CC BY
15
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 9. № 2 (2017). С. 3-16.
УДК 517.98+517.9:532,
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПОВЕРХНОСТНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ
O.A. АНДРОНОВА, В.И. ВОЙТИЦКИЙ
Аннотация. Изучается спектральная задача в ограниченной области Q С Шт, зависящая от ограниченного операторного коэффициента S > 0 и параметра диссипации а > 0. В общем случае установлены достаточные условия, при которых задача имеет дискретный спектр, состоящий из счетного числа изолированных конечнократных собственных значений с предельной точкой на бесконечности, а также условия при которых из системы корневых элементов можно выделить базис Абеля-Лидского в пространстве ¿2(0). В модельной одномерной и двумерной задаче установлена локализация собственных значений и найдены критические значения а.
Ключевые слова: спектральный параметр, квадратичный операторный пучок, локализация собственных значений, компактный оператор, классы Неймана-Шаттена Sp, базисность по Абелю-Лидскому.
Mathematics Subject Classification: 35Р05, 35Р10
Памяти Томаса Яковлевича Азизова, чьи результаты и лекции помогли авторам, в написании данной работы.
1. Введение
В данной работе изучаются спектральные свойства одной линейной задачи математической физики в зависимости от размерности га области П С (с кусочно-гладкой границей д П), ограниченно го в Ь2(П) операторного коэффи циента Q > 0 и параметра а > 0, моделирующего интенсивность диссипации энергии на части границы Г. Итак, будем изучать задачу
(в П), (1)
(на Г), (2)
(на 5 := дП \ Г), (3)
для неизвестного поля и = и(х) (х € П) и спектрального параметра А € С.
Данная спектральная постановка порождается начально-краевой задачей, получающейся после линеаризации нелинейной задачи, изучавшейся ранее в работах И.Д. Чуешова [1] [3], Похожие нелинейные постановки можно найти также в статье Л. Напеве [4], где исследован вопрос затухания решений волнового уравнения в ограниченной области при наличии диссипации на границе, а также в работе I. Ьаз1еска и Б. Tataru [5], посвященной изучению равномерной стабилизации решений на границе области для полулинейного волнового уравнения с нелинейной диссипацией на границе.
-Au = -YQu du
— = али on
и = 0
О.A. Andronova, V.I. Voytitskiy, On spectral properties of one boundary value problem
with a surface energy dissipation.
© Андронова О.А., Войтицкий В.И. 2017. Поступила 1 февраля 2016 г.
Следует отметить, что в одномерном случае аналогичный вид имеет известная спектральная задача Редже, Такая задача возникает в теории рассеяния, В статье A.A. Шка-ликова [6] задача Редже сведена к квадратичному пучку с неограниченными операторными коэффициентами, установлена локализация спектра, получены оценки резольвенты, полнота и минимальность подсистем корневых функций, отвечающих «половине» собственных значений. По-видимому, подобный подход применим для исследования задачи (1)-(3). Например, он применялся в работе A.A. Шкаликова и A.B. Шкреда [7] для исследования одной трехмерной задачи из теории упругости.
В данной работе с помощью метода вспомогательных краевых задач типа С.Г. Крейна задача (1)-(3) сводится к некоторому квадратичному операторному пучку, который попадает в общий класс, описанный в работе М.Г. Крейна и X. Лангера [8] (см. также [9], с. 353-369). Однако, общие свойства операторных коэффициентов в данной задаче не позволяют применить к ней известные результаты о свойствах сильно демпфированных или слабо демпфированных пучков.
В случае Q = I (единичный оператор) данная спектральная, а также начально-краевая задачи, изучались ранее O.A. Андроновой и Н.Д. Копачевским в [10], где была доказана дискретность спектра, а также рассмотрены некоторые модельные примеры. В данной работе получены более общие спектральные результаты о существовании счетного числа изолированных конечнократных собственных значений и базисности по Абелю-Лидекому на основе теорем Т.Я. Азизова, М.Г. Крейпа-Х, Лангера, А.Г. Костюченко-М.Б. Оразова, а также М.В. Келдыша и В.Б. Лидского. Кроме этого, в работе более точно описываются свойства модельной двумерной задачи, устанавливается динамика изменения собственных значений в зависимости от параметра а > 0. Оказывается, каждое собственное значение проходит путь вдоль соответствующей непрерывной кривой в правой комплексной полуплоскости, стартуя при а = 0 с мнимой оси и возвращаясь на нее в пределе при а ^ Для части собственных значений численно найдены критические значения а, соответствующее началу их движения в сторону мнимой оси.
Отметим еще, что задачи с параметром в краевых условиях изучались ранее многими авторами. В работах K.M. Руссаковского и A.A. Шкаликова (см. [11] и [12]) построена общая теория обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка со спектральным параметром в уравнении и краевом условии, установлены достаточные условия существования цепочек из собственных и присоединенных элементов, образующих базис либо полную и минимальную систему в пространствах гладких функций. Достаточно общие постановки эллиптических краевых задач с линейным вхождением параметра в краевые условия рассмотрены в работах J. Ereolano, М, Seheehter, B.B. Барковского, А.Н. Комаренко (см. [13]—[15]). Асимптотика собственных значений подобных задач изучалась в работах А.Н. Кожевникова (см. [16], [17]). В приложениях такие задачи возникают при исследовании гидродинамических систем со свободными границами (см. работы С.Г. Крейна и Н.Д. Копачевского), в теории дифракции (см. работы М.С. Аграновича и соавторов) и др. В данной работе используется абстрактный подход к изучению краевых задач и задач сопряжения в липшицевых областях для эллиптических дифференциальных выражений, разработанный С.Г. Крейном и Н.Д. Копачевским. Он основан на использовании абстрактной и обобщенных формул Грина, приспособленных к конкретной задаче, а также на рассмотрении вспомогательных краевых задач и отвечающих им операторов (см. работы [18] [23]). Такой подход, в-частности, использовался в работах второго автора статьи (см. [21], [24], [25]) при исследовании некоторых задач с линейным вхождением параметра в уравнения и краевые условия.
