CC BY
35
Эти гомотопии показывают, что фп([хп-1(/Зт)]) = [<£п(Хп-1(/Зт))] = [Ап]- Таким образом, сюръ-ективность отображения фп доказана.
Для доказательства инъективности фп предположим, что ^п([«т']) = [^п(«т')] = [£ш\- Следовательно, (Зш = — ¿ш- Последнее согласно определению 2 означает, что существует М е х N такое, что (^(скт'^м ж ~ е^(ге1^м)> ЧТ0> в свою очередь, означает наличие цепочки просто гомотопных толерантных сфероидов:
(^п(«то/))м,то — ^ &М,т ,т ~ '
Эти сфероиды определяют цепочку сфероидов в ), хп-1( Хп-1 непосредственной проверкой получаем:
Л*) Я— — рп РШ.т — Ь
M'
(16)
1ж
), j = О, t. Из (16) и определения
ам'ш' — Xn-l(^ ^ ~ Xn-li
'мщ
то)
Xn- 1(
'мщ
то) (£ei)/lf
Это означает, что [а,т'\ = [(£ei)n]- Таким образом, инъективность фп доказана. Библиографический список
1. Zeeman E.C. The topology of the brain and visual 3. Небалуев С. И. Высшие гомотопические группы то-perception // The topology of 3-manifolds and related лерантных пространств // Исследования по алгебре, topics. New Jersey, 1962. P. 240-256. теории чисел, функциональному анализу и смежным
2. Небалуев С. И. Гомологическая теория толерантных вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 2003. Вып. 2. пространств: учеб. пособие. Саратов, 2006. 111 с. С. 15-30.
УДК 517.984
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА А. А. ДОРОДНИЦЫНА ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ НА СЛУЧАЙ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Е. М. Малеко
Магнитогорский государственный технический университет, кафедра математики E-mail: [email protected]
Пусть A -- самосопряженный дискретный оператор с простым спектром, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H и имеющий там ядерную резольвенту, В -- самосопряженный и ограниченный в H оператор. Тогда можно подобрать такое е > 0, что собственные числа и собственные функции возмущенного оператора A + еВ будут вычисляться по методу А. А. Дородницына.
Ключевые слова: гильбертово пространство, возмущенный оператор, спектр.
Generalization of Method A. A. Dorodnicyn Close Calculation of Eigenvalues and Eigenvectors of Symmetric Matrices on Case of Self-Conjugate Discrete Operators
E. M. Maleko
Magnitogorsk State Technical University, Chair of Mathematics E-mail: [email protected]
Let the discrete self-conjugate operator A operates in separable Hilbert space H and has the kernel resolvent with simple spectrum. Self-conjugate and limited operator B operates also in H. Then it is possible to find such number £ > 0, that eigenvalues and eigenfunctions of the perturbation operator A+eB will be calculated on a method of Dorodnicyn.
Keywords: Hilbert space, perturbation operator, spectrum.
Часто при решении краевых задач важно знать не только их собственные числа, но и собственные функции. А. А. Дородницын разработал [1, с. 180-181] метод вычисления собственных чисел и векторов матриц вида
С (е) = А + еВ,
где А, В, С(е) — симметричные квадратные матрицы размера п х п, е > 0 — некоторое число. Собственные числа Аг = Аг(0) и вектора хг = хг(0) матрицы А предполагаются известными.
Метод заключается в сведении системы уравнений
(А + eB)xi(e) = Лг(е)жг(е), г = 1 , п,
на вычисление собственных чисел Aj(e) и векторов x(е) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных Aj(е) и Xj(e). Систему ОДУ можно решать любыми из известных методов и, в частности, численными методами, причем в [1, с. 180-181] автор продемонстрировал применение метода Эйлера и его модификации. Возникает естественный интерес к возможности обобщения данного подхода с конечномерного на бесконечномерный случай, то есть об его использовании для нахождения собственных чисел и собственных функций самосопряженных дискретных операторов [1, с. 180-181].
1. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРВЫХ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Пусть A — самосопряженный дискретный оператор с простым спектром, который действует в действительном сепарабельном гильбертовом пространстве (СГП) H и имеет там ядерную резольвенту, B — ограниченный, самосопряженный оператор в H и такой, что существуют ео > 0 и класс операторов
£ео := {C(е) := A + еВ | 0 < е < ео} , (1)
где C(е) — самосопряженный дискретный оператор с простым спектром.
