CC BY
8
Онлайн-доступ к журналу: http: / / mathizv.isu.ru
Серия «Математика»
2018. Т. 26. С. 105-120
УДК 517.98 MSG 35D35
DOI https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.105
Малые движения системы идеальных стратифицированных жидкостей, полностью покрытой крошеным льдом
Д. О. Цветков
Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь, Российская Федерация
Аннотация. В работе рассматривается линеаризованная задача о колебаниях системы слоев несжимаемой идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, полностью покрытой крошеным льдом. Под крошеным льдом подразумеваем плавающие на свободной поверхности весомые частицы некоторого вещества, которые в процессе колебания свободной поверхности друг с другом не взаимодействуют или их взаимодействие пренебрежимо мало, причем частицы все время находятся на поверхности в процессе малых движений данной системы. Математическая постановка начально-краевой задачи позволяет осуществить выбор функциональных пространств. Далее с помощью метода ортогонального проектирования удается совершить переход от исходной начально-краевой задачи к задаче Коши для неполного дифференциального уравнения второго порядка в сумме гильбертовых пространств. Изучение свойств операторных коэффициентов полученного уравнения позволяет доказать теорему о существовании и единственности сильного решения задачи Коши. На этой основе получены условия, при которых существует единственное сильное решение исходной начально-краевой задачи, описывающей рассматриваемую гидросистему.
Ключевые слова: идеальная стратифицированная жидкость, крошеный лед, задача Коши, операторное уравнение, сильно решение.
1. Введение
В связи с новыми потребностями прикладных наук возрос интерес к изучению динамических характеристик жидкостей, обладающих разными специфическими свойствами. К таким жидкостям, в частности,
относятся стратифицированные и флотирующие жидкости. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и теоретическим содержанием возникающих здесь проблем. Во многих случаях математические модели таких проблем существенно нелинейны и поддаются исследованию лишь численными методами. Однако ряд интересных и полезных задач можно рассматривать в рамках линейных моделей, приводящих к нетрадиционным начально-краевым задачам. Это, безусловно, определяет самостоятельный математический интерес к таким проблемам.
При исследовании реальных задач о колебаниях стратифицированной жидкости важным аспектом является не только учет непрерывного изменения плотности жидкости вдоль вертикальной координаты, но и учет возможных скачков плотности. Такие скачки (быстрые изменения плотности от одного значения к другому) встречаются в реальных ситуациях на некоторых глубинах в морях и океанах. Подобные модели, содержащие системы стратифицированных жидкостей, рассматривались в работе [9]. Были исследованы спектр и моды колебаний системы слоев идеальной стратифицированной жидкости, полностью и частично заполняющей сосуд цилиндрической формы, а также спектр колебаний многослойной вязкой стратифицированной жидкости полностью заполняющей произвольный контейнер. Доказаны теоремы существования обобщенных решений соответствующих начально-краевых задач.
Поясним теперь термин «крошеный лед». Рассмотрим идеальную несжимаемую жидкость, ограниченную свободной поверхностью и имеющую конечную или бесконечную глубину. Предположим, что на свободной поверхности жидкости плавают весомые частицы некоторого вещества, которые в процессе колебаний свободной поверхности друг с другом не взаимодействуют или их взаимодействие пренебрежимо мало. Такая ситуация с физической точки зрения возникает, например, когда мы имеем дело с очисткой или обогащением минерального сырья с помощью известной технической процедуры, называемой флотацией, или при наличии на свободной поверхности плавающего крошеного льда. Одной из первых работ, посвященных линейной теории флотирующей жидкости, является [10]. В дальнейшем был выполнен ряд исследований, которые были обобщены и подытожены в [2]. В частности, в работе [2] изучаются вопросы разрешимости начально-краевой задачи динамики флотирующей жидкости, описывающей малые колебания однородной жидкости. Отметим работу [8], где рассматривалась одна стратифицированная жидкость, полностью покрытая крошеным льдом.
В представленной работе изучается задача о малых движениях идеальной многослойной стратифицированной жидкости в сосуде со свободной поверхностью, полностью покрытой крошеным льдом. Исходная задача сводится к дифференциально-операторному уравнению второго
порядка в некотором гильбертовом пространстве, при этом структура операторных коэффициентов имеет более сложную структуру, чем в перечисленных выше работах, что приводит к усложнению получения итоговой теоремы о разрешимости.