2. Сведение задачи к исследованию квадратичного операторного пучка
Для того чтобы сформулировать задачу (1)-(3) в операторной форме, воспользуемся обобщенной формулой Грина для оператора Лапласа и смешанных краевых задач, которая получается как частный случай абстрактной формулы Грина, доказанной в работах Н.Д. Копачевского с соавторами [21] [23]. В последней работе на с. 97 приведен следующий результат.
Теорема 2.1. Пусть липшицева граница дП области П С разбита на куски Г с липшицевыми границами дГк, к = 1,д. Тогда, имеет .место следующая обобщенная формула Грина для, смешанных краевых задач:
ч
(V,и)н 1(п) = (V,и - Аи}Ь2(П) + ^(^кг],дки)Ыгк), V г],и е Н 1(П),
к=1
здесь косыми скобками обозначены значения функционалов, определяющихся элементами
и — Аи е (Н 1(П))* и дки :=(е Н-1/2(Г), при этом операторы следа := г] |Гк
Гк ^
переводят ограниченным образом, Н^П) в Н 1/2 (Гд.).
Замечание 2.1. Через Н 1(П) обозначается подпространство таких функций из Н 1(П), что каждый из операторов следа гук ограниченно переводит их в соответствующее пространство Н1/2 (Гд.) функций, заданных на Г д. и продолжпмых нулем в классе Н1/2 (Г) (см. [23]).
Если теперь в пространстве С.Л. Соболева Н 1(П) ввести эквивалентную стандартной норму
М! := У IV и|2 + ! |и|2^,
П 5
и полагать, что и е Щ3(П) := {и е Н 1(П) : и|^ = 0} то след такой функцнп на Г = дП\Б будет продолжен нулем в классе Н1/2 (дП), Отсюда с учетом теоремы 2.1 получаем такой результат.
Следствие 2.1. Пусть липшицева граница дП области П С разбита на две части, Г и, Б с липшицевыми границами. Тогда, имеет .место обобщенная, формула Грина:
ди
('П,и)н10 3(П) = ('П, —Аи)ь2(п) + (1г1,~^п}^2(г), V 'П,и е ^(П), (4)
где 7г] := г] |г: Н03(П) ^ Н1/2(Г) — оператор следа на, Г.
Будем теперь искать решения вспомогательных краевых задач С.Г. Крейна, основываясь на формуле (4).
Первая, вспомогательная задача (задача Ньютона для уравнения Пуассона): по функции /, заданной в П, найти решение V е (П) задачи
Зи
—Аv = fЫП), -=0^аГ), г; = 0(наБ). (5)
оп
Согласно формуле (4) классическое решение должно удовлетворять тождеству
(гП, у)н1(П) = (гП, f)L2(п), ^ е Н1я(П).
Будем называть слабым решением задачи (4) любой элемент V е Щ3(П), удовлетворяю.
Определение 2.1. Говорят (см., например, [18], е, 32-40), что два гильбертовых пространства Р и Е образуют гильбертову пару (будем использовать обозначение (Р;Е)), если Р является плотным линейным подмножеством в Е и существует ограниченный оператор вложения Р в Е, т.е. существует а > 0 :
\\и\\Е , Уи € Р.
При этом порождающим оператором гильбертовой пары ( Р; Е) называется оператор А : Р ^ Р*, единственным образом определяющийся из тождества
( г/,Аь)Е = (г], ь)р, Уг/,ь € Р.
Он имеет самосопряженное сужение А : Т'(А) С Е ^ Е = 'Я.(А), которое является положительно определенным оператором.
Поскольку пространства Н^8(П) и Р2(П) образуют гильбертову пару пространств, причем Н^3(П) компактно вложено в Р2(П), то справедливо утверждение.
Лемма 2.1. При любом / € {Н^3(П)) * существует единственное слабое решение V = А-1 $ задачи, (5). При этом, оператор А является оператором, гильбертовой пары 8(П); ¿2(П))- Сужение этого оператора, обладающее свойством 'Я-(А) = ¿2(П), является неограниченным положительно определенным, оператором, в Р2(П), при этом, Т>(А1 /2) = Н1
8(П) и справедливо тождество
(V ,АУ )мп) = (п, у)нЬз (п) = (А^п ,А^2У)Ь2 (п) , У г] ,у € Н1>8 (П).
Оператор А : ©(А) С Р2(П) ^ Ь2(П) имеет дискретный положительный спектр {\к(А)}^=1 с предельной точкой X = и асимптотическим поведением, (см. [26],)
\к(А) = сАк2/т[1 + о(1)], (к ^ то), > 0, т > 2. (6)
Обратный к нем,у оператор А-1 : Р2(П) ^ Ь2(П) является, компактным положительным оператором.