Будем предполагать, что известны собственные значения Aj = Aj(0), i Е N, и соответствующие собственные функции xj = xj(0) оператора A, причем числа Aj занумерованы по возрастанию их модулей. Собственные функции xj обладают свойством (xj) = , (■, ■) — скалярное произведение в H, <5^-— символ Кронекера, а их совокупность (xj)°=1 пусть образует в H ортонормированный базис (ОНБ). Далее покажем, что если Aj(е) Е C1([0, ео]) и ^(е) Е F([0, ео], H) действуют как функции параметра е, то для вычисления собственных чисел Aj(е) и собственных функций xj (е) оператора C(е) Е £ео применим метод А. А. Дородницына [1, с. 180-181]. Под множеством F([0, е0], H) будем понимать совокупность всех функций y(-), дифференцируемых на отрезке [0,е0] по Фреше со значениями в H и таких, что для любого v Е [0, е0]
lim
w^v
dy(v) dy(w)
йе йе
H
Ady(v) = dAv(v) Bdv(v) = dBy(v) йе йе йе йе
где || ■ || — норма в Н.
Приведем суть метода А.А. Дородницына [1, с. 180-181]: «.. .Один из методов определения собственных чисел и векторов основан на теории возмущений, т.е. разложении этих величин в ряды по степеням е. Однако применение теории возмущений ограничивается достаточно малыми значениями е, так как при некоторых значениях е ряды становятся расходящимися, хотя на пути от е = 0 до данного значения е собственные числа и векторы, рассматриваемые как функции параметра е, не имеют особенностей. Но даже и в этом случае, если ряд сходится, вычисление большого числа членов может оказаться очень трудоемким.
Уравнению для собственных чисел и собственных векторов можно сопоставить эквивалентную систему дифференциальных уравнений... ».
Приведем метод для случая произвольного оператора С(е) е £ео, е е [0, е0]. Рассмотрим для любого фиксированного е е [0,е0] бесконечную систему уравнений на собственные значения Aj(е) и нормированные собственные функции ^(е):
(А + еВ)х(е) = Aj(е)х(е), (а^(е),а^(е)) = 1, г е N. (2)
Дифференцируя (2) по е, будем иметь
, . ¿х(е) „ , , , , , ¿х(е) , , ^(е) /¿х(е) , Л ^
Для произвольно взятого г е N получаем из (3) бесконечную систему равенств
((А + еВ)^- + Вх<(е), хк(е)^ = + х^е)^-, хк(е)^ , к = 1, 2,3,
Отсюда имеем
^г{£\хк(е)хк(е)) +(Вхг(е)}хк(е)) = Лг(е) (+ (хг(е), х,(е)) <*А<(е)
¿е у \ / ¿е (4)
к = 1, 2, 3,...
Из (4) для к = г получаем
<^± = (Вхг{е)1хг{е))1 геМ, (5)
а для к = г
(Вхг(е),хк(е)) = (Хг(е) - Хк(е)) (^М + (хг(е),хк(е)) (6)
Поделим (6) на ^ (е) — Ак(е)) и умножим на хк (е):
(В^(е),Хк(е)) /¿х(е) Л Ме),хк(е)) ^(е)
№г®11(£)=$'(б)- (7)
Подставляем в (7) вместо ^ (е)/йе правую часть из (5):
(Вх(е),Хк(е)) /¿х(е) Л (Вх(е), (х(е),хк(е))х(е))
Щ?ГШЫе) = Хк(е)>Хк(е) +-ШГШ)-Хк(£
откуда
(В^ (е),Хк (е) — (а^(е),Жк (е))х (е)) /¿х (е) Л **<е>-(Л,(Е) _ Аф))-= (8)
Суммируем (8) по к от 1 до го, исключая случай к = г:
^ ,(Вхг(е),хк(е) ~ (хг(е),хк(е))хг(е)) ^ <Ме) ^ , Л ^ ГсЛ
ГХ.-ГИ- ,хк{£) хк{£)
к=1 (Aj(е) — Ак(е)) ^ ¿е
(штрих (') означает, что к = г). Учитывая, что скалярное произведение (¿х(е)/йе, ^(е)) равно нулю для любого натурального г совместно с базисностью в Н набора {хк(е)}, из последнего равенства получаем:
бЬсг(е) _ ^ ,(Вх^£),хк(е) - (х^е),хк(е))х^£))
Ь (Ш-Ш) Хк[£)• ( )
Докажем базисность набора {хк(е)} в Н.
