Несимметричные интегральные преобразования и их приложения к задачам вязкоупругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

16 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2002. Специальный выпуск.

МЕХАНИКА

УДК 616.155

НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ВЯЗКОУПРУГОСТИ1

© 2002 С.А. Лычёв? Ю.Э. Сеницкий3

Построен новый класс несимметричных матричных конечных интегральных преобразований, порождаемых пучками несамосопряженных дифференциальных операторов. Введенные преобразования позволяют получать в классе вектор-функций, интегрируемых с квадратом, представления решений для несимметричных начально-краевых задач. Особенности этих представлений показаны на задаче об изгибе вращающегося вязкоупругого стержня.

Введение

Конечные интегральные преобразования (КИП) представляют метод построения решений начально-краевых задач в классе вектор-функций, интегрируемых с квадратом, в форме полных ортогональных или биортогональных разложений

[1-3].

Структурный алгоритм метода, разработанный одним из авторов [4], позволяет одновременно определить трансформанту и ядра преобразования как собственные функции дифференциальных операторов, порожденных исследуемой начально-краевой задачей. Сходимость подобных представлений к искомому решению обеспечивается полнотой системы собственных функций, которая для самосопряженных задач обеспечивается вариациями теоремы Гильберта—Шмидта. Для матричных самосопряженных дифференциальных операторов с простым спектром соответствующее обоснование приведено в [5]. Все это делает метод КИП эффективной процедурой решения, в частности, нестационарных задач симметричной теории упругости и теории оболочек [4].

Вместе с тем моделирование диссипативных систем приводит к построению несамосопряженных начально-краевых задач. Таковыми являются задачи о вра-щениии вязкоупругого изгибаемого стержня [6], о флаттере [7], шимми, задачи

1 Представлена доктором физико-математических наук профессором Ю.Н. Радаевым.

2 Лычев Сергей Александрович, кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета 443011, Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

3 Сеницкий Юрий Эдуардович, кафедра сопротивления материалов и строительной механики Самарской архитектурно-строительной академии, 443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

несимметричной теории упругости [8] и т.д. Несмотря на то, что вопросам неортогональных разложений посвящены довольно обширные исследования [9-13], их реализация сопряжена с трудностями как теоретического, так и процедурного характера.

К первым относятся обоснование полноты системы базисных функций и сходимости на них рядов Фурье. К настоящему времени известны признаки полноты лишь для частных классов несамосопряженных операторов [9,13].

Процедура построения решений в форме неортогональных разложений также неочевидна, поскольку полный базис должен включать в себя как собственные, так и присоединенные функции, образующие биортонормированную систему с соответствующими функциями сопряженного оператора. Следует отметить, что представление решений в виде разложений по биортогональным системам, состоящим только из собственных функций, ранее предлагалось одним из авторов [3] и использовалось для решения динамических задач теории неоднородных оболочек. Кроме того, диссипативные модели, как правило, содержат производные по времени различных порядков. Представления решений в этих случаях основаны на базисных системах пучков несамосопряженных операторов [12,13].

В настоящей статье введен новый класс несимметричных матричных КИП, которые позволяют осуществлять построения решений несимметричных начально-краевых задач в форме биортогональных разложений по полным системам собственных и присоединенных функций пучка несамосопряженных дифференциальных операторов. В дальнейшем изложении будем следовать плану:

1. Начально-краевая задача приводится к операторной форме задачи Коши.

2. По ее коэффициентам строится пучок дифференциальных операторов.

3. Определяется сопряженный пучок.

4. Производится построение резольвенты и спектрального уравнения.

5. В окрестностях точек спектра резольвента представляется в форме ряда Лорана, главная часть которого определяется специальным образом нормированными базисами корневых подпространств исходного и сопряженного пучков.

6. При условии, что указанные базисы в совокупности образуют полную систему, вводятся несимметричные операторы прямого и обратного преобразований.

7. Строится решение для трансформанты исходной задачи и осуществляется его обращение.

1. Задача Коши с операторными коэффициентами

Рассмотрим несимметричную начально-краевую задачу, заданную системой р дифференциальных уравнений порядка т + п (т — порядок по п — по х)

т п р

Г = 1, . . . , р,

(1.1)

начальными

-д-ук(х, 0 = у®(х), I = 0,..., т - 1, к = 1,..., р

?=0

(1.2)

и краевыми условиями

п— 1 р

г = 1,..., пр. (1.3)

В рамках статьи будем полагать интервал I = (а, Ь) с К конечным, а особенности коэффициентов а1*(х) устранимыми за счет подбора весовых функций.4 Решение задачи (1.1)—(1.3) будем искать в форме квадратично сходящегося разложения. Для этой цели на множестве комплекснозначных «-мерных вектор-функций, интегрируемых с квадратом на интервале I, определим гильбертово пространство со скалярным произведением (■, ■)

о

I

(V, ') = V ^ w йх,

(1.4)

где у,' е ^ — симметричная невырожденная матрица весовых функций, Т — знак транспонирования, ' — вектор, комплексно сопряженный к Симметричность и невырожденность ^ обеспечивают положительную определенность метрики ] и позволяют упростить построения, однако не являются необходимыми [16].

Сформулируем теперь задачу (1.1)—(1.3) в операторной форме. В области О = = {(а, Ь) X [0, /\]}, t\ < те рассмотрим задачу Коши с операторными коэффициентами, полагая 1"(х, /) е X заданной, а у(х, /) е X Ст — искомой вектор-функцией (Ct, Ст — соответственно классы гладких и т раз дифференцируемых по / функций)

т д д

Уд- 1 у(х, /) = ^х, /), — у(х, /) = У0г)(х), у(х, /) е Ъ, (1.5)

дР д/ t=o

1=00

где коэффициенты А^ представляют собой дифференциальные операторы

д1

Аг](х) ды' Аг;(х) =

1=0

а\у (х)

а\/(х)^

ар(х)

<р(х).

(1.6)

заданные в области Ъ = {у|у е ¿1 П С" Л В(у) = 0}. Здесь Ву(х) = Вау(х) + Воу(х),

п— \

В = Е в дх у(х,р)

1=0

п—1

Во = Е в0 дх у(х,р)

=0

х=0

(1.7)

Ва

ГР}1

^}

л

в

Во

.. Л

уЛ . Ч .. уёр ч /

й = пр.

