CC BY
13
УДК 517.941
DOI 10.21685/2072-3040-2017-1-5
А. И. Вагабов
РЯДЫ ПО КОРНЕВЫМ ЭЛЕМЕНТАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА С ПЯТИКРАТНЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Аннотация.
Рассматриваемая задача с точки зрения широко известных регулярных спектральных задач имеет две существенные особенности. Во-первых, - пяти-кратность каждого из двух корней основного характеристического уравнения десятого порядка. С другой стороны, краевые условия на концах основного интервала относятся к типу распадающих условий, лишь одно из которых задано на правом, а остальные девять - не левом конце. Хорошо известна нерегулярность таких условий в классических краевых задачах.
Спектром нашей задачи являются чисто мнимые собственные значения равноотстоящие друг от друга. Каждому собственному значению соответствует одна собственная и четыре присоединенные к ней функции. Дается построение резольвенты пучка (функции Грина), как мероморфной функции параметра X. В основной теореме доказывается, что полный вычет по параметру от резольвенты, приложенной к девятикратной дифференцируемой функции (обращающейся в нуль на концах 0,1 вместе со всеми производными), равен этой функции. Указанный вычет, как известно, представляет ряд Фурье по корневым функциям исходной задачи.
Ключевые слова: функции Коши, Грина, спектр, нерегулярная задача.
A. I. Vagabov
SERIES IN ROOT ELEMENTS OF THE DIFFERENTIAL SHEAF OF TENTH ORDER WITH FIVE-FOLD ROOTS OF THE CHARACTERISTIC EQUATION
Abstract.
From the point of view of widely known regular spectral tasks the problem under consideration has two essential singularities. Firstly, the five-fold rate of each of the two roots of the constitutive secular equation of the tenth order. Secondly, boundary conditions at the ends of the main interval fall into the type of decomposing conditions, only one of which set on the right and other nine on the left end. Irregularity of such conditions is well-known in classical boundary value problems.
The spectrum of our problem is cleanly imaginary own values equidistant from each other. One own function and four functions added to it correspond to each own value. The article presents the construction of the sheaf resolvent (the Green function), as a meromorphic function of parameter X. The basic theorem proves that the complete deduction by the parameter from the resolvent, attached to the ninefold differentiable function (becoming a zero at ends 0,1 together with all derivatives), equals this function. The indicated deduction, as is generally known, presents the row of Fourier on the root functions of the initial problem.
Key words: functions of Cauchy, Green, range, irregular problem.
Постановка задачи
В теории краевых задач с параметром для обыкновенных линейных дифференциальных операторов начиная с Лиувилля, Биркгофа - Тамаркина четко выделены классы регулярных задач, собственные элементы которых обладают свойством базисности. К этим классам задач предъявляются естественные, жесткие требования, в частности, различность корней основного характеристического уравнения, см., например [1-3]. В случае же кратности таких корней несоизмеримо возрастает трудность исследований задач, и они рассматривались только для дифференциальных выражений второго и четвертого порядков (и лишь в случае двукратных корней см. [4-6]). В данной работе изучается задача с пятикратными характеристиками в случае стандартизованного дифференциального выражения десятого порядка.
В основной теореме установлена эффективная формула разложимости произвольной функции в ряды по корневым элементам задачи.
Рассматривается дифференциальный пучок
( —2
I(у)- —Г-А2 у(х),0< х< 1, (1)
—х
\
с комплексным параметром А при корневых условиях:
и (у)-у(1) = 0, ^ (у)- — у(0) = 0, ^ = 2Д0 . (2)
—х8 2
Будем пользоваться независимой системой решений уравнения
I (У ) = 0:
У) (х) = х1 -1еАх, уу+5 (х) = х)-1е-Ах, ] = 15. (3)
Обозначим через У(х,А) матрицу Вронского решений (3). Ее определитель не зависит от х [7, с. 192]. Непосредственное вычисление дает
У (х,А) = У (0,А) = АА25, А > 1. (4)
Простые подсчеты показывают также следующие выражения для алгебраических дополнений последней строки матрицы У (х,А):
У10,) (х,А) = [А) (х)]А16е-Ах, ) = Щ (5)
здесь и далее выражение [а] означает величину а + О ^А|, |А| >> 1; А) (х)
зависит от х как многочлен - не выше пятой степени. Введем обозначения 2 (х,А) - У-1 (х, А):
z
, Y10,j (х. 7-ГТ
{х>х)=-ущ~> j = 1Д0' (6)
Определение. Функцией Коши уравнения I (у) = 0 назовем функцию
:(*, Ъ, X) =
10
2уj (Qzj (x) пРи x
j=1
0 при x <Ъ,
(7)
или подробнее
:(x, Ъ, X) =
У1 (Ъ) ... У10 (Ъ) у1(Ъ) ... У10 (Ъ)
уГ (Ъ) ... лТ (Ъ)
У1 (х ) ... У10 (х ) 0, при x <Ъ.