Вторая, вспомогательная задача, (задача Ньютона для уравнения Лапласа): по функции ф, заданной на Г найти решепне т € (П) задачи
дт
-Ат = 0(вП), — = ф (наГ), т = 0 (на Я). (7)
оп
Согласно формуле (4) классическое решение этой задачи должно удовлетворять тождеству
( ,
т)щ 3(П) = (7 V,^Ф)ЫГ), Уг1 € К я(П).
Будем называть слабым решением задачи (7) любой элемент т € Щ 8(П), удовлетворяющий этому тождеству для фиксированной функции ф.
В силу ограниченности оператора следа 7 : Н^8(П) ^ Н 1/2(Г) (см, [27]) для фиксированного ф € (Н 1/2(Г))* = Н-1/2(Г) выражение (тг1,Ф)ь2(г) является ограниченным функционалом па пространстве Н^ 3(П), Следовательно по теореме Рисса существует единственный элемент т = Тф € Н^ 8(П) такой, что
Ы,Ф)Мг) = (V, Тф)щ3 (П), V € Н1э (П), ф € Н-1/2 (Г). (8)
Таким образом, определен ограниченный оператор Т : Н-1/2(Г) ^ Н^8(П), сопряженный к оператору 7 в смысле тождества (8), Причем ^(Т) = Н18Н(П) — подпространство гармонических функций из Н^8(П), Отсюда приходим к такому результату.
Лемма 2.2. При любой гф € Н-1/2(Г) существует единственное слабое решение т = Тф € Н^^П) задачи, (7).
Сумма и = V + т е Н^(П) решений первой и второй вспомогательных задач является слабым решением задачи
В и
—Аи = /(вП), — = ф (наГ), и = 0(наБ). (9)
При этом решение является обобщенным, если / е Ь2(П), ф е Ь2(Г). Верно и обратное утверждение (см, абстрактный результат в [19]),
Лемма 2.3. Любой элемент и е Н^3(П) может быть единственным образом, представлен в виде суммы решений первой и второй вспомогательных краевых задач, т.е. в виде
и = у + т = А-1/ + Тф, (10)
где / = —Аи е (Н1, ^(П))*, ф = ди/д'п е Н-1/2(Г).
Отсюда следует, что обобщенные собственные значения и собственные функции исходной задачи (1)-(3) удовлетворяют операторному соотношению
и = — А2А-1(и + аТ^и, и е (П). (11)
Осуществляя замену г] = А1/2и е Ь2(П) и действуя на обе части (11) оператором А1/2, получаем эквивалентную исходной спектральную задачу для пучка
Ьа(А)г]:.= А2А-1/2(^А-1/2г1 — Аа(А1/2Т)(^А-1/2)г] + г] = 0, ц е Ь2{П). (12)
В силу тождества (8) и компактности вложения Н1/2 (Г) в Ь2(Г) несложно доказать, что операторы 7А-1/2 : Ь2(П) ^ Ь2 (Г) и А1/2Т : Ь2(Г) ^ Ь2(П) являются взаимно сопряженными и компактными. Отсюда оператор В := (А1/2Т)(7А-1/2) является неотрицательным компактным оператором в Ь2(П), при этом он имеет бесконечномерное ядро КегВ := {г] е Ь2(П) : г] = А1/2и, и е Н°(П)}. Если область кусочно-гладкая и ее размерность т > 2, то справедлива асимптотическая формула (см, [26])
Ак(В) = свк-1/(т-1)[1 + о(1)], (к ^ ж), св > 0. (13)
Оператор А := А-1/2(А-1/2 является, очевидно, компактным положительным оператором в Ь2(П), Используя введенные обозначения, задачу (12) можно переписать в виде
Ьа(А)'п = А2Ап — АаВ'п + 'п = 0, г] е Ь2(П). (14)
3. Простейшие свойства решений спектральной задачи
Самосопряженные квадратичные пучки вида (14) изучались ранее многими авторами, первые результаты исследований отражены в монографии [9], с, 353-369, Однако, пучок с конкретными операторами А и В не попадает в классы задач, описанные в [9], для которых установлена локализация собственных значений и доказаны теоремы о полноте.
Общие свойства пучка (14) установлены ранее в работе [10], Приведем здесь их без доказательства,
10. Число А = 0 не является собственным значением задачи,
20, Все собственные значения расположены в правой комплексной полуплоскости симметрично относительно вещественной оси,
3°, Спектр задачи может состоять лишь из конечнократных собственных значений {Ак(а)}^=1 с единственной возможной предельной точкой А = ж (это следует из теоремы И.Ц, Гохберга, справедливой для фредгольмовых операторных пучков, см, [9], с, 39), При
В
пых значений или вовсе их не иметь (см, пример в [9], с, 357),
4°. При а = 0 спектр задачи находится на мнимой оси (гиперболический случай) и состоит из бесконечного числа собственных значений
{ Ак}Г=1, Ак = ±гА-1/2(А), к = 1, 2,.... (15)
50. Если а формально равно то, т.е. рассматривается предельная задача
-Аи = -Л2ви (вП), и = 0(паШ),
то спектр также находится на мнимой оси и состоит из бесконечного числа собственных значений
{Лк >Г=1, Лк = ± Л-1/2(Л), к = 1, 2,..., (16)
где Л := А" 1/2дА"1/2 - компактный положительный в ^(П) оператор, Л - положительно определенный в Ь2(П) оператор задачи Дирихле для уравнения Лапласа,
60. При возрастании а от нуля собственные значения Лк(а), совпадающие с числами (15)
а = 0
оси, а при а ^ +то подходят к мнимой оси к предельным значениям (16) также по пер-
к
критичеекое значение а*к > 0 после которого Лк(а) начинает двигаться с ростом а не от мнимой оси, а к ней, попадая па нее в пределе при а = +то. Рассмотренные ниже модельные примеры покажут, что критические значения могут либо не зависеть от собственных значений, либо зависеть от них, но при к ^ то сходиться к определенному числу, В общем случае этот факт не доказан,
4. Теорема о дискретности спектра
Осуществим в задаче (14) замену спектрального параметра по формуле Л = 1 и рассмотрим вместо нее задачу
Ма(/1)г] := ^2г] - ^аВг] + Л^ = 0. (17)
В статье [10] (на стр. 25-27) приведено доказательство следующей теоремы, принадлежащей Т.Я, Азизову (ее доказательство существенным образом опирается на теорему В.И, Мацаева о свойствах несамосопряженного вольтеррового оператора, см. [9], с. 267).
