Формула регуляризованного следа для возмущений из класса Шатена-фон Неймана дискретных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 109-115.

УДК 517.94

ФОРМУЛА РЕГУЛЯРИЗОВАННОГО СЛЕДА ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ИЗ КЛАССА ШАТЕНА-ФОН НЕЙМАНА ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

X.X. МУРТАЗИН, З.Ю. ФАЗУЛЛИН

Посвящается памяти профессора Игоря Федоровича Красичкова-Терновского

Аннотация. В работе исследуется формула регуляризованного следа возмущений из класса Шатена-фон Неймана (vp,p g N) дискретных самосопряженных операторов. Доказано равенство нулю регуляризованного следа с вычетом (p — 1) поправок теории возмущений, в случае отсутствия расширяющихся лакун в спектре невозмущенного оператора.

Ключевые слова: теория возмущений, регуляризованный след, дискретный оператор, спектр, резольвента.

Mathematics Subject Classification: 47B10, 47B15, 47A55

1. Введение

Пусть L0 полуограниченный снизу самосопряженный дискретный оператор в сепара-бельном гильбертовом пространстве H, V = V* - ограниченный оператор в H. Через Àk и pk, k = 1, 2,... обозначим собственные числа операторов L0 и L = L0 + V, пронумерованные в порядке роста с учетом их кратности, через fk - ортонормированный базис в H из собственных функций оператора L0, соответствующих собственным числам Àk ; N (À) = 1 - функцию распределения спектра оператора L0; ор, p G N - класс компакт-

Ak<A

ных операторов Шатена-фон Неймана.

Из результатов работы М.Г. Крейна [1], в частности для дискретных операторов, вытекает, если V = V* G о 1, т.е. оператор V - ядерный, то верны соотношения

те те

Y fa — Àk ) = spV = y (Vfk, fk ), (i)

k=1 k=1

то есть

те

Y 0"k — Àk — (Vfk,fk)) = 0. (2)

k= 1

Далее были многочисленные попытки доказать формулу (2) для неядерных возмущений V. Отметим наиболее существенные работы в этом направлении.

Kh.Kh. Murtazin, Z.Yu. Fazullin, Formula of the regularized trace for perturbation in the Schatten-von Neumann of discrete operators. © МуртАзин Х.Х., ФАзуллин З.Ю. 2015.

Работа выполнена при поддержке гранта №01201456408 Минобрнауки РФ. Поступила 26 ноября 2015 г.

В работе [2] для произвольных ограниченных возмущений V (не обязательно самосопряженных), если резольвента R0(z) = (L0 — z)-1 ядерный оператор, то доказано, что

Г 1 го

существует подпоследовательность натуральных чисел {nm}m=1 такая, что

nm

lim V (^ — Afc — (Vfk,fk)) = 0. (3)

k=1

В работе [3] для произвольных ограниченных самосопряженных возмущений V, формула (2) доказана при более слабом ограничении, а именно, когда N(A) = o(A), A ^ то.

Далее для произвольных компактных возмущений V справедливость формулы (3) в работе [2] была установлена при выполнении следующих двух условий:

1) существует 8 > 0 такой, что оператор VL0 продолжается до ограниченного;

2) L0 ядерный оператор.

В работе [3] для произвольных компактных V = V* возмущений формула (3) доказана при условии, что N(A) = O(A), A ^ то.

Как видим из вышеприведенных утверждений для произвольных ограниченных и компактных возмущений, для доказательства справедливости формулы (3) приходится накладывать условие на функцию распределения спектра N(A) невозмущенного оператора L0, в то время как для возмущений V Е а1 нет необходимости накладывать условие на рост функции N(A) (см. формулу (2)).