2. Математическая формулировка задачи
Рассмотрим неподвижный сосуд, частично заполненный системой из двух идеальных стратифицированных несжимаемых жидкостей. Жидкости предполагаются тяжелыми и в силу этого действие капиллярных сил в задаче не учитывается. Обозначим через Qj (г = 1,2) область, занимаемую в состоянии покоя жидкостью плотности рог (i = 1)2), соответствующий участок твердой стенки — через Si (г = 1,2). Представим Г = дО,2 \ ¿>2 = Ti U Гг, где Г1 и Г2 — это нижняя и верхняя границы области 0,2 соответственно, причем Г2 полностью покрыта крошеным льдом. Введем систему координат Ох 1X2X3 таким образом, что ось Охз направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится на поверхности раздела Гь Обозначим через щ (г = 1,2) единичный вектор, нормальный к dfli (г = 1,2) и направленный вне
Будем рассматривать основной случай устойчивой стратификации жидкостей по плотностям рог = Рог(^з) (г = 1,2):
0 < A^min < Nf{x3) < A^max =: Nq^ < 00, (2.1)
Функции Ni(x3) (i = 1,2) называют частотами Вяйсяля - Брента, или частотами плавучести. Физически Ni(x3) равна частоте колебаний, с которой частица жидкости, находящаяся на уровне Х3 = const, будет колебаться в стратифицированной жидкости, если сместится с этого уровня.
Рассмотрим малые движения изучаемой гидросистемы, близкие к состоянию покоя. Пусть щ (г = 1,2) — поля скоростей в жидкостях, a (i = (i(t,x), х € Г» представляют собой отклонение свободно движущихся поверхностей жидкостей Г»(£) от Г^ (г = 1,2) по нормали Pi = Pi(t,x), х € Qi (г = 1,2) — отклонение полей давлений от равновесных; pi = pi(t,x), х € fli (г = 1,2) — отклонения полей плотности ОТ ИСХОДНЫХ Рог(жз).
Линейная постановка начально-краевой задачи о колебаниях рассматриваемой гидросистемы выглядит следующим образом (см., напри-
мер, [2;5;6]):
ди'
= Рш(Хз)(-^Рг ~ РгЗСз) + к (вО,), (2.2) & Ръ
сНущ = 0, + Урог -Щ = О (вО,),
щ-щ = О (на5г), — = й\ ■ П\ = «2 • П\ (наГ1), (2.3)
Р1-'Р2 = Ард(г, Ар := р01 - р02 > 0 (на ), / = О,
дС2 д2С2
— =и2-п2 (наГ2), Р2=др02(2 + р0~ор- (наг2), (2.4)
Щ(0,Х) = Й°(ж), Рг(0,ж) = р°(ж), (¿(О,®) = (°(ж).
Записывая второй закон Ньютона для частиц ледовой крошки и линеаризуем его, получим динамическое условие 2.4 на Г2 (см. подробнее [2]), где ро — поверхностная плотность ледовой крошки. Последние три условия — это начальные условия, которые добавлены к задаче для полноты ее формулировки, (¿(£Г^ = 0 есть условие сохранения объема.
Отметим, что для классического решения задачи 2.2 — 2.4 имеет место закон баланса полной энергии:
1 Аг/ 2
2 ' Ш
2
0(2 2
(1Т2 +
V / р0^х3)\щ\2 (1П + р0 /
^г -/Г
+ (У232 [ [р0г^02]_1|рг|2^г + Р025 [ | (21!2 ¿Г2 +9АР [ К^2 (1Т1
2 Г
= раг{Хз)1г-Щ<Ю,г. (2.5)
Левая часть 2.5 представляет собой сумму производной по £ полной кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Полная кинетическая энергия (первая скобка) равна сумме кинетических энергий жидкостей в областях и кинетической энергии крошеного льда. Полная потенциальная энергия (вторая скобка) равна сумме потенциальной энергии жидкости, обусловленной наличием сил плавучести, смещением свободной поверхности и поверхности раздела. Правая часть есть мощность внешних сил.
