Общие формулы регуляризованных следов для нагруженных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 1 (2015). С. 72-85.

УДК 517.984

ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ СЛЕДОВ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

И.Д. ЦОПАНОВ

Аннотация. Рассматриваются регуляризованные следы для дифференциальных операторов, содержащих в качестве коэффициентов при степенях спектрального параметра значения неизвестной функции в заданном наборе точек области определения. Такие дифференциальные операторы интерпретируются в работе как полиномиальные операторные пучки, коэффициенты которых являются неограниченными конечномерными операторами. На основе теории М.В.Келдыша построены общие формулы регуляризованных следов для таких операторных пучков. Полученные формулы развивают известный результат В.А.Садовничего и В.А.Любишкина для относительно-конечномерных возмущений самосопряженных операторов.

Ключевые слова: спектр, операторный пучок, регуляризованные следы.

Mathematics Subject Classification: 47A55, 34B07, 34L15

1. Введение Рассмотрим операторный пучок вида

N = A -Qo -XQi-----\n-lQn-i — \пЕ, (1)

где A - неограниченный самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H с компактной резольвентой. Относительно операторов Q0,Qi,...,Qn-i предполагается, что они являются A-конечномерными, т.е. имеют вид Qj = PjA, где Pj - конечномерные ограниченные операторы в H:

п

Vh е H Pjh = )ф>, (2)

z=i

где 'jе H (j = 0,1,...,n — 1; I = 1,...,nj). Заметим, что если векторы 'j не принадлежат области определения оператора A, то Qj - неограниченный оператор в H.

Такие пучки возникают, например, при решении методом Фурье начально-краевых задач для нагруженных уравнений [1, 2] вида

д2 u(t,х) д2 u(t,х) . . . . v^ , , .du(t, Zi)

-^(г1 = + £ *(x)u(t,хг) + £ bj (х).

i=i j=i

Формулой регуляризованных следов для пучка (1) будем называть формулу вида

— € — с, (S)) = F (в), (3)

v

def

где в данном случае и rjv - собственные значения пучков N и A\n = A — \пЕ соответственно, s - натуральный параметр, си( s) и F(s) - вычисляемые величины. В левой части

I.D. Tsopanov, General formulae of regularized traces for loaded equations. © Цоплнов И.Д. 2015. Поступила 13 октября 2014 г.

(3) знак суммы означает суммирование, возможно, с некоторой расстановкой скобок, по всем собственным значениям пучков и А\п, причем способ расстановки скобок зависит от поведения спектра оператора А.

Впервые формула регуляризованного следа при п = 1 и 8 = 1 для относительно конечномерного возмущения самосопряженного неограниченного оператора с достаточно общими условиями на разреженность его спектра была получена в работе [3]. В работе [4] были получены регуляризованные следы при п =1 и 8 > 1 для относительно конечномерного возмущения в виде рекуррентных формул. Построение формул регуляризованных следов при 8 > 1 в случае бесконечномерных возмущений задача более сложная. Методами теории возмущений для абстрактных операторов с дискретным спектром в гильбертовом пространстве формулы вида (3) были получены в [5] (см. также [6] с. 327-337) при условии на разреженность спектра невозмущенного оператора. Существенное продвижение в этом направлении сделано в [7], где были сняты ограничения на разреженность спектра. Обзор и тщательный анализ результатов, полученных в теории регуляризованных следов операторов, приведен в [8].

Вероятно [9] была первой работой, посвященной построению аналитическими методами формул регуляризованных следов для нагруженного обыкновенного дифференциального оператора, который можно в некоторых случаях трактовать как операторный пучок вида (1). В настоящей работе получены формулы (3) регуляризованных следов для операторных пучков (1) и произвольных 8 Е N.

Интересно отметить, что история регуляризованных следов для полиномиальных операторных пучков повторяет историю следов для операторов. Так, работы [10]-[14] посвящены построению формул для сумм обратных величин собственных значений полиномиальных операторных пучков. Основным методом этих работ является метод линеаризации и использование затем известной теоремы В.Б. Лидского о следах ядерного оператора [15].

2. Предварительные сведения и результаты

В дальнейшем будем считать, что А = 0 Е т.е. Т = А-1 - компактный оператор.

Перейдем от исходного пучка (1) к пучку Ь\ = М\А-1:

Ьх = Е - Р0 - ХР1-----\п-1Рп-1 - \пТ. (4)

Комплексное число ^ является собственным значением пучка Ь\, если Ь^у = 0 для некоторого ненулевого вектора у Е Н. В работе [16] показано, что спектр пучка Ь\ состоит из дискретного набора собственных значений: и(Ь\) = с единственной предельной

точкой на бесконечности.