Следующее продвижение в этом направлении было сделано в работе [3], где получен аналог формулы (1) для возмущений Гильберта-Шмидта (V Е a2), и доказано, что формула (3)(равенство нулю регуляризованного следа с вычетом первой поправки теории возмущений) для возмущений V = V* Е a2 справедлива без ограничений на функцию N(A). Следовательно, естественно возникает вопрос: сколько поправок теории возмущений нужно вычесть для равенства нулю регуляризованного следа, в случае возмущений из класса ap, Р > 3, и при этом не накладывать ограничения на рост функции N (A). Частичный ответ на этот вопрос был дан в работе [2], где авторы доказали равенство нулю регуляризованного следа с вычетом (p — 1) поправок теории возмущений (см. формулу (4) в данной работе) для возмущений из класса ap, p > 2 при условии существования системы расширяющихся лакун в спектре невозмущенного оператора L0. Последнее означает, что существует подпоследовательность {пт}ГО=1 такая, что Anm+1 — Anm ^ то при m ^ то, и является довольно жестким условием в теории возмущений. В данной работе нам удалось снять это условие и ответить на поставленный выше вопрос.

Для формулировки основного результата работы введем обозначения

R0(z) = (L0 — z)-1, R(z) = (L — z)-1,

r = АПт + 1+ЛПт Г = Г : II = r -1

' m 2 jJ-m {^ • |^ | ' m} •

Справедлива:

Теорема. Пусть существует 8 > 0 и подпоследовательность {nm}^=1 С N такая, что Anm+1 — Anm > 8. Тогда для V = V* Е ap, 3 ^ p, p Е N

nm / p-1 \

lim V U — Ak — V «И =0, (4)

k=1 \ 1=1 /

где a(m) = (2ni)-1(—1)'Sp j> z(R0(z)V)'R0(z)dz - l-я поправка теории возмущений.

Предварительно докажем вспомогательные утверждения, касающиеся расстановки скобок суммирования.

Лемма 1. Пусть существует 8 > 0 и подпоследовательность {nm}^=1 С N такая, что Anm+1 — Anm > 8. Тогда для любого компактного оператора V в H

lim max ||VRo(z)|| = 0. (1.1)

т^те |z|=rm

Доказательство. Пусть f G H, поскольку для любого N G N и z G Гт

Ro(z) = Е ff, k=i k

N 2 2

№(*)/12 = Е ^ + Е Й2.

к=1 1 1 к=^1 1 к 1 те

При данном /, так как |Ак — > |, к С N и Е |(/, /к)| = ||/1| < го, за счет выбора N

к=1

второе слагаемое можно сделать сколь угодно малым, т.е.

£ < /42 |(/,/к)12 < 2 (1.2)

k=N+1 |Ак k=N +1

Зафиксируем N, тогда при z G Гт, m >> N имеем

" l(f,fkCn £

2;

^¡AffF < )|2 < 2' (1.3)

k=1lAk - Z| |AN - Z| k=1

поскольку |AN — zl —У то при m — то.

Следовательно, из (1.2) и (1.3) заключаем, что для произвольного f G H

lim max ||Ro(z)f || = 0. (1.4)

т^те |z|=rm

Далее, так как V - компактный оператор, его можно представить в виде [4, гл: IX, лемма 9.11]

V = Kin + K2ra, (1.5)

где K1n - конечномерный оператор, а оператор K2n такой, что ||K2n|| — 0 при n — то. Поскольку, для любого конечномерного оператора справедливо представление

n

Kin = EO^j Vi, j=i

имеем

KinRo(z) = E(^,Ro(z)^j, z G rm. j=1

Следовательно,

|К1„Дс(г)| ^ Е |№1| 1|, г е Гт, ^=1

отсюда, согласно (1.4) и представления (1.5), заключаем справедливость соотношения (1.1).

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть V - произвольный компактный оператор в Н и предположим, что существует подпоследовательность {пто}^^ С N такая, что АПт+1 — АПт > 8, 8 > 0. Тогда внутри контуров Гт содержится одинаковое количество собственных чисел операторов Ь0 и Ь = Ь0 + V.

Доказательство. Поскольку Д(Ь0) С ) = Н, семейство операторов Ьх = Ь0 + XV, X е [0,1] является голоморфным семейством типа (А)[6, гл: VII]. Следовательно, согласно

аналитической теории возмущений [6, гл: VII], собственные значения Ап(х) операторов Ьж, по крайней мере, являются непрерывными функциями параметра х. Далее, пусть т >> 1 и г Е Гт тогда в силу леммы 1

||жуадц ^ |^ад|| < 1,

поэтому все г Е Гт при т >> 1 принадлежат резольвентному множеству операторов Ьх, так как

оо

Я* (г) = (Ь - г/)-1 = ЕМ)'ад [хУДс(г)]', г Е Гт

к=С

сходится. Следовательно, согласно теорем 3.16 и 3.18 гл: IV из [6], собственные значения Ап(х) (непрерывные функции параметра х) семейства операторов Ьх не пересекают контура Гт, при х Е [0,1]. Лемма 2 доказана.