В начально-краевой задаче 2.2 — 2.4 можно исключить поля плотностей рг(£,ж), если ввести взамен поля скорости щ(Ь,х) поле малых смещений частиц жидкости связанных с щ(Ь,х) соотношениями
ди'
сЦу щ = 0 (г = 1,2) (вП). (2.6)
Тогда вместо 2.2 придем к связи (см. подробнее, например, [8])
х) = -VpOÍ ■ х) + Д0(ж) = -Рог(ЖзНз(*, Х) + До(ж), , . До (ж) :=Рг(0,ж) +р(Н(жзМ,з(0,ж), :=щ-ёз,
и к уравнениям для щ(1;,х) и ^¿(¿,ж):
V'
= ~Рш(Х^Рг ~ М?(хз)ь^зёз + 4>^0{х), (ЙУ Щ = 0 (вГ^),
= ¡г{Ь,Х) ~ д/г,0(х)ё3/р0г(х3). (2.8)
С учетом сказанного перепишем исходную задачу 2.2 — 2.4 в виде: <Э2й
-P0i (^3)Vpi - ^ {Хз)Уг,зёз + ФЫХ), div Щ = 0 (вГ^),
г/• n =: vra = 0 (на5), щ ■ щ = v2 ■ п2 (наГ2), / =
JVi
(p"V 2 3
Pi -р2 = Apgvi}3, (naTi), p2 = gpo2(0)^2,3 + Po df2 (наГ2), du '
-т£(0,х) = щ{ 0, ж) = й°(ж), ^(0,ж) = г^(ж), ММ) = Сг(0,ж) = С°г{х) (жегг), г = 1,2. (2.9)
3. Об одном ортогональном разложении гильбертова
пространства
Пусть задана область Q С К3. Граница области dil = S U Г, где Г — связное множество с mes Г > 0. Введем пространство Яр(Г2, р) функций из H1(Q, р), имеющих средним значением по Г нуль, с нормой
\\р\\2н^п,Р) = fnP~1\^P\2dQ<^ JpdT = 0. (3.1)
Как и при р = const, для Яр(Г2, р) имеет место ортогональное разложение:
tff(Q,p) =Я^(О,р)®Я01;Г(П,р), (3.2)
где
н13(П,р) = {р&Н'(П,р)\ V-(p"1Vp) = 0 (в fi),
p~lVp-n = 0 (на S"), J pdT = 0}, Н^П, р) = {р (= Н&П, р) I р = 0 (на Г)},
причем ортогональность в 3.2 понимается относительно скалярного произведения, соответствующего норме 3.1.
Предположим теперь, что Г = Г^иГг, Г1ПГ2 = 0, Ti и Г2 —связные множества ненулевой меры, расположенные горизонтально. Введем в рассмотрение множество
tf^(Q,p) := [р & р)\ V ■ (p-'Vp) = 0 (в Q),
p~1Vp-ñ = 0(на5), I ^dT1 = 0, ¡ ^dT2 = 0, ¡pdT = o).
Jn дп Jr2 dn Jг J
В работе [6] доказана Лемма 1. Справедливо ортогональное разложение
н18(П,р) = ф {а(ро}, (3.3)
где {а (ро} — одномерное подпространство, а функция (ро является решением следующей краевой задачи:
V-(p"1V^o) = 0 (б О), p_1V(/?o ■ ñ = 0 (на S), (fio = mesT 1 (на Г2), (fio = — mesT2 (на Ti).
Разложение 3.3 порождает разложение подпространства потенциальных полей Ghts(Q, р) в ортогональную сумму:
Óh¡s(n, р) = р) Ф {а р"1Vipo}- (3.5)
4. Метод ортогонального проектирования. Вспомогательные краевые задачи и их операторы
Для области введем разложение пространства векторных полей Ь2({}\, Р01) в ортогональную сумму (см. [6]):
Ь2(Пъро1) = /о(Оьро1) фСн^Л^ъ рог) © гчФьйл)- (4Л)
Jo(f¿i, poi) '■ = { й\ | div-ui = 0 (в Qi), й\ ■ ñ\ = 0 (на <9Qi) }, GhySl(fti,poi) ■ = {щ | vi = pQi(x3)Vpi, vi -ñi = 0 (на Si),
V • vi = 0 (в Qi), / pidTi = 0}, G0,ri(^i,Poi) ■ = {wi \wi = pQi(xs)V(pi, <pi = 0 (на Ti) }.
Будем считать й\(1,х) и /9011\7р1(^,х) функциями переменной £ со значениями в рог), тогда в силу уравнений и граничных условий
2.9, ортогонального разложения 4.1 имеем
€ /о(^1,ро1) ®Сн,зЛ^1,Ро1) = Лад (Г21, Р01),
€ Со,Г1(^ьРо1) Ф Р01) = Р01).