Пусть {Х„- собственные значения пучка Т\ = Е — ХТ, т.е. а(Т\) = {Х„}£=1. Рассмотрим также пучок Т\п = Е — Хп Т, собственные значения которого обозначим через %, т.е. а(Т\п) = {'цк}^=1. Заметим, что нумерация собственных значений идет по неубыванию модуля и с учетом алгебраической кратности. Справедлива [16]

Лемма 1 (М.В. Келдыш). Пусть Е — Ь\ - аналитическая в области Ъ С С оператор-функция со значениями в идеале компактных операторов, тогда след главной части оператора ^^ Ь-1 для полюса X = с равен ^^, где N - алгебраическая кратность собственного значения X = с пучка Ь\ .

Если для главной части оператора Ь-1 ввести обозначение [ ^¡^ Ь-1], а для функции следа - Тг{»), то из леммы (1) очевидно будет следовать соотношение

2-к г

Х8Тг

¿X = Ыс3

1

где Гс - окружность с центром в точке Л = с, достаточно малого радиуса, проходимая против часовой стрелки.

3. Вывод предварительной формулы рЕгуляризовлнного следа

Пусть функция распределения характеристических чисел оператора Т = А-1 удовлетворяет условию

N (г) 1 lim -= е < то при 0 < а ^ — , (6)

- ra L п

г^-те '

где £ - некоторая положительная постоянная (т.е. 0 < £ ^ то). Введем обозначения:

г'к = 1Л!П1, dk = гк+1 — г к. Справедливо следующее утверждение, доказательство которого приведено в [17]:

Лемма 2. При условии (6) на функцию N (Л) существует подпоследовательность натурального ряда [к„}те=1, такая что dkv = fkv+1 — rkv > £0 У и Е N, где £0 > 0 -постоянная.

Следствие 1. Существует бесконечная система расширяющихся концентрических окружностей (Г^}^°=1 с центрами в начале координат, свободных от точек спектра пучка Т\п и таких, что расстояние 5V от окружности rv до спектра а(Т\п) удовлетворяет, условию 5V > £0/2 Wu е N.

Доказательство. В качестве Г„ возьмем окружность с центром в начале координат и радиусом Rv = Tkv + 2dkv. Тогда rv будет свободна от точек спектра (г(Т\п), т.к. точки из о(Т\п) располагаются на окружностях с центром в начале координат и радиусами rk (к Е N). Кроме того, т.к. точки спектра а(Т\п) располагаются на лучах arg Л = ^ ( к = 0,1,..., 2п—1), то 8V > dkv/2, следовательно, согласно лемме 2, 5V > £0/2 УиЕ N. □

t

Лемма 3. Пусть Р - конечномерный оператор в fi: Р = )фг, фi Е &(Т-1)

1=1

(1 = 1, 2,..., t), тогда для j = 0,1, 2,...,п—1 и R\ = (Е—ЛпТ)-1 выполнены соотношения \\Л^\Р|| ^ 0 при Л Е rv и v ^ то, причем, предел является равномерным по arg Л. (см. [17]).

L-1

С помощью леммы 3 можно получить представление в виде ряда для оператор-функции -1.

Следствие 2. Для X Е Г„, при достаточно большом и, верна формула

^ ( n-i Л к

L-1 = Rx, (7)

к=0

где ряд сходится в равномерной операторной топологии равномерно относительно arg Л.

Умножая левую и правую части этого равенства соответственно на левую и правую части равенства ^^ = —YTjZo 3^-1Pj — пЛп-1Т, получим:

Я Т п~1

L-1 + пЛп-^х = — Y^jX^PRx

3 = 1

п-1 те ( п-1 Лк те ( п-1 Л к

£Л1РЛ R\ — пЛп-1Т £Л1РЛ R\. j=1 fc=1 l 1=0 ) fc=1 l 1=0 )

Проинтегрировав обе части равенства (8) по контуру Г„, и > т0, согласно формуле (5) при = 0, получим слева:

1 £Тг {ж1-1+"х-1^) dx=£Тг (КН) dx+

2ni Тг \ д X

г \ и X I 2П О . г

г V \ /

+ Тг ([nXn-1TRX]) dX = MU - Nv.

1 J г„

(9)

Здесь Ми и - количества собственных значений, с учетом кратностей, пучков Ь\ и Т\п соответственно, попавших во внутренность контура Г. Верна

Лемма 4. Левая часть равенства (9) стремится к нулю при и ^ то, следовательно, т.к. и М„ - целые положительные числа, существует номер т0 такой, что при V > т0 М^ = И», т.е., начиная с некоторого номера т0, во все окружности Г„ будет, попадать одинаковое, с учетом кратностей, количество собственных значений пучков Ьх и Тхп.

