Вычисление регуляризованного следа задачи Штурма - Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2012. Т. 5, № 2. С. 81-89

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 517.9

Вычисление регуляризованного следа задачи Штурма — Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях

А. Е. Эткин, Г. П. Эткина

Ульяновский государственный университет

Аннотация. В статье получены формулы первого регуляризованного следа регулярной граничной задачи для оператора Штурма - Лиувилля, граничные условия которой полиномиально зависят от спектрального параметра.

Ключевые слова: след оператора; оператор Штурма - Лиувилля; спектральный параметр в граничном условии.

Рассмотрим граничную задачу на [0, п]

-У + ЯУ = Ау, (1)

Ріі(А)у(0) + Р12(\)у\0) = 0, (2)

Р2і(А)у(п) + Р22(А)у\п) = 0, (3)

где я - вещественная функция, д є Ш£[0,п], Р^ (і, і = 1,2) - произвольные полиномы от А с вещественными коэффициентами, причем полиномы в каждом из граничных условий не имеют общих нулей.

Впервые регуляризованный след для классической задачи Штурма -Лиувилля был вычислен в работе И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [1]. Для линейно зависящих от спектрального параметра граничных условий регуляризованный след был вычислен в работе [5].

Введем следующие обозначения.

йц := deg Різ, йі := тах, й := йі + 6,2, Різ(А) := ^ акАаг-к.

3 к=0

Известно (см., например, [4]), что все собственные значения задачи (1) - (3), за исключением конечного числа, вещественные и простые.

Введем следующие обозначения: u1(x, A),u2(x, А) - решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям:

ui(0, А) = 1, u1 (0, А) = 0, u2(0,A) = 0, и2(0,А) = 1.

Положим u(x, А) := P12(A)u1(x, A)-P11(A)u2(x, А), т. е. u(x, А) - решение уравнения (1), удовлетворяющее граничному условию (2). Аналогично, обозначим v1(x, А), v2(x, А) - решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям:

v1(n,A) = 1, v[ (п,А) = 0, v2(n, А) = 0, v2 (п,А) = 1.

Решение v(x, А) := P22(A)v1(x, А) — P21(A)v2(x, А) при всех А удовлетворяет граничному условию (3).

Определим функцию ш(А) := u(x, A)v'(x, А) — u'(x, A)v(x, А). Она не зависит от x, т. к. ее производная тождественно равна нулю при x Е [0, п]. Следовательно,

ш(А) = Pn(A)P21(A)u2(п, А) — P12(A)P21(A)u1(n, А) —

— P12(A)P22(A)u1(п, А) + P11 (A)P22(A)u2(п, А) (4)

- целая функция от А, нули которой являются собственными значениями задачи (1)-(3).

Обозначим А = s2, s = а + it. Тогда при |s| ^ те имеют местоасимптотические оценки, выполняющиеся равномерно по x Е [0,п] (см., например, [3], гл.1 §2)

(— Мх \ sin sx (—^|x \

u1(x, А) = cos sx + O ( j , u2(x, A) = —s---------+ O ( j .

Используя формулы (см. [3], лемма I.2.1)

1 fx

u1(x,A)=cos sx +— sin s(x — т )q(r )u1(r,A)d,T, (5)

s Jo

sin sx 1 fx

u2(x, A) =--------sin s(x — т)q(T)u2(T,A)dT (6)

s s Jo

и условие q Е [0, п], получим уточненные асимптотические оценки:

, ,, 1 . .sinsx

u1(x, A) = cos sx + -Q(x)-------+

2s

^— 8Q2^^ — £I2(s,x)+ оШ , (7)

sin sx 1 cos sx

u2(x, А) =----- Q(x)—2—+

s 2 s

/q(x) + q(0) 1_ 2, Л sin sx 1 т, . _ / -tlx

+ , — 77 Q2(x) —^ I1(s,x) + O 1

где

4 8 J s3 4s3 ’ \ |s|4 у ’

/* x rx

Q(x) := / q(t)dt, I1(s,x) := / sins(x — 2т)^(т)с!т,

Jo Jo

r x

I2(s,x):= cos s(x — 2т )q/(т )с!т.