Теорема 4.1. Пусть
ф(^):=^2/ + 11В + с, в = в* е ете, о ^с = с* е еж. (18)
Если выполнено хотя бы, одно из условий
В е бр, С1/2 е &я\бр (д >р> 1) (19)
или
В е бр\бя, С1/2 е вд (1 <д< р), (20)
то пучок Ф(и) имеет счетное множество ненулевых конечнократных собственных знаЛ = 0
Напомнпм (см. [9], с. 46, 120), что компактный (вполне непрерывный) оператор А принадлежит классу Неймана-Шаттена &р (р > 0), если его в -числа, т.е. собственные значения оператора (А*А)1/2, суммируются со степенью р, т.е.
те те
£(я;(А))р = £ ( Л, (А*А)1/2))Р < то.
3 = 1 3 = 1
Очевидно, что если А е б^о А е бр> для любо го р' > р, поэтому целесообразно вводить число р* := т£ {ре К : А е бр|.
- А
ют с его собственными значениями, то из асимптотической формулы Лк(А) = к-13 [1 + о(1)], ( к ^ то) следует, что А е бр, р > р* = 1/13, А1/2 е бр, р > р* = 2/13.
Известно, что для любого ограниченного оператора В произведения АВ, В А е &р как только А е &р. В [28], с. 395, доказано, что при условии Т е , 0 < р1 ^ ж, г = 1, 2, выполнено ТТ2 е &р, где р-1 = р-1 + р-1.
Замечание 4.2. По индукции устанавливается справедливость аналогичной формулы для произведения произвольного конечного числа операторов Т^, в частности Т1Т2Т3 е &р, где р-1 = р-1 + р-1 + р-1.
т > 2.
получаем, что В е &р, р > р* = т — 1.
Лемма 4.1. Если оператор ( > 0 ограниченно обрат им, то А1/2 е &р, р > р* = т.
Доказательство. При выполнении условий леммы найдутся положительные константы с* и с* такие, что с*1 ^ ( ^ с*1. Отсюда с*А-1 ^ А-1/2(А-1/2 ^ с*А-1, а значит с*Ак(А-1) ^ Ак(А) ^ с*Ак(А-1), В силу асимптотической формулы (6) получаем, что А-1 е &р, р > р* = т/2. Отсюда, используя признаки сравнения числовых рядов, заключаем, что А е &р, р > р* = т/2, а значит Л1/2 е &р, р > р* = т. □
( > 0
Л1/2 е &р, р> т.
I 2 у* \
Лемма 4.2. Если оператор ( е &г, г > 0, то А1/2 е &р, где р е ( -; 2г ).
\2 г + т )
Доказательство. Из формулы (6) имеем А-1/2 е &р/, р' > р* = т. Согласно замечанию 4,2 отсюда получаем, что А = А-1/2(А-1/2 е &р для
+ -1 ' // /ч-^ -1 . / /ч-П-1 I 2 1 +Р \ ГР
Р=((Р) +г +(р) ) ' 1
/2 г + р'\
2г + р'
Следовательно, при любом р' > т имеем А1 /2 е &р для р = (2гр')/(2г + р'). Образом функции /(р') := (2 гр')/(2г + р') ^а множестве (т;+ж) является интервал ((2гт)/(2 г + т);2г). □
т— 1 ( т— 1) т Лемма 4.3. Если оператор ( е &г для некоторого —-— < г < ---, то
А1 /2 е &т- 1.
Доказательство. Следует непосредственно из леммы 4,2, поскольку условия леммы рав-
. ( 2 г т „ \
посильны тому, что т — 1 € -; 2г . □
2 г + т
Теорема 4.2. Если, оператор (ограниченно обратим ит > 2 либо т = 3 и Б е &г для, некоторого г е (1; 3), то операторный пучок (17) имеет счетное .множество ненулевых конечнократных собственных значений с предельной точкой ^ = 0.
Доказательство. Применим к пучку (17) теорему 4,1 при В = —аВ, С = А.
Если оператор ( ограниченно обратим, то согласно лемме 4,1 имеем А1 /2 е &р, р > р* = т.
Так как ранее было установлено, что В е &р, р > р* = т — 1, то для любого числа
д е (т — 1; т) имеем В е &я, при этом А1 /2 е
Если т = 3 и Б е &г, т е (1; 3), то выполнены условия леммы 4,3, согласно которой /2
е &т- 1. Однако, в силу свойства В е &р, р > р* = т— 1, получаем, что В е &т-1. П
Следствие 4.1. При выполнении условий теорем,ы, исходный пучок (14) (и вместе с ним (12)^ имеет счетное множество конечнократных собственных значений с предель-А = .
