О методе следов резольвент, вычисленных точно Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.25

О МЕТОДЕ СЛЕДОВ РЕЗОЛЬВЕНТ, ВЫЧИСЛЕННЫХ

В статье установлено, что существует ряд методов приближенного вычисления собственных значений различного рода краевых задач для уравнений математической физики. Если положительная степень резольвенты является ядерным оператором, то этим можно воспользоваться в вычислении спектра краевой задачи. Отмечено, что похожие результаты имеются у А.А. Дородницына.

Ключевые слова: спектр, дискретный оператор, гильбертово пространство.

Введение

Проблеме вычисления первых собственных чисел дифференциальных операторов посвящено огромное число исследований. В частности, был разработан ряд методов приближенного вычисления собственных значений различного рода краевых задач для уравнений математической физики. В их числе методы, основанные на применении итерированных функций Грина [7, с. 3-96], и многие другие.

В конце 50-х годов XX века И.М. Гельфанд и Л.А. Дикий [5, с. 12-14] предложили метод вычисления собственных чисел оператора Штурма — Лиувилля, основанный на применении теории регуляризованных следов дифференциальных операторов [1, с. 191-198; 2, с. 593-596; 4, с. 187-200]. С.А. Шкарин [26, с. 39-44] доказал, что этот метод нельзя использовать для приближенных вычислений первых собственных чисел в том виде, в каком он вначале [5, с. 12-14] был предложен. В.А. Садовничий и В. Е. Подольский [24, с. 133-148; 25, с. 162-164] обосновали метод Гельфанда — Дикого для одного довольно узкого, но тем не менее всюду плотного в соответствующей метрике подкласса Б дифференциальных операторов второго порядка.

Одним из наиболее употребительных является метод, основанный на равенствах, связывающих итерированные функции Грина рассматриваемой одномерной краевой задачи с ее собственными значениями:

Наиболее полные исследования в этом направлении принадлежат А.А. Дородницыну [7, с. 3-96]. Суть метода такова: в правых частях равенств (1) обрываем

1Малеко Евгений Михайлович (emaleko@rambler.ru, mgtu@magtu.ru), кафедра математики Магнитогорского государственного технического университета, 455000, Российская Федерация, Магнитогорск, пр. Ленина, 38.

ТОЧНО

© 2011 Е.М. Малеко1

n=1

(1)

ряды до слагаемых с номером N и рассматриваем первые N равенств. Оценивая отброшенные остатки рядов ^'ТO'=N +1 Л-к, решаем конечную систему алгебраических уравнений

р Ь N / то \

/ Ок(х, х)Сх = Л-к + О ' к = 2'

^а п=1 \n=N +1 )

относительно неизвестных Л^, г = 1,N и получаем приближенные значения собственных чисел тем более точные, чем большее N взято. Метод обладает тем существенным недостатком, что вычисление конкретных значений интегралов левой части (1) зачастую бывает лишь приближенным, да и нахождение самих итерированных функций Грина

Ок(х,£) := \ Ок-1(х,г)а(г,£)А

•У а

сталкивается с теми же проблемами, причем сами интегралы в конечном виде через параметры исходной задачи, вообще говоря, не выражаются.

Заслуживает внимания подход в вычислении первых собственных значений, основанный на применении равенств (1): рассматриваем первые N равенств, обрывая ряды до слагаемых с номером N, и, не оценивая отброшенные остатки рядов £'ТO=N+1 Л-к, решаем конечную систему алгебраических уравнений

ь N

/ Ок (х,х)сЪ = ^ Л-к, к = 1, 2,

■'а п=1

относительно неизвестных Л^, г = , получая при этом приближенные значения собственных чисел.

1. Модифицированный метод А.А. Дородницына

Рассмотрим действующий в СГП H дискретный с ядерной резольвентой, не обязательно симметрический оператор A. Пусть собственные числа Aj, i G N, этого оператора ненулевые и занумерованы с учетом алгебраической кратности по возрастанию модулей, в случае же одинаковых модулей и различных аргументах — по возрастанию аргумента на [0, 2п). Оператор T-1 = \J(A-1)*A-1 имеет собственными числами положительные числа si такие, что |A—1| ^ si ([3]). Если спектральные следы (они же равны и матричным следам по теореме Лидского)

то

gm = A-m, m = 1, 2, ...,n, i=i

степеней m оператора A-1 известны точно, то для приближенного вычисления первых собственных чисел оператора A применйм так называемый .модифицированный метод А.А. Дородницына. Суть его заключается в следующем. Пусть нам не составляет особого труда вычисление следов gm, m = 1, 2, ...,n, причем по необходимости мы можем как угодно увеличивать n (это можно сделать, имея, например, под рукой быстродействующий компьютер). Тогда для достаточно больших n наибольшие по модулю компоненты zf^ (i = 1,..., N, N << n) вектор-решения z(n) системы уравнений

п

= gm, m =1, 2,..., n,

i=1

дают приближения числам 1/Ai, i = 1, 2, ...,N, с любой заданной точностью. Данному методу посвящены статьи [8; 10-14; 22; 23] и работы [9; 15-20].