o

Из формул (5) и (6) находим:

r x

u/1(x,A) = —s sin sx + / cos s(x — т)q(т)u1(т,A)dт, (9)

o

/* x

u;2(x,A)=cos sx + / cos s(x — т )q(т )u2(т,A)dт (10)

o

Подставляя в них соответственно формулы (7) и (8), получим: u1(x, А) = —s sin sx + 1 Q(x) cos sx+

1 sin sx

u2(x, A) = cos sx + -Q(x)-

2s

q(x) — q(0) 1 2. Л cos sx 1 T, . ^ (-tlx\ , 4

Ч( ) + oQ2(xH—+ ^I2(s,x) + O t-pt . (12)

4 8 s2 4s2 |s|3

Асимптотика собственных значений зависит от соотношения между степенями полиномов Pij в граничных условиях. Поэтому рассмотрим отдельно каждый из четырех возможных случаев.

1) Пусть dn < d12, d21 < d22.

Подставляя (9)-(12) в (4), получаем асимптотику w(A):

/\\ 12 22 2d+1 • I / 11 22 12 21 1 ^/ \ 12 22 \ 2d ,

ш(А) = а0 a0 s ^ sinsn +1 a0 a0 — a0 a0 — -Q(n)a0 a0 Is cossn+

I I „.11 „.21 1^f„\ „ 12„21 / q(n) + q(0) , 1/->2^ \ „12„22 , „12„22 ,

+ I a0 a0 — -Q(n)a0 a0 — I ---------4-------+ 8Q (п)) a0 a0 + a1 a0 +

I „12_22 , 1^(„r\„1К2Я c.2d-1 ■ ^ 1 „ 12„22т (c. ^ c.2d-1 ,

+ao a1 + _Q(n)ao ao 1 s sin sn — — ao ao I1(s,n)s +

-Q(n)ao1ao^ s2d 1 sin sn — 4t

+ O(-ltln |s|2d-2). (13)

Учитывая вещественность и положительность собственных значений Ап = ^2п при достаточно больших п, из теоремы Руше стандартным образом получаем асимптотику вп = п — (I + 0(1/п) (при этом каждое собственное значение считается столько раз какова его кратность). Полагая вп = п — (I + 5п, получим из (13):

-.21 „11

+ ^ пх 1 ( 1 гл(п) I а2 °Л | ( 1)п-й ^1(^п ,п) | о ( 1 I

'К = 5Л 2®(Ж) + а|2 — Ор) +( —1) + °Ы ■

Отсюда где {{п} е 12, Тогда

7 | ''' | ’Ъ’^'

8п = П — а |--------------------------------------- |---2,

п — а п2

1/1 ч °21

С := Г 7:Q(п) + “22 — 702 ) ■ (14)

2^',; а22 а02/

Ап = (п — а)2 + 2с + —, {Пп} е 12■ (15)

п

Обозначим Тг регуляризованный след первого порядка задачи (1)-(3):

Тг := Ап + (Ап — (п — а)2 — 2с)- (16)

п=0 п=й+1

Для вычисления этого следа используем метод Б. М. Левитана [2]. Представим целую функцию ш(А) в виде бесконечного произведения и изучим его асимптотическое поведение при больших отрицательных А = —/л2. Сравнивая затем коэффициенты при одинаковых степенях Л в полученной асимптотической формуле и формуле (13), получим значение следа.

Так как ш(А) - целая функция порядка 1/2, то из теоремы Адамара имеем

-<а>=АЙ(1—£) ■ (17)

п=0 4 '

где А - некоторая константа. Если при некотором п Ап = 0, то в (17) соответствующий множитель заменяется на —А.

Представим ш(А) в виде

й \ \ п2 а

„(А> = А1 П(А,, — А>П Ап—Ап п-п-—А =

п=0 п=1 п=1

= А1II (А„ — АЖА)^^. (18)

п=0

где

й те 2

А1 := А П А" П п

Ф(А>:= П

Ап+й А

п2 — А ■

п Ап Ап+й

п=0 п=1 1 п=1

Положим А = —л2, л > 0. Изучим асимптотическое поведение Ф(А) при л ^те.