Доказательство теоремы. Согласно лемме 1, при т >> 1, г Е Гт ||УДс(г)| < 1. Следовательно, для резольвенты возмущенного оператора Ь справедливо представление

те

ВД = Е (-1)г(Дс(г)У)гДс(г).

1=о

Так, что для р > 3 имеем

р-1

Я(г) - ад - ^(-1)г(Яс(гДс(г) = Ср(г) г Е Гт, (1.6)

1=1

где

те

) = ^(-1)г(адюг Дс(г) = (-1)р(Дс(г)У)рД(г) =

1=Р

= (-1)р(Дс(г)^)р-1Д(г)УДс(г). (1.7)

Отсюда следует, что Ср(г) - ядерный оператор, поскольку V Е ар.

Справедлива

Лемма 3. При т >> 1

$ 5рСр(г= 0.

Гт

Доказательство. Согласно (1.7) достаточно показать, что при I > р

i

Для этого введем операторы

вр(Яс(г Дс(г )Ог = 0. (1.8)

Гт

Ьх = Ьс + XV,

Дж(г) = (Ьж - г)-1, 0 ^ х ^ 1.

Хорошо известно [6, гл. 1,§4, п. 5 и §5, п. 2], что существует Дг(г) в равномерной топологии при г Е Гт и

а

—ад = в^ад^Я* (г), (1.9)

ах5

причем при х = 0 Яж(г) = Яс(г), а при х =1 Яж(г) = Я(г). Далее, легко заметить, что при т >> 1

вр Дл(г) = 0, (1.10)

г,

следовательно, дифференцируя (1.10), согласно (1.9), находим, что для всех I > р

)У]гЯ* (г)Жг = 0. (1.11)

г

г т

Полагая в (1.11) х = 0, получим (1.8). Лемма 3 доказана.

Далее, поскольку V е ар, р > 3, оператор СР - ядерный, применяя к обеим частям

равенства (1.6) оператор $р I — ^ $ (■ I, получим

V " гт /

Пт / Р—1 , Л / \

Е ^к — Ак — Е «(М = вРт), к=1 \ 1=1 /

где врт) = — (2пг) —1 §

гт

Следовательно, для доказательства теоремы, достаточно показать, что

Иш вРт) = 0. (1.12)

С этой целью введем проекторы

= — (2^) —1 / Я(г)^г, ^ = — (2пг) —1 / Я0(г)^, гг

гт гт

и операторы

Ят1(г) = Я(г)^т, Ят2(г) = Я^)^,

(г) = Я0(г, ДЩ2(г) = Я0(г^т1.

Для наглядности изложения докажем (1.12) при р =3 Лемма 4. Если V е а3, то

^ ^р {(С^Ж)2Ят*(^Ят.Дг)} ^ = г

гт

= ^ 5р {(Я^О2^^Я^^Я^О*)} ^ = 0, ^ = 1, 2. (1.13)

гт

Доказательство. Справедливость соотношений (1.13) при 5 = 2 следует из того, что оператор-функции ЯЩ2(г) и Ят2(г) внутри контура Гт не имеют особенностей.

Пусть /(г) = г1$р {(ДЩ1(г)V)2Яm1(z)VЯml(z)}, I = 0,1. Поскольку все особенности функции /(г) расположены внутри контура Гт и

^ ге8/(г) = —ге8г=те/(г).

Поэтому, справедливость соотношений (1.13) следует из разложения при г е Гт

/(г) = г1 {+ + ...}, I = 0,1.

Лемма 4 доказана.

