Регулярная краевая задача для дифференциального пучка порядка 15 с пятикратными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2

УДК 517.941 DOI 10.23683/0321-3005-2018-2-12-15

РЕГУЛЯРНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ПОРЯДКА 15 С ПЯТИКРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

© 2018 г. А.И. Вагабов1

1Дагестанский государственный университет, Махачкала, Россия

REGULAR BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE DIFFERENTIAL BEAM ABOUT 15 WITH FIVEFOLD CHARACTERISTICS

A.I. Vagabov1

1Dagestan State University, Makhachkala, Russia

Вагабов АбдулвагабИсмаилович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа, Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, Республика Дагестан, 367000, Россия,е-таИ: [email protected]

Abdulvagab I. Vagabov - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Mathematic Analysis, Dagestan State University, Gadzhieva St., 43a, Makhachkala, Republic Dagestan, 367000, Russia, e-mail: [email protected]

Статья является продолжением работ, относящихся к случаям двух дифференциальных пучков с одной n-кратной и, соответственно, с двумя трехкратными характеристиками. Установлена базисность корневых функций рассмотренных задач при произвольных распадающихся граничных условиях на концах заданного интервала. Проблематичным оставался вопрос о перенесении соответствующих теорем на случай пучков с тремя и более кратными характеристическими корнями. Нами дается положительный ответ в случае пучка порядка 15 с тремя различными характеристиками. Заметим, что наш подход в решении этой задачи распространим на более широкие классы пучков с кратными характеристиками.

Отметим существенное различие рассматриваемой нами задачи от регулярных в смысле Г. Биркгофа и Я.Д. Та-маркина. С одной стороны, ранее требовалась различность характеристических корней основного дифференциального оператора. С другой - нами решена задача с распадающимися краевыми условиями, все из которых заданы на одном конце, за исключением двух относящихся ко второму концу. Дается построение резольвенты пучка как меро-морфной функции параметра X. В основной теореме доказано, что полный вычет по параметру от резольвенты, приложенной к дифференцируемой 15 раз функции (обращающейся в нуль с производными на концах интервала), равен этой функции. Указанный вычет представляет собой ряд Фурье по корневым функциям исходной задачи.

Ключевые слова: функция Коши, кратные корни, функция Грина, ряд Фурье.

The article is a continuation of works instances of two differential beams with the same n-fold and, respectively, with two three-time characteristics. The basis property of the root functions is considered for arbitrary decaying boundary conditions at the ends of the given interval. Problematic remains the question of the transfer of the corresponding theorems for the case of beams with three or more multiple characteristic roots. We are given a positive answer in the case of the beam 15 with three different characteristics. We note that our approach in this task will extend to broader classes of bundles with multiple characteristics.

We note the significant difference of the task from regular in the sense of G. Birkhoff and J.D. Tamarkin. On the one hand, significant differences of the characteristic roots of the primary differential operator are previously required. On the other, we have solved the problem with decaying boundary conditions, all of which is set at one end, with the exception of two related to the second end. Given the construction of the resolvent of the beam as meromorphic functions of the parameter X. In the main theorem is proved that the full deduction option from the resolvent applied to 15 times differentiable functions (the derivative zero at the ends of the interval) is equal to this function. The specified deduction is a Fourier series in root functions of the original problem.

Keywords: Cauchy function, multiple roots, Green function, Fourier series.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Постановка задачи и предварительные построения

Данная статья является продолжением работ [1, 2]. В ней изучена спектральная задача для дифференциального пучка с тремя пятикратными характеристическими корнями:

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

I (y Uj--Я

I dx

d2

Л

5

dx

+ Я

y(x), 0 < x < 1, (1)

Us (y ).

ds-1 y(0)

dx

s-1

= 0,

(y). а:-1уЦ)=о,

dx

s-1

s = 1,13 .

s = 1,2.

(2)

Введем в рассмотрение фундаментальную систему решений уравнения I {у) = 0:

у] {х) = х^, у5+, {х) = х-*-1е'Х,

Ую+, {х)= х^-1в-'Лх, ] = 15 . (3)

В (3) i - мнимая единица.

Обозначим через У{;, X) матрицу Вронского решений (3). Как следует из теоремы Лиувилля, ее определитель не зависит от х. Для удобства введем

обозначение У{;,А) = У\) . Далее используем функцию Коши уравнения ¡{у) = 0.

g (x,4, я)=

уА^) Уг(^) ... у15 4) У4 у2(4) ... y;5(4)

у(13)(4) у213)(4) ... y(53)(4l

у1(x) У 2(x) ... у15(x) 0, при x >4.

