О единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля со спектральным параметром, рационально входящим в граничное условие Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2011. Т. 4, № 3. С. 158—170

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.9

О единственности решения обратной задачи Штурма—Лиувилля со спектральным параметром, рационально входящим в граничное условие

А. Е. Эткин, Г. П. Эткина

Ульяновский государственный университет

Аннотация. В статье рассматривается регулярная граничная задача для оператора Штурма-Лиувилля, одно из граничных условий которого содержит рациональную функцию спектрального параметра. Доказывается, что граничное условие и потенциал однозначно восстанавливаются по спектральным характеристикам.

Ключевые слова: обратные граничные задачи; оператор Штурма-Лиувилля; спектральный параметр в граничном условии; разложение по собственным и присоединенным функциям.

Применение метода разделения переменных к смешанным задачам для уравнений в частных производных, в которых дифференцирование по времени входит в граничные условия, приводит к граничным задачам со спектральным параметром в граничных условиях. Такие задачи довольно часто встречаются в математической физике: колебания струны с грузом на конце, крутильные колебания вала с маховиком на конце, колебания антенн, нагруженных сосредоточенными емкостями и индуктивностями, и др. (см. [5, е. 152]).

Граничные задачи со спектральным параметром в граничных условиях изучались во многих работах. Подробную библиографию и ссылки на приложения можно найти в работе [4]. Как было показано в работах А. В. Штрауса (см., например, [8],[9]), в случае, когда в граничные условия входит неванлинновская функция спектрального параметра, такая задача соответствует задаче на собственные значения самосопряженного расширения исходного симметрического оператора с выходом в более широкое гильбертово пространство. В работах Е. М. Русса-

1. Введение

ковского (см., например, [3],[4]) была рассмотрена граничная задача для оператора Штурма-Лиувилля с рациональным вхождением спектрального параметра в граничные условия. Как показано в этих работах, такая задача адекватна задаче на собственные значения некоторого ■]-самосопряженного оператора, действующего в пространстве Понтрягина Пк - конечномерном расширении исходного гильбертова пространства.

Обратной задаче восстановления оператора Штурма-Лиувилля по спектральным характеристикам посвящен ряд монографий (см., например, [2] и [12], где также имеется подробная библиография). Обратная задача со спектральным параметром в граничных условиях также интенсивно изучалась ([6] ,[7],[13],[11]). Общий случай обратной задачи с рациональной неванлинновской функцией спектрального параметра в граничном условии рассмотрен в работах [6],[7]. Другой подход к этой задаче дается в [11]. В настоящей работе рассмотрен случай произвольной рациональной функции спектрального параметра с вещественными коэффициентами.

2. Разложение по собственным и присоединенным функциям

Рассмотрим граничную задачу на [0, п]

-У" + Яу = X у, (2.1)

У (0) = Ну( 0), (2.2)

у (п) = в(X)y(п), (2.3)

где я - вещественная функция, я є Ь2(0,п), Н Є М, в(Х) - рациональная

функция спектрального параметра X. Если в(Х) = , где 0і и в2 -

многочлены, не имеющие общих нулей, то условие (2.3) означает:

ві(Х)у(п) — 02(А)у'(п) = 0. (2.4)

При этом мы предполагаем, что многочлены в 1 и 02 имеют вещественные коэффициенты.

Обозначим А - минимальный симметрический дифференциальный оператор, порожденный выражением 1[у] = —у'' + яу на отрезке [0,п]. Рассмотрим соответствующую граничную задачу, определяемую уравнением

—у" + Яу = Ху + f (2.5)

и граничными условиями (2.2-2.3).

Решение этой задачи представляет собой ([10]) обобщенную резольвенту индекса к оператора А (у = Е\ f) в смысле следующего определения.

Определение 1. (см. [14]) Пусть А - симметрический оператор в гильбертовом пространстве Н, А -некоторое его п-самосопряженное расширение в объемлющем пространстве Пк, Р - ортопроектор в Пк на Н. Расширение А будем предполагать минимальным. Операторная функция Кг, определеная на резольвентном множестве р( А) оператора А равенством Кг := Р(А — г1)-11н называется обобщенной резольвентой индекса к оператора А.