Для дальнейших преобразований краевые условия удобно представить в виде

Ву = В W[y] = 0, (1.8)

где W — вектор значений функции у(х) и ее производных на концах интервала I

W[y]T = (у(а)т у(а)(1)т ... у(а)(п—1)т у(Ь)т у(Ь)(1)т В формуле (1.9) введены обозначения

у(Ь)(п—1)т). (1.9)

у(к)(а) = I? °(х)

у(к) (Ь) = — и(х)

=о

к = 1,...,п - 1.

4 Необходимость в использовании весовых функций возникает, в частности, при исследовании динамики сферических оболочек, сингулярные уравнения движения которых имеют устра-

нимые особенности в полярных точках [14,15].

х=а

х=а

х

Числовая матрица B размерностью d X 2d образуется блоками Ba, Bb:

в = (в B? ...b0 в ...Bt1). (1.10)

Пусть q = 2d - rank B. Тогда условия (1.8) могут быть записаны в форме

W[y] = Hw, H = Ker B = (hi,... hq). (1.11)

Здесь hi,...hq — базис нулевого подпространства матрицы B. Матрицу H будем называть приведенной матрицей краевых условий.

2. Полиномиальный операторный пучок

Задаче Коши (1.5) соответствует полиномиальный пучок

т

= £ V А, (2.1)

i=0

который можно формально трактовать как характеристическое уравнение для (1.5). Разложение (2.1) следует рассматривать как обобщение оператора Штурма—Лиувилля, к которому оно приводится при т = 1 и А\ = I.

Наряду с пучком (2.1) рассмотрим в области Б* сопряженный пучок

q = £ x'a;, (2.2)

который будем определять как оператор, удовлетворяющий соотношению

Уи Уу (и е V л V е V*) ^ ((£*и, у) - (и, £*у> = 0). (2.3)

Следует отметить, что область определения сопряженного пучка должна быть максимальной в и может зависеть от параметра X [17].

3. Сопряженный пучок

Все компоненты сопряженного пучка (2.2) определяются с помощью следующей теоремы.

Теорема 1. Операторные коэффициенты А*, I = 0,..., т сопряженного пучка представляются следующими выражениями:

a: = % Ajj a; = | (j

]=0 k=j w w

k!

j!(k - j)!

(3.1)

Область определения Б* операторов А* задается обобщенной матрицей краевых условий

В* = ИТ0Т, (3.2)

где Н — приведенная матрица краевых условий пучка (1.11),

Q = <0° Qj' Qab =

Qii(x) Q12 (x) 0 Q22 (x)

Qin(x)' Q2n(x)

Qnn(x),

(3.3)

x=a,b

0

0

дк+п+г-] , т -р—

(х) = Л .м+п+й А

к=п+'- '

р=0

(3.4)

Доказательство. Пусть и, у е Ё^. Тогда

пЬ , т _. ,Т гЬ , п , т > дj

и, у> = Xх'А> йх = щ ЕХ'А' дми

Ja 1 '=0 ^ 1 /=0 4 '=0 'их

(Ч

Ь , п 7 т

цу йх =

А ГЬ Г дj ^

= §! И(Х) дХ7и

С другой стороны, выполняя интегрирование по частям, получим

цу йх. (3.5)

ГЬ Т Г т

(и, Ч*у> = иТХ'А'У

^ 1 '=0

п рЬ

йх = У I |иТцРи(Х)

Ь

= 2 /

дj-л

-:У йх =

дхj

п '-1 дк , _, дj-k-l Ь п гЬ дj / _\

Zg(-1)kдXk(UT^Pj(X^дj-TV|ь + '' У йх. (3.6)

В формулах (3.5), (3.6) введены обозначения

тт

Р(X) = £ А*Г, ') = Х АЦХ'.

'=0 '=0

Вычитая из (3.5) выражение (3.6), получим

(ч*и, у) - (и, Ч*у> = О + I J йх,

Г

и а

где

п '-1

о = ё &-1)к |к( иТц и))

д'-к-1 _ Ь

V ,

'=1 к=0

J

дх'-к-1 д' чТ

X [(-1)' ' иТцР'(Х))- (р (Х) д' и)

'=0

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Из формулы (3.8) вытекает, что для выполнения условия (Ч*и, у) = (и, Ч*у> достаточным является одновременное обращение в нуль внеинтегральных членов О (3.9) и подынтегрального выражения J (3.10).

Легко показать, что это условие также является необходимым. Действительно,

гь

если это не так, то при обращении в нуль левой части (3.8) О = - ^ Jйх для любых и е Б. Но тогда J равен нулю на всех финитных на интервале I функциях, что невозможно в силу положительной определенности метрики Ё^.

Из тех же соображений следует, что условие J = £п=0 ^ иг Б. V = 0 эквивалентно п равенствам

Бк = £ (-1))

'=к

А д

-к

к дх'-к

^р(Х)) - РкТ(Х) ц = 0, к = 0,...,!

Т

С учетом (3.7) эти равенства принимают вид

т п /к\ дк- , ^

е Ат - i<-»' к дЫ-а?)

]=\ к=1 ^ '

X1 = 0,

откуда в силу произвольности X и вытекают соотношения (3.1). Выражение для Q (3.9) после изменения порядка суммирования

п ]—\ к

QЕ<-1)1 к

]=\ к=0 1=0

дх1

дк—

дхк—

^(X)

д —к—\ о V

дх]—к—\

приводится к виду

Q = W[u]TQW[V],

где (( — числовая матрица (3.3), (3.4); W[u], W[v] —значения вектор-функций и, V и их производных на концах интервала I.

Воспользовавшись соотношением (1.11), получим выражение

( = W[u]1Q[Hw],

(3.11)

причем компоненты вектора ' — произвольные числа. Из представления (3.11) вытекают условия для ( = 0 в виде (3.2); в силу произвольности ' они являются необходимыми и достаточными.

т

и

а

4. Резольвента пучка

Построим в явном виде резольвенту пучка т. е. оператор ^ = . Из определения резольвенты следует, что Уу е Ъ

£,у = 1", ад = у,

и представление для может быть получено как решение уравнения

Ер(Х) £ у=1

=0

удовлетворяющего краевым условиям

дх

Ву = 0.