Рассмотрим метод А.А. Дородницына приближенного вычисления собственных чисел на примере одной из представленных в работе [6, с. 60-179] (см. также [22]) краевых задач для уравнения Штурма — Лиувилля со спектральным параметром А

y" + (Ar(x) + q(x))y = 0, 0 < x <

h1y'(0) = hy(0), Hiy'(l) + Hy(£) = 0. (2)

Здесь функция q(x) предполагается непрерывной и действительно значной на отрезке \d,i], h, hi, H, Hi € R, а коэффициент уравнения r(x) имеет вид r(x) = = ri(x)xa, где а > —1, ri(x) - непрерывная положительная функция на \0,i\. В этой ситуации собственные значения задачи (2) образуют строго возрастающую последовательность {An}^=i с асимптотикой

t

уАП ~ пп! j \Jr(x) dx (n ^ <x>).

r(x)

0

Функция Грина G(x,£) задачи (2) — функция двух переменных на \0,i] х \0,i], удовлетворяющая уравнению

д 2G(x,C)/(dx)2 + q(x)G(x,C) =0

и условиям

hidG/dx(0, £) = hG(0, £), HidG/dx(l, £) + HG(l, £) = 0, dG/dx(i — 0, C) — dG/dx(i + 0, £) = 1-Если 0 € {An}£=i, то при любых m € N справедливы равенства

^ ж

gm = r(x)Gm(x,x) dx =^2 A-m, (3)

о n=i

где Gi(x,£) = G(x,£), Gm+i(x,£) = /0 r(t)Gm(x,t)G(t, £) dt. Таким образом, если известна функция Грина задачи (2), то можно вычислить все суммы (3). В параграфе 4 работы [6, с. 60-179] автор делает акцент на существенное применение обобщенной ^-функции

ж 1

Z(s, a) =} -—

V ' ^ (п + a)s

n=0 4 /

в приближенном вычислении поправок

ж

^ АП

(k) = ^ 1 n=k

p2m А 2m

для системы

k-i

(k)

»n ~ H2m p2m

n=0

J2x2nm = 92m — pm, 1 < m < к, (4)

с целью нахождения вектор-решения этой системы, положительные компоненты которого приближают обратные величины собственных значений рассматриваемого дифференциального уравнения. В статье [6, с. 60-179] спектральный параметр А входит в уравнения с квадратом, и нумерация собственных чисел начинается

не с единицы, а с нуля. Причем во введении статьи указано, что к работе [6, с. 60-179] прилагаются таблицы функций Z(s,v), составленные В.П. Кондаковой, с помощью которых, по мнению автора, можно рассчитывать первые собственные значения.

"Чистую" же (без поправок pTT) систему

k-i

J2x'nm = 92m, 1 < m < k, (5)

n=0

А.А. Дородницын скорее всего никогда не применял в своих расчетах, так как для получения результата, по точности подобного полученному им, потребовалось бы значительно больше вычислительных затрат, то есть увеличивать количество k уравнений системы (5). Поэтому использование системы (5) (или (6)) для вычисления первых собственных значений следует называть модифицированным методом А.А. Дородницына.

Итак, докажем, что при достаточно больших n и произвольном фиксированном N (N << n, 11 / XnI > I1 /Xn +i|) N наибольших по модулю компонент zln вектор-решения z1n) системы

n

Y^zT = 9m, m =1, 2,..., n, (6)

i=i

будут как угодно точно приближать числа 1/Xi для i = 1,...,N, причем вычислим скорость сходимости z1n) к соответствующим числам wi = 1/Xi, i = 1,...,N. Обозначения:

Фк(n) = £Zn+isk, k e N;

а к (w1n)), а к (z(n)) - k-е элементарные симметрические многочлены от компонент векторов w1n) = (w1, ...,wn) и z1n) = (zin),..., zI1); aZ(wi,...) = ak(wi, ...,w£),

а Z(wn+i,...) = lim^TO а к (wn+i, ...,w£) - k-е элементарные симметрические многочлены от wi,w2,... и от wn+i,wn+2, ... соответственно.

Последние обозначения имеют место, так как оператор A~i ядерный, и поэтому ^Ziwu < ^ ^{wn+U < ТО. Рассмотрим следующие многочлены:

nn

Pn{z) = U(z - wi) = zn + J2-1)k а к (w1n))zn-k, (7)

i=i к=i nn Rn(z) = H(z - z(n)) = zn + Y.(-1)k а к zn))zn-k. (8)

i=i =i Тогда для любого комплексного z = 0 имеем

n

IPn(z) - Rn(z)l < lzn |^>- k Ца к (w1n)) - а к {z1n))l (9)

=i

Запишем величины а,{wi,...) в виде

к

аZ(wi, ...) = £ар(Ш^аZ-p{wn+i,...), p=0

где

ао^й1"'^) = а,Z{wn+i,...) = 0-0.