Введем следующие обозначения: и1(х, Х),и2(х, X) - решения уравнения (2.1), удовлетворяющие начальным условиям:

щ(0,Х) = 1, и[(0,Х) = 0,

и,2(0,Х)=0, и'2(0,Х) = 1.

Положим и(х, X) = и1(х, Х) + Ни2(х, X), т. е. и - решение уравнения (2.1), удовлетворяющее граничному условию (2.2):

и(0, X) = 1, и'(0, X) = !г.

Решая граничную задачу (2.5,2.2,2.3) методом вариации постоянных, получаем:

у(х^) = т(\)и(х, \)/(X) — и(х,\) f (Ь)и2(Ь,\)М+

./о

Г X

+ (и1(х, \)и2(Ь, X) — u2(x,X)u1(t,X))f (Ь)М, (2.6)

о

где

рп

ї^)^ f (х)и(х,\)йх, (2.7)

о

т(.) = — ^А') ( )

02(\)и'(п,\) — в^Мп^) ' ( .8)

Таким образом, Е\ї - мероморфная функция, а полюса Е\ совпадают с полюсами т(\), т. е. собственными значениями задачи (2.1-2.3).

Из интегрального представления резольвенты через спектральную функцию (см. [1]) следует, что полная сумма вычетов мероморфной операторной функции —Я\ равна единичному оператору. Учитывая, что последние два слагаемых в формуле (2.6) являются целыми функциями параметра X, имеем:

ї ВевЯхї = — Вев(т(\)и(х, X)/(X)), (2.9)

где суммирование производится по всем собственным значениям задачи (2.1-2.3), а сходимость ряда понимается в смысле метрики Ь2(0,п).

Несложные преобразования показывают, что функция ш(Х) принадлежит классу при некотором конечном к, т. е. ядро

к (\,»):= ш(х)— ш(/)

л — /

имеет точно к отрицательных квадратов. (Определение класса функций и описание их свойств см. в работе [14]). Отсюда следует, что все полюса функции ш(Х), за исключением конечного числа, вещественные и простые, а невещественные - попарно сопряжены и ш(Х) имеет следующее представление:

ГО Р г']

ш(л) = р (л) + £ лп—Гх + ЕЕ (Х-О^+

п=0 п ]=1 к=1 у ■>'

+Ь +АО,(2ло)

где Р - многочлен с вещественными коэффициентами, Хп € М, а^ € М, а^к € М (п = 0,1, 2,] = 1, к = 1,г^), все рп, за исключением

конечного числа, положительны.

Таким образом, приходим к следующей теореме.

Теорема 1. Для любой функции f € Ь2(0,п) имеет место разложение по собственным и присоединенным функциям задачи (2.1-2.3):

p rj—1 a

f = £ Pnf (KM; K) -££ "ГГ1 (f (»«(■• »)m(aj)-

k•

n=0 j=1 k=0

q Sj — 1 1

-Z E Й {bj,k+i(f(K)u(;\))(k)(l3j)+bj,k+l(f (X)u(;X))(k)(Pj) j=1 k=0 k•

(2.11)

а также аналог равенства Парсеваля:

р rj—1 a

Ilf II2 = £ Pn|/(An)|2-££ jr (If l2)<k>(aj)-

n=0 j=1 k=0 k!

q sj—1 i

-EE u by-HafT)'^)+wifi2)(k'>съ) (2.12)

j=1 k=o k!

Следующая теорема устанавливает связь вычетов функции ш(Х) в простых полюсах с нормировочными константами.

Теорема 2. Справедливы следующие равенства:

pn = — Res ш(\) = —,

л« Yn

где Yn = | |u(-, An) 112 + O'(Xn)u2(п, Xn) - нормировочные константы.

Доказательство. Обозначим v1(x, X), v2(x, X) - решения уравнения (2.1), удовлетворяющие начальным условиям в точке п:

V1(n,X) = l, v1(n,X)=0,

V2(n,X) = 0, v2(n,X) = 1

и положим v(x,X) := O2(X)v1(x,X) + O1(X)v2(x,X), т. е. v(n,X) = O2(X), v'(п, X) = O1(X) и, следовательно, v(x, X) при всех X удовлетворяет граничному условию (2.3).