Пусть Ук = (^(х, X) ... ир(х, X)) — решения однородного уравнения

д

Ер^ дх]у =

=0

дх

(4.1)

(4.2)

удовлетворяющие начальным условиям ^ = б]. Как известно, всего имеется 5 = п X р таких линейно-независимых решений. В совокупности Ук образуют фундаментальную матрицу

У, = У(х, X) =

'и\(х, X) . . ^ (х, X)4

к(х, X) . . К(х, X)]

(4.3)

Применяя метод вариации произвольных постоянных, представим решение уравнения (4.1) в виде

у(х, X) = У,С,,

где функции С, = С(х, X) = (С\(х, X) ... С *(х, X)) определяются из условий

У £ С = 0, (£ у) i- С = о,..., (^ У) » С = 0, (у) * С = Р—\1. (4.4) дх \дх /дх \дхп—2 ) дх \дхп—\ ) дх п у '

Действительно, из очевидных тождеств

№

3xq\

M = (£Ъ) C + 1 £((Ц-Г£

i=1

и соотношений (4.4) вытекает

?(Y,C)=(ВY,))0 <q <п-

dxq

dn I \ / dn \

=ЬC+P-1f, q=n

(4.5)

(4.6)

Таким образом,

J] j) Y,C, = (J j) Y,) C, + Pn(X) Pn(^)"1f = f.

j=0 j=0

Условия (4.4) формируют систему n X p линейных уравнений относительно JXC,:

0 ï

о

У,— C, = Uf, У, = dx

( Y,

dx Y,

^ ÔX1-1 ь '

U =

,ф-1,

Ее решение может быть записано в следующем удобном для дальнейших преобразований виде:

1 Гх 1 Гъ

C, = C, + C0, C, = -J S,(z)f(z) dz - -J S,(z)f(z) dz.

(4.7)

Здесь С0 — постоянные интегрирования, которые следует выбрать так, чтобы удовлетворить краевым условиям Ву = 0. Имеем

откуда следует, что

By = B[Y,C,] + B[Y, ]C°,

C = -(B[Y,])-1B[Y,C,].

Поскольку с учетом соотношений (4.5), (4.6)

B[Y,C,] = -(®a[Y,] - ®b[Y,])£ S,(z)f(z)dz,

для вектора постоянных С? справедливо равенство

С? = -2((®а[У,] + В[У,]) '(^[У,] - В[У,]) Г §,(2)^2) <2.

Окончательно решение краевой задачи (4.1), (4.2) можно записать в виде

у(х, X) = 1 У,(£ §,(1)Ц1) <2 §,(2)^2) <2-

-((®а[У,] + Въ[У,]) '(^[У,] - В[У,])£ §,(2Ж2) . (4.8)

Если ввести разрывную матричную функцию

К(х, X) = Х)'2 ^ х I -§(г, X), 2 > X,

то формулу (4.8) можно привести к компактному виду

у(х, X) = Г 3(Х, X)f(z) <Ь. (4.9)

^ а

Следует отметить, что ядро интегрального оператора (4.9)

3(х, X) = 1 У,

%(2, X, X) - ((®а[У,] + Въ [У,^®а[У,] - В [У,])] (4.10)

является функцией Грина задачи (4.1), (4.2).

Функциональную матрицу (4.10) можно представить в форме

3(х, X) = X,— + X?,

эу , , > кД(X)

где X, = 2У,К(х, X), X, = -2У,АГ(ВаУ, - ВъУ,), А — алгебраическое дополнение матрицы ®аУ, - ВъУ,,

Д^) = Бег [ВаУ, + ВъУ,].

Так как параметр X входит в дифференциальные выражения (2.1) полиномиально, то У, — голоморфная функция X. Следовательно, голоморфными также являются Д^), X,, X?, а ядро 3(х, 2, X) при условии Д^) £ 0 — мероморфная матрица-функция. Результат этого раздела сформулируем в виде теоремы.

Теорема 2. Резольвента Я, полиномиального пучка (2.1) при условии Д^) £ 0 представляет собой интегральный оператор

= Г 3(х, 2, X)f(z) <2

а

с ядром (4.10), аналитически зависящим от X, и определенный на всей комплексной плоскости за исключением счетного множества значений Xг■ таких, что

Д&) = 0. (4.11)

Особые точки ядра резольвенты X, в совокупности образуют спектр о пучка

о = {XIX е С Л Дф) = 0}, (4.12)

причем в силу голоморфности Д^) это полюса конечного порядка.

5. Главная часть резольвенты

Пусть X0 —нуль кратности 5 спектрального уравнения (4.11). Тогда резольвента как мероморфная оператор-функция X может быть представлена в форме разложения в ряд Лорана в окрестности X0 [13,18]

5 К

= У тт-^ + —М, (5.1)

(л - Xo)г

где — I = 0,..., 5, — ограниченные операторы. Поскольку = I, то и

(X - ^.СЛ = (X - (5.2)

причем левая часть равенства (5.2) может быть представлена в виде

(X - ^'.СЛ = Ц ^ - XoУ—i— + (X - Xo)s-0(X^. (5.3)

1=\

Из (5.2) и (5.3) при X — X0 вытекает определяющее соотношение для оператора —5: £ ,0 —5 = 0. Аналогичные

соотношения для —5—\,..., —\ можно получить, к раз дифференцируя по X левую и правую части равенства (5.2). Учитывая, что

дк

—(£,(X - Xo)sR,) =

= у [(>1 1 ¡Г/й(X - М) + Ш—((X - Xo)*-o(X))'

]=0 ^' 1=\ 4 ° '

и переходя к пределу при X — Xo, получим

ук|£,0)—5—к+] =о, £,]) = =у^л к =l,...,5-1. (5.4)

1=0 J 1=] V

Левую часть выражения (5.4), разумеется, можно разделить на к!.5

Рассуждая подобным образом, получим представление для резольвенты сопряженного пучка

А —; -

^ = У + —«(X),

' £ (X - Xo)i ^

—5 = 0, у 1 г*«—* = 0, £<Л = <■ = V —-— X"1 А. ^ 5 /! , 5—к+1 ' , 1X1 , (г - /)!

