что

4

,=1

для фиксированного граничного условия имеем

4

Ху(к)(х,Л>Z—— ,(4,Л)= 0, к = 0,1,2,

I ^- ,(4,Л)/ (4)d4

иг(у )= с^у) —X

,= 2

Отсюда

1 4 то

с1 = 77^•X Iz—-,(4,Л)/(4)44 • и, (у).

<Л(у) ,=2 _0 _

Обозначая

1 4

И М) = ^•X(у)Z5——'(х,Л)(31)

можем написать

то

с1 =!и (4,Л)/(4)44.(32)

и (у) = 0, V — ф иксировано.

Подставляя это значение в (30), получаем:

у (х, Л) =

i [и-(4,л)+z 4— (4, л)]/(4)d4

■у (х, Л) +

(33)

+

I и-(4,л)/ (4)d4

у (х,л)—XX

I z¡-— , (4, л)/ (4М4

у (х, л).

Обозначая через К (х, 4, Л) выражению:

К (х,4,л) =

[и (4,л) + z4 (4,л)]у (х, л), при 4

< х

(34)

и— (4, л)у (х, л) — X Z5— ; (4, л)у (х, л), при 4 > х,

I ,=2

и снова введя обозначения Z5 г (4, Л) = ( (4, Л),, = 1,4 получаем:

то

0

, = 2

0

0

х

,=2

х

0

0

!= 2

х

х

4

K -(x,g, Л) =

[h (g, Л) + (g, Л)У0 (x, Л), при g < x,

4

h- (g, Л)У- (x, Л) - 2 О- (g, Л)у;^(x, Л), при g > x,

(35)

1 t \ где h (x, Л) = 2 U (У-2 К (g, Л)

U v (У0 )'=2

' у у 0 / '=2

Введенное обозначение удобна для записи ядра в компактном виде и мы имеем следующее представление:

у M) = J K ~(x,g,X)f (g)dg.

(36)

Теорема 4. Для всех значений спектрального параметра Л из открытой верхней и открытой нижней полуплоскостей, не являющихся корнями уравнения А(Л) = 0 и в(Л) = 0, резольвента оператора Ьх определена на всей пространстве Ь2 (0, да), в нём является ограниченным интегральным оператором, с ядрами типа Карлемана. При приближении Л к действительной оси норма резольвенты неограниченно возрастает и вся действительная ось принадлежит непрерывному спектру пучка .

Доказательство. В представлениях (25) и(34) ядра резольвенты, в верхней полуплоскости у (х, Л) е Ь2 (0, да), у = 1,3; У4 (х, Л)е Ь2 (0, да);

(х, Л) е Ь2 (0, да), Z+j (х, Л)е Ь2(0, да), у = 1,3, а в нижней

У (х, Л)е Ь2 (0, да), у = 1,3; У4 (х, Л) е ¿2 (0, да);

полуплоскости

pJ „'Л(x-g) -yJ pJ „-i~Mx-g)

Z- (x, X)<bL2 (0, да), Z- (x, Л) e L2 (0, да), J = 1,3. Учитывая,

xJ gJ e'Л(x g>, xJ gJ e 'ЛХ~~ являются доминантными соответствующих выражениях, с привлечением неравенства получается оценка

2

да да да

И K(x,g^)f(g)dg dx < const-\\f(g)2 dg,

членами

что в

k

2 x

* k 2

x

|2

0 0 где

K (x,g^) = -

K+ (x, g, Л), при 1тЛ > 0

[К ~(х,ё,Л) при 1т Л < 0.

А это означает, что К(х, g, Л) является ограниченным интегральным оператором на всем пространстве Ь2(0,да). Ввиду того, что ядро является ядром Гильберта-Шмидта, оно порождает вполне непрерывный оператор.

да да

Оценки |К(х,ё,Л)2дх <+да, ||К(х^,Л)2dg <да, типа Карлемана, 0 0 получаются из асимптотических разложений функций у (х, л), zt (х, л), у = 1,4; из представлений (25) и (34).

г=2

0

2

я=1

я=1

0

Теперь возьмем а > 0 так, что при X > а > 0 выполнялось неравенство 0(1) < —.