Определим функцию u(X) := u(x, X)v'(x, X) — u'(x, X)v(x, X). Она не зависит от X, т. к. легко проверить, что ее производная тождественно равна 0 при x £ [0,п]. Следовательно, u(X) = u(n, X)O1(X) — u'(п, X)O2(X)

- целая функция, лишь знаком отличающаяся от знаменателя m(X). Ее нули являются собственными значениями задачи (2.1-2.3). Т. к. каждому собственному значению Xn соответствует одномерное собственное подпространство (это следует из единственности решения задачи Коши), то VXn3kn = 0 : v(x, Xn) = knu(x, Xn).

Из тождества

ГП

(X — Xn) v(x, X)u(x, Xn)dx = (v(x,X)u'(x,Xn) — v'(x, X)u(x, Xn))in =

Jo

, O1(Xn)O2(X) — O1(X)O2(Xn)

= U(X) +--------------k-------------

kn

путем деления на (X — Xn) и перехода к пределу при X ^ Xn, получаем: и'(Xn) = knllu(, Xn)ll2 + к-O'(Xn)O2(Xn) (2.13)

kn

Т. к.

„ = ш(\\ = O2(Xn)u2(n, Xn) — O1(Xn)u2(n, Xn)

Pn — K.6S m(X) — ', , ,

Лп и (Xn)

то с учетом тождества u(x, X)v,'2(x, X) — u'(x, X)u2(x, X) = 1 (при x = п,

kn

X = Xn) получаем: p,n = .

и (Xn)

Отсюда, с учетом равенства (2.13) и O2(Xn)/kn = u^^n,), получаем доказываемое равенство. □

3. Обратная задача

Рассмотрим теперь обратную задачу определения потенциала д и граничных условий (2.2) и (2.3), т. е. числа Н и функции 9(Х) по спектральным характеристикам. При этом под спектральными характеристиками будем понимать собственные значения Хп (п = 0,1,...), аі (і = ві,ві (І = 1,-,0) (т. е. полюса т(Х)) и соответствующие коэффициенты главных частей т(Х) в этих точках: рп, аік, Ъ^^. Обозначим р я

1 = Е гі + 2Т18з. і=і і=і

Теорема 3. Простые вещественные собственные значения задачи (2.12.3) имеют следующую асимптотику:

1) Если deg 9\ < deg 02 = т, то

с я

лДП = п — т + І \----\---, {Яп} Є І2, (3.1)

пп

где

h \ h1 — A0

- — -

ГП

h1 — / q(т)dт, A0 — lim в(Л).

Jo Л^те

П Jo А^ж

2) Если deg 02 < deg в1 = m, то

___ 1 С

\J Хп = n — m + l ----------\---, |^ra} S I2, (3-2)

2 n n

где

h + h\ + A\ Хв2(Х)

c =-------------> Al = }im a i w ■

П А^<х/ Ui(X)

Нормировочные коэффициенты pn = Y-1 имеют асимптотику:

2 Я'

Pn = - + -, Ю S l2, (3-3)

П n

Доказательство. Обозначим X = s2-

1) Из известной асимптотики (см., например, [2], гл-I §2)

u(x, X) = cos sx + O(1/s), u'(x, X) = —s sin sx + O(1)

получаем асимптотику u(X), нули которой являются собственными значениями задачи (2.1-2.3):

w(X) = d2(s2)s sin sn(1 + O(1/s)).

Отсюда стандартным образом с применением теоремы Руше получаем асимптотику sn = n — m +1 + O(1/n)- Используя формулу (см. [2], лемма I-2-1)

h 1 f x

u(x,X)=cos sx H—sin sx + - sin s(x — r)q(r)u(r,X)dr, (3-4)

s s Jo

получаем уточненную асимптотику u(X):

u(X) = sinsn ^s02(s2) + h + hlOi(s2) + Oi(s2)Ii(s) - 92(s2)h(s+

+ cos sn ^i(s2) - d2(s2)(h + hi) - ^l(ss )h(s) - $2(s2)Ii(s)^ , (3.5)

1 fn 1 fП

где Ii(s) = - q(t) cos2stdt+o(1/s), I2(s) = - q(t)sin2stdt+o(1/s).