Поэтому при каждом £ будем разыскивать их в виде
= гйг^, х) + рд/УФ^, ж), (¿, х) € /о(Оьро1), рё/УФ^ж) € Сад^, рог), (4.2) Ро/Ур^ж) = ро/ур!,!^,^) + РмУргг&х),
6 ^^(Пь Р01), Рд/У^Д^ж) € С0)Г1(^1,Р01)-
Обозначим через Род, ^/ад и -Ро.Гх ортопроекторы на подпространства
7о(ПьРо1), С/г,^?!(^1) Р01)) С0,Г1(^1,Р01) соответственно. Тогда, подставляя 4.2 в первое уравнение 2.9 для г = 1 и применяя ортопроекторы, получаем
д2ъи\ М2
од
Л^з) ( ^011§§1 ) е3
(ро/УФ1) + ро^рг,! + Рад
Ро/
= Ро,1*01,0)
Р01^Р1,2 + Ро,Г1
0*3) ( Ро/
дхя
дх3 + гУ1,з I е3
+ гУ1,з ^ е3 = Ро,Г1^1,о
(4.3)
(4.4)
Из 4.4 следует, что составляющая поля давлений, обусловленная слагаемым Ро/Ур^г, определяется лишь полем вертикального смещения г>1;3 и начальными условиями, следовательно, достаточно ограничиться рассмотрением первых двух соотношений, а также граничных условий и начальных данных с соответствующей заменой р\ —>■ р\}2-, так как Р1 = Р1,1 + Р1,2, Р1,2 = 0 (на Г1).
Для области введем разложение пространства векторных полей ¿2(^2, Р02) в ортогональную сумму:
¿2^2, Р02) = М^2,р02) ф 0^2(^2, Р02) ф С0,г(^2,Р02)-
(4.5)
Подпространство Сь,з2 (^2, Р02) из 4.5 состоит из квазипотенциальных гармонических полей с нулевой нормальной составляющей на твердой стенке ¿>2, для которых также выполнено условие сохранения объема по всей границе Г = Г1 и Г2. В изучаемой задаче, в силу несжимаемости жидкостей, условие сохранения объема должно выполняться на каждой из границ Г; и Г2 в отдельности. Отсюда следует, что
подпространство ¿^^(Ог, рог) шире, чем требуется. В связи с этим, воспользуемся разложением этого подпространства в ортогональную сумму двух подпространств (см. 3.5), естественным образом приспособленных к данной задаче.
Учитывая 3.5 и 4.5, введем ортогональное разложение
¿2(^2, Р02) = /о(^2,Ро2) ®С^(02,рог) © {ар^У^о} ф С0)г(^2, Р02),
где Г = Г1 и Введем также ортопроекторы на соответствующие подпространства: Р0,2, Р^2}
Как и прежде, в силу условия соленоидальности и условия непротекания на твердой стенки ¿>2 считаем, что щ € </о(^г, Ро2)©С^-^(02, Рог)-
Поле р21^р2 квазипотенциально, поэтому
6 Рог) © {арю © <50)г(^2, Рог)-
Представим поля г/2 и р21^р2 в виде:
у2 = уо2 + Рог^Ф2, %ю2 € /0(О2, рог), Ро2^ф2 е Рог),
Рог1 = Рог^Ргд + Ро2^Р2,2 + а(£) Рог^^о, (4.6)
Рог^Ргд € Рог), Рог1 ^2,2 € Со,г(^г, Рог)-
Подставим эти представления в уравнение движения для идеальной жидкости из 0,2 и применим к нему ортопроекторы. Получим:
+ Р
0,2
_1 <ЭФ2
^Чг(жз) ( Рог ^¡Г +ад2,з ) е3
д2ъо2 д2
(Р02^Ф2) + Ро"г^Р2;1 + Р-}
= Ро, 2-02,0,
^2 (Ро"21^-±+^2,з]ез
<9Ф
<9ж.
Рог1 ^2,2 = +Ро, г
_1<ЭФ2
ЛГ2(жз)(Рог^ + ^2)з)ез
_1 <ЭФ2
^гЫ ( Рог -д^Г +ад2,з ) е3
= ^^2,0,
(4.7)
(4.8)
(4.9)
Соотношения 4.8 и 4.9 показывают, что скр^У^о и р2 1Ур2;2 определяется лишь полем вертикального смещения г>2;з и начальными условиями. Учитывая тривиальные соотношения 4.8, 4.9, в дальнейшем будем рассматривать для идеальной жидкости из 0,2 уравнения 4.7.