к (X)
при x >Ъ,
(7,а)
Эта функция десятикратно непрерывно дифференцируема при х и лишь девятая производная имеет разрыв при х = %:
dsg (x, Ъ, X)
dxs
Ъ=х+0
[0 при s < 9, [1 при s = 9.
(8)
При х она является решением уравнения I(у(х)) = 0 . Определение функции Коши неоднозначно. Так, функция
Я (х, Ь, Х) = -
0 при x >Ъ,
10
"2yj (x)zj (Ъ) пРи х<ъ
j=1
(9)
тоже является функцией Коши. Формула (7,а) используется нами при Яе Х > 0 , а формула (9) - при Яе Х < 0.
Лемма. Для любой девятикратно непрерывно дифференцируемой функции /(х), 0 < х < 1, обращающейся в нуль с производными на концах интервала (0,1), справедлива формула
'¡Я (х, ь 5 = / (,.1 )-Х19' £ [ Л, (Ь х)] 5 ЛЩ
0 "ь ,=0,9 Х 0 ] =1
где Л(%,х) - многочлен по х,% степени не выше 5, а
[0 при , < 9,
f (sx) = <
f (x) при s = 9.
Доказательство. Согласно формул (5)-(7), интегрированием по частям 5 раз и отбрасыванием внеинтегральных слагаемых, равных нулю, придем к равенству
+^ у_щх±г * (|1)
0 0 d*
Внеинтегральное слагаемое формулы правой части формулы (11) в силу условий леммы и формулы (8) равно /(5,х). Следовательно, поведение
интеграла в правой части при росте |Х| диктуется поведением интеграла в левой части, т.е. поведением выражения
х ( ^-Ж(7),(6) ,( и( ^ х v ( ч^ю, , (Х) 7(5) (4Х(5)
/% (х,Х)^-5 = 7 (Х) + И) "(х) |Т(Х) - -5 = ) + ( 1)5Г V ( )[ а, (Р)] ^ -5№н* (3)"(5)
= 7 ( х) + (-1) 1 v у,(х ^-А725--Т^-5 =
о j=1
AX25 d*s
х 8 ¿5 г(Р) -Я(х-Р)
= 7(хМ-1)5 Ц[А, (5,х)]' '-5,
о ,=1 - 5 Л
что приводит к формуле (10).
Утверждение 1. Пусть С[ - окружность с центром в начале X -плоскости и радиуса I и пусть / (х) - функция, указанная в лемме, тогда
й! ^Т^Ы^^Ю- (12)
0<х<1 С1 0
Доказательство опирается на формулу (10), если учесть, что ,, 1 10 ,
I -01 [А, («• х)]е"1(х-Р)7(5)-5 = 0.
С1 Х 0 , =1
Последнее станет очевидным, если при ЯеХ<0 пользоваться выражением (9) % (х, 5, X).
В дальнейшем мы также ограничим себя рассуждениями в случае правой X -полуплоскости, опуская такие же суждения при Яе Х< 0.
Функция Грина и основная теорема
Последующее изложение тесно свяжем с известным выражением меро-морфной по X функцией Грина задачи (1)-(2) [7, с. 46]:
г ( А(х 5Х) (13)
г(х,5,Х)= ./.ч , (13)
А(х)
где
Д(Л) = det { Us ((х))} 10 s, j=1 =
еЛ еЛ еЛ еЛ еЛ е"Л е-Л е-Л е-Л е-Л
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Л 0 0 0 0 0 0 0 1 -Л
Л 2 2Л 2 0 0 0 0 2 -2Л Л 2
Л3 3Л2 6Л 6 0 0 6 -6Л 3Л2 -Л3
Л 4 4Л3 12Л2 24Л 24 24 -24Л 12Л2 -4Л3 Л 4
Л5 5Л4 20Л3 60Л2 120 120 60Л2 -20Л3 5Л4 -Л5
Л6 6Л5 30Л 4 120Л3 360Л2 360Л2 -120Л3 30Л 4 -6Л5 Л6
Л7 7Л6 42Л5 210Л 4 840Л3 -840Л3 210Л4 -42Л5 7Л6 -Л7
Л8 8Л7 56Л6 336Л5 1680Л4 1680Л4 -336Л5 56Л6 -8Л7 Л8
= АЛ 20(еЛ - е-Л , (14)
Д(х, Ъ, Л) =
g(xЪ,Л) У1 (х)...ую (х)
U (g )х
....... { (( (хС- =1
U10 (g)x
(15)
Из представления (14) следует
Утверждение 2. Спектр задачи (1)-(2) исчерпывается значениями = V е 2.
Разлагая числитель функции Грина на два слагаемых, согласно (13) получим представление:
G (х, Ъ, Л) = g (х, Ъ, Л) +
E (х, Ъ, Л) Д(Л) ,
(16)
где Е получено из определителя (15) заменой нулем элемента в его левом верхнем углу. При этом первый столбец в Е (х, X) с учетом условий (2) (считая Яе Х> 0) имеет вид
0,-1 [ А (Ъ)] е"Л(1-Ъ),0,.. 0
V
Л
(17)
где А(Ъ) = A (Ъ,1).
