О формулах следов одного класса операторов Штурма-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.43

Раздел МАТЕМАТИКА

О ФОРМУЛАХ СЛЕДОВ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

© А. Ш. Шалданбаев

Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауезова.

Казахстан, 160012 г. Шымкент, пр. Тауке-хана, 3.

Тел.: +7 (7232) 21 19 67.

E-mail: [email protected]

В настоящей работе с помощью метода отклоняющегося аргумента вычислен след обратного оператора Штурма—Лиувилля с коэффициентом специального вида:

Г oy(0) + M) = 0,

y(x), jbq(0)+ q(1)y(0)+ b/(0)+oq(0)+ q(1)y(1)+ oy'(1) - 0,

где q(x) — непрерывно дифференцируемая комплекснозначная функция, а а, в — комплексные числа. Ключевые слова: ядерный оператор, след, собственные значения, формулы следов.

Ly --у(x)+

q (1 - x)- q (x) + [q(x) + q(1 - x)]2 2 4

1. Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля:

- у" + д(х)у = 1у, у(0) = у(р) = 0 ■

Если обозначить через G(x, у) функцию Грина этой задачи, а через Хп - соответствующие собственные числа, то очевидны следующие равенства:

ХЛ1 - |G(x, x)dx,

0

pp

ХЛ - Я g(x

, y)G( y, x )dxdy,

00

ppp

ХЛЛ - jjjG(x , y G(y, z G(z, x)dxdydz.

(1)

(Смысл этих равенств заключается в том, что следы интегрального оператора, обратного к Штурм-Лиувиллевскому, и его итераций выражаются через собственные числа.) С давних пор известен приближенный способ вычисления собственных чисел, основанный на применении равенств (1). Для некоторых конкретных уравнений этот способ восходит еще к Эйлеру (см. также работы А. А. Дородницына [1], П. Л. Капицы [2] и Н. Н. Неймана [3]). Чтобы вычислить с помощью равенств (1) собственные числа, нужно знать функцию Грина уравнения. Если учесть, что начиная с некоторого достаточно большого номера собственные числа могут считаться известными (равными соответствующим асимптотическим значениям), то для определения первых собственных чисел мы получим алгебраическую систему уравнений. Этот метод бывает иногда весьма удобен, но у него есть и недостаток: он требует знания функции Грина, т. е. оператора, обратного к данному дифференциальному. Обратный же оператор выписывается лишь неявным образом, т. е. через решения дифференциального уравнения; поэтому и указанный способ вычисления собственных чисел может быть применен сколько-нибудь эффективно, только если соответствующие решения достаточно хорошо изучены, т. е. лишь для уравнений некоторых простых типов (например, для гиперболических уравнений). В то же время сам дифференциальный оператор задается явно и весьма просто; поэтому естественно пы-

таться вычислить следы не интегрального оператора, обратного к этому дифференциальному, а самого дифференциального оператора и его итераций, т.е. писать равенства следующего вида:

(2)

На первый взгляд, однако, равенства (2) представляются совершенно бессмысленными: суммы в левых частях этих равенств являются расходящимися, откуда ясно, что и дифференциальные операторы в правых частях не имеют конечных следов. Именно поэтому ранее и использовались всегда лишь интегральные операторы. Но после того, как в работах Ж. Адамара, М. Рисса, Л. Шварца и некоторых других авторов были даны многочисленные примеры успешной «регуляризации» расходящихся выражений, естественно попытаться придать смысл и равенствам (2), регуляризовав расходящиеся ряды в их левых частях и бесконечные следы в правых частях. Впервые такая попытка была реализована И. М. Гель-фандом и Б. М. Левитаном в работе [4]. Эта работа послужила началом целого цикла работ, посвященных формулам следов. Результаты начального этапа исследований были подытожены в работе Л. А. Дикого [5]. В дальнейшем эта тема получила систематическое развитие в работах В. А. Садовничего [6] и его учеников [7]. Автором этих строк также получены некоторые результаты в этом направлении [8].

Настоящая работа посвящена первоначальному подходу. Оказывается, для некоторого, довольно узкого класса, операторов Штурма-Лиувилля можно найти формулы следов. Основная идея состоит в том, что оператор Штурма-Лиувилля факторизуется с помощью уравнения первого порядка с отклоняющимся аргументом. В результате, удается выразить функцию

2

000

Грина оператора Штурма-Лиувилля непосредственно через коэффициенты уравнения, минуя его решение.

2. Вспомогательные предложения.

ЛЕММА 2.1. Если в пространстве Н = 12(0,1) определен оператор А:

Ау = у'(1 - х) + #(1 - х)у(1 - х), (3)

Б(А) = {у(х)е С1 (0,1)оС[0,1],«у(0) + ^у(1) = о}, (4)

где q(x) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [0, 1] комплекснозначная функция, а, в - произвольные комплексные числа, то оператор А2 имеет следующий вид:

А2 у = -у'(х)+ Ь(1 - х)- q(x)]y'(x)+[q(x)q(l - х)- д'(х)]у(х),

Г ау(0) + Ру(1)=0,

+ Ру' (0) + «?(1)у(1) + оу'(1) = 0

ЛЕММА 2.2. Операторы А2у = -у (х)+ Ь(1 -х)- q(x)]y/(х)+^(х^ - х)- q,(х)]у(х),

оу(0) + ру(1) = 0,

+Ру' (0)+°?(1)у(1)+ау'(1) = 0,

Lz = - 2 "(х) +

д (1 -х)-д (х) + {^^1 + д(}-х)2

:(х),

Г «(0)+ре(1) = 0,

!рд(1) + д(0) г(0) + Р (0)+«д(0)+ д(1) г(1) + « '(1)= 0, (5)

подобны между собой.