Из оценки

ад

| % (х,Я)2 йх = Ц х 2(х-1)е2Ях [1 + 0(1)]2 |йх = | х 2(х-—)е-21тЯх [1 + 0(1)]2 йх

0 а а

1 ад _

>1 Iх2(х-1)е-1ткхйх, к = 1,4 4 1

а

частично интегрируя правую часть, имеем следующую оценку

ад

II2 П^ ,I2 , . II ,112

\Я"=||Я"йх > С\ -||, где С\ является многочленом третьей

0

1

степени относительно

1тЛ

Из этой формулы вытекает, что при приближении Я к действительной оси норма резольвенты неограниченно растет. Теперь покажем, что при Я е (- ад; ад) область

определения оператора Я" плотна в Ь2 (0, ад), т.е. область значений Ь" является

плотной в Ь2 (0; ад). Предположим противное. Тогда в Ь2 (0; ад), существует

отличная от нуля функция /(х), что равенство(Ь"%,/) = 0 (т.е. ,Ь*"/)= 0)

должно выполнятся для всех %(х, Я) е о(Ь"). А это означает, что / = 0, т.е. Я

является собственным оператора (ь") . Но, тогда Я стала бы собственным

значением оператора Ь" . Получили противоречие. Поэтому, предположение / Ф 0 не имеет места.

Таким образом, вся действительная ось принадлежит непрерывному спектру оператора Ь" . Если Л(Х) = 0, В(Я) = 0 имеют действительные корни, тогда эти

числа являются спектральными особенностями пучка Ь" . Теорема доказана.

Результат. В результате проведенного анализа получено, что рассматриваемый пучок Ь" имеет конечное число собственных значений из открытого верхнего и

открытого нижнего полуплоскостей, непрерывный спектр заполняет действительную ось, где могут быть конечное число спектральных особенностей. Построена резольвента пучка Ь" в виде ограниченного интегрального оператора с ядром типа Карлемана.

Список литературы

1. Оруджев Э.Г. Прямые спектральные задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка, полиноминально зависящего от спектрального параметра // Доклады АН Азербайджана, Т.ЫУ. № 1, 1998. С. 9-15.

2. Вагабов А.И. Квадратичные пучки обыкновенных дифференциальных операторов // Математические заметки. Т. 42. № 3 (1987). Стр. 381-393.

ад

ад

3. Богомолова Е.П., Печенцов А.С. О базисных свойствах системы собственных функций краевой задачи с кратным корнем характеристического многочлена // Вестник Московского Университета, сер.1, математика, механика, 1989. № 4. С. 17-22.

4. Гасымов М.Г., Магеррамов А.М. Исследование одного класса операторных пучков четного порядка // ДАН СССР, 1982. Т. 265. № 2. Стр. 277-280.

5. Фунтаков В.Н. О разложении по собственным функциям несамосопряженно дифференциального пучка произвольного порядка на полуоси [0; да). I-II //I-II Известия АН Азерб. ССР, сер. физ-матем. и техн. Наук. I:1960. № 6. Стр. 3-19, II:1961. № 1. Стр. 3-21.

6. Максудов Ф.Г., Магеррамов А.М., Мамедов М.З. Спектральный анализ пучков дифференциальных операторов специального вида // ДАН СССР, 1990. Т. 310. № 1. Стр. 24-28.

7. Оруджев Э.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с кратными характеристиками на полуоси // Успехи математических наук, 1999. Т. 54. № 2 (326). Стр. 181-182.

8. Оруджев Э.Г. Резольвента и спектр одного класса несамосопряжен-ных дифференциальных операторов с кратными характеристиками // Труды Института матем. и мех. АН Азербайджана, 1997. Т. VI (XII). Стр. 148-160.

9. Мирзоев С.С., Оруджев Э.Г., Алиев А.Р. Спектральный анализ одного дифференциального пучка четвертого порядка на всей оси // Доклады РАН, 2012.Т. 442. № 3. Стр. 312-314.

10.Aliyev S.A. On theexis tenceof transformation operator forafourthorder differentiale quation with triplecharacteristics // Proceedings of IMM of NAS of Azerbaijan, 2013. Vol. XXXIX. Pp. 3-8.

11. Orudzhev E.G., Aliyev S.A. Construction of a kernel of the transformation operator for a fourth order differential bundle with multiple charac-teristics // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan. Vol. 40. Special Issue, 2014. Рp. 351-358.