Доказательство будет дано позже, после того, как будет исследована функция Р(в), определяемая равенством (11).

В дальнейшем будем считать, что номер т0 таков, что неравенство V > т0, обеспечит выполнение всех описанных выше условий. Из леммы 4 следует, что при V > т0 между контурами Гт+1 и Гт лежит одинаковое, с учетом кратностей, число собственных значений пучков Ь\ и Т\п, а именно Мт+1 — Мт. Поэтому, умножив обе части (8) на А5(2тт г)-1, взяв затем след и проинтегрировав по контуру Г „, мы получим в левой части с помощью формулы (5) после перехода к пределу при V ^ то выражение:

HmJ]04 - Vsk) = + Е Е I № - ti). (10)

k=1 \ k=1 v=m0k=Nv + 1,

Теперь, для того чтобы получить формулы типа (3), нужно исследовать правую часть (8), когда над ней произведены вышеназванные действия, т.е. изучить выражение:

п— 1

II,- J. . п

F(s) = - lim ( У ф X3+k-1Тr(PRx)dX+ L 2тг г

2 ni J

3=1 Г

п-1 . „ / <х / п-1 \

+ е ¿7 ttr iеx3+k-1p r еxlpi ra i dx+ (id

3=1 г! \k=1 V l=0 /

k

(те / п-1 \ k \

^ Xn+k-1Т Irx ^ X1PA Rx I dx}.

n

+__A I \ \n+k-1^ I D \ \l;

2ni

г

Имеем

/п-1 \k k(n-1)

¡Y,XlRxPi\ ={RxPo) + Y, xm E R*P»1 •••R^Potu.

\l=0 / m=1 «1+«2 +...+»k =m

«1+"2 +...+»k =m п-1

Обозначая внутреннюю сумму через Pa1...ak, получим

m

/п-1 \k xk Кп-1)

i ^ XR\Pi\ =(rxpo) +ys X^Pai...ak. (12)

\l=0 / m=1 m

Используя тождество (12), из (11) получим:

П—1 . г.

F(s) = — lim ^^ ф Xj+S-1Тr(R\Pj)dX+ v^x l ' 2тгг J

j=i ^ ^ n—1 x . „

+ ЕЕ 2-fXj+s—1Tr (ад (R^po)k) dX+

j=1 k=1 Г

Г V

i-1 x k(n-l)

+ ГУ.У.^Ф X3+s+m—1Tr {RxPjy : Pai...ah | dX+ (13)

n— 1 x k(n—1) / \

ЕЕ E ¿ fx^+^TrUPjJ

j=1 k=1 m=1 Г \ m /

Г V

x „

+ £ 2^-if Xn+s—1Tr (TRX (RxPo)k) dx+

x k(n—1) / \

+ E E Xm+n+S—1Tr R.T £ Pai...ak dx}.

k=1 m=1 f \ m /

Г V

Обозначим слагаемые, стоящие в правой части (13), соответственно через JjV(s) (1 = 1, 2,..., 5). Дальнейшая задача состоит в том, чтобы вычислить lim JV(s) V s Е NU{0}

V ^x

(l = 1, 2,..., 5). Для этого необходимо предварительно получить некоторые формулы, этому посвящен следующий параграф.

Отметим, что из последующих рассмотрений легко будет следовать корректность предельного перехода при v ^ < под знаком бесконечных сумм в соотношении (13).

4. Вспомогательные формулы

Напомним, что T- компактный самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H, функция распределения характеристических значений которого удовлетворяет условию (6). Пусть {ej }°=1 - ортонормированный базис пространства H, составленный из собственных векторов оператора T. В дальнейшем через п будет обозначаться порядок пучков (1), (4).

4.1. Вычисления с Pk. Воспользуемся системой окружностей {Tv}x=1, построенной в следствии 1. Пусть N > 0 - целое число, и P - конечномерный оператор, причем фг Е D(T—(N+1)) (I = 1,..., t), воспользовавшись тогда тем, что R\ßj = Xj (Xj — Xn) —1 ej, получим

TrRP) = ±(Яф= tfXk^^^,

1=1 1=1 k=1 k применим к правой части N раз тождество

1 = , , (14)

Xk — Xn Xn Xn(Xk — Xn)

получим

Tr(R,P)=—ее^чф^+E ExN ^ -у ■ <15)

1=1 k=1 1=1 k=1 ^ k '

Обозначим второе слагаемое через Фу ( X). Применяя прием, использованный при доказательстве леммы 3, легко показать, что при ф\ Е D(T—(N+1)) (I = 1, 2,..., t) и X Е rv выполнено равенство Ф N( X) = о(X—nN) ( v ^ <) , причем это соотношение равномерно по arg X.

