CC BY
7
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1
УДК 517.941 DOI 10.18522/0321-3005-2017-1-14-17
О БАЗИСНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ШЕСТОГО ПОРЯДКА С ТРЕХКРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
© 2017 г. А.И. Вагабов
ON THE BASIS OF ITS OWN ELEMENTS OF THE SIXTH ORDER DIFFERENTIAL BUNDLE WITH TRIPLE CHARACTERISTICS
A.I. Vagabov
Вагабов Абдулвагаб Исмаилович - Дагестанский государст- Abdulvagab I. Vagabov - Dagestan State University, Doctor of венный университет, доктор физико-математических наук, Physics and Mathematics, Professor, Department of Mathemat-профессор, кафедра математического анализа, ул. Гаджиева, ic Analysis, Gadzhieva St., 43a, Makhachkala, Republic Dage-43а, г. Махачкала, Республика Дагестан, 367000, Россия, stan, 367000, Russia, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]
Вопросы базисности функций по собственным функциям линейных дифференциальных операторов восходят к работам Фурье, Пуассона, Коши, Лиувилля, Гильберта, Кнезера и др. В наиболее общей постановке их решение для обыкновенных дифференциальных операторов и пучков операторов было дано в фундаментальных работах Г. Биркгофа и Я.Д. Тамаркина. Ими же было определено понятие регулярности граничных условий дифференциальных пучков, которое строго предполагало различность характеристических корней рассматриваемых пучков и которого придерживались многочисленные последователи в спектральной теории пучков. Статья рассматривает теорию дифференциального пучка шестого порядка, не относящегося к случаю регулярных в классическом смысле спектральных задач с параметром. Частные случаи таких задач порядка 2, 3, 4, с кратными корнями их характеристических уравнений, описаны ранее в ряде работ. В данной статье, в случае особого дифференциального пучка шестого порядка с двумя трехкратными характеристиками, установлена базисность ее собственных элементов. Хорошо известны трудности, связанные с изучением задач с кратными характеристическими корнями (даже в случае обыкновенных матричных операторов). В этом отношении понятна важность рассмотрения частных типов таких дифференциальных пучков, которые могут указать путь к общей теории пучков с кратными характеристиками. Мы используем модифицированные методы, связанные с построением и исследованием функции Грина соответствующей задачи. Предлагаемая работа служит одной из цепей в выработке теории спектральных задач с кратными характеристиками в случае обыкновенных дифференциальных пучков операторов.
Ключевые слова: функция Коши, функция Грина, асимптотика, параметр, корневые функции.
Questions of basis functions on eigenfunctions of the linear differential operators go back to works of Fourier, Poisson, Cauchy, Liouville, Gilbert, Knezer and others. In the most common statement their decision for ordinary differential operators and bunches of operators was given in G. Birkgof and J. D. Tamarkin's fundamental works. The defined notion of a regularity of boundary conditions of differential bunches which strictly assumed a differently of characteristic roots of the considered bunches and to which numerous followers in the spectral theory of bunches adhered was them. Our article falls into to studying of the theory of a differential bunch of the sixth order which is notfalling into to a case of the regular in classical sense of spectral tasks with parameter. Special cases of such problems of orders 2, 3, 4, with the multiple roots of their secular equations, were considered in a number of works earlier. In this article, in case of a special differential bunch of the sixth order with two triple characteristics, the basis property of its characteristic elements is established. Difficulties, the bound to studying of tasks to the multiple characteristic roots are well-known (even in case of ordinary matrix operators). Importance of consideration ofprivate types of such differential bunches which can specify a way to the common theory of bunches with the multiple characteristics is in this regard clear. We use the modified methods, the bound to construction and a research of a Green function of the corresponding task. The offered work serves one of chains in development of the theory of spectral tasks with the multiple characteristics, in case of ordinary differential bunches of operators.
Keywords: Cauchy function, Green function, asymptotic, parameter, rootfunctions.