Случай I. Для к = г из формулы (6), поменяв местами г и к, имеем
(Вхк(£),хг(£)) = (Хк(£) - хг(£)) + (а*(е),а*(е)) (10)
Из самосопряженности оператора В следует равенство
(Вхк (е),х (е)) = (хк (е),Вх (е)),
а из действительности СГП Н —
(хк (е),Вх (е)) = (Вх (е),хк (е)). Тогда из (10) с учетом последних двух равенств получим:
{Вхг{е),хк{е)) = (А*(е) - Лг(е)) + (хк(е), хг(£)) (11)
Вычтем из равенства (11) равенство (6), используя свойство скалярного произведения (а,Ь) = (Ь,а) в действительном СГП Н:
О = (А*(е) - Аг(е)) (хк(е),хг(е)) + (хк(е),хг(е)) (<*А*(е)
йе V ¿е ¿е
откуда
Проинтегрируем последнее дифференциальное равенство по всему отрезку [0, е0]:
(Ак(е) - Аг(е)) (х^(е),х(е)) = С.
Учитывая, что (хк(0),хг(0)) = (Ак(е) — Аг(е)) =0, к = г, е е [0, е0], получим С = 0. Поэтому для любого е из [0, е0] выполняется равенство (хк(е),хг(е)) =0, к = г. Случай II. Для к = г и е е [0, е0] из (2), (3) имеем систему
0 = жДе)),
(хг (0),Хг (0)) = 1.
Интегрируя дифференциальное равенство системы по всему отрезку [0, е0], получим (хг(е),хг(е)) = = Сь откуда с учетом второго равенства системы С1 = 1. Поэтому (хг(е),хг(е)) = 1 для любого е е [0, е0] и г е N. Таким образом, (хг(е),хк(е)) = , е е [0, е0], в результате (9) перепишется в виде
йхг{е) ™,{Вхг{е)1Хк{е)) о1е (\г(е) - \к(е))Хк{£)> ^
А так как (хг(0)}°=1 — ОНБ в Н, то и {хг(е)}°=1 — ОНБ в Н для любого е е [0,е0]. Докажем это. Так как резольвента Дл(А) (А = Аг, Уг) — ядерный оператор, В — ограниченный оператор, то функциональный ряд в правой части формулы (12) сильно сходится в Н на отрезке [0,е0] для каждого г е N и мажорируется абсолютно сходящимся числовым рядом. Тогда в силу почленной интегрируемости этого ряда на [0, е0] получаем формулы
хг(е) = хг(0) + V' / ^f^wl^fcW^ V е е [0,£0] VieN, (13)
k— J (Л(t) - Afc(t))
ft-i о
из которых с учетом (xi(e),xk(е)) = <5ik следует, что для любого е е [ö,e0] (xi(e)}°-i — базис Рисса, причем ортонормированный.
Таким образом, системе уравнений (2) на собственные числа Ai(е) и собственные функции xi(е) оператора C(е) е £ео можно сопоставить систему дифференциальных уравнений (5), (12). Итак, доказана следующая лемма.
Лемма 1. Система уравнений (2) на собственные числа Ai (е) и собственные функции xi (е) оператора C(е) е £ео (см. (1)) на отрезке [0, е0] эквивалентна системе дифференциальных уравнений (5), (12) на том же отрезке, если Ai(е) е Ci([0, е0]) и xi(е) е F([0, е0],H) как функции параметра е. При этом для любого е е [0, е0] система функций {х^е)}^ — ОНБ в H.
В следующей лемме выделяется класс операторов, для которых автоматически выполняются условия леммы 1.
Лемма 2. Пусть оператор C(е) := A + еВ действует в СГП H := (а, b), где (a,b) — конечномерный или бесконечномерный промежуток, У ■ ||2 := /аЬ | ■ |2^(t) dt, w(t) — весовая (неотрицательная) функция на (а, b), A — самосопряженный дискретный дифференциальный оператор второго порядка с ядерной резольвентой, область определения которого состоит из всех функций f, абсолютно непрерывных вместе со своими первыми производными на любом отрезке [а, в]
из (а, b), В — оператор умножения на вещественнозначную функцию p е L^(a,b), е е [0, е0],
1
2е0 i-j
Тогда для любого номера i е N будем иметь Ai(е) е Ci([0,е0]) и xi(е) е F([0,е0],^
причем число ео такое, что ||В|| < -—min|Ai(0) — Aj(0)|.