Пусть теперь имеется набор (2) конечномерных операторов. Пусть Р/ = (•, $)ф31, тогда Ру = ЕР", . Рассмотрим оператор-функцию Рд = К\Р1К\Р2 ••• Р\Рк. Легко получить,

j - z^ 1 1=1

что

Ркх = Е ^1^2 ,

Zi ¿2,...,lk

Тг (Ркк ) = £ Ш^С Л (Лл^/i ). h,h,...,lk vi=! J

'16)

Предположим теперь, что

Е ®(Т-(м+2)), N Е N0. ¿ = 1, 2,..., к; 1 = 1,...,щ. (17)

Тогда из соотношения (15) и (16), получим при Л Е Г„, V ^ то

т г(Рк) =

(-1)к Е Л-Мп{т\(тЛ X

- Z^ ^Цv- уц+i, rx (18)

hh,..,lk Pl+P2+...+Pk=M U=1 )

lj<n,j pi,...,pk> l

x (Т-1Ф1 ) + Bf + o(A"n(w+к)),

где целое положительное М удовлетворяет условию к ^ М ^ Ж + к, а символом Bf обозначается сумма членов, в которых р1 + р2 + ... + Рк = М.

Из соотношения (18) следует, что для любого целого положительного числа М, удовлетворяющего неравенствам к ^ М ^ N + к,, справедливо соотношение

lim / АМга_1Тг(РЛк)dA =

^^^ 2^ г /р ^ 1 ^

= е (-1)к Е Шс^с^Л(т-рЧ^)

11,12,...,1к Р1+Р2 + ...+Рк = М Ь'=1 )

0^ ^ < р1,...,рк > 1

= (-1)к Е Тг(Т-Р1Р ■ ■ ■ Т-РкРк).

Р1+Р2 +...+Рк =М Р1,...,Рк > 1

Таким образом, доказана

Лемма 5. Пусть даны конечномерные операторы Р1,..., Рк в гильбертовом пространстве Н, причем, выполнено условие (17). Тогда, если натуральное число М таково, что

к ^ М ^ N + к, то для оператор-функции Рк К\Р1К\Р2 ■ ■ ■ К\Рк выполнено соотношение (19). Если в левой части (19) Мп заменить на какое-либо натуральное 8 : кп < 8 < ^ + к)п, не кратное п, то ее значение будет равно нулю.

4.2. Вычисления с Qд. В дальнейшем нам понадобятся подобные соотношения для

оператор-функции Q\ а== К\Р1К\Р2 ■ ■ ■ Р\Рк.

Применяя последовательно тождество (14), аналогично предыдущему получим для функции Тг(К\Р), где Р - конечномерный оператор, у которого (I = 1, 2,..., ¿), равенство

Тг(Я1Р) = ± - + & , (20)

г=1 3=2

'19)

0^ lj ^ nj

где

Fi

x

Fl + F2X +F3 + — 1)

Xy+1(ф1, e-k)(ek,'i)

=1 k=1

X(N+1)n

(201)

Fl

^ ^ XN+2(фь ek)(ek,'i)

1=1 k=1

XNn(Xk — Xn )2

(21)

Fl = —ЕЕ

n^ ^ XN+2^i, ek)(ek, )

Fl

eecn—1)

XN+2(ф1, ek)(ek,'i)

х ^^ Л^+1)п(\к -Лп) ' ^ ^ +1)п(Лк -Лп)

1=1 к=1 К к ' 1=1 к=1 К к '

Методом, примененным при доказательстве леммы 3, легко показать, что = о(Л-Мп) при V ^ то для ф\ Е &(Т-(м+2"1) (I = 1, 2,..., Ь) и Л € Г, причем это соотношение равномерно по Л.

Формулы (20) получены при N > 2. При N = 0,1 непосредственно получаем, что

Тг(К2ХР) = о(Л-п) (и ^ то, Л € Ги)

Пусть к > 2. Так же, как и в предыдущем случае, получим

'к-1

(22)

Tr (Ql)= Y, П^К ,'4 )\&Ж Л)

(23)

ii,h,...,ik U'=1

Предположим, что выполнено условие гладкости (17) при N > 2. В этом случае применимы формулы (15) и (20) к оператор-функциям )Я\ф'11+11 и (•,1ркк)ЩКФ11 соответственно. Подставляя получающиеся в этом случае выражения для функций (К^ф3^^, $ ) и ( ЙхФ!, <рк) в правую часть равенства (23), получим

T r(Ql)

k—1f N+1

Е П ■£

,i2,...,iк j=1 l P=1

N+1 (T)

Xn

Iis

(p — 1)