Введение щих характеристических уравнений, относящихся к
этим задачам. Не является исключением и теория
Известны трудности, связанные с решением за- рядов по собственным элементам спектральных дач алгебры, геометрии, дифференциальных урав- задач для дифференциальных операторов. В ситуа-нений, в случаях кратности корней соответствую- циях двукратного и трехкратного порядка характе-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
ристических корней дифференциальных операторов второго и третьего порядка задача базисности собственных элементов решена в работах [1, 2]. Для n-го порядка и единственности характеристического корня (n-го порядка) решена задача n-кратной базисности в работе [3]. Однако даже случай двух кратных характеристических корней не входит в схему решения работы [3], представляя значительные трудности. Они преодолены в [4] для оператора четвертого порядка.
В данной работе путем более конструктивного и трудоемкого анализа резольвенты дифференциального оператора шестого порядка с двумя характеристическими корнями порядка 3 удалось установить базисность системы собственных элементов оператора. Отметим, что задача решается при распадающихся граничных условиях, все из которых заданы на одном конце интервала, кроме одного. В классических случаях такие условия порождают нерегулярную задачу (кроме условий типа Штурма) [5, с. 616].
Постановка задачи и предварительные построения
Рассматривается дифференциальный операторный пучок
i(y )-
4-X
dx
Л3
y(x), 0 < x < 1
(1)
с комплексным параметром X и распадающимися
краевыми условиями
1 s-1
Us (y)-dS-S-0) = 0,s = ÜU6 (y)-y(l) = 0. (2)
dxs 1
Будем опираться на фундаментальные решения уравнения l(y) = 0 при X Ф 0:
Jl(x) = ^, У2(x) = xeXx, Уз(x) = x2eXx, У4 (x) = e-Xx, y5 (x) = xe -Xx, Уб (x) = x2e
„2 -Xx
(3)
В случае X = 0, взяв вместо (3) систему 1, х, х2, х3, х4, х5, убедимся, что нуль не является собственным значением, т.е. полюсом функции Грина (см. далее). Для определителя
16
det
d1-1y, (Ol
dz,
1-1
-\Y X) матрицы Вронского
У (Е, X) решений (3) подсчетом получаем
|У (Е, X) = —211, X9. (4)
Вычисление алгебраических дополнений последней строки определителя |У (Е, X) приводит к формулам
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
Y61(%, X)=(- 27 %2X6 - 3 • 27 %X5 - 27 • 3X4 ,
Y62X)= (26£X6 + 25 • 3X5, Y63(%,X) = 26X6e-X%,
Y64 X) = 27 (x6%2 - 3X5^ + 3X4 ,
Y65(E) = (27%X6 -(3 • 27% + 26)X5 + 3 • 26X4,
'65
Y66 X) = -27 X6e^ .
Обозначим через Z (?) - Y-1 (?),
Zk |Y(?) ' k 1,6 .
(5)
(6)
Определение. Функцией Коши уравнения (1) на-
зовем
g (x,#,X) =
I yk(x)zk (#) пРи x <#
k=1
0 при x > %
или с учетом (4), (6) функцию
У1 (£)•" У6 (%)
(7)
g (x,%,X) =
У^ЬУ6 (I
-1
— при x
(8)
0 при х > £.
Она шестикратно дифференцируема при х ^ Е, и лишь пятая производная имеет разрыв при х = Е:
dsg(x,%,X)
d%s
при при
s < 5 s = 5'
%=x+0
Определение функции Коши неоднозначно. Так, функция
0 при x
(9)
Zk (Ъ) пРи x
— 2 Ук(х Ь (е)
. к=1
также является функцией Коши уравнения 1(у) = 0. Функцию (8) удобно использовать при Яе X> 0 , а функцию (9) - при Яе X < 0. Для определенности дальнейшие суждения отнесем к правой X -полуплоскости.