Тогда, так как

\к+1

(_1)к+1 /

ак(г(п)) = - (дк - дк-1*1(г(п)) + ...

... + (-1)к+1д1ак-1(г(п))) = ( —1)к+1

(10)

к (дк — дк-1&Г(™1, ■■■) + ...

... + (-1)к+1д1аГ-1(ыъ...)) = а?(ь,1,...), разности а к (г(п)) — а к (Ю(п)) можно представить следующим образом: «к(г(п)) — ак(Ю(п)) = ...) — ак(Ю(п)) =

Оценим модули разностей а к (г(п)) — ак(ю(п)) = Хк (п). При к = 1 имеем |х1(п)| ^ ф1(п). При к = 2 получаем, что

то и—1

1Х2(п)1 < е е

ф1(0)ф1(и),

и=п+1 т\ = 1

а при 2 < к ^ п:

то тк-1-1 т2-1 к-1

Ык(п)1 < Е Е 12 -12 ^П т =

и=п+1 тк-1=к-1 тк-2 = к-2 т\ = 1 р=1

то

= 12 ^ ( Е ^4243<

V=п+1 \31+32+Зз + -- = к-1

/ 8Г1 /2 Ч

< ^ + + + к 1 ^Л"Ч =

то / то \ к-1 /

= 12 ^ Е (к — 1)! = Ф1(п) ФГ(0)/ (к — 1)!,

и=п+1 \т=1 / /

где зт € {0,1}, гт € Ъ, гт ^ 0, т € N. Таким образом получили при 1 ^ к ^ п оценку 1хк(п)1 < Ф1 (п) фкк-1(0)/ (к — 1)! и выполнение для любого комплексного г = 0 неравенств

1Рп(г) — Еп(г)1 <

< И £п=11ф1(п) Фк-1(0)/ (к — 1)! =

= 1г1п-1ф1(п)52П=1 (ф1 (0)/Н)к-1/(к — 1)! < (11)

< 1г1п-1ф1(п)ехр(ф1(0)/1г1).

Далее применяем теорему Руше [21] об устойчивости числа нулей для полиномов Рп(г) и Еп(г) = Рп(г) + у>п(г) внутри кругов

Сп,к := {г € С| 1г — Юк | < Гп,к}, 1 < к < М,

при достаточно больших п >> N, где <^п(г) = Кп(г) — Рп(г); гп,к ^ 0 при п ^ те и гп^к1 = гп<к2, если Юк1 = Юк2; N — фиксированное натуральное число такое, что I > Ю,^!!. Из формулировки теоремы Руше явствует, что если 1Рп(г)1 > > |<^>п(г)| для г таких, что !г — Юк | = гп к, то внутри круга Спк у полиномов

Рп(г) и Кп(г) будет равное количество нулей. Этим мы сейчас и воспользуемся, причем вместо неравенства \Рп(г)\ > \<^п(г)\ будем рассматривать неравенство

\Рп(г)\ > \г\п-1ф1(п)ехр(ф1(0)/\г\), (12)

выполнение которого сразу же влечет и выполнение \Рп(г)\ > \^п(г)\, благодаря оценке (11). Итак, для г € дСп^ := {г € С\ \г — тк\ = гп^} из (12) имеем

п

\Рп(г)\ = ИпП\1 — тг/г\

г=1

= \г — тк V\г\п-^ Ц \1 — >

> \г\п-1ф1(п)ехр(ф1(0)/\г\),

где ь'к — алгебраическая кратность собственного числа Ак = 1/тк оператора А. Отсюда получаем

п

С,к П \1 — > \г\ик-1ф1(п)ехр(ф1(0)/\г\), 1 < к < N. (13)

i=1,Wi=Wk

Так как оператор А-1 ядерный, то произведение Г1^=1 (1 — т/г) сходится (см.[21]) равномерно на любом компакте, лежащем внутри С\{0}, то есть является однозначной аналитической функцией в С\{0}. К тому же на любом компакте, лежащем внутри С\{0}, правая часть

дп(г) = \г\^-1ф1(п)ехр(ф1(0)/\г\)

неравенства (13) будет меньше какого угодно малого числа е > 0 для п ^ по(е). В том случае, если удастся доказать (13) на окружностях дСпк с некоторыми радиусами тп<к, причем окажется, что тп<к ^ 0 при п ^ то, то, учитывая справедливость неравенства (12) на окружности

дСК := {г € С\ ^ = (тм + тм+1)/2},

при достаточно больших п (12) можно переписать в виде

п

\г\ ехр(—ф1(0)/И)П \1 — тг/г\ > ф1(п),

г=1

причем очевидно, что

п

М шт || 11 — > 0

г=1

и увеличивая при необходимости еще больше п, по теореме Руше можно утверждать, что, во-первых, каждое из чисел г(п\ г = 1,...^, обязательно попадет в какой-либо из кругов Сп,к, к € {1,...^}; во-вторых, в каждом круге Сп<к, к = = 1,...^, будет хотя бы одно из чисел с номерами г € {1,...,N}; в-третьих, если = =...= то круги Сп^, I = ],...,] + то — 1 между собой

совпадают, и в Сп^ будет находиться ровно то чисел г(п) с номерами г из множества {1, ...^}, причем нумерацию можно подобрать таким образом, чтобы

(п)

в каждом круге числа гг и т имели одинаковые номера.