-1

№1

(4)

при x <4-

dsg (x,i,Ä)

dxs

dsg Ы,Я)

x=4+0

4=x + 0

[0 при s < 14

[1 при s = 14,

[0 при s < 14

|l при s = 14.

(5)

В самом деле, непосредственно дифференцируя по х определитель в (4) 14 раз, получим первую из

формул (5). Дифференцирование по 4 14 раз приводит ко 2-й из формул (5).

Лемма 1. Для любой 15 раз непрерывно дифференцируемой функции /(х), 0 < х < 1, равной нулю со всеми производными до 14-го порядка включительно, при х = 0,1 справедливы формулы:

} я шу {к =} уС), (6)

х х С

к < 14,

} {14С; =у х+(7)

\Я\» 1, 0 < х < 1.

Доказательство. В силу условий леммы и формул (5) интегрированием по частям приходим к (6). При доказательстве формулы (7) интегрированием по частям 14 раз приходим к равенству

} я {х,4,Л)/ {1%у# =

1

= f (x) + J f (4)

d14 (x,4^)

d4

14

d4.

(8)

Отметим важные для нас два свойства указанной функции:

1) я {х,4,Л) 13 раз непрерывно дифференцируема по х, с; на [0,1р ;

2) я {х,;,\) 15 раз непрерывно дифференцируема по х,; при х ф; и обладает свойствами:

Установим оценку интеграла в правой части формулы (8). С этой целью преобразуем определитель в формуле (4), полученный из заменой по-

следней строки строкой у1 {х), у2{х),..., у15 {х) . Вынося в этом определителе из первых пяти столбцов

X г 'X

— е^ , из вторых пяти столбцов — е , из последних

5 столбцов - еХ , придем к определителю, последняя строка которого имеет вид

е1А(х-%) х4е1А(х-%). е-1А(х-%) х4е-1А(х-%)

а предыдущие строки являются лишь многочленами от \ и ; . Таким образом,

У{с,\=

= р1{Л)ех{'—;) + р2 ХУХ'—С + р3 {А)е-'х'—с, где р' {X) - полиномы, отличные от нуля.

|У(;,Х) = р^У + Р2 (л)егЛ + Рз {Л)е-'л,

й14 я (х,;,\)_

dx

14

(9)

_ p1 ^y(x-4)+p2 яу^-4+p3 я-

P1 (ЯУ+Р2 (я)е'Я+ Рз (ЯЯу-я '

Для определителя |y(4, Я), используя формулу Лиувилля, приходим к оценке

x

x

s

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

|¥(#,%И105 • C(s), |U|>> 1, (10)

s<%< 1, s>0 - малое число, C(s)> 0 . Согласно

NATURAL SCIENCE.

(9),

d14g Ы,л)

dx

14

<

1

Us

, откуда с учетом фор-

lim

0<x<1

= f (x).

dU }G(x.,.U)d14f(£>df =

2W-I C/ u 0 d^14

(11)

Характеристический определитель граничной задачи (1), (2)

Матрицу ^Mj ^(yjMj ^U(u)

назы-

1) Н

2) Н

3) Н

- 4

-ln

i + 1 ln A

+

- 4 B

i +1 ln A

- +

- 4 C

kn ~2 kn(i -1)

2

kn(i +1) 2

k = 1,2,3,... ;

k = 1,2,3,...;

k = 1,2,3,...

Доказательство. 1. На отрицательной части вещественной оси £2А ^ 0 при X ^ —от, т.е. Б£ш+ С ^ 0 ^

„4U+ 2kn

C B

^ U +

kn

~2 4'

-ln

2018. No. 2

2. На биссектрисе первого квадранта е 2'А ^ 0 при А ^ да. Для нулей определителя Л(А) приходим к уравнению Ае2А + Ве2 ,А

<0 ^

е<х<1 е

мулы (8) получим представление (7). Из установленной леммы следует Теорема 1. Пусть С1 - последовательность замкнутых контуров в А -плоскости, содержащая внутри точку А = 0. Кратчайшее расстояние контуров С от начала стремится к бесконечности с ростом I. Тогда для функции Дх), указанной в лемме 1,

-1 I

Н

i + 1

ln

kn

+ —(i -1), k = 1,2,3,.