(T—PФ1 )

Xnp

1

+

+ o( X

—n(N+k—1)

)

(—1) k—1 ( 1 — 1) X

-Mn

il,i 2,...,i к

Pi+P 2 +...+Pk =M Pi> 2-,P2,...,Pk> 1

M

!k—1

П

=1

(T—P,'4 U x

x (T) + GM + o(X—n(N+k—1))

(24)

где натуральное M удовлетворяет условию к + 1 ^ М ^ N + к — 1. Символом обозначена сумма всех членов с р1 + р2 + ... + Pk = М. Из этих соотношений

lim -^(f XMn—1Tr(Ql)dX =

v^x 2n % Jy

GM

E (—1)

il,i2 ,...,ik

k 1

E (p 1 — 1)

Pl+P2 + ...+Pfc = M Pi> 2 ;P2,...,Pk> 1

!k—1

П

=1

(T—Pj+^ M) u x

x (Tфi\ ,'?k)

(—1)

k—1

Y (P1 — 1)Tr (T—PiP1 • • • T—Pk Pk).

Pi+P2+...+Pk =M Pi> 2;P2,...,Pk> 1

ij ^ nj

i j ^ nj

0^ i j ^ nj

0^ i j ^ nj

Пусть теперь к = 1, и в условии гладкости ^ Е D(T (N+2)) (I = 1, 2,..., t) N > 1. Тогда из (20)) имеем

Tr (RIP ) = £Eü - + E E ^ + o(X-(N+1,n).

7—1 l— 1 V k /

1=1 j=2 1=1 k=1 Рассмотрим функцию

\ s—Nn

m X

( м — Xn)2'

где s - некоторое натуральное число: s > Nn. Функция f(X) имеет полюсы в точках Л = r/kl : = Xk (I = 1, ...,n), вычеты в которых легко вычисляются. Имеем

ЯЫ(X) = S- (N+21)n +1 щ-'"^1 (I = 1,-,n).

щ n2 l

Отсюда видно, что сумма

^ Resf (Л) = 0

=1 Vki

в тех случаях, когда либо в + 1 = ( N + 1)п, либо 5 + 1 не кратно п: в первом случае обращается в ноль Рев/(X) VI = 1,..., п, во втором

Vkl

Е Я!'}(Л) = ЕС(N+2,n+1 = 0,

1=1 Щ n 1=1

т.к. r]ski + 7]'12 + ... + г/1п при любом натуральном s не кратном n.

Из приведенных рассуждений следует, что при N > 1 и М = N +1

lim — (£ XMn~1Tr(R\P)dX = N • Tr(T~(N+1)P). (26)

2tt i Jr^

Лемма 6. Пусть даны конечномерные операторы Рь P2,..., Pk. Пусть выполнено условие гладкости (17). Тогда

1. Если к > 2 и N > 2 (N - целое число из условия гладкости (17)), то при любом целом М : к + 1 ^ М ^ N + к — 1 выполнено (25). При М ^ к левая часть (25) равна нулю. Если в левой части (25) Mn заменить на какое-либо целое s : s < (N + к — 1)n, не кратное n, то левая часть (25) также будет равна нулю.

2. Если к = 1, то для N > 1 (N - целое число из условия (17) справедливо соотношение (26). Если в (26) вместо ( N+1)n подставить какое-либо s : s < ( N +1)n, не кратное n, то левая часть (26) будет равна нулю.

3. Если в условии (17) N = 0, то при всех к > 1

lim i Xn~1Tr(Qx)dЛ = 0. u rv

Последнее равенство следует из соотношения (22).

5. Формулы рЕгуляризовлнных следов

Всюду в дальнейшем мы будем считать, что натуральный параметр в принимает значения в промежутке от Nп + 1 до ^ + 1)п, где N > 0 - целое. Кроме того, конечномерные операторы Р0, Р\,... , Рп- \ удовлетворяют условию гладкости (17).

5.1. Вычисление lim JV(s). Имеем

V ^ x

n 1

n— 1

JV(s) = Е ¿¡Г Xj+S—1Tr(R\Pj)dX. j=1 г

Из леммы 5 при к = 1 и Мп = j + s = (N + 1)п следует

Лемма 7. Пусть Nn + 1 ^ s ^ (N + 1)п, где целое N > 0. Тогда

1. G1(s) =f limJV (s) = —JsEn=1(T—{N+1) ф31°) = —JsTr(T—(N+1)PJs), где

js = (N +1)n — s.

2. Если s = tn при любом целом t > 0, то G1(s) = lim JV(s) = 0.