В заключение остается доказать неравенство (13) на окружностях дСп,к, к = = 1,...^ со стремящимися к нулю радиусами гпк и найти представления для

этих радиусов, то есть фактически доказать сходимость и оценить скорость сходимости чисел г(п) к иг для г = . Исходя из вида неравенства (13), пусть гп,к = (Сф1 (п))1/ик, где константа С пока что неизвестна. Тогда, подставив (Сф1(п))1/^к в (13) вместо гп,к, получим для произвольного фиксированного к € {1,...,М} и любого г на окружности дСп^ неравенство

С>\ г \ . (14)

Так как для г € дСп^ при достаточно больших п выполняются оценки

\ г \"к-1 < 2\и1 \ик-1 и еМФМ/\г\) < ехр(ф1(0)/\им+1 \), то будем искать константу С, руководствуясь неравенством

С > 2 \ и1 \к тп-й-П. (15)

\Лг=1,,1=,к \1 - иг/г\

Оценим снизу на окружности дСп^ произведение

п

П(г)= П \ 1 - иг/г\

по способу, предложенному А.Ю. Поповым в работе [22]. Итак, пусть П(г) = = П1(г)П2(г), где

П1(г)= Ц \ 1 - щ/г\,

\и] \ ^ 0.5\их \ 3 < п

П2(г)= П \ 1 - Щ/г\ .

0.5\ их \ < \Щ] \ из = ик

При г € дСпк имеем \г\ ^ \ик \ — (Сф1(п))1/"к ^ \их \ — (Сф1(п))1/"к. В силу стремления ф1(п) к нулю при достаточно больших п получаем \г\ > 0.9 \их\, а значит, при \и] \ ^ 0.5 \иN\ выполняется неравенство \и]/г\ < 0.5\их \/(0.9 \их \) < 0.6. При 0 < Ь < 0.6 имеем 1 — Ь > ехр(—2Ь), поэтому \ 1 — и]/г\ ^ 1 — \и]/г\ > > ехр(—2 \и]\/\г\), г € дСп,к. Отсюда

П1(г) > ехр(—2 ^ \и/г\) > ехр(—2 ^ в,/ \г\) >

]=М+1 ] = М+1

> ехр(—2ф1(0)/\г\) > ехр(—2ф^0)/\их+1 \). Оценим снизу П2(г).

При г € дСпк и \и] \ > \их \/2, и] = ик с учетом того, что ах = шт{ \ ик — и] \ \ \ик \ > \ им \/2,

\ и] \ > \ их \/2, ик = и] },

имеем

\ 1 — и]/г \ = \ г \ 1 \ г — и] \ = \ г \ 1 \ г — ик + ик — и] \ > > \ г \-1( \ик — и] \ — \г — ик \) > \ г \-1 (ах — (Сф^п))1^) > > (ам — (Сф1(п))1/^к)/(\ик \ + (Сф1 (п))1/^к).

Предел правой части последнего неравенства при п ^те равен а,/Юк|, причем

а,/Ю^ > а,/Ю^ > а,/в1 > а,/ф1 (0),

поэтому при достаточно больших п модули всех сомножителей произведения Пэ(г) не меньше а,/ф1(0). А так как количество всех сомножителей в П2(г) не превосходит 2ф1(0)|, то произведение

П2(г) > (а,/ф1(0))201(0)/1"*\.

Подставляя оценки для П1(г) и П2(г) в П(г) = П1(г)П2(г), получим оценку

П(г) > е-2^1(0)/1™«+11(ак/'ф1(0))2^1(0)/1™я\ г € дСп^. (16)

Заменяя в неравенстве (15) произведение П(г) = Пгп=1и1-=и,к |1 — wi/z| его нижней оценкой (16), выведем выражение для константы С:

С = 2|wl|Vk-1e^l{■0)/|wN+l| (ф1(0)/а,(17)

Таким образом, при достаточно большом п компоненты г^К к = 1,...,М, вектор-решения г(п) системы (6) будут удовлетворять неравенствам

— Юк| < Гп,к, к = 1,...,М,

где гп,к = (Сф1(п))1/, а константа С определена выражением (17). В результате доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть ь'к — алгебраическая кратность собственного числа \к оператора А, к € N причем существует номер ] = ](к) такой, что Х^ = ... = Хj+Vk-1 и к € {],...,] + Vк — 1}; дт — спектральные следы степеней т оператора А-1, т = = 1, ...,п, N Э N — произвольное фиксированное число такое, что 1/Х,+1 < 1/Х,. Тогда можно так занумеровать компоненты г(п\ г = 1,...,М, вектор-решения г(п) системы

п

= дт, т = 1, 2,...,п,

г=1

что для любого п > N будут выполняться неравенства

где

гп — Юк| < (Сф1(п))1/^, к = 1,..., N, (18)

С = 2|w1|Vk-1e3фl(0)/|wN+l| (ф1(0)/а,\,

= 1/ХЕ, Х1 € N ф1 (0= Е ^ С € N и{0},

¿=С+1

а, = шт{Юк — Wj || Юк | > у2, ^ | > У2,Юк = Wj }, — собственные числа оператора ^(А-1)*А-1.