2 J о 2 J о

Если deg6i < deg02, то 9i(X)/92(X) = A0 + O(1/X). Деля ш(Х) на 02(X) и приравнивая к нулю, получаем:

sinsn(s + o(1)) + cossn(A0 - h - hi - Ii(s)) = 0, h + hi - Ao Ii(s)

tg sn

ss

откуда и следует асимптотическая формула (3.1).

Из формул (3.4) и (3.1) следует асимптотическая формула для собственных функций:

< . \ в(х) . . e<n(x)

u(x, Xn) = cos(n - m + l)x +-----sm(n - m + l)x +---------,

n n

1 fx

где в(х) = -cx + h + - q(r)dr, { max \en(x)\} e I2.

2 J0 x€[0,n]

Отсюда получаем

[ u2(x, Xn)dx = П + —, {/J.n} e I2. (3.6)

J0 2 П

При условии deg 0i < deg 02 O'(X) = O(1/X2), поэтому O'(Xn) = O(1/n4). Учитывая ограниченность u(n, Xn), получаем формулу (3.3).

2) Пусть deg O2 < deg Oi. Асимптотика u(X) в этом случае имеет вид w(X) = Oi(s2)cos sn(1 + O(1/s)), откуда вытекает, что sn = n - m + l + 1/2 + O(1/n). Положим O2(X)/Oi(X) = A]_/X + O(1/X2).

Приравнивая w(X) из формулы (3.5) к нулю, и деля обе части на O^X), получаем:

(Ai + h + hi Ii(s)\ . .

sin sW-----------------------------------------------1-j +cos sn(1 + o(1/s)) = 0,

Ai + h + hi Ii (s)

^ 8П = -8 8

откуда следует асимптотическая формула (3.2).

В случае асимптотики собственных значений (3.2),

и(х, Хп) = соъ(п — т + I + 1/2)х + вш(п — т + I + 1/2)х + £п(Х

и также имеет место формула (3.6).

Однако, при условии deg вх > deg в2, в'(Хп) может неограниченно возрастать. Поэтому для оценки второго слагаемого в формуле для 7п, представим его в виде в'(Хп)/в(Хп) ■ и'(п, Хп)и(п, Хп). Заметим, что в' (Хп)/в(Хп) = 0(1/Хп) = 0(1/п2).

Дифференцируя почленно (3.4) и используя асимптотику (3.2), получаем:

и'(х, Хп) = —(п + т — I + 1/2) 8ш(п — т + I + 1/2)х+

+ в(х) еов(п — т + I + 1/2)х + о(1).

Следовательно, и'(п, Хп)и(п, Хп) = 0(1) и формула (3.3) доказана. □

Лемма 1. Иш т(Х) = 0 и, следовательно, в представлении (2.10)

А^—го

Р (Х) = 0.

Доказательство. Положим 8 = И, т. е. Х = 82 = —2, и рассмотрим асимптотику т(Х) при £ ^ +ж, т. е. Х ^ —ж. Из формулы (3.4) получаем:

и(п, Х) = 1 вп1:(1 + 0(1/1)), и'(п, Х) = 1 е^(1 + Н + Н\ + 0(1/1)). Аналогично имеем:

1

щ(п, Х) = -7£(1 + 0(1/£)), и2(п, Х) = ^еЛ1 + Нх + 0(1/г)).

Отсюда при любом в(Х) (как в случае degвх < degв2, так и в случае degвх > degв2) имеем т(Х) = 0(1/1), т. е. Иш т(Х) =0. □

А^—го

Далее будем для определенности считать, что deg в1 < deg в2 = т (второй случай рассматривается аналогично).