1=0 ^ * 1=1

Конкретизируем форму операторов —/ = 1,..., 5. Поскольку У z е имеет место £,0 —^ = 0, то —5 — проектор на ядро Кег £,0, т. е.

= С,(М, z), = У,0 N,0, (5.5)

Соотношения (5.4) в скалярном случае (п = 1) совпадают с результатами М.В. Келдыша[13].

5

где У,, —фундаментальная матрица (4.3) для X = X?, —нулевое подпространство матрицы, получаемой при подстановке У,0 в краевые условия (1.7):

N,0 = Кег ВУ,о,

а M0 = (mi ... — функциональная матрица, представляющая собой некоторый (уточняемый далее) k-мерный базис, k = dim Ker B.

Структура оператора Rs-i иная. Поскольку в соответствии с (5.4) для него должно выполняться рекуррентное соотношение L^0Rs-i + L^R = 0, то, с учетом (5.5), получим равенство

Vz е % LоRs-iz + L^G^M, z> = 0,

которое выполняется, если положить

Rs-iz = Gs-i<M2, z> + Gs <M0-1, z> + Gs<MS, z>. Здесь Gs-i — решение неоднородного дифференциального уравнения

L^0 Gs-i = -Lli0)Gs,

удовлетворяющее краевым условиям = 0, М?_ 1, М], — функциональные мат-

рицы, представляющие ^-мерные базисы. Заметим, что у операторов Я, и К,— различная геометрическая интерпретация: К, отображает С на подпространство,

в то время как К,— отображает С на многообразие, не содержащее нуля. Повторяя приведенные выше построения, получаем следующие формулы:

= X X ^ ^ 1 = 0,..., 5 - 1 (5.6)

]=0 к=00

Здесь находятся в результате последовательного решения краевых задач

' 1

О,— = — ®С,-г =

}=1 1

Производя аналогичные построения для сопряженного оператора, получаем:

= ¿Ё С- /М* +^+k, z>, = 0,..., ^ -1, (5.7)

]=0 к=0

' '1 I д]

—1 1I ,0 •• /|

= 1 ■>' ]=0 ■>'

Из равенства для сопряженных резольвент (Я,0и, у> = (и, у> вытекает соотношение (К,-ги, у> = (и, у>, подставляя в которое представления (5.6), (5.7), находим

ЧGS- = - Ё 7| L^)G*s-+j, Ё 7i(djG*s-+J =

<Z Z Gs-J<MS-j+i+k' »>' v> = <u^ 2 GS-J <Mk-j+i+k*>>,

J=0 k=0 j=0 k=0

и, далее, получаем последовательность равенств ' i-j_T ' i-j_T

Z Z <Mk-j+i+k' u> <G-j v> = ^ Z <GS-J, v> <Mk-j+i+k, u>, i = 1,...,s. (5.8)

j=0 k=0 j=0 k=0

Равенства (5.8) удовлетворяются, если главные операторы разложения резольвенты в ряд Лорана имеют вид

]-=0 к=0

Здесь Qj — матрицы постоянных, имеющие смысл нормы [19]. Представление (5.9) удобно записать в форме

Я,- 2 = К,-, <2,-1 <К-г, 2),

К,— = (с, С,-! ... с,), = (с, с,-1

... с;),

Ом+1 . . Q,-l QЛ

2,-, = . Q, 0

1 Q, 0. .. 0 о/

(5.9)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

Для представления (5.9) удается рекурсивно найти Q;■ из условия = I:

Г Гь — *т т ■ , п-1

Q, = ^ С, ^ IХ0-1ЛгС1 йх

гь г ,-1 — т т г т

Q,-i = - X Qs-j-l С;+1 2 к \к0-1лкС1 1 ]=1 11 к=1

Q, йх, I = 1, ...5 - 1.

(5.13)

(5.14)

6. Построение интегральных преобразований

Пусть и е В. Рассмотрим интеграл по комплексной переменной X

?еи = £1 ^Лои йХ.

г

(6.1)

Пусть Г — замкнутый контур, который ограничивает область, содержащую конечное число N полюсов резольвенты Полагаем также, что X = 0 не является собственным значением оператора Тогда, согласно теореме Коши

N

1еи = Л0и + ^ Иев,-

^^Лои

Поскольку ^0Л0 = I', где I' — сужение I на В, а вычеты находятся по первому оператору разложения резольвенты в ряд Лорана (5.1)

Иев,-

= 1 И^и,

то, с учетом (5.10), справедливо равенство

N 1 N 1

и = -У гК1,Л0и + 1еи = -У -Хи2и(Ки, Л0и) + 1еи 1=1 Х 1=1 Х

Если Уе > 0 существует контур Г такой, что |!еи| < е, то имеет место разложение

и = -К1га1г(К1г, Леи),

г=1

которое и определяет прямое несимметричное конечное интегральное преобразование У* и формулу его обращения У, т. е.

1 м

Ф = Уи = - - (К*, Леи), и = Уф = 2 К^^Ф,

(6.2)

УУ* = I'.

(6.3)

Заметим, что при отсутствии присоединенных векторов формуле прямого преобразования можно придать такой вид

ф=

У*и = - 1Л*К*, и).

(6.4)

=1

В частных случаях из (6.4) следуют векторные интегральные преобразования [4] (спектр прост, т — 1, Л0 = Л0, Л1 = I, В = В*); многокомпонентные и матричные преобразования [2,14] (спектр содержит кратные значения, т — 1, А-о — А-о, А^ — = Л1 — Н, В — В*); биортогональные преобразования [3] (спектр прост, т — 1).

Существование контуров Г, на которых интеграл !е принимает сколь угодно малые значения, является существенным для приводимого здесь построения. Для уравнений вида (1.1) это сводится к требованию регулярности краевых условий [13].

Из конструкции прямого преобразования непосредственно вытекает операционное свойство

г

ш

ЛТ1 ТхЛг — 0.

(6.5)

Здесь Л — жордановы матрицы, которые после соответствующей перестановки строк приводятся к каноническому виду

(Л

Л—

0 Л

Л —

-1

0

-1 . . -

(6.6)

Соотношения (6.3) (6.5) являются обобщением операционного свойства и обратимости преобразования, используемых в алгоритмической процедуре КИП [4].