Для перехода к операторной формулировке исследуемой задачи рассмотрим ряд вспомогательных краевых задач. Вспомогательная задача I.
V • (р^УФх) = О (в!)2), Ро21УФ1-Й2 = 0 (на 52), Ро2^ф1 • й2 = 0 (на Г2), Ро^УФ! -п2=г] 1 (на Гх), J Фх с1Г = 0.
Вспомогательная задача II.
V • (Р02^Ф2) = о (в!)2), Ро2^Ф2-й2 = 0 (на 52), Ро^УФз • п2 = 0 (на ГО, Рог^Фг • п2 = ц2 (на Г2), J Ф2 ¿Г = 0.
Задачи I и II — это задачи Неймана. Если щ € , то задача I имеет единственное решение Ф1 € ро2), аналогично, если т]2 € Нг^2,
то задача II имеет единственное решение Фг,2 € ро2) (см. [5,
_ —1/2
с.45]). Символом обозначен класс функций из Нг, продолженных
нулем на всю границу д^г в классе Н~1/2(д0.1) (г = 1,2) (см. [1;4]). Введем по решениям задач I и II операторы:
Ро2^1ф1|г1 =: ^ъ р^РгзФ^Гз =: 5"2г?ь Ро2^1ф2|г1 =: 5*3Рог^ГзФг^з =: 5"4г?2.
(4.10)
Здесь следует отметить, что оператор 5*1 — самосопряженный, положительный и компактный в ¿2,Гц а оператор ¿>4 — самосопряженный, положительный и компактный в ¿2,г2-Вспомогательная задача III.
У-(ро/УФ1) = 0 (в 00, Ро/УФ^п^О (на 50,
Ро/(0)УФ1= г?0 (на ГО, УФхс«Г1 = 0.
Ti
Задача III — это задача Неймана. Если щ € HFi2, то задача имеет единственное решение Ф1 € Н^ (Q,poi). Введем по решению задачи III оператор:
Poi -PfiФ11Ti =: S0r]о, оператор So является самосопряженным, положительным и компактным в ¿2,Ti •
5. Приведение системы к дифференциально-операторному
уравнению
Введем новые переменные
Po/Vmi
Pi
h,Si
ез
.PoiVki = Ph>Sl (Nf{xз)го1)3е3)
Pö/VFi = Ph,Sl^ i,o, PÖ21VF2 = Р^Ф 2
-и
h,S2
P021Vm2 = P,
h,S2
ез
> Poi'Vfca =P,
h,S2
(5.1) (N$(x3)w2i3e3) .
Тогда из вторых уравнений 4.3 и 4.7 приходим к следующим интегралам Коши-Лагранжа
<92Ф,-
-QjT+Pi,i + m + Ь = Fi + ф) (в fi,) (г = 1,2), (5.2)
где Ci(t) — произвольная функция времени.
Рассмотрим 5.2 на Гг (i = 1,2) и перепишем условия на Ti и Г2 в следующем виде
+ Primi + РГ1кг - PTlm2 - PTlk2 = PTlFг - PTlF2 (на Ti), (5.3)
д2 / . i -гдФ2\ \ ( .^ФЛ
дё ( Ф2|Г2 + 1Ро2 W3)r, дГг)г,+
г2/ V ^ / г2
+ Рг2т2 + -Рг2к2 = Рг2F2 (на Г2). (5.4)
В силу принадлежности р02 УФ2 пространству С^-^(02,ро2) и определения пространства С^-^(02,ро2) потенциал Ф2, с помощью решений I и II вспомогательных задач, можно представить в виде:
Ф2 = Ф1 + Ф2) (5.5)
при этом разложим пространство в виде следующей пря-
мой суммы:
р02) = С!(П2, р02) ® С2(П2, р02), (5.6)
где
¿п(П2, Рог) := {ро2^Р I = 0 (в П2), р^Ур ■ п2 = 0 (на 52 ),
р^р-п2 = 0 (на Г2), J рйТ = 0}, <52(П2, р02) =: {ро2^Р I ^(Ро^Ур) = 0 (в П2 ), Ро^Ур • п2 = 0 (на 52 ),
Ро^Ур-йг = 0 (на ГО, J р(1 Г = 0}.
