CC BY
8
УДК 517.941
ОДНА СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ЧЕТЫРЕХКРАТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ И КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ РАСПАДАЮЩЕГОСЯ ТИПА
© 2015 г. А.И. Вагабов
Вагабов Абдулвагаб Исмаилович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей алгебры и геометрии, факультет математики и компьютерных наук, Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, Республика Дагестан, 367000, e-mail: [email protected]
Vagabov Abdulvagab Ismailovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Higher Algebra and Geometry, Faculty of the Mathematics and Computer Sciences, Dagestan State University, Gadzhiev St., 43a, Makhachkala, Republic Dagestan, 367000, Russia, e-mail: [email protected]
Решается спектральная задача для дифференциального пучка у(х) четвертого порядка с четырехкратной
характеристикой и краевыми условиями распадающегося типа. Доказывается формула четырехкратной разложимости четырех произвольных функций в ряды по корневым элементам оперативного пучка при периодических граничных условиях.
Ключевые слова: функция Грина, собственные элементы, четырехкратное разложение.
The author solves spectral problem for the fourth-order differential beam ^ — -Aj y(x)■ with fourfold characteristics and
boundary conditions of the decaying type. The author proves the formula fourfold decomposability four arbitrary functions in series in the root elements of operational beam with periodic boundary conditions.
Keywords: Grien function, property element, four multiple decompose.
Постановка задачи
Изучение регулярных по Биркгофу - Тамаркину спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) продолжено в большом количестве последующими авторами [1]. К этому направлению относятся и наши работы [2, 3]. Особый случай нерегулярных задач представляет ситуация кратности корней характеристического уравнения соответствующего дифференциального оператора. В этом направлении имеются лишь частные работы, относящиеся к случаю дифференциальных операторов второго и четвертого порядков [4, 5]. В первой из этих работ установлена разложимость одной функции в ряд по собственным элементам, а во второй - полнота собственных элементов задачи. В нашей работе [6] доказана формула трехкратной разложимости трех произвольных функций в ряды по корневым элемен-
d
-X
0 < х < 1 при пе-
там операторного пучка V —х риодических граничных условиях.
В данной работе устанавливается подобный результат для пучка четвертого порядка:
l= -x] У(х), 0 < х < 1
при граничных условиях
= 0, к = 0,1,2;
dky
dxk
х=0
dd3z
dx3
-X
х=0
з d y dx3
(1)
= 0 • (2)
x=0
Определение. Функцией Коши уравнения I (у) = 0 называется функция g (х, %, X), удовлетворяющая условиям:
1) § - аналитична по X и дважды непрерывно дифференцируемая по х и % на интервале [0, 1];
2) при любом %е[0,1] она имеет непрерывные производные 3-го порядка по х в интервалах [0,%), (%,1\, причем имеет место формула скачка
х=%+0
= 1 .
х=%-0
d 3
dx
Непосредственно проверяется, что система функ-
ции
4
4
3
yj (x) = xJ eXx, j = 0,3 ,
(3)
является фундаментальной системой решений уравнения I (у) = 0 .
Утверждение 1. Функции
Го
g ( x,g,X) =
g(x,g ,X) =
(х~^) ^ Л( x-g )
0 < g < x < 1
при
3!
(-- )) 3 Л*) g )
3!
0
при
0 < x < < <1
0<g<x<1 0 < x < < < <
(4)
гои
стороны,
d3 g (x,g,X)
dx
d3 g ( x,g,X)
x =g+0
dx3
при
= 0 + x-g)|
x = g = 1.
x=g-0
lx=g-0
det A(X)
A( x,g, X) =
g (x,g,X)
e~Xg
3!
'-g- + g |e-xg 2 6
Xt g3-Xg2 +g|e-Xg Ц- - 3X2 g2 + 3Xg- l|e-Xg
Xx Xx 2 Xx 3 Xx
e xe x e x e
A(X)
' (5)
Л3 (ел-Л3) (л3 + 3Л2 )еЛ-3Л5 (Л3 + 6Л2 + вл)вл Л3 ([1]еЛ-б) Таким образом, легко видеть, что ай Д(Л) = 2Л3 ([1] еЛ - б) , (6)
где [1]-1 + О ^ - .
Согласно представлениям (5), (6) выделим в выражении С (х, g,Л) главную часть g
Е ( х,^, Л)
служат функциями Коши уравнения (1). (Первое из выражений (4) используется в правой, а второе - в левой Л -полуплоскостях).