0

0

7. Решение начально-краевой задачи

Перейдем теперь к построению решения задачи Коши с операторными коэффициентами (1.5). Сначала рассмотрим задачу первого порядка по

д

д

АоУ + .1— у — ^ у е В, —у

■ы

ЗГ

t=о

— Уо-

(7.1)

Действуем на левую и правую части равенства (7.1) прямым преобразованием У*, порождаемым линейным пучком

о

У*Лоу + УА1 - у — ЭТ.

Поскольку У* и А1 не зависят от /, то

о

У*Лоу + — У*Л1у — УГ (7.2)

Воспользовавшись операционным свойством (6.5)

—Т

У*Л0у + Л У*Л1у — 0, (7.3)

приведем (7.2) к виду

д —т (-1 - Л )ф — Ф,

где ф — УЛу, Ф — У, Л — блочно-диагональная жорданова матрица (6.6). Обращая

„ —т

оператор (дI - Л ), приходим к

Ф — (|I - ЛТ)-1Ф.

Если теперь принять во внимание обратимость интегрального преобразования (6.3), то решение задачи (7.1) можно представить в виде

у — У( —1 - ЛТ)-1У*1\ от

д —Т _ 1

Формулируя оператор I - Л ) в терминах матричной экспоненты и учитывая начальные условия для трансформанты ф0 — У*Лу0, окончательно получим следующее представление решения.

у — У

—т Г* —Т

ехр(Л /)У*Л1у0 + ехр [Л (/ - т)] УГ(т) ёт Jо

(7.4)

В общем случае задача (1.5) может быть сведена к (7.1), если положить у1 — у и сформулировать расширенную систему операторных уравнений.

т —

Аоу1 +Х Лг — у г — Г,

г=1

^уг-1 - уг — 0, / — 2,..., т, (7.5)

а начальные условия определить следующим образом:

&

г-1

дР

1у

— у0г-1). (7.6)

t=о

Начально-краевой задаче (7.5), (7.6) соответствует линейный пучок, действующий в расширенном пространстве вектор-функций Й — (Ё^)т

Н0 + -Н1 — 0, (7.7)

у

t=о

где операторы Но,1 образуются из блоков А, полиномиального пучка

ГАо 0 .. . 0 А А1 А2 . . . Ат-1 Ат

Но = 0 -I .. .0 , Н1 = I 0. .. 0 0

10 0 .. . -1] {0 0. .. I 0 )

Сопряженный к (7.7) пучок определяется операторными коэффициентами сопряженного пучка

Н0 =

Но

Ао 0. .. 0 А

0 -I . .. 0

0 0. .. -I;

Н1 =

А1 I . .. 0

А2 0. .. 0

'Аш-1 0. . I

Ат 0. . 0;

Повторяя построения, приведенные выше для линейного пучка, получим представление решения в виде

У = ?

ехр(Л ()

ш ш

^ 2 ЛТ°'-0УАуу0'-1) + ^ ехр [АТ(/ - т)]У7(т) йт

г=1 ]=,

(7.8)

8. Задача об изгибе вращающегося вязкоупругого стержня

Исследование вынужденных колебаний упругих тел с учетом сил вязкого сопротивления приводит к построению диссипативных математических моделей, качественно соответствующих физике нестационарных процессов. Один из способов учета вязкости материала основан на использовании в расчетной модели вязко-упругих законов состояния. Наиболее простым является закон Фойгта, согласно которому связь между напряжениями ог;- и деформациями ег;- записывается в форме

ог;- = + кеи, (8.1)

где Е¡кг — тензор упругих характеристик, к — коэффициент внутреннего трения.

Вопросам построения подобных моделей посвящена обширная литература [6]. При этом математическая формулировка сводится к несамосопряженным начально-краевым задачам, исследование которых связано со спектральным анализом операторных пучков, и доказательству полноты систем их собственных и присоединенных функций. Как уже отмечалось, в теории несамосопряженных операторов отсутствуют универсальные теоремы разложения, и полнота спектральных представлений (или возможность построения замкнутых контуров Г для сколь угодно малых значений !е (6.1)) обосновывается для отдельных классов задач различным образом. Так, в статье [20] из анализа асимптотических свойств ядра резольвенты установлена полнота собственных и присоединенных функций операторного пучка, определяющего поперечные колебания вращающегося стержня при наличии сил вязкого сопротивления. В настоящей работе посредством несимметричных интегральных преобразований (6.2) построены спектральные представления (7.8) для решений соответствующей нестационарной начально-краевой задачи.

Исследуются поперечные колебания стержня постоянного сечения, вращающегося без ускорения с угловой скоростью ю. Площадь сечения стержня составляет величину А, моменты инерции сечения относительно осей У, 2 равны = = = 3. Стержень изготовлен из изотропного вязкоупругого материала с модулем упругости Е, плотностью р и коэффициентом внутреннего трения к.

Поперечные колебания стержня моделируется в соответствии с гипотезами Бер-нулли, что приводит к следующим уравнениям движения в неподвижной системе координат:

д4 д4 д5 д2 В—-и + Вкю—- ш + Вк--и + т—-и = /X,

дх4 дх4 д/дх4 д/2 7

д4 д4 д5

В—- ш - Вкю—- и + Вк--

дх4 дх4 д/дх4

д2 , ш + т д/2 ш = /у

(8.2)

Здесь х — пространственная координата; / — время; и = и(х, /), V = у(х, /) —перемещения в направлении осей У, 2; / = /у(х, /), / = /*(х, /) — распределенные динамические нагрузки; В = Е3; т = рА. Наиболее общим упругим способам закрепления концов стержня соответствуют краевые условия

д3

1 2 1 2 ^ + ^ дх3и

д3

1 2 1 2 = + и* Т-З V

=о ,1 дх3

=о, 1

= 0,

з 4 д з 4 д2

У3 ' дхи + И3 ^и

=0, 1

3 4 д 3 4 д2

= уз' дх" + иЗ' "

=о 1

= 0,

(8.3)

1 2 3 4

где Vy *

положительные упругие характеристики опор. Соотношения (8.2), (8.3) совместно с начальными условиями

=о

= ио(х), ш

= шо(х), — и

í=о д/

= и1 (х), — ш г=о д/

г=о

= ш1 (х)

(8.4)

представляют математическую формулировку рассматриваемой задачи.

