Общие формулы регуляризованных следов для интегро-дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2007, Том 9, Выпуск 4

УДК 517.984

ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ СЛЕДОВ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

И. Д. Цопанов

В работе получены общие формулы регуляризованных следов для ядерных возмущений дискретных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, а также для возмущений таких операторов операторными полиномами с ядерными коэффициентами.

Ключевые слова: линейный оператор, регуляризованные следы, собственные значения, операторный пучок.

1. Введение

Рассмотрим в гильбертовом пространстве Н дифференциально-операторное уравнение

ЦЯ) = игаф + Ащ"-1 (¿) + ... + А„и(£) = 0, (1)

где Ак, к = 1,... ,п — данные, вообще говоря, неограниченные операторы в Н, и(£) — неизвестная функция со значениями в Н, Я = = . По аналогии с обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с уравнением (1) связывают характеристический операторнозначный многочлен

Ьх = А" Е + А"-1А1 + ... + А", (2)

который принято называть операторным пучком. Фундаментальную связь между уравнением (1) и пучком (2) демонстрирует следующая [8, 12, 20]

Лемма 1.1. Функция и(£) вида

'+к -¡-к—1 „сЬ ' 1 1

«(¿) = е и° + (к _ 1)! и1 +-----ь ик) , (3)

€ Н, и° = 0, является решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда выполнены следующие соотношения:

ЬсПр + 1 ¿Сир—1 + ••• + р ¿Ср)и° = 0, р = 0,..., к. (4)

Число с € С называется собственным значением пучка (2), если существует ненулевой вектор у € Н такой, что Ьсу = 0.

Таким образом, вектор и° из соотношений (4) является собственным вектором. Векторы (] = 1,..., к), удовлетворяющие (4), называются присоединенными и образуют

© 2007 Цопанов И. Д.

жорданову цепочку векторов. Нетрудно видеть, что это определение собственного значения, собственного вектора и присоединенных к нему векторов есть обобщение определения этих же понятий для обычных линейных операторов. Теорию, аналогичную теории Жордана для конечномерных линейных операторов, для операторных пучков разработал М. В. Келдыш в работе [8]. Изложению дальнейшего развития результатов М. В. Келдыша посвящены монографии [12, 20].

Приведенную лемму можно рассматривать как одно из многочисленных свидетельств важности изучения спектральных характеристик операторных пучков. Данная работа посвящена построению формул регуляризованных следов для них. Начнем с рассмотрения формул регуляризованных следов для операторов вида

А = Т + В, (5)

где Т — неограниченный самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с компактной резольвентой1, а В — оператор подчиненный Т [7].

Формулой регуляризованных следов для оператора (5) будем называть формулу вида

е(^т - лт - ст(з)) = ^ (в), (6)

т

где ^т и Лт — собственные значения операторов А и Т соответственно, в — натуральный параметр, называемый порядком регуляризованного следа, ст(в) и ^(в) — вычисляемые величины. В левой части (6) знак суммы означает суммирование, возможно, с некоторой расстановкой скобок по всем собственным значениям операторов А и Т, причем способ расстановки скобок зависит от поведения спектра оператора Т.

Впервые формула регуляризованного следа первого порядка была получена в работе [3] для обыкновенного дифференциального оператора Штурма—Лиувилля. Затем для таких же операторов в работе [5] были получены формулы регуляризованных следов произвольных порядков.

Формулы регуляризованных следов для абстрактных операторов вида (5), где В — ядерный (В € ©1, см. [4]) самосопряженный оператор, а Т — самосопряженный неограниченный оператор в гильбертовом пространстве Н, впервые были получены в работе [9], как частный случай общей теории. В недавно вышедшей работе [13] были детально изучены формулы регуляризованных следов для самосопряженных неядерных возмущений самосопряженных дискретных операторов. Результаты, полученные в ней носят уже завершенный характер.

Несамосопряженные ядерные возмущения были рассмотрены в работе [11], в которой была получена формула вида (6) при в = 1:

- Лт) = Тг(В).

В отличие от работ [9, 13], где никаких ограничений на разреженность спектра оператора Т не накладывалось, в случае несамосопряженных возмущений эти условия становятся уже необходимыми. В частности, в работе [11] на функцию распределения спектра

N (г) = 1 было наложено условие N (г) = 0(ЛР), 0 < р < 2. Дальнейшее разви-

|А к Кг

тие теории регуляризованных следов для абстрактных операторов вида (5) в основном

1 Такие операторы называют дискретными операторами

шло по пути снятия ограничений на поведение спектра оператора T и возмущающий оператор B. Так, в работе [6] была получена формула следа

^(ßm - Am - (B^m, ^m)) = 0

в случае, когда N(r) = O(Ap), 0 < p ^ 2 и B — ограниченный оператор. Если же B — оператор из класса Гильберта—Шмидта, то, как показано в [6], достаточно потребовать, чтобы 0 < p ^ 1.

Наиболее полные результаты по формулам вида (6) для несамосопряженных возмущений при s = 1 получены в работе [14]. Современное состояние теории регуляризован-ных следов дискретных операторов подробно освещено в обзоре [15].

В отличие от дискретных операторов библиография работ по следам для операторных пучков вида (2) совсем невелика. В работах [10, 16] для пучков вида

La = E - A Ai - A2 A2 - ... - AnA„,

где Aj £ Sp/j (p > 1), показано, что ^ |ßj|—p < то, где {ßj} — собственные значения пучка La [16], и получены формулы вида ^ ß—r = Tr(Sr), где r ^ n, а операторы Sr

n—1

определяются по рекуррентным формулам Sr = ^ Sr—jAj + rAr, Si = Ai [10]. Эти ра-

j=i

боты явились обобщением [19], где указанные формулы получены для полиномиальных пучков, действующих в конечномерном пространстве.