5.2. Вычисление lim JV(s). Имеем

V ^ x

n— 1 x

JV(s) = ЕЕ2-f Xj+S—1Tr (RiPj(RiP0)k) dX. j=1 k=1 п Г

Г V

Из леммы 5 следует

Лемма 8. Пусть Nn + 1 ^ s ^ (N + 1)п, где целое N > 0. Тогда

1. G (s) = lim JV(s) =

V^x

N

= js Y(—1)k+1 E Tr (T—P0PjaT—PiP0 • • • T—PkP0) ,

k=1 Po+Pi +... +Pk =N+1

Pj > 0

где js = (N + 1)п — s.

2. При = п, > 0 — целое, G ( ) = lim J V( ) = 0.

V^x

5.3. Вычисление lim JV(s). Имеем

п-1 х к(п-1) / \

ъ(*) = ЕЕ Е гЛ3+3+т-1тг ад £ ра1...ак <1\.

3=1 к=1 т=1 / \ т /

Г V

Из (18) следует, что

1 ^ к ^ ] + в — п. (27)

3я ^ 3 ^ п — 1, где = тах{1,п — 5 + 1}. (28)

Предел интеграла в выражении для ^(э) принимает ненулевое значение, если при каждом фиксированном значении индекса к ( к + Ь + 1)п = 3 + в + т при некотором целом Ь > 0. Нетрудно получить, что

и Ь, и = [^ + в + 1)/п — к — 1], и = [(3 + 5 — к — п)/п], (29)

где [а] обозначает наименьшее из целых чисел больших или равных а. Из леммы 5 получим следующий результат.

Лемма 9. Выполнены соотношения

def

1. Зз(],к,г, s)

'—те 2h fX'+'+m" ГгЫ £P«-k)

г \ m /

L V

(—1)k+1 £

Po +P1+... +Pk=k+t+1 Pl> 0;l=0,1,...,k

(30)

^ Tr (T-P0P3T-P1 Pai ••• T-PkPak) .

«1+... +ak = (k+t+1,-(j+s, al> 0;l=1,...,k

n-1 j+s-n i1

def tV

Gs(8) d=f lim rs (a) = ^J £ £ JsÜ,M, s). (31)

V— те

j=js k=1 t=to

2. При s = 0,1 lim JV(s) = 0. Это следует из того, что множество индексов j, опре-

V—^ те

деляемое неравенствами (28), пусто при s = 0,1. 5.4. Вычисление lim JV(s). Имеем

V— те

те г.

JVV(s) = £ 2ГТ Xn+S-1Tr (TRx (RxPo)k) dx. k=1

L V

Воспользуемся очевидным равенством TR\ = X-nR\ — Л-пЕ. Подставив его в формулу для J V( ), получим

те -j р те р

JVV(s) = n £ — j Xs-1Tr (Rx (RxPo)k) dX — n £ — j Xs-1Tr ((RxPo)k) dX.

k=1 ^ k=1 t~i

L V L V

Применив лемму 6 к первому слагаемому и лемму 5 ко второму, получим, что справедлива

Лемма 10.

1. G\(s) <=

те 1 Г

def lim n V — ф Xs-1Tr (rx (RxPa)k) dX

v— те 2—' 2tt г \ /

k=1 d г V

N

n Y,(—1)k+1 Ys (p 1 — 1)Tr (T-PlPoT-P2Po • • • T-PkPo)

k=1 P1+P2+... +Pk=N+1

Pl> 2;P2,...,Pk> 1

те 1 Г

Gl(s) d= — lim n V — ф Xs-1Tr ((RxPo)k) dX

v— те ^—' 2tt г \ J _1

k=1 p г V

N +1

n ¿(—1)k+1 E Tr (T-PlPoT-P2Po •••T-PkPo)

k=1 P1+P2+... +Pk=N+1

Pl ,P2,...,Pk> 1

Т.е. lim JV(s) = G\(s) + Gl(s). 444

2. Если параметр s Е N не кратен n, в частности, при s = 0,1,... ,n — 1 lim J V( ) = 0.

V— те 4

5.5. Вычисление lim JV,(s). Имеем

V ^ X

х k(n-1) / \

jv(°) = ЕЕ fxm+n+s-1Tr R^TEdx

к=1 m=1 f \ m /

Г V

Применим тождество TR\ = X-nR\ — X-nE, получим

x k(n-1)

JV (s) = n ^ ^ ^Ф Xm+S-1Tr [Rxy] Pai...ak 1 dX—

X k{n-1) 1 / \

£ E -1TrU £p,,.J

k=1 m=1 f \ m J

Г V

x k(n-1) 1 /

— nЕЕ 2^fxm+s-1Tr EP—i

k=1 m=1 „ \ m

___ а1...ак

р \ т

Г V

Обозначим слагаемые в правой части последней формулы соответственно через З1 (в) и

З? (8).