е
Доказательство. Из свойств оператора A с учетом нормированности его собственных функций X(0), i G N, имеем, что (xj(0)}°=1 — ОНБ в H. К тому же, из свойств оператора B следует, что для любого е G [0, е0] имеем C(е) G Ceo. А из включения Bxj (е) G H и разложения
Bxi (е) = (e),xk (e))xfc (е)
k=1
ясно, что найдется такое число В1 > 0, для которого выполняются неравенства |(Вх^(е),х&(е))| < В1 для любого е е [0, во] и всех (г, к) е N х N. Тогда из (12) получаем оценку
dx¿ (е)
de
оо 1
< го, е е [0,е0], i е N.
(14)
Из равенства (5) видно, что для любого г € N функция ХЛе) имеет ограниченную производную
ае
в каждой точке е е [0, е0], поэтому Л^ (е) непрерывна на [0,е0]. Тогда сумма в (14) является также непрерывной функцией переменной е на отрезке [0, е0]. Для любых и и V из [0, е0] справедливо неравенство
|x¿(u) - x¿(v)|| < ||x¿(u)|| + ||x¿(v)|| = 2,
поэтому из (14) получаем
dx¿ (u) dx¿ (v)
de
de
1
1
k=1
|Ai (v) - Afc (v)|
Следовательно, для любого v е [0, e0] и любого i е N имеем
lim
w^v
dx¿ (v) dx¿ (w)
de
de
^ 0.
Условия же
A
dx¿ (v) dAx¿ (v) dx¿ (v) dBx¿ (v)
v е [0, e0] i е N,
ае ае ае ае
выполнимы ввиду представления операторов А и В. Отсюда х^(е) е $([0, е0], Н), г е N.
Из дифференцируемости (по Фреше) функций х^(е) на [0, е0] и формулы (5) следует непрерывность алг (е)
функций
de
на этом же отрезке. Поэтому A¿(e) е C1 ([0, e0]), i е N. Лемма доказана.
Для того чтобы использовать компьютер в вычислениях по полученным формулам, необходимо выполнение следующих условий:
1) знак го в формулах (5) и (12) поменять на достаточно большое натуральное п;
2) найти матричные представления МАП, МВп сужений Ап, Вп самосопряженных операторов А, В на линейное подпространство £п := Ь(х1 (0),...,хп(0)) С Н, а тем самым и матричное представление МСп(е0) = МАП + е0МВП сужения Сп(е0) самосопряженного оператора С(е0) = А + е0В на ;
3) выбрать натуральное т таким, чтобы шаг Н = е0/т был достаточно малым положительным числом;
4) использовать следующие обозначения:
• А-0, г = Т~п, и хт° = (1,0,0,..., 0)*, Х20 = (0,1, 0,..., 0)*, х/ = (0,0,1,..., 0)*, ..., хп0 = (0, 0, 0,..., 1)* — собственные числа и вектора матрицы МАп = МСп(0) = МАп + 0 ■ МВп (ясно, что А-0 = Аг(0) = \г, г = 1 , п);
• Л_т и х_т — приближенные собственные числа и собственные вектора матрицы МСп(е0);
• и х~и, г = 1 , п, ь> = 1,т—1, — промежуточные числа и вектора, которые вместе с \-т и х_т находятся любым из линейных одношаговых или многошаговых численных методов решения дифференциальных уравнений;
• А¿(п, е) и Хг(п, е), % = 1, п, — собственные числа и функции оператора Сп(е), действующего в £п.