Ввиду формул (14), (15) и конструкции Е (х, X) усматриваем, что
E (x, Ъ, Л) = A (()
Л 16
Л e
_M1-x4)(14) E (x, Ъ, Л) = j_
Д(Л)
Л9
A (Ъ)
-Л(2"Х"Ъ). (18)
С учетом аналогичного представления в случае Яе Х< 0 получим Утверждение 3. Имеем
Нш
1 г d Л г
хг j х j
d Л 1E (x, Ъ, Л)
1 J Л J Д(Л)
f (Ъ^ Ъ = 0,
(19)
где Сп - окружность радиуса л ^ п + — J с центром в начале координат
X -плоскости; /(х) - функция, указанная в лемме. В завершение устанавливается
Теорема. Для любой девятикратно непрерывно дифференцируемой функции / (х), равной нулю вместе со всеми производными на концах промежутка (0,1), справедлива формула разложения по корневым элементам задачи (1)-(2):
l—m ^-РТ¡тjG(ъ,fЪ=f(x).
(20)
П—^
Доказательство. Согласно формуле (16) левая часть в равенстве (20) записывается в виде
1
lim 1 j d^ jg(x Ъ Л)
n—^^ J Л J
0
d9 f (Ъ)
■9
n—m J f jE (Ъ Л>
с0
d Ъ
Ld 9 f (Ъ) d Ъ9
d Ъ+
d Ъ.
Остается сослаться на утверждения 1, 3.
Библиографический список
1. Ильин, В. А. Избранные труды / В. А. Ильин. - М. : Изд-во МАКС ПРЕСС, 2008. - Т. 1. - С. 487-694.
2. Вагабов, А. И. Об условиях кратной разложимости функций по корневым элементам обыкновенных дифференциальных операторов / А. И. Вагабов // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 8. - С. 1067-1079.
3. Вагабов, А. И. Метод разделения переменных в решении многомерных смешанных задач с разделяющимися переменными / А. И. Вагабов, А. Х. Абуд // Доклады РАН. - 2014. - Т. 456, № 1. - С. 7-10.
4. Печенцов, А. С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих параметр с кратными корнями характеристического уравнения / А. С. Пе-ченцов // Дифференциальные уравнения. - 1984. - Т. 20, № 2. - С. 263-273.
5. Саакян, Н. С. Краевые задачи для дифференциального уравнения четвертого порядка в случае кратных корней характеристического уравнения : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Саакян Н. С. - Баку, 1985. - 135 с.
6. Вагабов, А. И. Четырехкратная разложимость в ряды Фурье по корневым элементам дифференциального пучка с четырехкратной характеристикой / А. И. Вагабов, А. Х. Абуд // Вестник Дагестанского государственного университета. Сер.: Естественные науки. - 2014. - Вып. 1. - С. 34-39.
7. Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. - М. : Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1958. - 468 с.
References
1. Il'in V. A. Izbrannye trudy [Selected works]. Moscow: Izd-vo MAKS PRESS, 2008, vol. 1, pp. 487-694.
2. Vagabov A. I. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2012, vol. 48, no. 8, pp. 1067-1079.
3. Vagabov A. I., Abud A. Kh. Doklady RAN [Proceedings of RAS]. 2014, vol. 456, no. 1, pp. 7-10.
4. Pechentsov A. S. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1984, vol. 20, no. 2, pp. 263-273.
5. Saakyan N. S. Kraevye zadachi dlya differentsial'nogo uravneniya chetvertogo poryad-ka v sluchae kratnykh korney kharakteristicheskogo uravneniya: dis. kand. fiz.-mat. nauk [Boundary problems for differential equations of fourth order in case of multiple roots of the characteristic equation: dissertation to apply for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences]. Baku, 1985, 135 p.
6. Vagabov A. I., Abud A. Kh. Vestnik Dagestanskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Estestvennye nauki [Bulletin of Dagestan State University. Series: Natural sciences]. 2014, iss. 1, pp. 34-39.
7. Stepanov V. V. Kurs differentsial'nykh uravneniy [A course of differential equations]. Moscow: Gos. izd-vo fiz.-mat. literatury, 1958, 468 p.
Вагабов Абдулвагаб Исмаилович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа, Дагестанский государственный университет (Республика Дагестан, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43-А)
E-mail: [email protected]
Vagabov Abdulvagab Ismailovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of mathematical analysis, Dagestan State University (43-A M. Gadzhiyeva street, Makhachkala, the Republic of Dagestan)
УДК 517.941 Вагабов, А. И.
Ряды по корневым элементам дифференциального пучка десятого порядка с пятикратными корнями характеристического уравнения /
А. И. Вагабов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 1 (41). - С. 44-50. Б01 10.21685/2072-3040-2017-1-5