2. Демонстрация метода на примере некоторых дифференциальных уравнений

Пример 1. ДУ второго порядка с нулевыми граничными условиями.

Пусть на отрезке [0,1] задано ДУ второго порядка

у" + Хх(1 + х)2у = 0

с граничными условиями у(0) =0, у(1) = 0 (19)

и спектральным параметром Х.

Вычислим приближенно первые собственные числа соответствующего задаче (19) дискретного оператора T := — d2/dx2, действующего в СГП H = L2 (0,1) с весом ш = x(1 + x)2. Областью определения D(T) оператора T будем считать множество всех функций f со следующими свойствами: f и f' — абсолютно непрерывны на отрезке [0,1],

f" е H, f (0) = f (1) = 0. Функция Грина G(x,£) для (19) равна

G(x,&=GlM = {x(!—x) при x i x (20)

а итерированные функции Грина Gm(x,£), m = 2, 3,..., вычисляются по формулам

Gm(x,0= i t(1+ t)2Gm-i(x, t)G(t, £)dt. (21)

Jo

Тогда для любого m е N справедливы равенства

1 то

gm = x(1 + x)2Gm(x, x)dx = V X-m. (22)

j0 j=1

Для любой функции f е H выполняется включение

(T-1 f )(x) := i1 £(1 + 02G(x, Of (№ е H,

o

причем T-1 — оператор самосопряженный и ядерный.

Пусть в обозначениях теоремы 1.1 имеем n = 14, N = 3. Используя математический пакет Maple 8, вычислим по формулам (22) значения величин gm для m = 1, 214: g1 = 13/60, g2 = 47/2310, g3 = 7687/2882880, g4 = 382625992373/1113144184152000, g5 = 39446435710547/891654113750400000, g6 = 8384922805250828080381/1471322426310265911782400000, g7 = 4426839389513424312551450689/6026389525924218148069532160000000, g8 = 5589545532378812961766855704244096813/5901442328447457656753312650718 9084160000000,

g9 = 51239977144804622644949932535363065403/4195029221247462997029376487808 865075200000000,

g1o = 759507002777652098292162700168590890819461007393/48212608964874426314 1043210580623123194014515200000000000,

g11 = 2359404483552780488094196783337542451760417939089411/116120846314625 29568762209766061820925857387020288000000000000,

g12 = 11173313455733847225213831217292817932312651514453526685260159407517/

426338863159125131412784379635530080440469981396609583143100088320000000000000,

g13 = 8837450932196663395221615652449288784004821435252995086075437313750167/261

4309908891755305823193815925070453260961925924009963833489741578240000000000000,

g14 = 11838429075490236920920329668344069564155935218893108684632790683643

905078675989/2715041885763677027065599707574068370641370526678880822884

8799441896282783744000000000000000.

Теперь по формулам

)к + 1 к

*к(г(14)) = Ц^- (дк - дк-1*1(г(14)) + ... ... + (-1)к+1д1ак-1(г(14У)) ,

114, определим значения коэффициентов разложения многочлена

14 14

К14(г) = Ц(г - г™) = г14 + ^-1)к*к&14))г14-к

г=1 к=1

по степеням г:

а1(г(14)) = 13/60,

а2(г(14)) = 7373/554400,

а3(г(14)) = 44797/117936000,

а4(г(14)) = 2035017710153/178103069464320000,

^ъ{г(14)) = -622116618943/111563762712450048000,

а6Ы14)) = 2770115048994954513497/176558691157231909413888000000,

а7(г(14)) = -36929870683306348900571369/30679801222886928753808527360000000,

а8(г(14)) = 78803308937225845619878884324010943/6744505518225665893432357315

10732390400000000,

а9(г(14)) = -267303169832509254215177374764917908224533/23225527581683304035273 321162164512956940288000000000,

а10(г(14)) =4945131984527706389176668521385814337050066127/422572383623389171560 7854563198587202216067072000000000000,

а11(г(14)) = -135025898885188189136591404502415115083673266918942863/110872 1840612042323225415788463582662000863312697098240000000000000, ^12(г(14)) = 101680115567560511335362746245279683316882431176238433249744262497/ 7870871319860771656851403931732863023516368887322023073411078553600000000000000, а13(г(14)) = -6246004300148141102835569932720743020601463317708326523398748249214 17487/4486155803658252104792600588127420897795810664885601097938268396548259840 00000000000000,

я14 (г(14)) = 279050144622263212492756805534384695633624272356542069785872016039

27599042351419/183487467079701591083687892964596584248617713593916363975692704

591869969285775360000000000000000.