В настоящей работе строятся общие формулы регуляризованных следов (6) при произвольных натуральных s для возмущений несамосопряженными ядерными операторами. Сначала рассматриваются регуляризованные следы для оператора T + B, где T — самосопряженный дискретный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H, B £ Si, затем по той же схеме производится вывод общих формул регуляризованных следов для операторных пучков (2), где An — самосопряженный дискретный оператор в H, а {Aj}n— i содержится в Si. Следует отметить, что, не смотря на хорошую изученность ядерных возмущений, общие формулы (6) даже для операторов вида T + B приводятся впервые. Для операторных пучков в [18] были построены методы (алгоритмы) нахождения формул следов, но общих формул также указано не было.

2. Общие формулы следов для ядерных возмущений

В дальнейшем будем предполагать, что функция распределения спектра оператора T удовлетворяет условию

N(r)

lim -= е < то при 0 < a ^ 1. (7)

r—r

Как было показано в работе [2], существует система концентрических окружностей {rv}£=i, rv = {A £ C : |A| = yv}, yv ^ то при v ^ то, такая, что расстояние 5V от окружности rv до спектра a(T) оператора T удовлетворяет условию 5V ^ ео, где ео > 0 — постоянная. В дальнейшем будет использоваться система окружностей {rv}£=i. Собственные значения операторов A = T + B и T будем обозначать соответственно через {ßk}£=i и {Afc}£=!, причем, нумерация осуществляется по неубыванию модуля и с учетом алгебраической кратности. Пусть, кроме того, Mv и Nv — количества элементов последовательностей {ßk}^=i и {Ak}^=i соответственно, попавших внутрь контура rv.

Лемма 2.1. Пусть T — дискретный самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве fi. Пусть функция распределения спектра оператора T удовлетворяет условию (7) и B € , тогда, если Ra(T) = (T — AE)- — резольвента оператора T, то

|| Ra(T)B||i ^ 0 при A € Г^ и v ^ к>,

где || ■ ||i — норма оператора из идеала ©i, причем предел равномерен по arg A.

Доказательство более общего утверждения будет проведено ниже. Из леммы 2.1 следует существование такого номера vo, что при v ^ vo и A € rv выполнено соотношение ||Ra(T)B||i < 1. Следовательно, при A € rv, v ^ vo, имеем известное соотношение

те

Ra(A) — Ra(T) = 1)k {Ra(T)B}k Ra(T), (8)

fe=i

в котором сходимость ряда понимается в смысле нормы || ■ ||i. Для любого оператора L € ©i выполнено неравенство |Tr(L)| ^ ||L||i (см. [4]), т. е. функция следа непрерывна по норме ©i, это значит, что от обеих частей равенства (8) можно взять след, а затем проинтегрировать по контуру . В результате получим

2-f AsTr (Ra(A) - Ra(T)) dA = ¿(-l)k2-i AsT^RA(T) (RA(T)£)fc) dA. (9)

Обозначим след главной части мероморфной оператор-функции Е(Л) через Тг([Е(Л)]), тогда в силу конечномерности главных частей разложения резольвент дискретных операторов в окрестности полюса (т. е. собственного значения) [7, 8] получим для левой части равенства (9)

Л5Тг (ЯА(А) - ДА(Т)) ^Л = / Л*Тг ([Да (А)]) ^ЛЛ*Тг ([ЛА(Т)]) ¿Л.

(10)

Для вычисления интеграла от Тт([Да(А)]) в правой части (10) воспользуемся формулой М. В. Келдыша. В работе [8] им доказана

Лемма 2.2 (М. В. Келдыш). Пусть Е - ¿а — аналитическая в области Э С С оператор-функция со значениями в идеале ©^ компактных операторов, тогда след главной части оператора ^УАт Ь-1 для полюса Л = с равен а—с, где N — алгебраическая кратность собственного значения Л = с пучка Ьа-

Пусть оператор Т обратим, т. е. существует Т-1 € ©те, тогда к пучку Ьа = Е + ВТ-1 - ЛТ-1 будет применима лемма 2.2, но для резольвенты Да(А) имеем

Ra(A) = (T + B - AE)-1 = T-1L-1 = -dLL-1.

В случае, когда Л = 0 € а(Т), рассмотрим оператор Т = Т + Ео, где Ео — ортогональный проектор на нуль-пространство оператора Т. Очевидно, что оператор Т обратим. Резольвенту оператора А мы можем представить в виде

Ra(A) = (T - Eo + B - AE)-1 = T-1 Lf1 = -L-1,

где теперь Ьа = Е + (В - Ео)Т-1 - ЛТ-1. Но спектры оператора А и пучка Ьа в обоих случаях, очевидно, совпадают, следовательно, согласно лемме М. В. Келдыша, в малой окрестности любого собственного значения Л = с оператора А имеем соотношение

TrQR(A)]) = — Tr ^ ^dirL-1 j = — д—с (N — алгебраическая кратность). Таким обра-

зом, по интегральной формуле Коши

1

1 , Mv

— f As Tr([RA(A)]) dA = E

^ rv m=1

(11)

Аналогично поступим с интегралом от Tt([Ra(T)]). Объединяя соотношения (9)—(11), получим

Mv N

"m / y "m

m=1 m=1

E^m — E Am = E(—i)

fe=i

)k — i As Tr 2n Urv

Rä(T) (Rä(T)B)*

dA.

(12)

В дальнейшем будем считать, что {ekобозначает полную ортонормированную систему векторов в H, составленную из собственных элементов самосопряженного оператора T. Будем также использовать обозначения Ek для спектральных проекторов: Ek = (■, ek)ek (k G N). Следующая лемма дает возможность непосредственного вычисления формул следов.