Точные значения собственных чисел Аг (п, е) и собственных функций (п,е) оператора Сп (е) для любого е е [0, е0] вычисляются с учетом условия 1) из системы
= (Вх^п, е), Хг(п, е)), ¿ = 1,п, (15)
dxi(n1 е) ^,(Вхг(п,е),Хк(п,£)) . , . -— пс,
-1-= 2^777-^-Г7-г = 1,п. (16)
(Аг (п,е) — Ак (п,е))
Число п выбирается достаточно большим, чтобы при каждом 5 е [0,е0] оператор Сп(5) имел простой спектр (спектры оператора Сп(5) и соответствующей матрицы МСП(5) совпадают). Тогда, уменьшая шаг Н = е0/т (т при этом увеличивается) для получения более качественных аппроксимаций по одному из численных методов решения системы (15), (16), будем иметь следующие приближения:
Аг(е0) ~ Хг(щ ео) ~ А-т, г = (17)
п
Жг(ео) ~^(п,е0) ~х-т(п,е0) := -^(0), г = ТТгг, (18)
¿=1
777 ' -л 777
где ж- , ^ = 1,п, — компоненты вектора ж- .
Таким образом, увеличивая п и т (при этом величина шага Н = е0/т будет уменьшаться) без учета вычислительной погрешности по вышеуказанному способу, можно добиться получения таких чисел А_т и функций Х_т(п, е0), которые как угодно мало отличаются соответственно по модулю и по норме от искомых собственных чисел Аг(е0) и собственных функций (е0) оператора С(е0), 1 = 1,1%. Доказанный результат сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1 и п » 1 таково, что при каждом 5 е [0, е0] оператор Сп (5) (или соответствующая матрица МСп (5)) имеет простой спектр. Тогда для приближенного вычисления первых собственных чисел Аг (е) и функций ж (е) оператора С(е) е £ео, вместо системы (5), (12), можно использовать систему (15), (16). Решением последней являются собственные числа Аг(п, е) (^ Аг(е)) и собственные функции ж(п, е) (^ жг(е)) оператора Сп(е).
Замечание. Собственные числа Аг (п, е) и собственные функции ж (п, е) оператора Сп (е) находятся (может быть и приближенно) с помощью любого из методов (в том числе и численных) решения систем дифференциальных уравнений.
2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РУНГЕ - КУТТЫ В ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ПЕРВЫХ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ВОЗМУЩЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Хорошо известен метод Рунге - Кутты для приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (см., например, [2, с. 226-228]).
у' = /(*,у), I е [0, е], (') = ¿М, (19)
с начальным условием
у(0) = Уо, (20)
где /(£, у) — некоторая заданная функция двух переменных. Будем считать, что для задачи Коши (15), (16) выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке [0, е] ее решения у = у(£) (такие требования можно найти в любом курсе дифференциальных уравнений или в соответствующем разделе курса высшей математики, см., например, [3-5]).
Придерживаясь в дальнейшем изложении обозначений, введенных в предыдущем параграфе, выберем натуральное т таким, чтобы шаг Н = е0/т был достаточно малым положительным числом. Тогда отрезок [0, е0] можно разбить системой равноотстоящих друг от друга точек (или узлов) Ьг = % ■ Н, а приближенные значения Уг+1, г = 0,ш — 1, функции-решения у = у(Ь) в узлах
(21)
£ = ^, 2 = 1,т, находить с помощью метода Рунге - Кутты:
п2 = /(£1 + й/2,уг + п1/2), п1 = /(£г + Л/2, у + п2/2), п4 = + Л, У1 + Пз), △Уг = (п1 + 2п2 + 2пз + п4) /6,
Уг+1 = Уг + АУг-
Таким образом, задача Коши (15), (16) с начальными условиями (#¿(0),#¿(0)) = 1, г = 1,п, приближенно решается с использованием формул (21).
Пусть выполнены условия теоремы 1. Адаптируя формулы (21) к описанной выше задаче Коши, получаем следующие формулы Рунге - Кутты для приближенного вычисления собственных чисел Аг(п,е0) и собственных функций хг(п, е0) оператора Сп(е0):
А:
= A_v + AA_V,
+1 _
= + Дг", i = l , n, z/ = 0,m — 1,
(22)
где
AA_V = (ni (A_v) + 2^2(A_v) + 2пз(A_v) + П4(A_v)) /6, Ax_v = (ni(x_v) + 2n2(x_v) + 2n з(x_v) + n4(x_v)) /6,
Vl (Af) = h{MBnxf,x?), 7/i (a^") =
k=1
Xf-Xf k
П2(A_v) = h (MBn(x_v + ni(x_v)/2), x_v + ni(x_v)/2),
k=i
(A_v + ni(A_v)/2) - (Akv + ni(Akv)/2)
Пз(A_v) = h (MBn(x_v + n2(x_v)/2), x_v + n2(x_v)/2),
]-hh + 2)-(A/ + .2(A/)/2) ^ + >/2>'
n4(A_V) = h (MBn(x_v + ПЗ(x_v)), x_v + ПЗ(x_v)), " / + Vs{xf)),x¿ + r/з«))
^ i „ / Л г/
n4 (x_V) =
k=i
(A_v + пз(A_v)) - (Akv + Пз(Akv))
« + Пз (Xkv)).