Лемма 1. Для любой шестикратно непрерывно дифференцируемой на (0,1) функции /(х), обращающейся в нуль с производными до девятого порядка включительно на концах интервала (0, 1), справедлива формула
}е(х,Е,X)/6)(№ = /(х) + о(-!}е^/^! ,
0 IX х )
Яе X> 0, IX >>1. (10)
Доказательство. Интегрированием шесть раз по частям и отбрасыванием внеинтегральных слагаемых, равных нулю, придем к равенству
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
J Я (x, t, Vf = d 5 ^ f (t)
t, X
x
+J ^6 x dt,
+
t =x
= / (х)+} Щ,, т.е.
; я (х, 5, х)/ (б)(^=/ (х)-} *6 ^х65,х)/ т. (11)
X X *5
На основании формулы (11) оценку по X интегрального выражения в ее правой части можно заменить оценкой интегрального выражения в левой части. Таким путем по формулам (3)—(7) легко придем к оценке
} *Щ(5^=^ е^-(5*1.
х х )
Замечание 1. Что касается требования от функции / (х) на левом конце интервала (0, 1), не использованного нами при доказательстве теоремы, то оно необходимо в случае Яе Х< 0, и, таким образом, лемма 1 верна в обеих полуплоскостях (Яе Х< 0)^(Яе Х> 0). Опираясь на установленную лемму, докажем
Утверждение 1. Пусть С - окружности с центром в начале X -плоскости и радиусами I ^ да; /(х) - функция, указанная в лемме 1. Справедлива формула
1
lim
сl
1 dX J g (x, t, X)f (6)(t)dt = f(x). (12)
l ^^
Доказательство опирается на формулу (10). Как отмечено в самой лемме и замечании 1, достаточно
видеть, что | ех(х-5)/(5)^5 ^ 0 при I ^ да.
С X2 х
Функция Грина и основная теорема
Приведем широко известное выражение меро-морфной по X функции Грина задачи (1), (2) [6, с. 46].
с, xb^Xf1
(13)
где
A(x, t, X) =
g (x, t, X)
Ul(g )x
U6 (g )x
yi(x)-У6(x) k y (xfs/ =i
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
(индекс х за скобкой означает применение функционала из к g(х, 5, X) по х).
А(х) = ^ - У (х)))б,у . (14)
Подсчет выражения (14) с использованием формул (2), (3) дает
А^) = 3 • 27 X4 (e-X — Я^). (15)
Нетрудно проверить, что асимптотическая последовательность
1 . 1—г( л 1п2л« 4л«
X
: lny/2nn + —— + V-T( лп + ----
л 4
4лп
n е N,
является асимптотикой корней А^), иначе полюсов функции Грина. Переходя к дальнейшему исследованию выражения (13) для функции Грина, разложим ее на две части
G(x, t, X)= g (x, t, X) +
E(x, t, X) A(X) :
(16)
где Е(х, 5, X) получено из числителя А(х, 5, X) заменой элемента в его левом верхнем углу нулем.
Лемма 2. Справедливо асимптотическое по X представление в правой X -полуплоскости
Е(х,5Д) ~ 5X4eX(х—5), х <5 . (17)
Доказательство. Принимая во внимание формулы (2)-(7) и выделяя в первом столбце определителя Е(х, 5, X) лишь старшие по росту степени X члены, представим асимптотику этого столбца в виде
( „ .2 .2 „ V
• е"^, 5> х, Яе X> 0 . (18)
0,4, ti, ¿4, t,o
X4 X2 X2 X2
Из (18) легко определим старший по росту X член определителя E(x,X) в виде (17).
Утверждение 2. Для любой непрерывной на [0,1] функции ф(х) имеет место равенство
I * lim 1 dX jф(^ = 0, (19)
lC, n(ReX>0) x A(X) где C, - окружность радиусом l + j, где l e N .
Доказательство. Согласно (15), (17),
1 eeX+X(x
I * lim jdX j^---f($d£, = 0.
l ^^ Cl o(ReX>0) x Xe
Замечание 2. В случае Re X< 0 утверждение 2 также справедливо, если учесть, что первый столбец в E(x, X) значительно проще, чем в (18),
а именно имеет вид (0,0,0,0,0,0, eX(l-^))i.