Лемма 2.3. Пусть B G Si, тогда выполнены следующие соотношения:

1. 2П? f As Tr |~RÄ(T) (RÄ(T)B)k] dA = 0 при s ^ 0, k ^ 1 и s — k ^ —1. (Если полу-rv L J

ченное соотношение, применить при s = 0 к ряду (12), то получим, что Mv = Nv для любого v ^ Vo.);

2- lim гЛ! f As Tr |~RÄ(T) (RÄ(T)B)k] dA = (—1)s+1 Tr(Bs) при s — k = 0 и k ^ 2;

3- lim {^f As Tr Rä(T)( Rä(T)B

Bemk, emk )} = 0 при s — k = p > 0 и k ^ 1, где

£

Nv £

mi = ...=mfc=1

dA — E (—1)k+1 Cp(BEmi ■ ■ ■ BEmk-i

Amii ' ' ' Amip -

mfc=mfc+i

< Пусть PÄk = (Rä (T )B)k Rä(T ), тогда Tr(pk) = £(Rä(T )B ••• BR(T )ei ,et). Под-

г=1

те

ставляя спектральное разложение резольвенты Rä (T) = £ Ek (Ak — A)-1, получим

k=1

k+1

Tr(pk) = E П

1

1 • 1 Am, — A mi.....mk=1 j = 1 j

mfc =mk+i

(BEmi BEmk—i Bemk ,emk )-

(13)

В этом равенстве каждый из индексов т1,..., тк независимо от других пробегает нату-

к+1

ральный ряд. Учитывая, что при А £ Г^ и А^. £ о'(А) имеем неравенство П л 1_л ^ с,

¿=1 т

к

и, кроме того, что (В£Ш1 ••• Ветк, етк) = (Вет1, етк ) П (Ве^. , е^.—), можно

¿=2

k

cp —

доказать абсолютную сходимость ряда (13). Ниже это будет сделано в более общей ситуации. Следовательно, его частичные суммы можно формировать произвольным образом. Будем строить частичные суммы по правилу:

N к+1 1 = Л Т-— (ВЕт1 ••• ВЕтк-1 Ветк , етк )

т1,...,тк = 1 ^=1 "

тк =тк+1

В силу равномерной сходимости ряда (13) по Л € Г^ мы можем его почленно интегрировать по любому контуру Г^. Таким образом, имеем:

1 о ^^ 1 о к+1 1

— ^ V ) = Е — ^ Д^"-Л (ВЕ™1 ••• ВЕтк-1 Ветк ,етк ).

г т1=--- =тк = 1 " ^=1 3

Так как в приведенной формуле |Лт. | < |Л|, то разлагая каждый сомножитель в ряд по Аз-

степеням А и перемножая эти ряды, получим к+1

Л П "л = (-1)к+1Л5-к-10+т+-+ЛР+■■■)-

тк=тк+1

с0 = 1 с1 = Лт1 + • • • + 2Лтк ,• • • , ср ^ ^ Лт41 ' ' ' Лт;р •

тк=тк+1

Отсюда видно, что 217 / Л5 Тг(Рд) ^Л = 0 для любых V при в - к ^ -1. Тем самым 'К%г„

доказан пункт 1) утверждения леммы. Далее, очевидно, что при в - к = 0

1 Г

— <Ь Л5 Тг(Р^Л = (-1)к+1 £ (ВЕт1 ••• ВЕтк-1 Ветк ,етк )•

^ Гv т1=--- =тк = 1

2пг /г

■/IV

Перейдя в этом равенстве к пределу при V ^ то и проведя в правой части повторное суммирование, получим:

11т Л5 Тг(РЛ^Л = (-1)5+1 V (ВЕт1 ••• Вета ,ет8) = (-1)5+1 Тг(В5),

2п г ]г ^ л

что доказывает пункт 2) леммы. Наконец, при в - к € N имеем

N

Л5 Тг(Рл^Л - (-1)к+1 v Са-к (ВЕт1 ••• ВЕтк-1 Ветк ,етк) = 0-2пг /г —

и Ш1="- =тк=1

Переходя к пределу при V ^ то, получим доказательство пункта 3) леммы. > Следствием предыдущих рассмотрений является

Теорема 2.1. Пусть Т —дискретный самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н- Пусть функция распределения спектра оператора Т удовлетворяет условию (7) и В € ©1- Существует подпоследовательность натурального ряда

такая, что для любого в € N выполняется

Г Mv _ —

11т \ У2 кт - Лт - вЛт1(Вет,ет)

где

т=1

5-1 Mv к

+ Е Е с5-к (Вет1 ,етк)П(Вет ^т^ ) > = -К Тг(В5),

к=2 т1 = -=тк=1 ^=2 J

{1, при в ^ 2, ^

с5—к — / , Лт;, ' ' ' Лт; , •

0, пРи в = 1, 1

тк =тк+1

Примеры

Пусть Н = Ь2(Ж2). В качестве модельного примера рассмотрим оператор Шредингера Т = -Д + ж2, где ж2 = ж2 + ж2. Известно [1, 17], что это дискретный оператор и его спектр состоит из собственных значений Лт = 2т + 2, т ^ 0, причем размерность соответствующего собственного подпространства равна т +1 ив качестве базиса в нем можно взять

функции <(т)(ж) = /г(ж1)/т-г(ж2) (1 = 0,1, • • •, т), где = (21 1!^П)-1/2 е-тИ1 (¿) — многочлен Эрмита) — нормированная собственная функция одномерного гармонического осцилятора, соответствующая собственному числу 21 + 1 (1 ^ 0). Пусть В — интегральный оператор: Ву = // К (ж, £ )у(£) ¿£1 ^£2, ядро которого К (ж, £) € Ь2(Ж2 х Ж2)