Выразив РгДФг) (я = 1)2) с помощью представления 5.5 и операторов = 0, 4) при этом учитывая, что
По = (Ро11(9Ф1/9ж3))р1 = - (Ро21(9Ф2/9ж3))р1 = -гц,
Известия Иркутского государственного университета. 2018. Т. 26. Серия «Математика». С. 105-120
приходим вместо 5.3 и 5.4 к системе уравнений д2
((PoiSo + Po2Si)r]0 - p02S3) + gApT]0+
+ PTlm 1 + PFlk 1 - Prim2 - Prifc2 = Pp^i - Pr.F2 := A, (5.7) d2
7^2 (~Р02>52??0 + (P02>54 + pç,h)r}2) + др02Г]2 +
+ Pr2m2 + Pr2fc2 = РГ2^2 := (5.8)
В дальнейшем все искомые функции и заданные функции переменной t и пространственных переменных будем считать функциями одной переменной t со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах, что уже и было учтено в проведенных выше построениях. В связи с этим далее все производные d/dt будем заменять на d/dt.
Начально-краевая задача 2.9 перепишем в виде задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве
П := Jo(Q, ро) Ф Я, Jo(Q, р0) = Jo(^i,poi) © /0(^2, Р02),
#:=#!© Я2, Щ = L2(Ti) Q {U} (¿ = 1,2), в следующем виде:
л2
~^AX + BgX = F, Х(0)=Х°, Х'(0)=Х1. (5.9)
Здесь /0 = diag(/0i,/02), loi — единичные операторы в J0(Qî,Poî), /я = diag(Ap/i, P02I2), h — единичные операторы в Hi, А' := (w-,rj)b, F := (i^F)', F = {Fi]F2)\ F-ф = (P^Pf^h,o)\ w = (wi;^)4, V = (Vo',V 2У,
==(m-P:s:Si ■- (I1 A) • <5-ii)
^ÎM := Ро,г {N2(x3)wh3e3) , В\2щ := Р0,г (N2(x3)(Utr,t)ë3) ,
Б2М := -Рг^г, -621^2 := -PyMi B22Vi ■= ^¡m», ■= ~pr 1^2,
— — 1/2
где i = 1 соответствует r?o и через C7i : —> G^Sifài, P01) обозна-
чен оператор, который посредством решения вспомогательной задачи
—_1/2 — 1
III ставит в соответствие элементу щ Е функцию p01 V$i Е
-> ~ — 1 /2 -> G^sA^i, Poi), аналогично U2 : ЯГз ->• Рог)-
Начальные условия 5.9 также можно записать:
Г]0 = , V1 = Ш),^))*, (5.13)
где г&(х) = [(Ради?(ж)) -ni]ri, г]\(х) = г(ж)) • , причем
для начальных данных, в силу разложения 5.6, должно выполняться следующее кинематическое условие:
71 = (на ГО. (5.14)
Здесь через Щ обозначен проектор на подпространство Gi(Q2,P)02), через символы 7j — операция взятия нормального следа на Г1 для полей, заданных в области Qj (г = 1,2).
Итогом проведенных рассуждений является
Лемма 2. Классическое решение задачи 2.9 является решением задачи Коши 5.9, 5.13 в гильбертовом пространстве %.
Рассмотрим свойства операторных блоков из 5.9.
Лемма 3. Оператор М из 5.11 ограничен, самосопряжен и положительно определен.
Доказательство. Свойство ограниченности следует из того, что ограничены все операторные коэффициенты матрицы М.
Найдем квадратичную форму оператора М, для любого г? € Я имеем
(Мп гЛ - ff (p0lS° + - P02SsV2\ fvo\ \ _
ум r?, ri) ^ y_po2s2Vo + (ß02S4 + poh)V2) ' W )
= (pOlSolJo, 7]0) + (p02SlT]o - p02S3T]2, Г]0) + (-рог^О + Р0254??2, Ш) + +Ро(»?2,»?2) = (p0lS0r]0,r]0) + (-p02Pr1^2,r]0) + (p02Pr2^2,r]2)+p0(r]2,rl2) =
= f |V$i|2 dü\ + f |УФг|2 dÜ2 + Po [ \m\2dT2.
JQi J П2 J Г2
С учетом ограниченности оператора М из последнего видно, что он самосопряжен и положительно определен. □
Лемма 4. Оператор В из 5.10 самосопряженный ограниченный и неотрицательный оператор.
МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ Доказательство следует из равенства (см. подробнее [8])
w
VJ '\V//U
= (Bnti,ti)fo(ntPo) + + ^н + (B22V,V)h
2
Y^ / N2(x3)p0i(x3) wi}3 + (p0)iv$i' ез)
г= 1
6. Теорема существования сильного решения
Исходя из формулировок задач 2.2 — 2.4 и 5.9 дадим (согласованные между собой) определения так называемых сильных по переменной t решений этих задач.
Определение 1. Назовем функцию X(t), заданную на отрезке [0,Т], сильным решением задачи 5.9 со значениями в % = Jo(Cl, ро) ®Н, если выполнены следующие условия:
1. AX(t) € С2([0,Т]-,П), BX(t) € С([0,Т]-,П);
2. выполнено уравнение и начальные условия из 5.9.
Определение 2. Сильным (по переменной t) решением задачи 2.2 — 2-4 на промежутке [О, Т] назовем набор функций щ (t, х), Pi (t, х), pi (t, х) и (i (t, х), (г = 1, 2) для которых выполнены следующие условия:
1. ее1 ([0,Т];/оА(Ог,рог)), Pö/V^ec([0,T];G(Q,,pOt));
pi(t) € С1 ([О, Т] ; £2 (Hj)) и при любом t € [0,Т] справедливо первое уравнение 2.2, где £г(^г) — гильбертово пространство скалярных функций со скалярным произведением
G^VO^ni)-=92 / [p0i{x3)N2{x3)]~lLp{x)i){x)dQ.i] JCli
2. выполнены граничные условия на IV dQ/dt еС([0,Т]-,Нг),
р1=р2 + Ард(1еС([0,Т};Н1),
Р2 = 9Р02(2 + Po(d2(2/dt2) € С ([О, Т] ; Н2) ,
где все слагаемые являются непрерывными по t функциями со значениями в Hi.
3. выполнены начальные условия.
Теорема 1. Пусть выполнены условия
€ То,Я, (а, Рог), Р°г € £2(а), С° € нг = и (Гг) е {1гЛ ,
[{Рн,зА(х)) -Й1]Г1 е нъ 1(р^2(х)) е я2, (6.1) Шее1 ([о,т}]ь2(пг,р0г)
причем = —72П1Р^-^Й2(ж) (на Г1) ('с.м. подробнее 5.Ц).
Тогда каждая из задач 2.2 — 2-4 и 5.9 имеет единственное сильное по £ решение.
Доказательство. Пусть выполнены условия 6.1, тогда задача Коши 5.9 имеет единственное сильное по £ решение. Действительно, с одной стороны, в уравнении 5.9 оператор Л с учетом его определения 5.9 и леммы 3 удовлетворяет следующим свойствам: 0 << Л € £("Н), ~~ ПР°~
странство ограниченных операторов, действующих в пространстве И. Однако, операторный коэффициент при искомой функции не является положительно определенным оператором, а именно 0 < В € €,{%) (лемма 4). Данный факт не позволяет воспользоваться известной теоремой о существовании и единственности сильного решения (см., например, [3, с.133]). С другой стороны, из работы [7] (лемма 1) для существования сильного решения задачи 5.9 достаточно выполнения условий, которые следуют из условий 6.1.
Дальнейшее доказательство основано на обратном переходе от задачи Коши 5.9 к начально-краевой задаче 2.2 — 2.4. □
7. Заключение
В работе рассмотрена линеаризованная задача о колебаниях многослойной идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, полностью покрытой крошеным льдом. С помощью метода ортогонального проектирования удается совершить переход от исходной начально-краевой задачи к задаче Коши для неполного дифференциального уравнения второго порядка в сумме гильбертовых пространств. Изучение свойств операторных коэффициентов полученного уравнения позволяет доказать теорему о существовании и единственности сильного решения задачи Коши. На этой основе получены условия, при которых существует единственное сильное решение исходной начально-краевой задачи, описывающей рассматриваемую гидросистему.
Список литературы
1. Агронович М. С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей // Успехи мат. наук. 2002. Т. 57, вып. 5 (347). С. 3-78. https://doi.org/10.4213/rm552
2. Габов С. А., Свешников А. Г. Математические задачи динамики флотирующей жидкости // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. 1990. № 28. С. 3-86. https://doi.org/10.1007/BF01138947
3. Даледкий Ю. JL, Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М. : Наука, 1970. 534 с.
4. Копачевский Н. Д. Абстрактная формула Грина и некоторые ее приложения. Симферополь : Форма, 2016. 280 с.
5. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М. : Наука, 1989. 416 с.
6. Копачевский Н. Д., Цветков Д. О. Колебания стратифицированных жидкостей // Соврем, математика. Фундам. направления. 2008. Т. 29. С. 103-130.
7. Копачевский Н. Д., Цветков Д. О. Задача Коши, порожденная колебаниями стратифицированной жидкости, частично покрытой льдом // Таврич. Вестн. информатики и математики. 2018. Вып. 1 (38). С. 31-39.
8. Копачевский Н. Д., Цветков Д. О. Малые движения идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, полностью покрытой крошеным льдом // Уфим. мат. журн. 2018. Т. 10, № 3. С. 44-59. https://doi.org/10.13108
9. Темченко Т. П. Спектральные и эволюционные задачи колебаний стратифицированных жидкостей : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.02. М., 1989. 147 с. https://search.rsl.ru/ru/record/01007932205
10. Petters A.S. The effect of a floating mat on the water waves // Communs Pure and Appl. Math. 1950. Vol. 3, N 4. P. 319-354.
Денис Олегович Цветков, кандидат физико-математических наук, доцент, Таврическая академия, Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, 295000, г. Симферополь, просп. акад. Вернадского, 4, Российская Федерация, (e-mail: [email protected])
Поступила в редакцию 10.10.18
Small Movements of a System of Ideal Stratified Fluids Completely Covered with Crumbled Ice
D. O. Tsvetkov
Crimean Federal University, Simferopol, Russian Federation
Abstract. We study the problem on small motions of two non mixing ideal stratified fluids with a free surface, covered with crumbling ice. Using method of orthogonal projecting the boundary conditions on the moving surface and the introduction of auxiliary problems of the original initial-boundary value problem is reduced to the equivalent Cauchy problem for a differential equation of second order in some Hilbert space. We find sufficient existence conditions for a strong (with respect to the time variable) solution of the initial-boundary value problem describing the evolution of the specified hydrodynamics system.
Keywords: stratification effect in ideal fluids, initial boundary value problem, differential equation in Hilbert space, Cauchy problem, strong solution.
References
1. Agranovich M.S. Spectral problems for second-order strongly elliptic systems in smooth and non-smooth domains. Russian Math. Surveys, 2002, vol. 57, no. 5, pp. 847-920. https://doi.org/10.4213/rm552
2. Gabov S.A., Sveshnikov A.G. Problems in the dynamics of flotation liquids. J. Math. Sci., 1991, vol. 54, no.4, pp. 979-1041. https://doi.org/10.1007/BF01138947
3. Daletsky Yu.L., Krein M.G. Stability of solutions of differential equations in a Banach space. Moscow, 1970, 534 p. (in Russian)
4. Kopachevskii N.D. Abstract green's formula and its applications. Simferopol, 2016, 280 p. (in Russian)
5. Kopachevskii N.D., Krein S.G., Ngo Zuy Can. Operator methods are in linear hydrodynamics: evolution and spectral problems. Moscow, Nauka Publ., 1989, 416 p. (in Russian)
6. Kopachevskii N.D., Tsvetkov D.O. Oscillations of stratified fluids. J. Math. Sci., 2010, vol. 164, no. 4, pp. 574-602. https://doi.org/10.1007/sl0958-010-9764-9
7. Kopachevskii N.D., Tsvetkov D.O. Cauchy problem generated by oscillations of stratified fluid partially closed by ice. Tavricheskij vestnik informatiki i matematiki, 2018, vol. 1, no. 38, pp. 31-39 (in Russian)
8. Kopachevskii N.D., Tsvetkov D.O. Small motions of ideal stratified liquid with a free surface totally covered by a crumbled ice. Ufa Mathematical Journal, 2018, vol. 10, no. 3, pp. 44-59. DOI: 10.13108/2018-10-3-43
9. Temchenko T.P. Spectral and evolutionary the problems of the oscillations of a stratified fluids. Cand. sci. diss. Moscow, 1989, 147 p. https://search.rsl.ru/ru/record/01007932205
10. Petters A.S. The effect of a floating mat on the water waves. Communs Pure and Appl. Math., 1950, vol. 3, no. 4, pp. 319-354.
Denis Tsvetkov, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Taurida Academy, Crimean Federal University, 4, Vernadskii pr., Simferopol, 295007, Russian Federation (e-mail: [email protected])
Received 10.10.18