5. Теоремы о полноте корневых функций
Обратимся теперь к известным результатам по теории самосопряженных квадратичных операторных пучков. Одним из первых результатов этой теории является следующая теорема М.Г, Крейна и X, Лангера, см, [8].
Теорема 5.1. Пусть имеется оператор-функция, Ь(ц) := ¡21 + ¡Б + С, действующая в гильбертовом, пространстве Н, где Б = Б* е С(Н), С > 0, С е бте(Н). Пусть ее невещественный спектр (который состоит из нормальных собственных значений, симметричных относительно вещественной оси) разбит на две части а0(Ь) = Л и Л (Л П Л = 0) тогда, операторное уравнение Ь^) := X2 + ZD + С = 0 имеет решение ^ = КС1/2 е бте(Н), где К е С(Н) — угловой оператор. При этом выполнены свойства:
1) ^ С;
2) ао(^) =Л;
3) для, любого 1 е Л оператор ^ и пучок Ь(ц) имеют одинаковые жордановые цепочки.
Ее доказательство основано на применении теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. Аналогичным методом в работе А,Г, Коетюченко и М.Б, Оразова [29] установлена связь между жордановыми цепочками пучка и операторного корня в случае вещественных собственных значений. Там доказано, что весь дискретный спектр пучка Ь(ц) распадается в общем случае на четыре части
аа(Ь) = и Л и Р2 и Л, (21)
где множества Бг С К (г = 1, 2) могут иметь непустое пересечение, при этом
) = и Л, а^*) = ^ и Л (22)
и Ь(/л) = (¡1 — Zл)(ц1 — Х*), Также описана процедура, позволяющая выделить из жор-дановых цепочек пучка, отвечающих 1 е те части, которые являются корневыми функциями для оператора Эти результаты позволяют в полной мере по свойствам
операторов ^ и X* описать спектральные свойства пучка Ь(и), в частности, из полноты
Х
Ь( ¡ )
Ь( ¡ )
чах мероморфной функции Ь-1(1), см, статью А,Г, Коетюченко и А,А, Шкаликова [30], однако, в данной работе такой метод не используется.
Будем использовать далее теорему М.Б. Келдыша и В.Б. Лидского, доказанную в [31], см, также [9], с, 302, Пусть X — некоторый линейный оператор, Ш(X) — замыкание множества {( Хи,и) : и е Н}. Оно либо совпадает с углом в комплексной плоскости раствора в г ^ к (с вершиной в начале координат) либо Ш (X) = С,
Теорема 5.2. Если для, компактного оператора, X множество Ш(X) является, углом, раствора, вг = к/р, где р > 1, и X е бр(Н) (можно требовать более слабое условие зга( X) = о(п~1/р) (п ^ то)), то система корневых элементов оператора X является
Н
В работе [32] (см, также [33] и [34], гл. 5) установлен следующий результат.
Теорема 5.3. Если в условиях теорем,ы, 5.2 множество Ш(X) является, углом, раствора, вг < к/р, где р > 1 и X е бр(Н), то си,стем,а, корневых элементов оператора, X образует в Н ряд Фурье, суммируемый м,етодом, Абеля, (далее будем использовать
3 >
Замечание 5.1. Определение данного метода суммирования впервые дано В,Б, Лид-ским в статье [32], пояснения можно найти в недавних работах М.С, Аграновича, В [34],
А
ром и образом Ш(А), симметричным относительно числа Ао : |А01 = 1 базиеноеть по Абелю-Лидекому порядка 3 > 0 означает, что существует полная и минимальная в пространстве Н система корневых эле ментов {} оператора А такая, что формальный ряд
(контур окружает одно изолированное характеристическое число оператора А) сходится после некоторой расстановки скобок (не зависящей от выбора элемента /еН)к некоторой функции ¡(Ь), сходящейся к f при Ь — 0,
Очевидно, пучок Ма(р) удовлетворяет условиям теоремы 5,1, при этом 2 = КА1/2 (где К — угловой оператор) содержится в том же классе Неймана-Шаттена, что и оператор Л1/2. В общем случае в силу спектральных свойств задачи множество Ш(2) является углом раствора 90 ^ ^.Предположим, что множество Ш (2) является более узким.
Теорема 5.4. Система корневых функций пучка Ма(ц), отвечающих собственным, значениям, из верхней (либо нижней) комплексной полуплоскости, а также часть корневых функций, отвечающих вещественным собственным, значениям,, образуют полную
Ж ж ж
систему в Ь2(П), как только в0 < — либо в0 <--1--и Q е &г, т > 0. При этом,
т т 2
данная система образует в пространстве Ь2(П) базис Абеля-Лидского порядка 3 > т
либо 3 > 30 :=- соответственно в первом, или, втором, случае.
2 г + т
Доказательство. Очевидно, для любого в0 < ж/т можно подобрать такое малое е > 0, что 90 < ж/(т + е). При этом из замечания 4,3 следует, что при любом ограниченном Q > 0 и любом £ > 0 имеем 2, Д1/2 е &р, р = т + е. Тогда по теореме 5,3 корневые элементы оператора 2 образуют базис Абеля-Лидского порядка 3 > т + е. Поскольку в рассуждениях е можно сделать сколь угодно малым, то достаточно полагать, что 3 > т.
Если Q е &г, г > 0, то согласно лемме 4,2 имеем 2, А1/2 е &р, где р е (¡0;2г). Из условия 90 < ж/т + ж/(2г) = ^/30 следует, что можно подобрать такое малое е > 0, что в0 < ж/(30 + е). Тогда то теореме 5,3 корневые элементы оператора 2 образуют базис
3 > 30 +
угодно малым, то достаточно полагать, что 3 > 30.