к2

таково, что оператор В — ядерный [4]. Например, К(ж,£) — финитная и гладкая по £ € Ж2 функция. Таким образом, Ау = - Д у + ж2 у + // К (ж, £)у(£) ¿£1 ^£2 — интегро-

к2

дифференциальный оператор, к которому применима теорема 2.4. В качестве окружностей Г^ можно брать окружности с центром в нуле и радиуса ^ (Л^ + Л^+1) = 2v + 3. Далее выписаны формулы следов, получающиеся непосредственно из общей формулы:

Mv

11т У^ (^т - Лт) = Тг(В) при в = 1,

т=1 Mv

11т | V" ^т - Лт - 2Лт(Вет,ет) = - Тг(В2) при в = 2,

т=1

Г Mv Mv

й* Е

^т Лт 3Лт (Вет,

етЛ + Е (Лт1 + 2Лт2 )(Ве т1 , ет2 )(Ве т2 , ет1 )

= - Тг(В3) при в = 3,

^лте 1 Е К- Лт- 4Лт(Вет,ет) + Е (Лт1+2Лт1 Лт2+зЛт2)

I. т=1 т1=т2 = 1

Mv

х (Вет1, ет2 )(Вет2 , ет1 ) + ^ ^ (Лт1 + Лт2 + 2Лтз )(Вет1, етз )

т1=т2=тз = 1

х (Вет2,ет1 )(Ветз ,ет2) > = - Тг(В4) при в = 4

С учетом кратностей собственных значений оператора Т их можно записать в терминах рассматриваемого интегро-дифференциального оператора. Например, при в = 1, 2 имеем соответственно формулы

£ ^ - К + 1)К + 2)(2"° + 3) + Е1 [^ - (2(^ + 1) + 2)] = //К(Ж,Ж) ¿Л ^2,

^ _1 7/-7/- ^ _ 1\Ж 11

е ^ - к+1)22к+2)2 - е Е +1^ /к (х ^

т_1 ,,_п ™_п ^ ^

т=1 т=0

те М,+1

+

т,=М^ +1

- (2^+4)2 - (4^+8)у у к (ж^т+^т+^х) ^ж

к2 к2

= / / К(ж,£)К(£,ж) ^ж.

3. Формулы регуляризованных следов для операторных пучков

Рассмотрим гильбертово пространство Н = ¿2(0,1). Пусть п = 2 и левая часть уравнения (1) определяется интегро-дифференциальным оператором, где Ап = -А = ^Х2! - 9(ж) — самосопряженный оператор Штурма—Лиувилля, а А°, А1 — ядерные интегральные операторы [4]. Тогда получим операторный пучок вида

¿лу(ж) = ^ + 9(ж)) у(ж) - ° К°(ж, е)у(е) ^ - А £ К1 (ж, 0у(0 ^ - А2у(ж), (14)

Пучок (14) является частным случаем абстрактного операторного пучка вида

¿л = А - А° - А А----- Ага-1А„_1 - АПЕ, (15)

где А°, А1,..., Ап_1 — ядерные операторы в гильбертовом пространстве Н, А — дискретный самосопряженный оператор в Н. Все дальнейшее изложение посвящено его рассмотрению.

3.1. Предварительные сведения и результаты. С помощью простых рассуждений из фундаментальной работы М. В. Келдыша [8] следует, что спектр пучка ¿л состоит из дискретного набора собственных значений а(Рл) = }^=1 с единственной предельной точкой на бесконечности. При этом оператор-функция является мероморфной функцией во всей комплексной плоскости, полюсами которой являются собственные значения

Существенную роль в получении формул регуляризованных следов будет играть сформулированная нами ранее лемма 2.2. Если для главной части оператора ^^ ввести обозначение [^Ул^¿-1], то из леммы 2.2 очевидно будет следовать соотношение

2пг

г,

А5

№ Г_1

^А = Же5, (16)

1

где Гс — окружность с центром в точке A = с, достаточно малого радиуса, проходимая против часовой стрелки, N — алгебраическая кратность (т. е. размерность корневого подпространства) собственного значения A = с.

def

Пусть ct(A) = {Av}^=i — спектр оператора A. Рассмотрим также пучок Aa« = A — An E, собственные значения которого обозначим через Пк, т. е. ct(Aa«) = {Пк}k=i.

Нумерацию всех собственных значений будем вести по неубыванию модуля и с учетом алгебраической кратности, т. е. каждое собственное значение повторяется столько раз, какова размерность соответствующего ему корневого подпространства. Формулы ре-гуляризованных следов будем получать в предположении, что функция распределения спектра оператора A удовлетворяет условию

N (r) 1 lim -= е < то при 0 < а ^ — . (17)

- га 1 п

r—>те ' п

Введем обозначения: = |A]/n|, = r&+i — .

Лемма 3.1.1. При условии (17) на функцию N(r) существует подпоследовательность натурального ряда {kv}^=i такая, что = +i — ^ e0 для каждой v € N, где eo > 0 — постоянная.

< Доказательство является некоторой модификацией метода, приведенного в работе [2]. Так как по условию па — 1 ^ 0, то имеем

к

rk+1

lim d^r""-1 ^ lim k-1V d.r""-1 ^ lim k-1 / tna-1dt. г^те к^те ' к^те J

i=1 ri

Далее, сделав под интегралом замену t = x1/n, получим

lim dir"a-1 ^ lim k-1 f tna-1dt = um [ x^+^ dx = lim [ xa-1dx г^те ' к^те J к^те kn J к^те kn J

rl |Al| |Ai|

_ 1 1 _ 1 1 _ ra 1

= lim -— (|Ак+1|а - |А?|) = — lim -|Лк+1 |a ^ — lim —- =- > 0.