Для получения окончательных результатов остается воспользоваться формулами (17), (18).
3. ДЕМОНСТРАЦИЯ МЕТОДА А.А.ДОРОДНИЦЫНА НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ
Реальные вычисления базируются на методе Рунге - Кутты, погрешность которого контролировать очень непросто, поэтому точность получаемых результатов будем оценивать в каждом конкретном случае по норме невязок.
Пример 1. Возмущенный квадрат оператора Эрмита.
Рассмотрим действующий в СГП Н = (-го, го), и = ехр(—£2), оператор А = М2, где М := —+ + I. Областью определения Р(А) оператора А будем считать совокуп-
ность всех функций / со следующими свойствами: /, /', /'' и /'" — абсолютно непрерывны на любом отрезке числовой оси, А/ е Н. Хорошо известно, что спектр оператора А составляют числа Ап = (2п + 1)2, п е N и {0}, а соответствующими собственными функциями, образующими в Н ортонормированный базис, являются хп = с-1 Нп, где Нп — многочлены Эрмита, сп = ||Нп||,
/ос \1/2
|| ■ || = / ехр(—£2)| ■ |2^ — норма в Н.
Пусть B — оператор умножения на вещественнозначную функцию p е го), причем B и
е > 0 такие, что е||р||те < min |Аг+1 — Аг|/2 = |Ai — Ао|/2 = 4, где ||p||<^ = essential sup |p(t)|. Тогда
оператор C(е) = A + еВ — самосопряженный, имеет простой спектр и ядерную резольвенту в H. Пусть n = 10, m = 20, функция
i 3¿3 — 5í + 1, |í|< 1 p(t) = \ 0, |t| > 1,
а е = 1. Поэтому е||р||^ < 4, h = е/m = 0.05. Используем принятые ранее обозначения: А_0 = Аг, i = Ö7TÜ, хъ° = (1, 0, 0,..., Of, жi0 = (0,1, 0,..., 0)*, ... xj°0 = (0,0,0,..., 1)* - собственные числа и собственные вектора матрицы MA10 = MC10(0) = MA10 + 0 ■ MB10 = {(Ax)}1°=0, MBio = = {(Bxj,xj)}j1,(j=0 — матричное представление оператора B в подпространстве L10 := L(x0(0),...,
жю(0)) СИ.' _
Найдем по формулам (22) числа А-20 и вектора х~20, г = 0,10, применяя математический пакет Maple 8 и производя вычисления с числами, имеющими в своей десятичной записи 30 значащих цифр. Далее, следуя формулам (17), (18), получим приближенные значения собственных чисел Аг(1) и функций хг(1) оператора C(1). Для экономии места выпишем только первое (с нулевым номером) найденное собственное число и соответствующую собственную функцию:
А0 (1) ~ А020 = 1.68325964047228615895304567067,
Х0(1) ~ X_20(10,1) = 0.172852411522452732283240620798t+ +0.0161714626849581430341225747620t2 — 0.0332630886742984437857110142244t3— —0.0013313284545034926518046539626t4 + 0.0059938149957721848041390704801t5+ +0.00001958221262714376783006493532t6 — 0.0005538233684346475051342875848t7+ +0.00000701757897230179079573819614t8 + 0.0000187668792460739630590612255t9— —0.00000036193691274157718621237835t10 + 0.737304953743735332327626813166.
Оценка нормы невязки
^0 := C(1)X_20(10,1) — А020X_20(10,1) : 11^01 < 0.358.
Следует отметить, что выписанные значения собственного числа и собственной функции не могут быть округлены до меньшего количества значащих цифр, так как в противном случае возрастет число ||ет01|.
Пример 2. Возмущенный оператор Якоби.