Доказательство. Обозначая t = х -g имеем
(|-л)' (X-А3 еЛ->=( |-Л)' ^еЛ = о.сдру-
G (x,g,X) = g (x,g,X) + -
(7)
д(л)
Выражение Е получено из (5) заменой элемента из левого верхнего угла нулем. Разлагая определитель Е (x,g, Л) по последней строке и указывая лишь
старшие относительно степени Л слагаемые при Л —ж, найдем
Е ( х, g,Л)
д(л) ~
Аналогичны рассуждения в случае второго представления функции g (х^,Л) в формуле (4).
Изучение функции Грина
Используя фундаментальную систему (3) решений уравнения I (у) = 0, выпишем широко известное [5, с. 67] выражение мероморфной функции Грина для
. . Д( х^, Л) оператора (1), (2): С (Л) = 4 7
-1X8eX(x-g)g3x3 + XeX(x-g)eXx3g3 -X5x3g3eX(x-g) • eX
G_ 2___
(8)
где
ай Д(Л) - характеристический определитель задачи (1), (2); Д(Л) - его матрица. Согласно (2), (3) ай Д(Л) =
2Л3 ([1] еЛ - б)
Напомним, что рассуждения мы относим к полуплоскости ЯеЛ> 0 и, следовательно, х -g . Сформулируем результаты.
Утверждение 2. Характеристический определитель ае! Д(Л) имеет вид (6). Его корни Л, V е 2, при больших V имеют асимптотическое представление Л = б + г2яv , каждому из которых соответствует собственная функция уу (х,Л) = еЛх. В представлении (7) главная часть g при Яе Л > 0 определяется первым выражением в формуле (4), а второстепенная часть является мероморфной функцией и имеет асимптотику по Л —ж вида (8).
Формула четырехкратного разложения четырех функций по корневым элементам задачи (1), (2)
Лемма 1. Пусть I (х) ,0 - х -1, - четырежды непрерывно дифференцируемая функция и I (0) = I (0) = I"(0) = 0, тогда для функции Коши (4) при Яе Л > 0 справедлива формула
■¡3 .
} g (x,{X3 f (g) dg=^
Q XX
(9)
где е (х, Л) —^ 0 равномерно по х при Л — ж в правой полуплоскости.
2
X
Доказательство. Ввиду формулы (4) интегрирование по отрезку [0,1] заменим на [х,1]. Интегрируя по частям, получим
} g (х, %, Х)Х / (%) — % = Х3}(Х-%)3/ (%) И х-%)—% =
= Я2 j
(--tf
3!
f tf)
еЯ( =
= J
(-"tf
у
3!
f (О
+ j
( x
3!
( x-^)3
3!
f tf)
f tf)
еЯ( x dtf =
Л x)
Я x-i)
Я
-d£ =
_ f (x) , ^Я)
Я
£ = 0,8. Тогда на окружностях
C : Я1 = 2^(v +1
v e N,
справедлива оценка
1 E( x s( x, Я)
(10)
определяется выражением
l5jf (#)е_Я(1-x+i)dtf .
Ин-
где сходимость равномерна на (0,1).
Доказательство. Предел в левой части формулы (11) вычислим при 5 = 0 по полуокружностям (\. Птг,. где я-] - правая Я -полуплоскость,
1 1 (10) Нт— | —Х\ О (х,%,Хр (%, /X) —% = ¿т 0
= Нт— | —Х х
со 1Ж1 С^ ПяГ1
j g(x,4A) +
vuv
E(x,£, Я) А(Я) .
F(tf,f,l)dtf =1 (x) .
Стремление к нулю в (х, X) при X ^ да следует из свойств коэффициентов Фурье непрерывной функции.
Лемма 2. Пусть / (х) непрерывно дифференцируема восемь раз на [0,1] и /(к)(х)
= 0 при
Последний переход сделан на основании лемм 1 и 2 = леммы Жордана. Соединяя полученное равенство с аналогичным равенством при Яе X < 0 , получим формулу (11) при 5 = 0.
Перейдем к случаю 5 = 1. С этой целью запишем XF в виде
XF(%, /,Х) = [— - X ^ / (%) + X3/ (%) - 4Х2/ (%) +
+6X/! (%) + X2f2 (%) - 4X/:, (%) - Xfз (%) - (%). (12 )
Согласно (12) правую часть формулы (11) запишем в виде
1 1
Нт— / —XIО (х, %,X)XF (%, f,X) —% =
hm^ j dX\G(xtf,X)[d-Я| fo(#)+
C1
d tf
0ае1 A(X)" ' X4
где в (х, X) ^ 0 при V ^да равномерно по х е [0,1].