Решение задачи (8.2)—(8.4) будем искать в классе вектор-функций, интегрируемых с квадратом. Для этого на множестве комплекснозначных вектор-функций, отображающих сегмент I = [0, х] с К на С X С, введем гильбертово пространство (1.4) со скалярным произведением

<и, V) =

/ и

о

V йх.

(8.5)

Функции, удовлетворяющие краевым условиям (8.3), принадлежат области Б с ¿2. Определим операторы

Ао =

В Вюк\ д4

-Вюк В дх4'

А1 =

Вк 0\ д

0 Вк) д х4'

А 2 =

(8.6)

Начально-краевая задача (8.2)—(8.4) может быть сформулирована для заданной динамической нагрузки f = f(х, /), V/ е [0, f е , начальных условий ио,и1 е В, относительно искомой вектор-функции и = и(х, /) в виде задачи Коши с операторными коэффициентами

д д2

Аоу + А1 д/У + А2^У = ^ У е В П С4, у

í=0

д

= ио' ду

= и1.

í=0

(8.7)

X

X

X

X

и

Операторная задача Коши (8.7) порождает квадратичный пучок

= А0 + ХА1 + Х2А2. Сопряженный пучок, согласно теореме 1, имеет вид

д4

Ч - + + х л2, А- ^ в ,дх4-

/ B -Бюк\

(8.8)

(8.9)

При этом В = В*. Имеет место следующая теорема о полноте.

Теорема 3. Если квадратичный пучок (8.8) образован операторами (8.6),то спектр пучка о состоит из четырех последовательностей собственных значений конечной кратности с точками накопления те, к-1 ± /ю, собственные и присоединенные функции пучка формируют полный базис в Ё2.

Доказательство теоремы приведено в [20].

Теорема фактически устанавливает существование контуров Г для любых сколь угодно малых величин !е (6.1) и тем самым гарантирует справедливость представлений (6.2) для решения начально-краевой задачи (8.2)—(8.4) в виде

У - F

ехр(Л

о (FAluo + ЛТУ A2u0 + FA2v0) + £ ехр [ЛТ(/ - x)] FF(x) dx . (8.10)

Используемые здесь операторы интегрального преобразования F*, F в общем случае определяются соотношениями (6.2).

В частном случае шарнирного закрепления спектр состоит из простых собственных значений, которые образуют четыре последовательности

2 2

X1n, hn - - П^(вкл2п2 ± ^4imB(i + кю) l4 + Б2к2п2пЛ, n - 1,..., те, i - V-Г, 2lm4 \ /

X3n, X4n - - П-П- (вкл2п2 ± V4imB(i - кю) l4 + Б2 к2п2 л4), п - 1,..., те. (8.11)

2lm4

Перемещения стержня определяют следующие разложения, вытекающие из (8.10):

4 то

У-

e jn +

j=1 n=1

X jn A2e jn' Uo) + <A2e*n, vo^ exp(Xjn t)+

+ ^ (<F(x, x), e*n) exp[Xjn(t - x)]j dx

j. (8.12)

N jn

где е¡п, е*п — собственные функции порожденного задачей (8.8) и сопряженного (8.9) пучков

eln - e2n - | / I Sin

пп

пп -x

, e3n - e4n - | ^ Sin 1

1

пп

x

-i

sin

l

пп

т;

пп

Njn - --¡Г(Бп3я3[2/(кю + i) + j), j - 1,..., 4.

ein - e2n - , sin

9. Соотношения биортогональности

Остановимся подробнее на общих свойствах взаимных базисов ee* квадратич-

J j

ных пучков и порождаемых ими представлений вида (8.10). Соотношения биортогональности, аналогичные [3], устанавливает следующая теорема.

Теорема 4. Пусть L — квадратичный пучок вида (8.8), Yi — его собственное подпространство, соответствующее собственному значению Хг-, пучок — сопряженный к L, Y* —собственное подпространство A^, соответствующее собственному значению Ху. Если Ц- e Yi, k* e Y* и Хг- ф Ху, то

<Aiki, k* > + (Хг + X j)<A2 ki, k* > = 0,

(Acki, k*> - ХгХ;<А2ki, k*> = 0. (9.1)

Доказательство. Из равенств

L k ki = Aoki + Х-Ai ki + Х^^ = 0,

„ „ »» - »» -2 „ „ Lj k; = A;k; + x;Aik; + x; A2k; = 0

следуют соотношения

<A0k¿ + XjAik + X2A2 ki, k; > = <0, k; > = 0,

i - -2 , % <Aoki + X jAi ki + X;2A2ki, k; > = <ki, A0k; + X;A1k; + X; A2k; > = <k¡, 0> = 0. (9.2)

Воспользуемся линейностью скалярного произведения и преобразуем (9.2) к виду уравнений второй степени относительно X

<Aoki, k; > + Xi<Aiki, k; > + X2<A2ki, k; > = 0,

<Aoki, k; > + Xj<Aiki, k; > + X2<A2ki, k; > = 0.

Согласно теореме Виета,

Xi + Xj = -<Ai ki, k; ><A2ki, k; >-1, XiXj = <Aoki, k; ><A2ki, k; >-1,

откуда и вытекают доказываемые равенства (9.1).

Таким образом, последовательности вектор-функций {ki}°=i, {к*}°=i образуют биортогональную систему, нормировка которой определяется величинами

ni = <Aiki, k > + 2Xi<A2ki, k; >, Ni = <Aoki, k; >- X2<A2ki, k; >.

Доказанное в теореме 3 свойство последовательности {ki}°=i образовывать в базис обеспечивает отличие от нуля всех n¡, Ni, что позволяет ввести биортого-нальный нормированный базис двумя способами:

e¡ = Vñk¿, e* = Vñik;; <Aie¿, e;> + (X¿ + Xj)<A2e¿, e;> = öj Ei = VÑk/, e; = VÑk; <AoEi, E;> - XiXj^E» E;> = 6y.