Рассмотрим действующий в СГП H = L£(—1,1), ш = (1 — t)a(1 + t)e, а > —1, в > —1, а + в = —1,
а = 0, в = 0, оператор А := —(1 — t2)d2/dt2 — [в — а — (а + в + 2)t]d/dt + I. Областью определения
D(A) этого оператора будем считать совокупность всех функций f со следующими свойствами: f
и f — абсолютно непрерывны на отрезке [—1,1], Af е H. Спектр оператора A составляют числа
Ап = 1 + n(n + а + в + 1), n е NU{0}, а соответствующими собственными функциями, образующими
в H ортонормированный базис, являются xn = c-1P"'e, где — многочлены Якоби, cn = ||Р"'в||,
/1 \1/2 || ■ ||= Í / (1 — t)a(1 + t)e |-|2 dtj —норма в H.
Пусть B — оператор умножения на вещественнозначную функцию p е L^(—1,1), причем B и е > 0 такие, что
e||p|U < min |Аг+1 — Аг|/2 = |А1 — А01/2 = 1 + (а + в)/2,
г
где ||р||те = essentialsup |p(t)|. Тогда оператор C(е) = A + еB — самосопряженный, имеет простой te(-1,1)
спектр и ядерную резольвенту в H.
Пусть n =10, m = 20, а = 2, в = 3, функция p(t) = t5 — 2t2 + 2t — 1, а е = 0.5. Поэтому
е||р||те < 7/2, h = е/m = 0.025.
Действуя далее по аналогии с примером 1, получим
Ао(0.5) и А020 = 0.496252345561275424674873429038,
хо(0.5) и X-20 (10, 0.5) = -0.009425746658442445493517548993t5--0.132236442075371243951636119933t + 0.0000325467761782429542351920036t10--0.00001872550752696226530880978t9 + 0.0001014969974237650980134617141t8--0.000483143633569305374449122052t7 + 0.0011034066866850296388669062734t6+ +0.067949307253583680810569364214t2 - 0.0141406522325402414511498967100t3+ +0.001702401730599740806867245977t4 + 0.977204080555186842538043968210, ||ето|| := ||C(0.5)X-20(10, 0.5) - А020X-20(10,0.5)|| < 0.00000014.
Величина нормы невязки ет0 позволяет утверждать о близости найденного числа А020 и функции X-20(10,0.5) к собственному числу А0(0.5) и собственной функции x0(0.5) оператора C(0.5). Пример 3. Возмущенный оператор Лежандра.
Рассмотрим действующий в СГП H = L2(— 1,1) оператор A := -(1 — t2)d2/dt2 + 2td/dt + I.
Областью определения D(A) оператора A будем считать совокупность всех функций f со следующими
свойствами: f и f' — абсолютно непрерывны на отрезке [—1,1], Af е H. Спектр оператора составляют
числа Ап = 1 + n(n + 1), n е N U {0}, а соответствующими собственными функциями, образующими
в H ортонормированный базис, являются xn = c-1 Pn, где Pn — многочлены Лежандра, cn = ||Pn||,
/1 \1/2 || ■ || = Í / | ■ |2 dt j — норма в H.
Пусть В — оператор умножения на функцию p е L0(—1,1), причем B и е > 0 такие, что
e||p|U < min |Аг+1 - Аг|/2 = |А1 - А0|/2 = 1,
i
где ||p||0 = essentialsup |p(t)|. Тогда оператор C(е) = A + еВ — самосопряженный, имеет простой te(-1,1)
спектр и ядерную резольвенту в H.
Пусть n =10, m = 10, е = 0.25, а функция p(t) = -2t4 + 4t3 - 3t + 2. Поэтому e||p||o < 1, h = е/m = 0.025.
Поступая по аналогии с предыдущими примерами, получим
А0(0.25) и А010 = 1.39155094610708474412969606809, Х0(0.25) и X-10(10,0.25) = 0.087656021785344767263824203424t+ +0.0374539869118713617963177283584t2 - 0.0555362118750024681521054622133t3+ +0.0135867107043037157836667027872t4 - 0.0004962158447060425623694180032t5+ +0.0019065271966706892165078357403t6 - 0.0007364779940267664554795233136t7+ +0.0001109135954921552896171880499t8 - 0.0000383538824838061054232240805t9+ +0.0000179555667176151627264453590t10 + 0.690720016035003127316804278867, ||го0| := ||C(0.25)X-10(10,0.25) - А010Х-10(10,0.25)|| < 0.00000051. Пример 4. Возмущенный квадрат оператора Лагерра.