Пусть задана последовательность пар чисел (Ап, рп) , удовлетворяющих соответственно условиям (3.1), (3.3). Тогда функция

2

а(х) := У' (рп со8л/\Пх--------со8(и — т + 1)х) (3.7)

п

п=ш-1+1

принадлежит Ш^ІО, 2п) (см. [12], лемма 1.5.4).

Для упрощения записей в дальнейшем введем следующие обозначе-

ния:

Р тз— 1 а як

Ьсс(х,£) :=ЕЕ ЦтШ (в08л/\х С08л/\£)\А=а, +

Ц=1 к=0 Я sj— 1 1

+ЕЕ *

]=1 к=0

дк

Ь3>к+1 дХк (с08\/~\х С08л/Х)\а=, +

- д к

+ Ъ3>к+1 дХк (с08л/~Хх С08у/\£)\а=р,.

Аналогично Ьис (Ьии) будут использоваться для обозначения такого же выражения, в котором сов л/\х заменен на и(х, Х) (соответственно, также и со8\/Г\£ заменен на и(£, Х)).

Рассмотрим функцию

т—1 1

Г(х,£) :=У^ рпС08л/\п,х С08л/~\п£-------------Ьсс(х,£) +

п

п=0

го ( 2 \

+ Е ( Рпс08\/\пх с08\[Хп£-------------с08(п — т + 1)х с08(п — т + 1)£) .

п=т—1+1 П

(3.8)

Т. к. последнее слагаемое в формуле (3.8) имеет вид (а(х+£)+а(х—£))/2, то Г(х,£) непрерывна и Г(х,х) е Ь2(0,п).

Используя операторы преобразования ([2], [12]), можно записать равенства

р X

(х,Х) = С08л/~Хх + К (х,£)с08л/\£М, (3.9)

■1о

Г X

с08л/~Хх = и(х,Х)+ Н(х,£)и(£, Х)М, (3.10)

0

где К(х,£) и Н(х,£) - вещественные непрерывные функции и

1 ГХ

2 и о

Теорема 4. Ух е (0, п] ядро К(х,£) удовлетворяет уравнению

г х

1 Гх

К (х,х) = Н I— д(£)М. (3.11)

20

ГХ

Г(х,£) + К(х,£)+ К(х,т)Г(т,£)йт = 0, 0 <£<х. (3.12)

0

0

Доказательство. Введем следующие обозначения

1 2 N—

См(х,£) :=—I— Е сов пх сов (3.13)

пп

п=1

N

Фм(х, £) :=^2 рпи(х, Хп)и(£, Хп) — Ьии(х, £) — См(х, £), (3.14)

п=0

N

Гм(х,£) := Е Рп со8у/Хх со8у/Х£ — Ьсс(х,£) — См(х,£). (3.15)

п=0

Тогда У/ е Ь2(0,п) в смысле сходимости почти всюду имеют место следующие равенства:

рП

Пт у /(£)См(х,£)М = /(х), (3.16)

рП

Пт у /(£)Фм(х,£)М = 0, (3.17)

ПП

Иш / (£) Гм (х,£)М = / / (£) Г (х,£)д£. (3.18)

п^го.!о -)о

Из равенств (3.9) и (3.10) вытекают соответственно:

N N

Е рпи(х, Хп) сову/Хл — Ьис(х, £) = Е Рп соъу/Хх со$у/Х£+ п=0 п=0

N ___ «х __ рх

+ УЗ Рп со8у/Х£ К(х,т)со$\/Хт(1т—Ьсс(х,£)—1 К(х,т)Ьсс(£,т)йт,

п=0 0 0

(3.19)

N N

Е Рпи(х, Хп) сову/кл — Ьис(х, £) = Е Рпи(х, Хп)и(£, Хп) +

п=0 п=0

N г £ г х

-У^Рпи(х,Хп) Н(£,т)и(т,Хп)йт — Ьии(х, £) — Н(х,т)Ьии(£,т)йт.