Остается найти наибольшие по модулю нули г(14), г = 1, 2, 3 N = 3) многочлена Я14(г). Вычислим нули многочлена с точностью до двадцати значащих цифр:

г^4 = 0.13066226939995098241, г214) = 0.10174090216633693808,

г314) = 0.070555731413648684564 + 0.04140679960717700626 г.

Тогда А1 « 1/г14) = 7.6533187781933255419, Л2 « 1/г{1] = 9.8288886643160757003, А3 « \1/гЧ4)\ = 12.223665386780278538.

Для сравнения подсчитаем в том же математическом пакете также с точностью до двадцати значащих цифр нули г^14^, г = 1, 2, 3, многочлена

14 14

г14(г) = Ц(г - ги)) = г14 ^(-1)к*к&Щ)г14~к,

г=1 к=1

к

у которого величины а к (г^ к = 1,..., 14, получены с помощью известных сумм

= £~1 п-2т, т = 1,..., 14: ?1 = 1/6 п2, д2 = 1/90 п4, дз = 1/945 п6, д4 = 1/9450 п8, д5 = 1/93555 п10, д6 = 691/638512875 п12, д7 = 2/18243225 п14, д8 = 3617/325641566250 п16, д9 = 43867/38979295480125 п18, д10 = 174611/1531329465290625 п20, д11 = 155366/13447856940643125 п22, д12 = 236364091/201919571963756521875 п24, д13 = 1315862/11094481976030578125 п26, д14 = 6785560294/564653660170076273671875 п28. Результаты расчетов таковы: д{14) = 0.99999999999999999981 « 1, д2А) = 0.25000000005168208540 « 1/4, д314) = 0.11110689644850172554 « 1/9. Пример 2. ДУ второго порядка. Пусть на отрезке [0,1] задано ДУ второго порядка

— ху'' — у' = Ху (23)

со спектральным параметром Х при следующих условиях:

у(х) ограничено при х ^ 0, у(1) = ау'(1), а < 0. (24)

Вычислим приближенно первые собственные числа соответствующего задаче (23)-(24) дискретного оператора Т := — хС2/¿х2 — С/Сх, действующего в СГП Н = 12(0,1). Областью определения ^(Т) оператора Т будем считать множество всех функций ] со следующими свойствами: f и — абсолютно непрерывны на отрезке [0,1], f'' € Н и ] удовлетворяет условиям (24). Так как общее решение у(х) = С1 1п х + С2 уравнения ху'' + у' = 0 удовлетворяет условиям (24) только при С1 = С2 = 0, то функцию Грина задачи (23)-(24) можно построить. Используя классический алгоритм построения функции Грина для обыкновенного дифференциального уравнения, получаем

<**.()={—а—1п х прп х I х, <25»

Итерированные функции Грина От(х,£), т = 2, 3,..., вычисляются по формулам

От(х,0= I 0т-1(х,1)0(1,^)Л, (26)

0

а величины дт = Х-т, т € М, — по формулам

= 1 з

1

0

Для любой функции ] € Н выполняется

дт = / (х,х)Сх. (27)

0

(T-1f)(x) := f1 G(x,Ofe H, Jo

Ю

причем T-1 — оператор самосопряженный и ядерный.

Пусть в обозначениях теоремы 1.1 имеем n =10, N = 3, а коэффициент а = = -2. Используя математический пакет Maple 8, вычислим по формулам (27) значения величин gm для m = 1, 2,..., 10: 91 = 3, g2 = 13/2, 93 = 49/3, g4 = 46381/1152, g5 = 2974409/30000, g6 = 5698504979/23328000, g7 = 14047522954729/23337720000, g8 = 222334503969854178703/149887160156160000, g9 = 6066616118633769975455041/1659503797511454720000, g1o = 1245964529230180141911670656643/1382919831259545 60000000000.

Теперь по формулам

afc(z(10)) = (gk - gk-i*i(z(10)) + ...

... + (-1)k+1g1ak-1(z(10))) ,

k =1,..., 10, определим значения коэффициентов разложения многочлена

1o 1o

Rw(z) = Ц(г - z(10)) = z10 + J2(-1)k*k(z(10))z10-k i=1 k=1

по степеням z:

V1(z{10)) = 3,

a2(z(10)) = 5/4,

a3(z(10)) = 7/36,

a4(z(10)) = 1373/4608,

v5(z(w)) = -4624861/14400000,

a6(z(10)) = 7245629299/13996800000,

a7(z(10)) = -14109051352063/15682947840000,

a8(z(10)) = 88015200461466682717/53959377656217600000,

a9(z(10)) = -29505049170430792202543603/95587418736659

79187200000,

a10(z(10)) = 1198940069229117456280656417553/1991404557 01374566400000000000.