Так как каждый собственный и присоединенный элемент оператора 2 является таковым для пучка Ма(/1), то теорема доказана, □
Следствие 5.1. Если, дополнительно известно, что И,е2 > 0 ° также 1т 2 > 0 или 1т 2 ^ 0, то в0 ^ ж/2. Отсюда полнота, имеет .место как только т = 2 и Q е &г, г > 0, либо т = 3 и Q е &г, г < 3. По-видимому, данное свойство для, пучка Ма(ц) выполняется, однако, доказать его строго авторам, работы, не удалось.
Замечание 5.2. В теореме 5.4 условия па расположение образа Ш(2) в угле раствора
0
0
модифицированная резольвента оператора 2 имеет оценку (см. [33])
112 (I — А2)-1|| = 0(|А|-1), А -ж. На основании теоремы 5.4 и того факта, что преобразование А = 1/ц переводит угол
(и наоборот), получаем такой результат.
Теорема 5.5 (основная теорема о свойствах задачи [1]—[3]) - В условиях теоремы, 5.4 пучок La(A), а вместе с ним исходная задача, [1] —[3] имеет счетное множество а = Л U Л U F (F С R может быть пустым, Л П R = 0) собственных значений с един-
«-■ 1 с- с- f f •_<
ственнои предельной точкой на бесконечности, при этом, из корневых функции, отвечающих собственным, значениям, из верхней (нижней) полуплоскости, а также из части корневых функций, отвечающих некоторому подмножеству F\ С F (либо F2 С F), можно составить полную систему в L2(H), образующую в этом, пространстве базис Абеля-Лидского.
Замечание 5.3. Основываясь на результатах Аграновича М.С, из [26] (см, также [35]) можно установить, что теорема останется верной, если в задаче (1)-(3) оператор —А заменить на сильно эллиптическую формально-самосопряженную дифференциальную систему второго порядка LU := — -¡^т (^íj(х)j^j + с(х)и, а нормальную производную па производную вдоль конормали dvи := ™/=1 Vi(х)а^(х).
Здесь и = (и1(х),..., ип(х)) (х Е П) — искомая вектор-функция; aij(х) — п хп матрицы, элементы которых подчинены условию симметрии: а^(х) = а(х); с(х) — симметрическая положительно определенная матрица; v = (щ(х),..., ь'т(х)) — единичный вектор внешней нормали к Ш; главный символ уравнений а(х, £) := aij(х)(£ G Rm, |£| = 1) является положительно определенной матрицей равномерно по х Е П, Кроме этого, £а£(х)> сЕ1 СИ2 (х G Г, ^ G R,c> 0).
6. Модельные примеры
Установим локализацию собственных значений задачи при S = I в случае m =1 либо m = 2 и П = (0;я-) х (0; 1).
Рассмотрим сначала одномерную задачу
и''(у) — \2и(у) = 0, 0 <у< 1, и(0) = 0, и'(1) = аАи(1). (23)
Она была ранее изучена в [10], приведем сейчас кратко ее свойства.
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
cth А = а, 0 ^а< то. (24)
Несложно убедиться, что при а =1, уравнение не имеет конечных решений, т.е. точечный спектр является пустым множеством. Если а Е (0; 1), то мы приходим к последовательности
А-(а) := с_(а) + ш(р — 1/2), с_(а) := 1 ln , р = ±1, ±2,.... (25)
21 а
а > 1
Л = Л+(а):= с+(а) + тр, с+(а):=-1п —+—, р = 0, ±1, ±2,.... (26)
р 2 а — 1
При фиксированном а = 1 собственные значения расположены па прямой И,е Л = с_ (а) или И,еЛ = с+(а), параллельной мнимой оси. При изменении а каждое собственное значение двигается по прямым траекториям параллельно вещественной оси, причем
Л_ —У ^о (а — 1 — 0), Л+(а) — то (а — 1+0). (27)
а = 1
0< а<1
а > 1 имеется одно положительное собственное значение Л+(а), которое при возрастании а а — +то = 0
А+(а) при а — + ж стремятся к числам А+(+ж) = гтгр, которые являются решениями предельной спектральной задачи Дирихле:
и"(у) — А2и(у) = 0, 0 <у< 1, и(0) = и(1) = 0. (28)
Рассмотрим теперь в области П = (0;^) х (0; 1) двумерную спектральную задачу
ди
Ди — А2и = 0(вП), и = 0(на£), т- — Ааи = 0 (на Г), (29)
д
где Г := {(ж; 1) : х е (0; 1)}. Отыскивая решения в виде
и(х, у) = ип(х, у) = зт(пх)Уп(у), п = 0,1, 2,..., (30)
для каждого п получаем одномерную задачу
У^ — (А2 + п2)Уп = 0, 0 <у< 1, Уп(0) = 0, У^(1) = АаУп(1). (31)
Она имеет решение
Уп(у) = (у^А2 + п2) , (32)
из которого с учетом последнего краевого условия получаем серию характеристических уравнений
еШ V А2 + п2 = аА , п = 1,2,..., Яе^А2 + п2 ^ 0. (33)
V А2 + п2
п = 0
п > 0
Если осуществить замену г = А2 + п2, то, используя формулы для гиперболических функций, получаем равносильное уравнение
¡(г) := еЬ(2^)[(а2 — 1)г — а2п2] — [(а2 + 1)г — а2п2] = 0. (34)
( )
с, 565) уравнение /(г) = А всегда имеет бесконечно много корней с предельной точкой па
А
порядок функции еЬ(2^/г) равен 1/2, то тот ж порядок будет у функции /(г), если только (а2 — 1)г — а2п2 ф 0, Последнее возможно лишь при а =1, п = 0. Таким образом, при п > 0 ( ) А
пет, и уравнение (33) имеет бесконечно много решений Апк- Это подтверждается теоремой 5.4.