п=0 0 0

(3.20)

Приравнивая правые части равенств (3.19) и (3.20), получаем

рх р х

ФN (х,£) = Гм (х,£) + К (х,т )Гм (£,т )йт + К (х,т )См (£,т )йт—

00

— [ ФN(х,т)Н(£,т)йт — [ См-(х,т)Н(£,т)йт. (3.21)

00

Умножим обе части последнего равенства на / (£), проинтегрируем по отрезку [0,п] и перейдем к пределу при N ^ ж. Учитывая равенства

(3.16-3.18), а также:

П х П х

Иш (I К (х,т )Гм (£,т )йт)/(£)М = / (I К (х,т )Г (£,т )йт)/({)М,

м^го .]о .]0 ,]о -]о

Г П / г х \ г х

Иш ( / К(х,т)См(£,т)йт\/(£)М = / К(х,т)/(т)йт,

N о \./о / .10

Иш [ ( [ Фм(х,т)Н(£,т)ё.т^\ /(£)М =

/^го„/ о \./о )

= Иш [ ( [ /(£)Н(£,т)^) Фм(х,т)йт = 0,

N^го .]о \.]т )

Иш [ ( ( См(х,т)Н(£,т)йт^\ /(£)М =

N^го ]о \./о /

П П П

= Иш ( / /(£)Н(£,т)йт)См(х,т)йт = / /(£)Н(£,х)М

N ^го ,/ о \Ут ) -)х

и полагая К(х,£) = Н(х,£) = 0 при х < £, получим:

г х

Г (х,£) + / К (х,т )Г (£,т )йт + К (х,£) — Н (£,х) = 0.

о

Т. к. £ < х, то Н(£,х) = 0 и равенство (3.12) доказано. □

Лемма 2. Ух е (0,п] уравнение (3.12) имеет единственное решение К(х,£) е Ь2(0,х).

Доказательство. Достаточно доказать, что однородное уравнение

г х

д(£)+ Г(т, £)д(т)йт = 0 (3.22)

о

имеет только тривиальное решение д(£) = 0.

Пусть д(£) - решение уравнения (3.22) и д(£) = 0 при £ е (х, п). Тогда

х

2

/ \д(£)\ + / Г(т,£)д(т')д(г)йтй£ = 0.

Jо Jо Jо

Учитывая равенство (3.8) и равенство Парсеваля, имеем: го Р г, — 1 а

Е *пЫХп )\2 — ЕЕ ЦТ )—

п=0 ,= 1 к=0 '

Я sj— 1 1

“ЕЕ й Ъ,.к.+1(\дс\2)(к')(в,-) + Ь.к+1(\дс\2)тФ,) = 0, (3.23)

2 = 1 к=0 '

хх

где использовано обозначение

ГП

д с(Х) := д(£)с08л/\£й£.

■1о

В соответствии с равенством (3.10), С08л/\£ = (I + Н)и(£,Х), где Н обозначен соответствующий интегральный оператор с ядром Н(х,£). Поэтому дс(Х) представляет собой и-преобразование Фурье (в соответствии с формулой (2.7)) функции (I + Н*)д. Следовательно, в соответствии с равенством (2.12), имеем \ \(1 + Н*)д\\ = 0, т. е. д = 0. □

Теорема 5. Пусть Р(я,Н,в) и Р(я,Н,в) - две граничные задачи вида (2.1-2.3) и их спектральные характеристики совпадают:

Хп = X рп = Рп (п = 0 1, ...),

аз = а,, Г, = г,, а,к = а,к (] = 1,...,р; к = 1,...,г,), в, = в,, 8, = 8,, Ъ,к = Ъ,к а = 1,..., я; к = 1,..., 8,).

Тогда я(х) = 8(х) почти всюду на (0,п), Н = Н, в(Х) = в(Х).

Доказательство. Согласно формуле (3.8) Г(х,£) = Г(х,£). Из уравнения (3.12) и леммы 2 получаем К(х,£) = К(х,£). Из равенства (3.11) теперь следует, что Н = Н и я(х) = 8(х) почти всюду на (0,п). Следовательно, и2(х,Х) = и2(х,Х), и(х,Х) = и(х,Х). Из равенства (2.10) и леммы 1 следует, что т(Х) = т(Х), а из равенства (2.8) получаем, что в(Х) = в(Х). □

Список литературы

1. Крейн М. Г. О спектральной функции самосопряженного оператора в пространстве с индефинитной метрикой / М. Г. Крейн, Г. К. Лангер // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 152, № 1. - С. 39-49.