Остается найти наибольшие по модулю нули z(10\ i = 1, 2, 3 (N = 3) многочлена Rw(z). Вычислим нули многочлена с точностью до двадцати значащих цифр: z(W) = 2.4846927558978783678, z(,10) = 1.4689293728344004055,

z(3W) = 0.84416177739472678183 + 0.85308302576771913565 i. Поэтому

A1 « 1/z^0 = 0.40246424739087552032,

Л2 « 1/z{2 0) = 0.68076792424024520626, Л3 « \1/г{3-0)\ = 0.83322925698119051815. Пример 3. ДУ четвертого порядка.

Пусть на отрезке [0,1] задано ДУ

yIV = Лу (28)

со спектральным параметром Л при следующих условиях:

у(0) = у'(0) = у(1) = у'(1) = 0. (29)

Вычислим приближенно первые собственные числа соответствующего задаче (28)-(29) дискретного оператора T := d4/dx4, действующего в СГП H = L2(0,1). Областью определения D(T) оператора T будем считать множество всех функций f со следующими свойствами: f, f', f" и f— абсолютно непрерывны на отрезке [0,1], fIV G H и f удовлетворяет условиям (29). Так как общее решение у(х) = A + Bx + Cx2 + Dx3 уравнения у1У(x) = 0 удовлетворяет условиям (29) только при A = B = C = D = 0, то функцию Грина задачи (28)—(29) можно построить. Используя классический алгоритм построения функции Грина для обыкновенного дифференциального уравнения, получаем

G(x,i) ■: =

(/ - е+e/2)x2 - (1/6 - е/2+e/3)x3, x < s,

(x/2 - x2 + x3/2)s2 - (1/6 - x2/2 + x3/3)s3, S < x. ( )

Обозначим Gi(x,S) = G(x,S). Итерированные функции Грина Gm(x,S), m = = 2, 3,..., вычисляются по формулам (26), а величины

то

gm = J2 Л-т, m G N, j=i

— по формулам (27). Для любой функции f G H выполняется

(T-1f )(x) := С G(x,S)f (S)dS G H, Jo

при этом T-1 — оператор самосопряженный и ядерный.

Пусть в обозначениях теоремы 1.1 имеем n = 10, N = 3. Используя математический пакет Maple 8, вычислим по формулам (27) значения величин gm для m = 1, 2,..., 10: gi = 1/420, g2 = 71/17463600, g3 = 127/15891876000, g4 = 8888809/577525394365920000, g5 = 5531357972003/186548556725555536512000000, g6 = 9024810395470865153/157823664615296385349655531520000000, g7 = 31819713096302426007079/288429955856466451899124455736934400000000, g8 = 4379566150249020222072150460433/205730856943059855256495674110765714 48514969600000000,

g9 = 33273744056335125414393185334507899/809931169447911151408163862733874 70864721591664640000000000,

gio = 260354468095473442493585776955238051195474471151/32837073793852799024 2317987268852231939504863344857808879222784000000000000.

Теперь по формулам

)к+1 к

ак(г(10)) = Ц^ (дк - дк-Ю,(г(10)) + ... ... + (-1)к+1д1*к-1&10))) ,

к =1,..., 10, определим значения коэффициентов разложения многочлена

10 10 Кю(г) = Ц(г - г^) = г10 + £(-1)4(г(10))г10-к

г=1 к=1

по степеням

а1(г(10)) = 1/420,

а2(г(10)) = 1/1247400,

азЫ10)) = 1/13621608000,

а4(г(10)) = 68279/495021766599360000,

яъ(г(10)) = -1352376941/12113542644516593280000000,

а6(г{10)) = 2168372481467254171/15556904083507786555894616678400000000,

а7(г(10)) = -672972514719122256366031/3621238095777936303593507541777211392000

000000,

а8(г(10)) = 56938203815719273102784483526769/2168991034628259616847054392767787 10414343536640000000000,

а9(г(10)) = -23398247817298222516043710720851157/603977243502585172907230766210 11799701978101212774400000000000,

а10(г(10)) = 83812050406328148987299045416936363589743344919/1419720543440106310 75355129789768464985609455622629699721311027200000000000000.

Остается найти наибольшие по модулю нули г(10\ г = 1, 2, 3 (М = 3) многочлена Дю(г). Вычислим нули многочлена с точностью до двадцати значащих цифр: г(10) = 0.0019482600314335492384, г(,10) = 0.0011858996632523459593,

г(310) = 0.00067059786247871874709 + 0.00067434387437251048742 г.

Отсюда

Х1 « 1/г({ 0) = 513.27850690659089656, Л2 « 1/^2°) = 843.24165946509032318, А3 « \1/г310)\ = 1051.5013685381798182.

Литература

[1] Гельфанд И.М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Успехи мат. наук. 1956. Т. 11. № 1.

[2] Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Докл. Акад. наук СССР. 1953. Т. 88.

[3] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 448 с.

[4] Дикий Л.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке // Изв. Акад. наук СССР. Сер. Матем. 1955. Т. 19. № 4.

[5] Дикий Л.А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма — Лиувилля // Докл. Акад. наук СССР. 1957. Т. 116. № 1.