Доказательство. Напомним, что свои рассуждения относим к полуплоскости Яе X > 0 , и заметим, что старшая по X степень в выражении (8) равна 5. Вследствие этого оценка интеграла в формуле (10) вполне
1 i
+lim— j dXjG(x,£A)F (tf, f ,Я)dtf,
Im с o
(13)
где F = F -
-я) f0 (tf) •
В первом слагаемом правой части (13) оператор
jG(обратен оператору I--Я
d_ dtf
и потому
тегрированием по частям в нужном количестве придем к равенству (10), учитывая при этом свойство убывания коэффициентов Фурье непрерывной функции.
При формулировке основной теоремы используется выражение
F(%,/,X) - X3/0 (%)-4X2fo'(%) + 6Xfo"(£)-4/Х%) +
+X2f (%) - + /'(%) + ^./2 (%) - 4/2 (%) -/з (%),
относящееся к четырем функциям.
Теорема. Пусть / (х), г = 0,1,2,3, - функции,
удовлетворяющие условиям леммы 2. Справедлива формула четырехкратного разложения по собственным элементам задачи (1), (2): 1 1
Ит— / Г—^О(x,%,X)F(%,/X) —% = /5(х), (11)
2т г 0 5=0,1,2,3
1 1
это слагаемое равно т—: | /0 (%)— % = 0 . Второе
2т Су 0
же слагаемое по существу сводится к случаю 5 = 0, лишь с заменой роли /0 (х) на (х), т.е. формула доказана при 5 = 1. В случаях 5 = 2,3 надо произвести подобные процедуры с X2F (%, /, X) и X3F, которые мы опускаем.
Литература
1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.
М., 1969. 526 с.
2. Вагабов А.И. Введение в спектральную теорию диффе-
ренциальных операторов. Ростов н/Д, 1994. 160 с.
3. Вагабов А.И. Спектральная теория дифференциальных
операторов. Саарбрюккен, 2012. 78 с.
o
x
+
Я
x
Я
x
4
0
0
4. Печенцов А.С. Краевые задачи для дифференциальных
уравнений, содержащих параметр, с кратными корнями характеристического уравнения // Диф. уравнения. 1984. Т. 20, № 2. С. 263-273.
5. Саакян Н.С. Краевые задачи для дифференциального
уравнения четвертого порядка в случае кратных корней характеристического уравнения: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Баку, 1985. 135 с.
6. Вагабов А.И. Трехкратная разложимость в ряды Фурье
по собственным элементам обыкновенного дифференциального пучка третьего порядка с трехкратной характеристикой // Сб. ФДУ. № 4. Махачкала, 2002. С. 34-36.
References
1. Naimark M.A. Lineinye differentsial'nye operatory [Linear
differential operators]. Moscow, 1969, 526 p.
2. Vagabov A.I. Vvedenie v spektral'nuyu teoriyu
differentsial'nykh operatorov [Introduction to spectral theory of differential operators]. Rostov-on-Don, 1994, 160 p.
Поступила в редакцию
3. Vagabov A.I. Spektral'naya teoriya differentsial'nykh
operatorov [Spectral theory of differential operators]. Saarbriukken, 2012, 78 p.
4. Pechentsov A.S. Kraevye zadachi dlya differentsial'nykh
uravnenii, soderzhashchikh parametr, s kratnymi kornyami kharakteristicheskogo uravneniya [Boundary value problems for differential equations containing a parameter with multiple roots of the characteristic equation]. Dif. uravneniya, 1984, vol. 20, no 2, pp. 263-273.
5. Saakian N.S. Kraevye zadachi dlya differentsial'nogo
uravneniya chetvertogo poryadka v sluchae kratnykh kornei kharakteristicheskogo uravneniya: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Boundary value problems for differential equations of the fourth order in the case of multiple roots of the characteristic equation]. Baku, 1985, 135 p.
6. Vagabov A.I. Trekhkratnaya razlozhimost' v ryady Fur'e po
sobstvennym elementam obyknovennogo differentsial'nogo puchka tret'ego poryadka s trekhkratnoi kharakteristikoi [Triple decomposability in Fourier series in eigenelements ordinary differential third-order beam with a triple feature]. Sb. FDU. Makhachkala, 2002, no 4, pp. 34-36.
21 января 2015 г.