2. Левитан Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б. М. Левитан, И. С. Саргсян. - М. : Наука, 1988. - 432 с.

3. Руссаковский Е. М. Операторная трактовка граничной задачи со спектральным параметром, полиномиально входящим в граничные условия / Е. М. Руссаковский // Функц. анализ и его прил. - 1975. - Т. 9, вып. 4. - С. 91-92.

4. Руссаковский Е. М. Матричная задача Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях. Алгебраический и операторный аспекты / Е. М. Руссаковский // Тр. Моск. матем. общества. - 1996. - Т. 57. - С. 171-198.

5. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М. : Наука, 1977.

6. Чугунова М. В. Обратная задача на конечном интервале / М. В. Чугунова // Функц. анализ. - Ульяновск, 1994. - Вып. 35. - С. 113-122.

7. Чугунова М. В. Эффективные способы решения некоторых обратных задач / М. В. Чугунова // Функц. анализ. - Ульяновск, 1997. - Вып. 36. - С. 66-74.

8. Штраус А. В. О разложении по собственным функциям одной краевой задачи второго порядка на полуоси / А. В. Штраус // Изв. АН СССР. Сер. мат. -1956 - Т. 20, № 6. - С. 783-792.

9. Штраус А. В. О спектральных функциях дифференциального оператора четного порядка / А. В. Штраус // Докл. АН СССР. - 1957. - Т. 115, № 1. -С. 67-70.

10. Эткин А. Е. О некоторых краевых задачах со спектральным параметром в краевых условиях / А. Е. Эткин // Функц. анализ. - Ульяновск, 1982. -Вып. 18. - С. 138-146.

11. Binding P. A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville equations with eigenparameter dependent boundary conditions / P. A. Binding, P. J. Browne, B. A. Watson // J. London Math. Soc. - 2000. - Vol. 62 - P. 161-182.

12. Freiling G. Inverse Sturm-Liouville Problems and their Applications / G. Freiling, V. A. Yurko. - N. Y., 2001. - 305 p.

13. Gulijev N. J. Inverse eigenvalue problems for Sturm-Liouville equations with spectral parameter linearly contained in one of the boundary conditions / N. J. Gulijev // Inverse Problems. - 2005. - Vol. 21, N 4.

14. Krein M. G. Uber einige Forsetzungsprobleme die eng mit der Theorie hermitescher Operatoren im Raume Пк zusammenhangen, II: Verallgemeinerte Resolventen, u-Resolventen und ganze Operatoren / M. G. Krein, H. Langer // J. Funct. Anal. -1978. - Vol. 30, N 3. - P. 390-447.

A. E. Atkin, G. P. Atkina

A uniqueness theorem for Sturm-Liouville equations with a spectral parameter rationally contained in the boundary condition

Abstract. In this paper we consider regular boundary value problem for the Sturm-Liouville operator with the eigenvalue parameter rationally contained in the bounary condition. It is shown that the potential and the boundary conditions are uniquely reconstructs on the spectral characteristics.

Keywords: inverse boundary value problem; Sturm-Liouville operator; spectral parameter in boundary conditions; expansion in eigen- and adjoint functions.

Эткин Анатолий Ефимович, кандидат физико-математических наук, доцент, Институт экономики и бизнеса, Ульяновский государственный университет, 432970, Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, тел.: (8422)426103 ([email protected])

Эткина Галина Петровна, ст. преподаватель, Институт экономики и бизнеса, Ульяновский государственный университет, 432970, Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, тел.: (8422)426103 ([email protected])

Atkin Anatoly, Ulyanovsk State University, 42, L. Tolstoy St., Ulyanovsk, 432970, docent, Phone: (8422)426103 ([email protected])

Atkina Galina, Ulyanovsk State University, 42, L. Tolstoy St., Ulyanovsk, 432970, senior teacher, Phone: (8422)426103 ([email protected])