Аналогичное рассуждение в случае 3.

Функция Грина и основная теорема

Дальнейшее изложение свяжем с мероморфной по А функцией Грина задачи (1), (2) [3], которая тесно связана с рассмотренной функцией Коши и характеристической матрицей задачи (1), (2):

G(x,^,U)=A(x,^,U)-

= U V^j Vх,-4jx

вают характеристической, а det U(—) = A(—) - характеристическим определителем задачи (1), (2). Корни уравнения А(—) = 0 известны как спектр задачи (собственные значения). Элементарные подсчеты определителя А(—) , содержащего экспоненты — только в двух последних строках, дают

А- « —46 ([АУЛ + Wa + [c]e"2-), (12)

где A, B, C - отличные от нуля константы.

Лемма 2. Нули определителя Д(А) т.е. собственные значения задачи (1), (2), образуют три бесконечные последовательности, расположенные вдоль трех лучей, исходящих из начала, и имеют асимптотические представления:

g М,Н)

U(g )x

U15 (g )x

A(U) >1(x)

(13)

У15 (x

(x)

U(U)

Л(А)

где g(х,£,Х), Л(а) указаны в формулах (4), (12), а и(А) - матрица определителя Л(а) . Разложим числитель функции Грина на два слагаемых

в(х,£,А) = g(x,í,А) + , (14)

где Е получено из определителя Л(а) заменой элемента в его левом верхнем углу нулем, т.е.

0 >\(х) - У15(х)

Ц (я )х

E(x,£,U) =

U(U)

(15)

Ц5 (g )х

Опираясь на выражения краевых условий (2) и фундаментальные решения (3), найдем оценки

ик(м)х = g(0,^)*-^, к = Цз.

А

ик(я)х = g(U,А) = 0 при к = 14,15 . (16) С другой стороны, разлагая Е(х,%, А) по первой строке, придем к пятнадцати определителям, в каждом из которых один столбец заменен столбцом

(и^ )х ,...и15 (g)x У. При этом в оценке Е(х,%,А) порядок степени по А понижается на 14. Принимая во внимание выражение (12), получим оценку

Е(х,#,А) 1

A(U) U14'

(17)

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

Согласно теореме 1 и формулам (14), (17), устанавливается основная

Теорема 2. Для любой пятнадцатикратно непрерывно дифференцируемой на [0,1] функции У {х), равной нулю на концах 0,1, справедлива формула разложения по корневым функциям задачи (1), (2):

-1

lim

j 0Я1 G(x,4ayd"/(4)-

-14

а, х 0

0<х<1 1

= У {х), (18)

где а - последовательность замкнутых, расширяющихся контуров в X-плоскости, указанная в теореме 1, проходящая вне ¿-окружности нулей определителя а{\) .

Доказательство. Согласно (17), левую часть равенства (18) запишем в виде

1 -г!я{х,;,\) +

lim ,— j

^ 2W-1 c Я

0<x<1 '

d4

-1 с Я 1 dlAf (4) iC Я J d4u 4.

+ lim

i

0< x<1

а, х 0

Первый предел равен У{х) на основании теоремы (1). Равенство нулю второго предела очевидно.

Литература

1. Вагабов А.И. n-кратная формула разложения в ряды Фурье по корневым элементам дифференциального пучка с n-кратной характеристикой // Диф. уравнения. 2016. Т. 52, № 5. С. 555-560.

2. Вагабов А.И. О базисности собственных элементов дифференциального пучка шестого порядка с трехкратными характеристиками // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2017. № 1. С. 14-17.

3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.

References

1. Vagabov A.I. n-kratnaya formula razlozheniya v ryady Fur'e po kornevym elementam differentsial'nogo puchka s n-kratnoi kharakteristikoi [n-multiple expansion formula in Fourien series on root elements of a differential buch with the n-multiple characteristic]. Dif. uravneniya. 2016, vol. 52, No. 5, pp. 555-560.

2. Vagabov A.I. O bazisnosti sobstvennykh elementov differentsial'nogo puchka shestogo poryadka s trekhkratnymi kharakteristikami [On the basis property of the eigenelements of a sixth-order differential pencil with triple characteristics]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2017, No. 1, pp. 14-17.

3. Naimark M.A. Lineinye differentsial'nye operatory [Linear differential operators]. Moscow: Nauka, 1969, 526 p.

Поступила в редакцию /Received

20 февраля 2018 г. /February 20, 2018

0