Теорема. Для любой функции f (x), удовлетворяющей условиям леммы 1, справедлива формула разложения по корневым элементам задачи (1), (2)
1
о
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
lim-1 dX J G(x, X)/6)(;)d; = f (x), (20)
l^« 2rcV-1 сi 0
где Nä - окружности радиусами l +1, l e N , с центром в начале X -плоскости. Сходимость в (20) -равномерная на (0, 1).
Доказательство. Согласно формуле (16), левую часть равенства (20) запишем в виде
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
lim
1 dl J g(x, l)f (б)(^-
/^œ 1 C 0
1
+й г Г 1 ^ж^1^ (21)
На основании формулы (12) первый предел в (21) равен / (х), второй равен нулю, согласно (19), чем завершается доказательство теоремы.
Литература
1. Печенцов А.С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих параметр, с кратными корнями характеристического уравнения // Диф. уравнения. 1984. Т. 20, № 2. С. 263-273.
2. Абуд А.Х. Спектральная задача с трехкратными корнями основного характеристического уравнения дифференциального пучка третьего порядка // Успехи современной науки. 2016. Т. 1, № 2. С. 145-147.
3. Вагабов А.И. М-кратная формула разложения в ряды Фурье по корневым элементам дифференциального пучка с п-кратной характеристикой // Диф. уравнения. 2016. Т. 52, № 5. С. 555-560.
4. Вагабов А.И. Спектральная задача с двумя двукратными корнями характеристического уравнения дифференциального пучка четвертого порядка // Успехи современной науки. 2016. Т. 3, № 5. С. 115-119.
5. Вагабов А.И. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по главным функциям обыкновенных дифференциальных опе-
раторов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т. 48, № 3. С. 614-630.
6. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969. 526 с.
References
1. Pechentsov A.S. Kraevye zadachi dlya differentsial'nykh uravnenii, soderzhashchikh parametr, s kratnymi kornyami kharakteristicheskogo uravneniya [Boundary value problems for differential equations containing a parameter with multiple roots of the characteristic equation]. Dif. uravneniya, 1984, vol. 20, No. 2, pp. 263-273.
2. Abud A.Kh. Spektral'naya zadacha s trekh-kratnymi kornyami osnovnogo kharakteristicheskogo uravneniya differentsial'nogo puchka tret'ego poryadka [Spectral task with a triple zoot of the main characteristic equation of a differential buch third order]. Uspekhi sovremennoi nauki, 2016, vol. 1, No. 2, pp. 145-147.
3. Vagabov A.I. N-kratnaya formula razlozheniya v ryady Fur'e po kornevym elementam differentsial'nogo puchka s n-kratnoi kharakteristikoi [N-multiple expansion formula in Fourien series on root elements of a differential buch with the n-multiple characteristic]. Dif. uravneniya, 2016, vol. 52, No. 5, pp. 555-560.
4. Vagabov A.I. Spektral'naya zadacha s dvumya dvukratnymi kornyami kharakteristicheskogo uravneniya differentsial'nogo puchka chetvertogo poryadka [Spectral task with two double roots of the characteristic equation of a differential buch of the fouztch order]. Uspekhi sovremennoi nauki, 2016, vol. 3, No. 5, pp. 115-120.
5. Vagabov A.I. O ravnoskhodimosti razlozhenii v trigonometricheskii ryad Fur'e i po glavnym funktsiyam obyknovennykh differentsial'nykh operatorov [About an eguiconvergence of decomposition in a trigonometrical Fourier series and on the main functions differential operators]. Izv. ANSSSR. Ser. mat, 1984, vol. 48, No. 3, pp. 614630.
6. Naimark M.A Lineinye differentsial'nye operatory [Linear differential operators]. Moscow, 1969, 526 p.
Поступила в редакцию /Received
25 ноября 2016 г. /November 25, 2016