Из леммы 6 получим пределы изменения индекса к:

1 ^ к ^ 8-п. (32)

Далее, так же как и при доказательстве леммы 10, потребуем, чтобы (Ь + к + 1)п = т + 5 при целом 0, где

¿с = \(7—{кТГ)П^ТГ)/п\ [(^ -к -п)/п] = Гь (33)

Применяя лемму 6, получаем

в-п 41

G1(s)=f limJ1V (s) = nY Y(—1)k+1 •

k=1 t=t0

• E (P1 — !) E Tr (T-1Pai •••T-PkPak) .

(34)

Pl+..+Pk=k+t+1 ai+..+ak=(k+t+1)n-s

Pl> 2,P2,..,Pk > 1 n-1;l=1,..,k

Для вычисления lim J^ (s) все рассуждения проводятся совершенно аналогично, но на

V^ X

последнем этапе применяется лемма 5.

Имеем 1 ^ к ^ s. При каждом таком к выполняется соотношение m + s = (к + ß)n при некоторых целых ß > 0, где

1 + s ^ (к + ß)n ^ k(n — 1) + s, ß0 d= [(s — nk + 1)/n\ ^ ß ^ [(s — k)/n] ^ ]11.

(35)

Применяя лемму 5, получаем с учетом (35)

S ßl

Gl(s)d=f limJ?(s) = nY E l)k-1 •

V ^ X *—'

k=1 ß=ßo

• Y E Tr (T-PlPai • • • T-PkPak)

pi+..+pk=k+ß ai+..+ak = (k+ß)n-s PI,P2 ,..,Pk> 1 n-1;l=1,..,k

Лемма 11.

1. Имеет место соотношение lim J2V(s) = G2(s) + G5,(s), где величины G2(s) и G"^(s)

V— те 5 5 5 5 5

определяются равенствами (34) и (36).

2. lim J5V(0) = 0. Это легко доказывается из тех же соображений, что и вторые

V— те 5

пункты в предыдущих леммах 7-10.

Следствие 3. Теперь можно доказать утверждение леммы 4, согласно которой функция F(s), определяемая формулой (11), такова, что F(0) = 0. Но, согласно, (13) это следует из того, что lim JV(0) = 0 У к = 1, 2, 3, 4, 5. Справедливость же этих

V— те k

равенств обоснована в леммах 7-11.

Итог всем предыдущим рассуждениям подводит

Теорема 1. Пусть имеется операторный пучок вида

Ьх = Е -Ро -ХР-1 ••• Хп-1 Рп-1 - ХпТ,

действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, где операторы Р0, Р1,..., Рп-1 - конечномерные и имеют вид Р^ = )Ф, а оператор Т - инъективный самосо-

пряженный компактный оператор в Н. Предположим, что функция распределения собственных значений пучка Т\ = Е — ХТ удовлетворяет условию "разреженности" (6).

Пусть параметр в Е N П ^п +1, ^ + 1)п], где целое N > 0. Тогда, если выполнено (17), то существует монотонная подпоследовательность натурального ряда }^=то, для которой справедлива формула регуляризованного следа

lim У^т — rfm — Cm(S)) = F(S),

j—von -t—*

V —те

m=1

где ßm и rjm - собственные значения пучков LX и TXn соответственно, взятые с учетом кратностей, все ст(s) = 0, а

F (s) = —G1(s) — G2(s) — Gs(s) — Gl(s) — G24(s) — Gl(s) — G2(s), где значения Gj (s) определяются в леммах 7-11.

6. ПРИМЕР

Рассмотрим пучок второго порядка Lx = Е — P0 — X P1 — X2T и, предполагая условия теоремы 1 выполненными, выпишем для него формулы следов первого, второго и третьего порядков. Величины Gj (s), определенные в теореме 1, примут вид:

1. G1(1) = —Tr(T-1P1); G2(1) = Gs(1) = G\(1) = G2(1) = G15(1) = 0, G2(1) = 2Tr(T-1P1);

2. G1(2) = G2(2) = G\(2) = Gl(2) = 0,

G3(2) = Tr ((T-1P1)2); G2(2) = 2Tr(T-1Po), G2(2) = —2T r ((T-1P1)2);

3. G1(3) = —Tr((T-2P1)2), G2(3) = Tr(T-1P{T-1Po), G3(3) = —Tr((T-1P1)3), G\(3) = G2(3) = 0,

G2(3) = 2Tr(T-2P1); G2(1) = 2Tr(T-2P1) — 4Tr (T-1PlT-1P0) + 2Tr((T-1 P1)3). Из первой группы формул по теореме 1 получим