(а2 + 1)^ — а2п2 а2 + 1 При фиксированном п > 0 и а = 1 функция -----—— — —- как только
( а2 — 1) — а2 п2 а2 — 1
г — ж Следовательно, корни уравнения (33) сходятся при г — ж к корням того же урав-
п = 0, а < 1
а > 1 а — ж.
а < 1
либо нижней полуплоскости, будет полной в пространстве Ь2(П), если справедливо, что 9 0 < ж/2. При а = 1, по-видимому, полнота теряется, так как для п = 0 бесконечное число собственных значений А0& уходят на бесконечность (в этом случае, очевидно, 90 > ж/2.). Если а =1, п > 0, то из уравнения (33) после замены ( = у/г получаем
вЬС = ±г-. (35)
п
п > 0
ннй (пк = упк ± ггппк — ж ( к — ж). Несложно убедиться, что в этом случае обязательно Vпк — +ж. Отсюда данное уравнение при больших к близко к уравнению е^ = ±2г-.
Следовательно e2v = — (v2 + w2), и при v ^ +ж получаем, что |w| ^ Цev. Несложно
п2 " 2
2ж к
доказать, что wnk = ±жк + о(1) (к ^ ж), отсюда vnk = ln--+ °(1). Так гак при к ^ ж
п
_ 2п к
собственные значения \пк = л/С2, — п2 ^ \пк ^ ln-± тк. Следовательно, в
п
отличие от случая а = 1 при а = 1 и к ^ ж корни сходятся не к прямым, параллельным мнимой оси, а к экспоненциальным кривым f±(x) = ±е х.
При фиксированном п с возрастанием а собственные значения \пк = x + iy двигаются в комплексной плоскости по счетному числу непрерывных кривых, каждая из которых описывается неявной функцией
Im
+ + cth л/(х + iy)2 + пЧ = (х + г у) )
+ пЧ = Ima = 0.
(36)
Каждая из этих кривых начинается и заканчивается на мнимой оси, достигая при некотором а^к > 0 максимального значения х™кх, Результаты численных расчетов (с точностью до 10-4) представлены в таблице.
п =1 п = 2
к * апк хпк Упк к * апк хпк Упк
1 0.9984 1.7545 2.6480 1 0.9360 1.0270 3.2199
2 0.9952 2.6051 5.7417 2 0.9689 1.9301 5.9614
3 0.9962 3.1242 8.7794 3 0.9829 2.4716 8.9615
10 0.9995 4.7222 30.6147 10 0.9980 4.0925 30.7085
п = 3 п =10
к * апк хтах хпк Упк к * апк хпк Упк
1 0.8102 0.7154 3.9163 1 0.3271 0.2228 10.3107
2 0.9198 1.5447 6.3354 2 0.5378 0.6095 11.4494
3 0.9570 2.0817 9.1860 3 0.6839 0.9967 13.2420
10 0.9955 3.7235 30.8129 10 0.9520 2.5985 32.2284
Из таблицы видно, что критические значения а*пк существенно зависят от номеров пик. При фиксированном п > 0 и к ^ ж, по-видимому, а^к ^ 1 — 0, а значит 2ж к
хпкХ ^ 1п-, Упк ^ як. При фиксированном к с ростом п значения а*пк и соответствующие им х™кх монотонно убывают, при этом упк монотонно возрастают. При фиксированном а и к собственные значения \пк ведут себя аналогичным образом. Это связано с тем, что
п
вещественной оси.
Авторы благодарят Н, Д, Копачевского за полезные обсуждения и советы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чуешов И.Д. Введение в теорию бесконечномерных диссипативных систем. Харьков: Акта, 2006. 433 с.
2. I. Chueshov, М. Eller, I. Lasiecka Finite Dimensionality of the Attractor for a Semilinear Wave Equation with Nonlinear Boundary Dissipation // Comm. Partial Differential Equations. 2004. 29, № 11 12. C. 1847-1876.
3. I. Chueshov, I. Lasiecka Global Attractors for von Karman Evolutions with a Nonliner Boundary Dissipations // J. Differential Equations. 2004. Vol. 198. P. 196-231.
4. J. Lagnese Decay of the Solution of the Wave Equation in a Bounded Region with Boundary Dissipation // J. Diff. Equations. 1983. Vol. 50. P. 163-182.
5. I. Lasiecka, D. Tataru Uniform Boundary Stabilization of Semilinear Wave Equation with Nonlinear Boundary Dissipation // Diff. Integral Equations. 1993. Vol. 6. P. 507-533.
6. A.A. Shkalikov Spectral analysis of the Regge problem // Russ. J. Math. Phvs. Vol. 8 (2001), No. 3. P. 356-364.
7. Шкаликов А.А., Шкред А.В. Задача об установившихся колебаниях трансверсально-изотропного полуцилиндра // Матем. сборник. Т. 182, № 8 (1991). с. 1222-1246.