к^те akn an к^те k an г^те N(r) nae

Таким образом lim djr™a i > 0, следовательно, существует подпоследовательность наг—те

турального ряда {kv}£=i такая, что lim гПа—i > 0. Но, так как по условию па — 1 ^ 0

„na—i

те

iv fv=i такая что lim dkv 'к v=1 v^те v kv

и 'kv — то при v —> то, т. е. r"a-1 ^ const для любого v G N, то мы можем считать, что dkv ^ £о > 0 для любого v G N, где ео > 0 — некоторая постоянная. >

Следствие 3.1.1. Существует бесконечная система расширяющихся концентрических окружностей |rm}^=1 с центрами в начале координат, свободных от точек спектра пучка T\n и таких, что расстояние от окружности Tv до спектра a(T\n) удовлетворяет условию ^ ео/2 для каждого v G N.

< В качестве Tv возьмем окружность с центром в начале координат и радиусом Yv = 'kv + 2 dkv. Тогда rv будет свободна от точек спектра a(T\n), так как точки из a(T\n) располагаются на окружностях с центром в начале координат и радиусами 'к (k G N).

Кроме того, так как точки спектра a(T\n) располагаются на лучах arg А = ^ (k = 0,1,..., 2n — 1), то = dkv/2. Следовательно, согласно лемме 3.1 имеем ^ ео/2, V Е N. >

3.2. Построение формул регуляризованных следов. Во всех последующих рассуждениях мы всегда будем использовать систему окружностей {rvиз следствия 3.2. Кроме того, везде будем считать, что {e& обозначает полную ортонормированную систему векторов в H, составленную из собственных элементов самосопряженного оператора A. Будем также использовать обозначения Ek для спектральных проекторов Efc = (-,efc)е& (k G N). Следующая лемма является аналогом леммы 2.1.

Лемма 3.2.1. Пусть P — ядерный оператор в гильбертовом пространстве H, Ra = (A — AnE)-1, где A — дискретный самосопряженный оператор в fi. Пусть выполнено условие (17). Тогда

||Aj RaP ||i ^ 0 при A G Г^ и v ^то (j = 0,1,...,n — 1),

где || ■ ||i — ядерная норма операторов из идеала ©1, причем предел равномерен по arg A.

< Достаточно рассмотреть случай j = n — 1. Пусть A G rv, тогда в силу самосопряженности оператора A выполнено соотношение ||Ra|| = d-n, где ^a™ — расстояние от точки An до спектра оператора A. Следовательно, имеем

|\n-1| Yn-1

П-1 D II____ |A 1 ^

||An 1Ra| =max—!--1— ^ max

k |An — Afc| k |7v — rfc | (7Г1 + ••• + гП-1)

11 ^ max-i-i—i- ^ — ^ c.

k |rk — Yv| (1 + ГкY- + ••• + rn-1Y1-n) ¿v

(18)

Пусть теперь Р1 = ^— конечномерный оператор, такой что ||Р — Р1Ц1 < е(2с)-1, где е > 0 — произвольная постоянная. Имеем далее ||ДдР1Ц1 < £г=1 ||.

Но

(|ЛГ-.„йдЛ ||)2 = £ + £ ^^. (19)

т=1 т | т=М+1 т

Рассмотрим вторую сумму в правой части (19). Согласно (18), имеем

^ | Лп-1| 2 | (^т) |2 < , ^ . р ) 2 Ъ -|Л _ ЛП|2- < С К^т^ .

т=М+1 |Лт Л 1 т=М+1

Следовательно, в силу равенства Парсеваля, за счет выбора номера N мы можем сделать второе слагаемое в правой части (19) сколь угодно малым. Первое слагаемое в правой части (19) стремится к нулю при Л € Г^ и V ^ то.

Таким образом, |Л|га-1|^л^ 0 при Л € Г^, V ^ то. Поэтому существует такой номер По, что при V ^ По ||ЛП-1 ДдР11|1 < е/2, Л € Г^, следовательно, согласно выбору Р1

||Лга-1ЛлР|1 < ||Лп—1Дл(Р — Р1)|1 + ||ЛП-1 ЛдРхНх < е/2 + е/2 = е. >

Из леммы 3.3 следует, что существует ^ такое, что при любом V ^ Vо выполняется

( п-1 А

< 1, Л € Г^, следовательно, так как Рл = I Е — ^ Л1 А^Rл ) (А — ЛПЕ),

1 V 1=0 /

n-1

£ a%Ra

г=о

n-1 ^ k

то существует Р-1 и Р-1 = Rл + £ Rл I £ Л1А^л ) . Для упрощения записей будем в

к=1 м=о )

дальнейшем считать, что п = 2, т. е. Рл = А — Ао — Л А1 — Л2Е. Умножая слева обе части

га-

выражения для L- на соответствующие части равенства -гтЛ = — ^ jAj — nA" 1E

j=i

получим

Я Г

А- L-1 + nA"-1RA = —AiRa — AiR^ (AoRa + AAiRa)a

dA

k=i

—2ARaE (AoRa + AAiRa)^ (n = 2).

k=i

Возьмем от обеих частей след, а затем проинтегрируем по контуру Г^. В силу леммы 3.3 и непрерывности функции Тг(-) относительно ядерной нормы знак следа и знак интеграла можно занести под знак бесконечной суммы. В результате получим

1

2П7

As Tr

dLA L-i

dA + — J> As Tr [nAn-iRAl dA 2nUr„

-^i As Tr [AiRa] dA — -l As Tr [AiRa {AoRa + AAiRa}*

dA

(20)

2n-

k=i

:Ef As Tr 2ARa (AoRa + AAiRa)'

dA.