NV

lim Y(ßm — Vm) = —Tr(T-1P1). (37)

V

m

V —те

m=1

Из второй группы формул:

Nv

lim £(ßl - vi,) = -Tr((T-1P1)2) - 2Tr(Т-1Ро). (38)

m=l

Из третьей группы формул:

NV

lim V^ — vi) = —Tr((T-1P1)3) — 3Tr(T-2P1) + 3Tr(T-1P1T-1Pa). (39)

v—те ' J m=1

Применим полученный результат к краевой задаче Штурма-Лиувилля для нагруженного уравнения. Рассмотрим краевую задачу

—у"(х) + q(x)y(x) — а(х)у(х0) — X Ъ(х)у(х1) — X2 у(х) = 0, 0 < х < -к,

у(0) = у(к) = 0, хо, х1 Е (0,к).

Обозначим через А самосопряженный дифференциальный оператор в L2(0,k) : Ау(х) = —у''(х) + д(х)у(х), D(A) = [у Е W2(0,n) : у(0)=у(тг)}. Пусть G(х, £) - функция Грина оператора А. Тогда имеем равенства

Р'К П'

у(хо)а(х) = а(х) G(x0,0АУу(х1)Ь(х) = Ь(х) <^(хъ С)АУfödg.

оо Таким образом, краевая задача порождает операторный пучок вида

Nx = А — Qo — XQ1 — XE, где

' '

Qoy(х)= а(х^(хо, ОАу(№, Qw(х) = Ъ(х^(хи £)Ау($(%. оо

Для пучка Lx = NxA-1 будут выполнены все условия теоремы 1. Таким образом, если а(х), Ь(х) Е D(А2), то по формулам (37), (38)

NV NV

limS^ißm — Vm) = —b (х1), limS^ißi — тЦ) = Ь2(х1) — 2а(хо).

—те —те

m=1 m=1

Если а(х), Ь(х) Е D^3), то по формуле (39)

NV

lim у (i^ — ^m) = — Ь3(х1) — 3[—Ъ"(х1)д(х1)Ъ(х1)} + 3а(х1 )Ь(хо).

V

V

т=1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Анохин Ю.А., Торстко А.Б., Дамешек Л.Ю. и др. Математические модели и методы управления крупномасштабным водным объектом. Новосибирск: Н. 1987.

2. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения // Дифференц. ур-ния. 1983. Т. 19. № 1. С. 86-94.

3. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формула следов // Функ. анализ и его прилож. 1986. Т. 20. № 3. С. 55-65.

4. Любишкин В.А., Цопанов И.Д. О новых формулах следов для операторов с дискретным спектром // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механика. 1987. № 6. С. 22-25.

5. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Любишкин В.А. Следы дискретных операторов // ДАН СССР. 1982, Т. 264. №4. C. 830-832.

6. Садовничий В.А. Теория операторов М.: Высшая школа, 1999.

7. Фазуллин З.Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов. Дис... д-ра физ-мат. наук. Институт Математики с вычислительным центром РАН. Уфа. 2006.

8. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов // УМН. 2006. Т. 61, Вып. 5(371). С. 89156.

9. Матвеев Ю.В. Спектральные свойства дифференциально-функциональных операторов // Дис... кандидата физ.-мат. наук. МГУ им. М.В.Ломоносова, механико-математический факультет. М., 1986.

10. Кулеско Н.А., Палант Ю.А. К теореме Е.И. Сигала о следе операторного пучка // Математические исследования. Кишинев, 6, вып. 2 (1971). С. 150-152.

11. Кулеско Н.А. О следах полиномиального операторного пучка // Функцион. анализ. Линейные пространства. Ульяновск, 1985. C. 87-91.

12. Сигал Е.И. О следе операторного пучка // Матем. исследования. Кишинев. 1969. Т. 4, № 2. С. 148-151.

13. M.I. Gil' Sums of characteristic values of compact polynomial operator pencils //J. Math. Anal. Appl. 338 (2008) P. 1469-1476.

14. H. Konig A trace theorem and a linearization method for operator polynomials // Integral Equations and Operator theory. 1982. Vol.5. P. 828-849.

15. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965.

16. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. 1971. T. 26, № 4. C. 15-41.

17. Цопанов И.Д. Общие формулы следов для интегро-дифференциальных операторов // Влади-кавк. матем. журн., 9:4. 2007. C. 3-48.

Игорь Дзастемирович Цопанов,

Южный математический институт Российской академии наук,

ул. Маркуса, д. 22,

362027, г. Владикавказ, Россия

Владикавказский Институт Управления,

ул. Бородинская, д. 14,

362025, г. Владикавказ, Россия

E-mail: [email protected]