8. Крейн М.Г., Лангер Г.К. О некоторых математических принципах теории демпфированных колебаний континуум,ов // Труды Междуиар. симпозиума по применению ТФКП в механике сплошной среды. М.: Наука, 1965. С. 283-322.
9. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 448 с.
10. Андронова О.А., Копачевский Н.Д. О линейных задачах с поверхностной диссипацией энергии // Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Том 29. С. 11-28.
11. Руссаковский Е.М. Операторная т,ра,кт,овка, граничной задачи со спектральным параметром, полиномиально входящим, в граничные условия // Функциоальный анализ и его приложения. 1975. Т. 9, № 4. С. 91-92.
12. Шкаликов А.А. Краевые задачи для, обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Т. 9. С. 140-166.
13. J. Ercolano, М. Schechter Spectral Theory for Operators Generated by Elliptic Boundary Problems with Eigenvalue Parameter in Boundary Conditions I-II // Comm. Pure and Appl. Math. 1965. Vol. 18. P. 83-105.
14. Барковский В.В. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, соответствующих общим эллиптическим задачам, с собственным значением в граничных условиях // УМЖ. 1967. Т. 19, № 1. С. 9-24.
15. Комаренко О.Н. Розвинення за власними векторами самоспряжених операторгв, породже-них загальною задачею трансмгсп // 36ipnnK праць 1нституту математики НАН УкраТни. 2005. Т. 2, № 1. С. 127-157. (на укр. яз.)
16. Кожевников А.Н. Об асимптотике собственных значений и полноте корневых векторов оператора, порожденного краевой задачей с параметром в краевом условии // ДАН СССР. 1971. Т. 200, № 6. С. 1273-1276.
17. Кожевников А.Н. Спектральные задачи для, псевдодифференциальных систем эллиптических по Дуглису-Ниренбергу и их приложения // Матем. Сборник. 1973. Т. 92(134), № 1(9). С. 60-88.
18. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989. 416 с.
19. Копачевский Н.Д. Об абстрактной формуле Грина, для, тройки гильбертовых пространств и ее приложениях к задаче Стокса // Таврический вестник информатики и математики (ТИПА!). № 2. 2004. С. 52-80.
20. Копачевский Н.Д. Абстрактная формула Грина, для, смешанных краевых задач, // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Информатика и Кибернетика". 2007. Т.20(59), № 2. С. 3-12.
21. Войтицкий В.И., Копачевский Н.Д., Старков П.А. Вспомогательные абстрактные краевые задачи и задачи сопряжения // Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. Т. 34. С. 5-44.
22. Копачевский Н.Д., Радомирская К.А. Абстрактные смешанные краевые и спектральные задачи сопряжения // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Серия «Математика. Механика. Информатика и Кибернетика». 2014. Т. 27(66), № 1. С. 58-64.
23. Копачевский Н.Д. Об абстрактной формуле Грина для mройки гильбертовых пространств и полутора,линейных форм // Современная математика. Фундаментальные направления. 2015. Т. 57. С. 71-107.
24. Войтицкий В.И. О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона // Нелинейные граничные задачи. 2007. Т. 17. С. 31-49.
25. V. Voytitskv On Some Class of S elf-adjoint Boundary Value Problems with the Spectral Parameter in the Equations and the Boundary Conditions // Spectral Theory, Mathematical System Theory, Evolution Equations, Differential and Difference Equations (21st International Workshop on Operator Theory and Applications, Berlin, July 2010). Operator Theory: Advances and Applications (Basel AG): Springer. 2012. Vol. 221. P."635-651.
26. Агранович M.С. Спектральные задачи для, сильно эллиптических систем второго порядка, в областях с гладкой и негладкой границей / М.С. Агранович // Успехи математических наук. 2002. Т. 57, вып. 5(347). С. 3-78.
27. Е. Gagliardo Caratterizzazioni Delle Trace Sulla Frontiera Relative ad Alaine Classi di Funzioni in n Variabili // Rendiconti del Seminare Matemático della Universita di Padova. 1957. Vol.27. P. 284-305. (In Italian)
28. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Санкт-Петербург: Лань, 2010. 464 с.
29. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. О некоторых свойствах корней самосопряженного квадратичного пучка, // Функц. анализ и его приложения. 1975. Т. 9, выпуск 4. С. 28-40.
30. Костюченко А.Г., Шкаликов A.A. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи // Функц. анализ и его приложения. 1983. Т. 17, выпуск 2. С. 38-61.
31. Келдыш М.В., Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов // Труды IV Всесоюзного матем. съезда. 1963. Т. 1. С. 101-120.
32. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов ff Труды Моск. матем. об-ва. 1962. С. 3-35.
33. Маркус A.C. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве // Матем. сборник. 1966. Т.70 (112), № 4. С. 526-561.
34. M.S. Agranovich, B.Z. Katsenelenbaum, A.N. Sivov, N.N. Voitovich Generalized Method of Egenoscillations in Difraction Theory. Berlin: Vilev-VCH, 1999. 380 p.
35. Агранович М.С. Спектральные задачи в липшицевых областях // СМФН. 2011. Т. 39. С. 1135.
36. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том 2. М.: Наука, 1968. 624 с.
Ольга Андреевна Андронова, Академия строительства и архитектуры
Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского ул.Киевская, 181,
295493, г. Симферополь, Республика Крым, Россия E-mail: о . andronovaSlist. ru
Виктор Иванович Войтицкий, Таврическая академия
Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского,
Просп. акад. В.И. Вернадского, 4,
295007, г. Симферополь, Республика Крым, Россия
E-mail: victor. voytitskySgmail. com