Дальнейшие построения можно осуществлять с помощью любого из них с одинаковым успехом. Для определенности выберем первый способ. Тогда разложения по прямым {ei}°=i и сопряженным {e*}°=i базисным элементам могут быть представлены в виде (ф;, ф* — комплексные числа)

гс гс

2 ф; ei' 2 фК^-К + XiA2e;). (9.3)

i=i i=i

10. Разложения по базисным функциям

Для комплексных последовательностей ф,, ф* имеет место аналог теоремы Рисса—Фишера, справедливой для одновременного представления пары функций.

Теорема 5. Если {фг}°=1 —последовательность комплексных чисел такая, что

^ фгф/ег,eД1 + < те, (10.1)

i,j=i

то существуют f, g е L2^, удовлетворяющие условиям:

то то

llf - £ фгег|| = ||f - £ ф* (Aje; + ХгА2е; )|| = 0, (10.2)

i=1 i=1

где

llg - £ Хгфгег|| = ||g - £ ф; А2е; || = 0, (10.3)

i= 1 i=l

ф; = £<ег, е;>(1 + Xj ф}: (10.4)

j=i

Доказательство. Рассмотрим конечные суммы fn,

пп

fn = x Ф^е,' §п = x Х,фгег, fn, ^п 6 ¿г

i=1 i=1

Покажем, что последовательности {§п}^=1 являются фундаментальными

в В самом деле, для произвольных п,т

n+m

\\^+ш - fnll2 + I!§п+ш - gn\\2 = \\ ^ фгег||2 + \\ ^ Хгфгег||2 =

¡=П ¡=П

П+Ш П+Ш П+Ш

= X фгф'е¡> + X ф*ф№е¡> = X ф,ф](е,' е¡>(1 + ХД¡).

N _ _

Поскольку величины £ фгф/еь е;)(1+ХД;) действительны, положительны и в силу

,,¡=1

условия теоремы ограничены, то для произвольного е > 0 найдется такой номер п, что для всех т > п

п+ш

ф'ф^е' е¡>(1 + ХДу) < е.

',]=п

Следовательно,

Уе Зп Ут \\^+ш - fnII + \\&+ш - &\\ < е. (10.5)

Так как норма \\ ■ \\ —неотрицательный функционал на ¿2, то из (10.5) вытекают неравенства

- < е,

п+ш Ы < е.

Таким образом, последовательности фундаментальны в Ё2. Пространство

Ё2 полно и потому в нем имеются предельные элементы ^ g этих последователь-

ностей

№ = Не *,«!! = о

»=1 »=1

Рассмотрим теперь конечные суммы ^, еП

п п

С = X у<-(Л*«? + ХгЛ2е*)> еП = X ^е*> ^> еПе ^

»=1 »=1

где у» определяется выражением

V* = ^ <ег, e у>(1 + ХгХ;)фг j=i

Вычислим нормы разностей

n n

l|fn - fnII2 = ll ^ [фгег - Vi(A1e* + M-2e*)]||2 = ^ |фгф;<e„ ej> - ф^/^, Aje*+

i=1 i,j=l

+ X;A2e*> - v^/Aje* + X¿A2e*, e;> + v-V/Aje* + \iA*2e*, Aje* + X;A2e*>

llgn - gnil2 = ll ^ fe^ - ViA2e*]||2 = Yj [фгФ^]^, e;>-

i=l i,j=l

- фгуj^i<ei, A2e*> - ViФjXj<A2e;■, e]> + ViV;(A2e*, A2e*> и сложим полученные выражения

llfn - fnll2 + llgn - gnll2 = Yj [фгф](1 + x'xj)(ei, ej> - фг-^((e-, A2e* + X;A2e*>+

i,j=i

+ X¿(e¿, A2e* >) - ViФj((Aje* + XiA2e*, ej> + Xj(A2e*, e;>)+

+ ViV,( (Aje* + XiA^e*, Aje* + XjA2e* > + (A2e*, A2e* > j

(10.6)

Сумма первых слагаемых (10.6) в соответствии с (10.4) может быть представлена в форме

nn

^ фгф](1 + ХгХj)(e„ ej> = ^

i,j=l i=l

Вторые и третьи слагаемые (10.6) в силу соотношения биортогональности (9.1) преобразуются к виду

n 1 \ n ^ ф^Д(Aje,, e*> + (Xi + Хj) (A2e!; e*>j = ^ ф^,

i,j=l i=l

^ (Aiej, e*> + (Xi + X;) (A2ej, e*>) = ^

Z,./'=1 i=1

Из взаимности базисов ei, е; вытекает равенство

n

фг- = ^ уД <А1ег* + ХгА2е;, А1е; + Xj А2е; > + (А2ег*, А2е; >]. j=i

Воспользуемся этим выражением для преобразования последних слагаемых (10.6):

n n

X ViVj(<А1е; + ХгА2е;, А1е; + XjА2е;> + <А2е;, А2е;>) = ^ уф

i, j=1 i=1

Суммируем результаты:

n г

" " = 0,

||2 ' "gn- gnll2 = ), |фг^г - фг^г - w, + w,

llf - fnil2 + lign - gnll2 = £ [ч i=1

причем из положительности нормы следует, что

l |fn - f l l = l l gn - gn l l = 0.

Воспользовавшись неравенством треугольника, получим

l lf - fn l l = l l f - fn + fn - f l l < l l f - fn l l + l lfn - fn l l = l lf - fn l l < e.

Аналогичные построения приводят к неравенству

l l g - gn l l < e.

Таким образом, последовательности {fn}, {gn} фундаментальны в и сходятся соответственно к f, g:

то то

l lf - £(ф*Ale; + Х.-Л2e;) l l = l l g - £ Ф*A2e* ll = 0,

i=1 i=1

то

Ф; = lim у = У, фj<e¿, ej>(1 + h-hj).

n—>то f i

j=1

Для полной биортогональной системы {e¿}, {e;} оказывается справедливой следующая теорема разложения.