Рассмотрим действующий в весовом СГП H = LWf (0, го), w(t) = e-tta, а > -1, а = 0, оператор A = M2, где M := -td2/dt2-(а+1-t)d/dt+I. Областью определения D(A) оператора A будем считать совокупность всех функций f со следующими свойствами: f, f', f'' и f''' — абсолютно непрерывны на любом отрезке неотрицательной части числовой оси, Af е H. Спектр оператора A составляют числа Ап = (1 + n)2, n е N U {0}, а соответствующими собственными функциями, образующими в H ортонормированный базис, являются xn = c-1La, где L^ — многочлены Лагерра, cn = ||La||,
/00 \ 1/2
|| ■ || = 0 e-tta| ■ |2 dtj — норма в H.
Пусть B — оператор умножения на функцию p е L^(0, го), причем B и е > 0 такие, что e||p|U < min |Ai+i - Ai|/2 = |Ax - Aq|/2 = 3/2,
где = essentialsup |р(£)|. Тогда оператор С(е) = А + еВ — самосопряженный, имеет простой
спектр и ядерную резольвенту в Н.
Пусть п = 10, т = 20, а = 1, функция р(£) = ехр(—£)(£3 — 2£2 + 3£ — 1), а е = 1. Поэтому е||р|и < 3/2, к = е/т = 0.05.
Действуя по аналогии с предыдущими примерами, получим
Ао (1) ~ А020 = 1.62001614319061257051596195543, хо(1) ~ Х_20(10,1) = —0.052640007616461352878265389744^+ +0.012732364063459791135650944933£2 — 0.00204673650450553741374697814182£3+ +0.00044652270392081656185756789£4 — 0.00007473792690780671519384085169£5+ +0.00000756682745671286932390335£е — 0.00000045535437726594010067173277£т+
+0.00000001594769598859182470616t8 — 0.29901461822146940812316361 ■ 10
-9 9
t9+
лиза. М.: Наука, 1981. 384 с.
4. Смирнов В. И. Курс высшей математики: в 5 т. Т. 2. М.: Наука, 1967. 656 с.
5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос. изд-во ТТЛ, 1953. 468 с.
+0.230941905674454297781■10-11 ■ £10 + 0.768981445312051871432936928070,
||ето|| := ||С(1)Х_20(10,1) — А020Х_20(10,1)|| < 0.0223.
Описанный метод обладает достоинством: его нетрудно реализовать на практике, используя компьютерные математические пакеты, а контролировать методом невязок.
Библиографический список
1. Дородницын А. А. Избранные научные труды: в 2 т. ральных уравнений с дополнительными главами ана-Т. 1. М.: ВЦ РАН, 1997. 396 с.
2. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2001. 382 с.
3. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интег-
УДК 517.5
МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ
А.А. Нурмагомедов
Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, кафедра прикладной математики E-mail: [email protected]
В работе исследуются асимптотические свойства многочленов pn(t), ортогональных с весом Atj на произвольных сетках, состоящих из конечного числа N точек отрезка [-1,1]. А именно установлена асимптотическая формула, в которой при возрастании n вместе с N асимптотическое поведение этих многочленов близко к асимптотическому поведению многочленов Лежандра. Кроме того, исследованы аппроксимативные свойства сумм Фурье по этим многочленам.
Ключевые слова: многочлен, ортогональная система, сетка, вес, весовая оценка, асимптотическая формула, приближение.
Polynomials, Orthogonal on Non-Uniform Grids A.A. Nurmagomedov
Dagestan State Pedagogical University, Makhachkala, Chair of Applied Mathematics E-mail: [email protected]
Asymptotic properties of polynomials pn (t), orthogonal with weight Atj on any finite set of N points from segment [-1,1] are investigated. Namely an asymptotic formula is proved in which asymptotic behaviour of these polynomials as n tends to infinity together with N is closely related to asymptotic behaviour of the Lasiandra polynomials. Furthermore are investigated the approximating properties of the sums by Fourier on these polynomials.
Key words: polinomial, ortogonal system, set, weight, weighted estimate, asymptotic formula, approximation.