Далее мы будем использовать символы М^ и N для обозначения количеств собственных значений пучков и Л\п (с учетом кратностей), попавших внутрь контура Г^, соответственно. Ясно при этом, что количество собственных значений пучка А — АЕ, удовлетворяющих условию |А«| < , будет равно N = N /п. Следующая лемма дает возможность непосредственного вычисления формул следов.

Лемма 3.2.2. Пусть А1,..., А& — ядерные операторы в гильбертовом пространстве Н. Тогда справедливы утверждения:

1) при в — 2к меньшем минус единицы или равном четному числу имеем равенство

As Tr [RaAi ■ ■ ■ RaA^] dA = 0;

2) при s — 2k = —1 верно lim 2U £ As Tr [RaAi ■ ■ ■ RaAfc] dA = (—1)k Tr(Ai ■ ■ ■ Afc);

V^те 2П ' p

r v

3) при s — 2k = 2p — 1, p G N имеет место равенство

lim J -L I As Tr [RaAi ■ ■ ■ RaA^] dA

v^те 2ni j

NV

E (—1)kCp(AiEmi ■ ■ ■ Afc-iEmk-1 Afcemk, emk) > = 0,

mi=---=mt = i J

ГДе Co = 1, Cp = ^Amil ■ ■ ■ Amip .

< Рассмотрим оператор-функцию PA = Ra Ai ■ ■ ■ RaA^ . Используя разложение для

резольвенты Ra = ^ Ek(Ak — A2) i, получим

k=i

те k

_ A2 (AiEmi ' ' ' Ak-iEmfc-iAkemk ,emk ).

(21)

mi,...,mk=i j=i

Г

v

1

v

В этом равенстве каждый из индексов То1,..., независимо от других пробегает натуральный ряд. Докажем, что ряд в правой части (21) сходится абсолютно и равномер-

оо к

но по Л € и Г^. Для этого заметим, что имеет место неравенство ^^=1 л—^-л^ < с

оо

при любых Л € и Г^, Лт^. € а(А). Кроме того, нетрудно получить, что

(А1Ет1 • • • Ак

) = (А1

ет1, вт& ) Пк=2(А^вт3', ). Таким образом, ряд

о к

в правой части (21) мажорируется рядом с ^ |(А1вт1 ,етк)|П/=2 |(А^вт.,-)|.

т1.....т^=1

Для доказательства сходимости этого ряда достаточно установить, что сходится по-

1к=2 |(Авmj, в^'_1)

вторный ряд ^ • • • £ | (А1 вт1, вт^)| Пк=2 |(Авmj, в53'_1 )|. Заметим, что, если Q € ©1, т^=1 т1=1 оо

то [4] £ ||^в5||2 = < НФ^Нъ Отсюда с помощью неравенства Коши —

5=1 5 = 1

Буняковского получим

Ё •" Ё ПКА^ вшл- ,вЯл._1) || А*вт^ || ||А2в,

о о к

Е ••• Е | (А1 вт1 ,втк ) | | (А2вт2 ,вт1 )^|(А^ вт,- , )|

т^ = 1 т1 = 1 ¿=3

о о к /о \ 1/2 / о

1/2

< Е ••• Е П|(А^ вт ,вЯл._1 )| I £ |(вт1 ,А^втк )|Ч I Е |(А2вт2 ,вт1 )|2 т^ = 1 т2 = 1 ¿=3 \т1=1 / \т1=1 /

ок

ч^тр ^~■Sj_l;\\\^ т^ II 1Ит2 тк = 1 т2=1 ¿=3

о о к о

1/2

о

1/2

< Е •" £ |А1втк || П|(А; вmj , вsj_l )|1 £ |(Азвтз , вт2 )|2 I £ ||А2вт2 ||2 I

т^=1 т3=1 ¿=4 \т2=1 / \т2=1 /

о о к о 1

< ||А2 А2||1/2 £ ... £ ||А1 втк Щ|(А^ вт3 )^|(А4вт4 ,втз )| ||Азвтз || < ||А1А2П?

т^ = 1 т4=1 ¿=5 тз=1

оо к /о о \ 2

Х £ £ Квт^ Щ|(А^ вmj )| | £ |(А4вт4, втз )|2 I £ ЦАзвтз |М <

т^ = 1 т4=1 ¿=5 \тз=1 / \тз=1 /

11 о о к о

< ||А2 А2|2 ||А1Аз|2 £ ||А1етк Щ|(А^ втэ ,в5л._1 )| £ |(А5вт5 ,вт4 ^^ ||

т^=1 т5 = 1 ¿=6 т4=1

< ••• < ||А2А2||211А3Аз12 • • • |АкАк||2||А1А1М?.

Таким образом, сходимость повторного ряда доказана. Следовательно, частичные суммы кратного ряда (21) можно формировать по правилу:

N к 1

^ ^^ ГТ Л Л2 (А1 Ет1 ••• Ак—1Етк_1 Аквт^ , втк ).

т1 =—=тк=1 ¿=1

оо

В силу равномерной сходимости ряда (21) по Л € У Г^, мы можем его почленно

V=^о

интегрировать по любому контуру ^ (V ^ Vо). Таким образом, в силу метода формиро-

вания частичных сумм SV, имеем: 1

т f AsTr(Pk)dA

- J rv

N' k

N 1 f k 1

= E 2П- f ^П A-^Ä2 dA (Ai Emi ••• Ak-i Emk-1 Ak emk , emk ).

mi=-=mk=i rv j=i m-

Так как в приведенной формуле |Am.| < |A|2, то

1 1 1 = —1(1 + A— + Ak + ..Л ,

Am,. — A2 A2 Am- AM A2 ' A4

- 1 A2

k

следовательно, As П ^ = (—1)kAs-2k (1 + + f| + ■ ■ ■ + + , где Co = 1,

j=i m-

ci = Ami + ... + Amk, ... , cp = SAm4l ' ' ' A

2

1

Р = 2^ Ат,1 ' ' ' А^р .