Ап+й — п2' п2 + л2

1пФ(А) = ^1п 1 +

п=1

Учитывая оценки

1п(1 + х) = х + 0(х2) при х ^ 0,

С

< -т.---к, где С - некоторая константа,

22

Ап+й п

п2 + л2

оо

п2 + л2

Е

1

<

1

Е

—' (п2 + л2)2 л2 п2 + л2 л \2л

=1 4 ' п=1 4

1 1 ( П , 1 » ^, _3ч

= “ ( 7ГТТ С™ пл — ТГТ) ) = о (л ),

получаем:

СЮ л

1пФ(А) = £ Ап+й — п

+ о(л-3)

Е

п2 + л2

п=1

—1 п2 + л2

СЮ л

Ап+й

п=1

2

п2 + л2

+ 2сЕ

п=1

п2 + л2

"-2 У7Ап+ — п2 — 2с) — Е

^п2(Ап+й—п2 —2с)

л

п2 +л2

чп=1

й

п=1 сю

+2с

п сШ пл 1

2л 2л2

■1 (Тг — £ А„> — ^ — 4

л2 ' л2 ' п2 + л2 и л2

Г п=0 ^ п=1 ^ г г

+ — — -- + о(е-2^) =

й

----1-----2 (Тг — Ап — с) + о(л 2>’

л л2 п=0

так как

те

V”'' Щп ^п2 + л2 п=1 < ^

те / ч 2

п

Е

п=1

п

<

п=1

\

Епт+й! ич11-»=

п=1

Следовательно,

1п ф(А) =--------1---2 |^Тг — Ап — С^ + о(л 2)-

л л п=0

(19)

Отсюда

Ф(А) = 1 +------1--2 (Тг — Ап — С + 0(ПС)21 + о(л 2)‘ (20

л л2\ п=0 2 У

2

Подставляя эту формулу в (18) и учитывая, что 8111 , полу-

V Л №

чим:

ш(А) = 1А1 еП№(л2й+1 + псл2й +(Тг — с + л2й-1 + о(л2й-1)

22

(21)

Из формулы (13) при в = гл с учетом формулы (14) имеем:

, К 1\й+^1^2^пЛ ,,2й+1 , _„..2й , /У(п)+ 9(0) , 1^2^|

ш(А) = 2(—1) а0 а0 ем л + псл +1-4-+8^ (п)+

,21 а11 \ а11а21 а 12 а22 \

-''0 1 а0 а0 а1 а1 1 , ,2й— 1 , , ,2й— 1'

+ 2£(*) -02 — -02 — -02-02 — — "2И л2й-1 + 0(л2й-1) ■ (22)

2 \а02 а02/ а12а22 а02 а02/ /

Сравнивая коэффициенты при л2й+1, получаем А1 = (—1)й+1а02а22. Сравнение коэффициентов при л2й-1 дает:

Tr = q(n) + g(o) + a£_ l f a^V- if aO^2

4 +C ai2 a22 n ai2) 2\ a2^ ' ( )

2) Пусть теперь dn > d12, d21 > d22.

В этом случае

Ш(А) =

= a21a01s2d_1 sin sn — ^1 Q(n)a01a01 + aj2a^j1 — aO^2^ s2d-2 cos sn+ (n)+ q(0) 1_2 / Л I „11„21 _12„21 , „12 „22

+ ^■“"'4^' — 8Q(*)) a0 a0 — 2Q(n)a1 a^ + a?af+

1 Q(n)a^1a22 + +a^1a'21 + a^a^) s2d-3 sin sn + 1 a^a^j^ (s, n)s2d-3+

+ 0(е^ |s|2d-4), (24)

собственные значения имеют асимптотику:

An — (n — d + l)2 + 2c +--, {Пп} S ^2, (25)

где

1 1 a112 a212

c := ПU Q(n) + — OF1' (26)

00

Регуляризованный след задачи (1-3) определим равенством й1

nn п=0 n=d

Формула следа будет иметь вид:

тг = _ q(n)+q(°) + c_a?_ <_ i( ar\2_ i( an2 ^

Tr 4 +c aO1 a21 2U1/ 2 UV ' (28)

3) Пусть dn < d12, d21 > d22.