Заменяя интегрирование по контуру Гт на интегрирование по прямой = {гт + £ е Я}. Из (1.7), лемм 3 и 4 находим, что

, Пт ОО

в3т) = (2пг)—1 ЕЕ / ¿(Ак — Гт — й)"2[(^т 1(Гт + Й)Ящ2

к=1 —те

(Гт + Й^/к, /к) + ^ЯЩ^Гщ + Й^Ят^Гт + ^/к, //к) +

+ + И) ^т2^т + Й) V/*, / )]^+

те те

+ (2пг)-1 Е I ¿(А* - Гт - й)-2[^Ят^Ят2(гт + г^//) +

А:=ГОт+1 —те

+ (^2^ + г^Ят! (гт + г^Д, /к) +

+ (^1^ + г^Ят1(гт + ¿¿)V/, /к)]^. Докажем, что каждое из шести слагаемых стремится к нулю при т ^ то. Ограничимся доказательством утверждения для первого слагаемого вго^, для остальных слагаемых рассуждения и выкладки доказательства совершенно анологичные.

Итак, используя полярное представление ограниченного оператора, поскольку [6, с. 421]

и IV| и* = IV*| = IV|

и неравенство Коши-Буняковского, имеем оценку

I(VЯт(г)VДт2(г)V/, /)|2 ^ (^2^) IV| Ят2(г^Д, Д) ■ (^(г) IV| Дт^Д, Д).

На основе этой оценки и неравенства Гельдера находим, что

яМ в31

где

, ч Пт те

„(т) — 1 ^ Г 1 + 1 /V \. _ „ ^ , +2\-

1 , _ 1

< ь3ту ■ 4тТ, (1.14)

т3Г = ± Е /И ((А* - Гт)2 + «2)-1(УД;,2(г) IVI Я,„2(Ф7*, /*)<Й,

к=1 —те

, ч Пт те

# = пт те м ((а* - ^)2+¿2)-1^ятс1(г) IVI ят^жд,/*э,

*=1 -те

г Гт ++

Теперь покажем, что 7(т) ^ 0 при т ^ то. Для этого, используя интегральное представление, при г = Гт + И

те те

(^(г) IVI Ят2(г^д,/*)= / ж / ат(у т!/,/к)

и оценку

|(V[е(в) - дт] IVI [е(т) - ^д,д) ^ ^ 1 {(V [е (в) - дт] IVI [е (в) - дт] V/*, д) + (V [е (т) - дт] IVI [е (т) - дт] V/*, /*)},

находим, что (г = Гт + И)

те

К^^) IVI Ят2(г)V/*,/*) ^ § те (у )ж,

+1

следовательно,

те

т3т) ^ П / , 1 ,3 вр^[Е(в) - дт] IVI [Е(в) - ад^в. (1.15)

8 ] (в - Гт)3

Мпт + 1

Далее, пусть {аг}°=1 = ) - спектр оператора V, {^г}°=1 - соответствующая последовательность собственных функций, тогда согласно неравенству Гельдера

те

вр^[Е(в) - ^т] IVI [Е(в) - ^т] V) = Е I12 (IVI [Е(в) - [Е(в) - ^

г=1

тете

^ (£ Н3)1 ■ I [Е(в) - [Е(в) - ^т]^г)3)1. (1.16)

г=1 г=1

Так как

(|V| [E(s) - Qm]^, [E(s) - ^ (|V|3 [E(s) - [E(s) -

и

Sp[E(s) - Qm] |V|3 [E(s) - Qm] ^ Sp(Qm |V|3 Q4), из (1.15)-(1.16) получим, что

Y3m) ^ Sp(Qm |V|3 Qm)1, C> o.

Откуда, поскольку - rm ~ 2(A„m+1 - Anm), при m ^ го, заключаем, что Y3m) ^ 0

при m ^ го. Аналогично устанавливается, что ^ CSp(Qm |V|3 Qm). Следовательно, согласно (1.14) доказано, что взТ^ ^ 0 при m ^ го. Совершенно аналогично исследуются слагаемые ), i = 2, 6. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крейн М.Г. О формуле следов в теории возмущений // Матем. сб. 1953. Т. 33(75). № 3. С. 597-626.

2. Садовничий В.А., Поольский В.Е.Следы операторов с относительно компактным возмущением // Матем. сб. 2002. Т. 193. № 2. С. 129-152.

3. Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов // Матем. сб. 2005. Т. 196. № 12. С. 123-156.

4. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т.2. М.: Мир, 1966.

5. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, Физматлит, 1965.

6. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

Хайрулла Хабибуллович Муртазин, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия Зиганур Юсупович Фазуллин, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]