Отсюда видно, что при в — 2к ^ —2 или равном четному числу

As Tr(PAk) dA = 0 V v.

- J rv

»i

2n -

'г*

Тем самым доказан пункт 1) утверждения леммы. Далее, очевидно, что при в — 2к = —1

1 "

¿/a' Tr(Pk) dA = (—1)k E (AiEmi ••• Ak-i Emk-i Ak emk ,emt);

k

mi=-=mk=i

перейдя к пределу при v ^ то, получим:

lim -l Tr(Pk)dA = (—1)k v (AiEmi ••• Ak-Ä^i Akemk, emk )=Tr(Ai ••• Ak).

v^<re 2П i J L—'

mi ,...,mk =i

r v

Последнее равенство получается повторным суммированием, что законно в силу абсолютной сходимости кратного ряда. Пункт 2) леммы доказан. При s — 2k = 2p — 1 имеем

1 С К

— ¿As Tr(Pk )dA — E (—1)kCp(AiEmi ••• Ak-iEmk-i Akemk ,emt) = 0.

P mi=--'=mt = i

r v

Переходя к пределу при v ^ то, получим доказательство пункта 3) леммы. >

В дальнейшем мы будем использовать функции целочисленного аргумента, определяемые следующим образом:

. . 11, если z — нечетное, 11, если z > 0, . .

X(z) := Г Sgn(z) := ^ (22)

I 0, если z — четное; + I 0, если z ^ 0.

Следствие 3.2.1. Пусть Ji(s) = т^ £ As Tr(RAAi)dA. Тогда

rv

N'

Jim ^JV(s)+ X(s)£ Aj221 (Aiej ,e, )= 0.

m=i

В частности,

J(0) = J1(2s')=0 (Vv,s' G N), lim J(1) = — Tr(A1).

v^o

Следствие 3.2.2. Пусть

o 1 f

J2(s) :=E~ f А' Tr[A1RA(AoRA + A A1RA)k]dA. k=1

Тогда

{s-1 к

J2(s) — ЕЕ x(s + j) Sgn(s + j — 2(k + 1) + 2) —' —' +

k=1 j=0 +

mv ^

X ^^ ( —1) + cp(A1Emi Aai Em2 ''' Aafc emfc+i, emfc+i ^ = 0,

ai+...+afc =jmi = -=mj=1 J

aj =0,1

где p = s+j-2(2k+1)+1, Co = 1, C1 = Ami + ... + Amk ... Cp = £ Amii ■ ■ ■ Amip. В частности, J(0) = 0. < Так как

k

(AoRa + AA1RA )k = £ Aj £ Aai Ra ••• A«k Ra, (23)

k=

j=0 ai+a2+...+afc =j

то подставляя это выражение, приходим к равенству

o k

J (s) = E E E 2- / Aj+s Tr[A1RAAai Ra ■ ■ ■ Aafc Ra] dA.

k=1 j=0 ai+...+afc=j r aj =0,1 iv

Тогда из леммы 3.4 получаем равенство

s—1 k Mv

ÜmJ J2(s) — E E Sgn(s + j — 2(k + 1) + 2) £ E (—1)k+1

l k=1 j=0 + ai+...+ak =j mi=-=mt = 1 s + j -нечетн.

c

C(s+j-2(k+1)+1)/2 (A1 Emi Aai Em2 Aafc emfc+i, emfc+i ) f = 0 >

Наконец, вычислим предел при v ^ то выражения

o 1 i

J3(s) := 2 ^^ 2—: у As+1 Tt[Ra(A0Ra + А A1RA)k] dA.

k=1 f Г V

Используя формулу (23), преобразуем его к виду

o k 1

J(s) = 2^E Е ^ f Aj+s+1 Tr[RA Aai Ra • • • Aafc ] dA.

k=1 j=0 ai+...+afc =j r

n 1 r V

aj =0,1

Лемма 3.2.3. Пусть Ai,..., Ak — ядерные операторы в гильбертовом пространстве H, тогда для целых чисел k, s выполнены соотношения:

1) при s ^ 0, причем k ^ 1: s четно или s — 2(k + 1) ^ —2, имеем

AsTr [RA(T)AiRa(T)A2 ■ ■ ■ RAAk] dA = 0;

Г

2) при s — 2(k + 1) = —1 верно

lim -l / AsTr [RA(T)AiRa(T)A2 ■ ■ ■ RAAk] dA = (—1)k+iTr(AiA2 ■ ■ ■ Ak);

v^<re 2n i J Г

3) при s — 2(k + 1) = 2p — 1, p G N, имеем

lim J -L I As Tr [RA(T)AiRa(T)A2 ■ ■ ■ RAAk] dA

v^<re 2ni J

N '

E ( —1)k+iCp(AiEmi ••• Ak-iEmk-i Akemk ,emk H=0, mi=- =mk = i J

где

Co = 1 Ci = Ami + ... + 2 Amk , Cp ^ ^ Am4i ' ' ' Amip .

mk =mk+i

Следствие 3.2.3. Пусть

те k i

J3(s) = 2E£ E ыФ Aj+s+iTr[R AA«iRa ■ ■ ■ A^]dA.