[6] Дородницын А.А. Избранные научные труды: в 2 т. М.: Научное издание, 1997. Т. 1. 396 с.

[7] Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // Успехи мат. наук. 1952. Т. 7. № 16.

[8] Дубровский В.В., Малеко Е.М. О сходимости формально-собственных чисел // Вестник Челябинского ун-та. Сер. Мат.-мех. 1999. № 1.

[9] Дубровский В.В., Малеко Е.М. О сходимости формально-собственных чисел некоторых вполне непрерывных операторов // Дифференциальные и интегральные уравнения: тез. докл. междун. науч. конф. Челябинск: ЧелГУ, 1999.

131 с.

[10] Малеко Е.М. К обоснованию метода вычисления собственных чисел ядерных операторов с помощью теории следов // Фундаментальные и прикладные исследования: сб. науч. тр. преподавателей и аспирантов Магнитогорского госпединститута — 1998 / под ред. В.А. Кузнецова, Н.И. Платонова. Магнитогорск: МГПИ, 1998. Вып. 2. 99 с.

[11] Малеко Е.М. К обоснованию метода вычисления собственных чисел ядерных операторов с помощью теории следов // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 4.

[12] Малеко Е.М. Об оценках формально-собственных чисел ядерных операторов // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 12.

[13] Малеко Е.М. О новом методе нахождения собственных чисел несамосопряженных ядерных операторов // Вестник МаГУ. 2002. Вып. 2-3.

[14] Малеко Е.М. К нахождению определителей возмущения линейных ограниченных операторов // Вестник МаГУ. 2004. Вып. 6.

[15] Малеко Е.М. К обоснованию существования полиномов, построенных с помощью следов высших порядков ядерных операторов // Проблемы мат. образования в пед. вузах на современном этапе: тез. докл. конф. вузов Уральской зоны. Челябинск: ЧГПУ, 1998. 98 с.

[16] Малеко Е.М. К вычислению собственных чисел ядерных операторов с помощью теории следов // Математическое моделирование и краевые задачи: тез. докл. восьмой межвуз. конф. Самара: СГТУ, 1998. 108 с.

[17] Малеко Е.М. Достаточное условие существования собственных чисел некоторых вполне непрерывных операторов // Проблемы физ.-мат. образования в пед. вузах России на современном этапе: тез. докл. всерос. науч.-практической конф. Магнитогорск: МГПИ, 1999. 116 с.

[18] Малеко Е.М. О сходимости формально-собственных чисел к собственным числам некоторых вполне непрерывных операторов // Современные подходы в формирования будущих специалистов по физ. и мат. дисциплинам: тез. докл. региональной науч. конф. Уфа: БГПИ, 1999. 118 с.

[19] Малеко Е.М. Задача восстановления спектра ядерных операторов по следам его натуральных степеней // Обратные и некорректно поставленные задачи: тез. докл. междунар. конф. М.: Изд-во МГУ, 2001. 96 с.

[20] Малеко Е.М. О вычислении собствен-ных чисел слабо несамосопряженных дискретных операторов // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели: тез. докл. междунар. конф. Челябинск: ЧелГУ, 2002.

132 с.

[21] Маркушевич А.И. Теория аналитических функций: в 2 т. М.: Наука, 1967. Т. 1. 488 с.

[22] Корректность метода А.А. Дородницына приближенного вычисления собственных значений одного класса краевых задач / В.А. Садовничий [и др.] // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 4.

[23] Садовничий В.А., Дубровский В.В., Малеко Е.М. Об одном способе приближенного нахождения собственных чисел оператора Штурма — Лиувилля // Докл. РАН. 1999. Т. 369. № 1.

[24] Садовничий В.А., Подольский В.Е. Об одном классе операторов Штурма — Лиувилля и приближенном вычислении первых собственных значений // Мат. сб. 1998. Т. 89. № 1.

[25] Садовничий В.А., Подольский В.Е. О вычислении первых собственных значений оператора Штурма — Лиувилля // Докл. РАН. 1996. Т. 346. № 2.

[26] Шкарин С.А. О способе Гельфанда — Дикого вычисления первых собственных значений оператора Штурма — Лиувилля // Вестник МГУ. Сер. 1. Мат.-мех. 1996. № 1.

Поступила в редакцию 14/Х/2010; в окончательном варианте — 14/Х/2010.

ABOUT THE METHOD OF TRACES OF RESOLVENTS CALCULATED PRECISELY

© 2011 E.M. Maleko2

In the article it is ascertained that there are some methods of calculation of eigenvalues of ordinary boundary problems for the equations of mathematical physics. If the positive degree of a resolvent is the kernel operator this can take advantage at calculation of a spectrum of a boundary problem. It is mentioned that similar results are reached by A.A. Dorodnitsyn

Key words: spectrum, discrete operator, Hilbert space.

Paper received 14/X/2010. Paper accepted 14/X/2010.

2Maleko Evgeniy Mikhailovich (emalekoarambler.ru, mgtuSmagtu.ru), the Dept. of Mathematics, Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk, 455000, Russian Federation.