Теорема 6. Если система функций {ei}°=1 полна в L¡¡, то каждой паре вектор-функций f, g е L2 соответствует последовательность комплексных чисел {фг}°=1

фг = <f, Ale; + X¡A2e; > + <g, A2e; >, (10.7)

которые являются коэффициентами разложения пары {f, g} по функциям {e-}

тото

l lf - X ф'-e l l = l l g -Y¿ ^ф^- l l = 0. (10.8)

i=1 i=1

Последовательность {фг*}°=1, двойственная к {фг}:

ф; = <f, e i> + X¿<g, e¿>, (10.9)

определяет разложение {f, g} по базисным функциям {e }

тото

l l f - £ ф; (A1e; + h A2e;) l l = l l g - £ ф; A2e;l l = 0. (10.10)

Доказательство теоремы осуществляется по стандартной схеме [17,22] с учетом соотношений биортогональности (9.1) и представлений (10.2)-(10.3).

Теорема 6 позволяет построить формулы разложения У1", ъ е Ё2 в виде

^ =

да Л1{

, = 1

Л\е* + М-2е*> + (g, Л^е*)

, I-1 = £ [а, е> + М& е>] (Л + Х.-Л2) е,

1=1

20 = £ [<f, Л^е* + X,Л*2е*> + <ъ, Л2е*>] Xгeг, ъ1 = £ [а, е,> + Ыъ, е>

=1 =1

"0 = х ' |<f, Л*е* + X,Л*е*> + <2, Л*е- >1 X,«

=1

а также двойственные к ним формулы

Л2 е;,

f0 =

ТО ТО

2 [а Л1 е, + X,Л2е> + <2, Л2е>] е*, f1 = X [а е*> + X<2, е*>

§0 =

^ , Л1е, + X,Л2е, > + <ъ, Л2е>

=1

X,е;, 21 = £ ^, е;> + X,<ъ е*> =1

(Л1 + Xi Л2) е,,

Л2е,

которые удовлетворяют равенствам

| Г - а | = | | ъ0 - ъ1 | = | а - а | = | | ъ1 - ъ1 |= 0.

Из полученных представлений для простого спектра вытекает разложение (8.10).

11. Численные результаты

В заключение приведем некоторые результаты численного эксперимента, осуществленного по формулам (8.11), (8.12). Суммирование спектральных представлений осуществлялось методом Фейера [21].

Рассматривался шарнирно закрепленный вязкоупругий изгибаемый стержень со следующими характеристиками:

В = 1600 Н/м2, т = 2 кг/м3, I = 1 м, ю = 100 с-1, к = 0.001 с.

Точечный спектр показан на рис. 1. На рисуке отчетливо видно сгущение спектра в окрестностях точек к-1 ± /ю.

На рис. 2 изображены спектральные траектории, которые показывают зависимость собственных значений от коэффициента внутреннего трения к. При к = = 0 собственные значения становятся чисто мнимыми, что соответствует переходу к упругой задаче об изгибе в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Осциллограммы и эпюры прогибов стержня при действии в вертикальной плоскости внезапно приложенного равномерно распределенного по длине стержня короткого прямоугольного импульса приведены на рис. 3, 4. Возникновение колебаний в горизонтальной плоскости объясняется связанностью вязкоупругой задачи.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования РФ по фундаментальным исследованиям в области технических наук ТОО 121-2109.

е

In [А]

" - 200001

• 100001

• — псоссо * -30000 -поооо

Efe [А]

-100001

- " -200001

Рис. 1. Распределение собственных значений

Рис. 2. Частотные траектории

1\ M

1 1 Л 1 1 Â\ >МЛ\/

V/V/ II/ * 1

1 1 1

V

Рис. 3. Осциллограммы перемещений (--u(t), м;----v(t), м; x = 0.5 м)

Рис. 4. Эпюры перемещений (- — u(x), м;----v(x), м; t = 0.05 с)

Литература

[1] Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М.:Наука, 1986. 303 с.

[2] Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики // Изв. вузов. Математика. 1991. №4. С. 57-63.

[3] Сеницкий Ю.Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Изв. вузов. Математика. 1996. №8. С. 71-81.

[4] Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. 176 с.

[5] Сеницкий Ю.Э. Сходимость и единственность представлений, определяемых формулой обращения многокомпонентного обобщенного интегрального преобразования // Изв. вузов. Математика. 1991. №9. С. 53-56.

[6] Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. M.: Физматгиз, 1961. 339 с.

[7] Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. M.: Наука, 1976.

[8] Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

[9] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 437 с.

[10] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967. 508 с.

Бродский М.С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов. М.: Наука, 1969. 287 с.

Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев: Штиинца, 1986. 260 с.

Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. 1971. Т. 26. Вып. 4(160). С. 15-41. Лычев С.А., Сидоров Ю.В. Нестационарные колебания трехслойных сферических оболочек с кратным спектром // Изв. вузов. Строительство. 2001. №4. С. 31-39.

Сеницкий Ю.Э. Динамика неоднородной непологой сферической оболочки // Известия РАН. МТТ. 2002. №6. С. 144-157.

Егоров И.Е.,Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000. 336 с.

Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир. 1983. 431 с.

Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972. 740 с. Сеницкий Ю.Э., Лычев С.А. Определение нормы ядер конечных интегральных преобразований и их приложения // Изв. вузов. Математика. 1999. №8. С. 60-69.

Adamjan V., Pivovarchik V., Tretter C. On a class of non-selfadjoint quadratic matrix operator pencils in elasticity theory//Journal of Operator Theory. V. 47, №2, 2002. P. 325-341.

Харди Г.Х., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. М.: Физматгиз, 1959. 156 с. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 c.

NONSYMMETRIC FINITE INTEGRAL TRANSFORMATIONS AND THEIR APPLICATION TO VISCO-ELASTICITY PROBLEMS6

© 2002 S.A. Lychev7 Y.E. Senitskii8

In this paper a new class of nonsymmetric finite integral transformations generated by nonselfconjugate differential pencils is proposed. By the introduced transformations the solutions of nonconjugate initial boundary-value problems in the space of square integrable vector-functions are obtained. Integral transformations technique are demonstrated by dynamic problem of rotating visco-elastic beem.

Поступила в редакцию 29/XI/2002; в окончательном варианте — 15/X///2002.

6 Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. Y.N. Radayev.

7 Lychev Sergey Alexandrovitch, Dept. of Continuum Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.

8 Senitskii Yuriy Edwardowitch, Dept. of Structural Mechanics, Samara State Architectural Academy, Samara, 443001, Russia.