Тогда

ш(Л) =

— — a^2a01s2d cos sn — Г1 Q(n)a^2a01 — a01a01 — a02a2^ s2d-1 sin sn—

2

11^Г-\ /Ч(п) — 9(0) 1/о2^_Л „12„21 , „12„21 , „12„21 ,

— \ 2^(п)а0 а0 + I------4-----8^ (п) I а0 а0 + а0 а1 + а1 а0 +

1 12 22 11 22 2й 2 1 12 21 2й 2

+-у(п)а0 а1 — а0 а1 )в сов вп + -а0 а0 11(в,п)в +

+ О^ |в|2й-3), (29)

собственные значения имеют асимптотику:

Ап = (п — а + 1/2)2 + 2с +--------, {Пп} е 12, (30)

где

с :=п(2я(п)—а®) ■ (31)

Регуляризованный след задачи (1-3) определим равенством

й- 1 те

Тг := ^ ' Ап + ^ ' (Ап — (п — а + 1/2)2 — 2с) . (32)

п=0 п=й

ш(А) имеет в этом случае представление

й-1

ш(А) = А1 ]^[ (Ап — А)Ф(А) сов л/Ап,

где Ф(Л) := Л

п=0

An+d-1 Л

=l(n — 1/2)2 — Л •

п=1

Используя тождество

Е1 П

_ (n — 1/2)2 + м2 = 2^ 1 ПМ

получаем

d- 1

Ф(Л) = 1 + | 2 [Tr — ^ Лп + 2(пС)2 ) + °(м 2)'

М М \ n=0 2 J

Формула следа будет иметь вид:

Тг =

„(0) — „(п) а}2 а21 1 / ад14 2

,12

,21

4) Пусть dll > ^12, d21 < ^22-Тогда

2 V а02

1 а212

2 V а21

ш(Х) =

= а^а^рв21 сов вп + Q(п)a21a22 + аО^1 + а12а02^ в21-1 віп вп—

— ( 2 Q(п)а21а21 + а^1 + 2 Q(п)a12a02+

+

(п) — „(0) , 1 ^(_Л а11а22

Л + оQ (п) а0 а0 —

8

„11„22 „11„22\ „21-2 г,„с, , 1 „ 11„22 т /„ с.21-2 ,

—а1 ао — ао а1 )в сов вп + — а1 ао І2(в,п)в +

+ 0(еІІІЖ |в|21-3), (34)

собственные значения имеют асимптотику (30), в которой

С := п (2 Q(п) + Он + А) •

а112 а21

(35)

Регуляризованный след задачи в этом случае также определяется равенством (32). Формула следа будет иметь вид:

Тг =

„(0) — «(п) а!1 а22 1( аП2 1( а^2

— ти — ^ а»] — 2І а?1 • (36)

а

о

а

о

о

2

о

о

о

о

Список литературы

1. Гельфанд И. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан // Докл. АН СССР. - 1953. - Т. 88. - С. 593-596.

2. Левитан Б. М. Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма -Лиувилля / Б. М. Левитан // Успехи мат. наук. - 1964. - Т. 19, вып. 1(115). -С. 161-165.

3. Левитан Б. М. Операторы Штурма - Лиувилля и Дирака / Б. М. Левитан, И. С. Саргсян. - М. : Наука, 1988. - 432 с.

4. Руссаковский Е. М. Операторная трактовка граничной задачи со спектральным параметром, полиномиально входящим в граничные условия / Е. М. Руссаковский // Функц. анализ и его прил. - 1975. - Т. 9, вып. 4. - С. 91-92.

5. Gulijev N. J. The regularized trace formula for the Sturm - Liouville equation with spectral parameter in the boundary conditions / N. J. Gulijev // Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb. - 2005. - T. 22 - P. 99-102.

A. E. Atkin, G. P. Atkina

Calculation of the regularized trace for the Sturm-Liouville problem with spectral parameter in the boundary conditions

Abstract. In this paper we calculate first regularized trace of boundary value problem for the regular Sturm - Liouville operator with the eigenvalue parameter polinomially contained in the bounary conditions.

Keywords: trace of operator; Sturm - Liouville operator; spectral parameter in boundary conditions.

Эткин Анатолий Ефимович, кандидат физико-математических наук, доцент, Институт экономики и бизнеса, Ульяновский государственный университет, 432970, Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, тел.: (8422)426103 ([email protected])

Эткина Галина Петровна, ст. преподаватель, Институт экономики и бизнеса, Ульяновский государственный университет, 432970, Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, тел.: (8422)426103 ([email protected])

Atkin Anatoly, Ulyanovsk State University, 42, L. Tolstoy St., Ulyanovsk, 432970, docent, Phone: (8422)426103 ([email protected])

Atkina Galina, Ulyanovsk State University, 42, L. Tolstoy St., Ulyanovsk, 432970, senior teacher, Phone: (8422)426103 ([email protected])