2n - /

k=i J=0 ai+...+«k=J r

Г

Тогда

lim Jv2 (s) — 2VV x(s + j + 1) Sgn(s + j — 2(k + 1) + 3)

V^ire ^-' -' I

к k=i j=0 +

Mv ^

У! ( —1) + cr (Aai Emi ■ ■ ■ A«k emk , emk ^ = 0,

«i+...+«k =j mi=-=mt = i a,=0,i

где

s + j — 2(k + 1) + 2

r =-

, C0 = 1 Cr ^ ^ Am4i ■ ■ ■ Ami,

2

т =тк+1

В частности, /3(0) = 0.

Из равенств (16), (20) при в = 0 и из следствий 3.5, 3.6, 3.8 получаем соотношение М^ = N для любого V ^ ^о. Таким образом при в € Н, верна

Теорема 3.2.1. Пусть А —дискретный самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, функция распределения спектра которого удовлетворяет

х

условию (17), и Ао, А1 £ ©1. Тогда существует подпоследовательность натурального ряда {М^ }£=1 такая, что

Ё К - пт - х(«)лтг (А^е™ + 2) Sgn(s + 2 - 2(к + 1) + 2)

т=1 " " к=17=0 +

М^/2

Х ^^ ( —1) + Ср(А1Ет1 А«1 Ет2 ••• А«к етк+1, ет^+1) «1+...+«^ =7 т,1=—=тк = 1

+ 2 + + 2 - 2(к + 1) + 3)

к=17=0 +

М^/2 ^

(-1) + Ст (А«1 Ет1 • • • етк , етк ^ =

а1+...+ак= т1 = -=ть=1 «¿=0,1

где

-1 ^ - ^ \ \ + 2 - 2(к + 1) + 1

с0 — 1 С1 — ЛТО1 + . . . + лтк, Ср / ^ Лт;1 • • • Лra¿p , Р — -

2

1 ^¿1 ^...^¿р ^к

~_ч ох ^ + 2 - 2(к + 1) + 2 со — 1 с1 — Лт1 + . . . + 2Лтк , Ст У ^ • • • , г — -2-'

т^ =тк+1

Функции целочисленного аргумента х(я) и Sgn+(z) определяются в (22). В качестве примера приведем формулы при 5 — 1, 2, 3:

м^ м^

11т £ (^ - Пт) — - Тг(А1), 11т £ (^ - П^) — Тг(А2) - 2 Тг(Ао),

т=1 т=1

{М^ М^/2

Е (^ - пт) + 3 Е Лт(А1ет, ет)— -Тг(А?) + 2Тг(АоА1).

т=1 т=1 I

Нетрудно переписать эти формулы в терминах интегро-дифференциального оператора (14). Вместо п — 2 можно было бы выводить формулы регуляризованных следов для операторных пучков произвольного порядка п, но записи, получаемые в этом случае слишком громоздки.

Следует отметить, что полученные формулы с небольшими изменениями оказываются верными для возмущений операторами Гильберта—Шмидта. Это, в свою очередь, позволяет получать аналогичные соотношения уже для ограниченных возмущений, но при больших ограничениях на разреженность спектра исходного оператора.

а, =0,1

X

Литература

1. Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера.—М.: МГУ, 1983.—392 с.

2. Визитей В. Н., Маркус А. С. О сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка // Мат. сб.—1965.—Т. 66(108), № 2.—С. 287-320.

3. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР.—1953.—Т. 88, № 4.—С. 593-596.

4. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.—М.: Наука, 1965.—437 с.

5. Дикий Л. А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1955.—Т. 19, № 4.—С. 187-200.

6. Дубровский В. В. Формулы регуляризованных следов для операторов с компактной резольвентой // Диф. уравнения.—1990.—Т. 26, № 12.—С. 2046-2051.

7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.—М.: Мир, 1972.—739 с.

8. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // Успехи мат. наук.—1971.—Т. 26, вып. 4.—С. 15-41.

9. Крейн М. Г. О формуле следов в теории возмущений // Мат. сб.—1953.—Т. 33 (75), № 3.—С. 597-626.

10. Кулеско Н. А. О следах полиномиального операторного пучка // Функцион. анализ. Линейные пространства.—Ульяновск, 1985.—C. 87-91.

11. Любишкин В. А., Цопанов И. Д. Регуляризованные следы интегро-дифференциальных операторов // Мат. заметки.—1988.—Т. 43, № 6.—С. 786-793.

12. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков.—Кишинев: Штиинца, 1986.—260 с.

13. Муртазин Х. Х., Фазуллин З. Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов // Мат. сб.—2005.—Т. 196, № 12.—С. 123-156.

14. Подольский В. Е. Регуляризованные следы дискретных операторов: Дис. ... докт. физ.-мат. наук.—М.: МГУ, 2003.—30 с.

15. Садовничий В. А., Подольский В. Е. Следы дискретных операторов // Успехи мат. наук.—2006.— Т. 61, № 5.—С. 89-156.

16. Сигал Е. И. О следе операторного пучка // Матем. исследования.—1969.—Т. 4, № 2.—С. 148-151.

17. Фазуллин З. Ю., Муртазин Х. Х. Регуляризованный след двумерного гармонического осцилято-ра // Мат. сб.—2001.—Т. 192, № 2.—С. 109-138.

18. Цопанов И. Д. Формулы регуляризованных следов для некоторых новых классов краевых задач: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.—М.: МГУ, 1987.—117 с.

19. Franklin I. N. On the numerical solution of characteristic equations in flatter analysis // J. Assc. Comput.M achinery.—1958.—Т. 5, № 1.—P. 45-51.

20. Yakubov S. Completeness of root functions of regular differential operators.—New York: Longman, Scientific and technical, 1994.—245 с.

Статья поступила 22 мая 2007 г.

Цопанов Игорь Дзантемирович, к. ф.-м. н. Северо-Осетинский госуниверситет им. К. Л. Хетагурова; Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН Владикавказ, 362040, РОССИЯ E-mail: [email protected]