ЛЕММА 2.3. Если д(х) - непрерывная комплекснозначная функция, удовлетворяющая условию

1

| д(1 )и ае0 + Рф 0,

то существует обратный оператор А'1 к оператору (3)+(4), который имеет вид

у(х) = А~1!(х) = } с(х *)/(* У*-

где

0(х, я) =

І g(^)d^+ | g(^)d^ - І g(^)d^+Іg(^)d^

_ав(* -1 + х) • ех 0 - Р@(1 - х - *) • е 1-1 х

І g(^) ^

ае0 +Р

(6)

{0;

\х) = г х 0 - функция Хевисайда.

Доказательства этих лемм не сложны и сводятся лишь к простым вычислениям, поэтому здесь не приводятся.

Формула (6) в дальнейшем будет играть главную роль, с ее помощью мы получим функцию Грина оператора Штурма-Лиувилля специального вида. Главное отличие рассматриваемых операторов Штурма-Лиувилля от классических операторов Штурма-Лиувилля состоит в том, что значения коэффициента уравнения присутствуют также и в граничном условии (5), а также коэффициент д(х) имеет специальный вид.

3. Основные результаты.

Рассмотрим в пространстве £2(0,1) оператора Штурма-Лиувилля:

g/(l- х)- q/(x) + [q(x)+ q(l- х)]2

у(х), (7)

Г ау(0) + /у(1) = 0,

у(0)+ру^(0)+^д01±д(11 у(1)+«/(!) = 0, ( )

где д(х) - непрерывно дифференцируемая комплекснозначная функция, а а, в - комплексные числа.

Если имеет место неравенство

І g(^)d^

а-е0 + Р ф 0,

(9)

то существует обратный оператор L"1, который имеет конечный след, т. е. относится к ядерному классу. Оказывается, след этого оператора явно вычисляется через коэффициенты уравнения Штурма-Лиувилля. Имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3.1. Если q(x) - непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию (9), то существует обратный оператор L"1, который имеет конечный след, вычисляемый по формуле

Sp(L-1 )= К2 (1,1)-

Іg(^)d^

а • е0

-Р2

Іg(^)d^

ае0 +Р

- + І x[q(x)+ g(l - х )]К2 ( х, х)^х,

(10)

и

2

4

0

2

4

2

где

-І [g(< )+g(1-< )]—

К2 (х, х)= К2 (0,0)- е 0 +

Іg(^)d^

-Р2

-І [g(^)+g(1-^)]d^

Іg(^)d^

ае0 +Р

—.

(11)

К2 (0,0) =

Р2

І g(^)d^

ае0 +Р

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Обратный оператор L"1 является интегральным оператором с ядром

1

К2 (х, у )= І 0(х, *)• 0(я, у)—5,

0

где

1 1-*

1 1

0(х, *) =

І gft)dx+ І g(x— - І gft)dX+J g(x)—x

аб(* -1 + x)• ех 0 - Р0(1 - х - *)• е

1-* х

Іg(x)dx

а е0 +Р

в(х) - функция Хевисайда, поэтому след оператора L" вычисляется по формуле

1

Sp(L—) = І К2 (х, х—х.

0

Вычислим функцию К2(х, х). Поменяв местами аргументы функции G(s, х), имеем

1 1-;

1 1

0(я, х) =

|g(5)—Х+ |g(5— - |g©&5+Jg(5—

а9(х -1 + *)• е’ 0 — Р®(1 - * - х) • е

І g(^1)—1

а •е0 +Р

0(х, ’)• 0(’, х)=а 29(’-1 + х)е

11-’ 11-х Л ( 1111

І + І +І + І к(х— І-І-І +І+І |g(x)dx

х 0 я 0 ) + |^2 е^ 1- х 1-’ я х

І g(x)dx

а е0 +Р

К2 (х, х) = І 0(х, ’)G(’, х)—я =

а • І е

1-х

■ 11-’ 1 1-х ,

1 І І + І + І + І

х 0 ’ 0

Ж + Р2 • І і

(11 1 1 1-х !і+І- І- І

’ х 1-’ 1-х

І g(x— ае0 +Р

Вычислим производную функции К (х, х):

—К2 (х, х) = —х

1 х 11-х

І+І + І + І І І +І-І- І |g(x)—х

а2е ^ 0 1-х 0 ) - Р2е х х 1_х1 +

1111 +

2 V 1-х х х 1-х

а2 І[- q(x)- q(l - х)[ е

1 1-’ 1 1-х л

І + І + І + І 1х 0 ’ 0 ' ™ °

І g(^)—х

ае0 +Р

-Р

—я + Р1 І [- g(x)- q(l - х)] е

1

І g(^)—х

1 1 1 1 +

І+І- І - І | g(^)—х

—я

ае0

+Р

а е 0 g Р Ь(х)+ q(l - x)]• К2 (х, х).

— Ы(х)+ q(l - х )]К2 (х, х) = аеі-------- 1 ’ У ’

Іg(^)—х а е0 + Р

(12)

І

е

2

2

0

2

/

0

0

/

1-х

2

Таким образом, К (х, х) является решением

следующего дифференциального уравнения

1

| д(х—

—К2 (х, х)+ [д(х)+ д(1 - х)] • К2 (х, х) = « е,----Р.

—х | д(Х—

а е0 +Р

Решим это дифференциальное уравнение

1

| д(х)—х

К2(х,х) • е

| [д(< )+д(1-<)]—

а

• е 0 — р | [д(' )+д(1-')]—

| д(х)—х

а е0 +р

К2 (х, х)

хх [д(( )+д(1—I)—

— К2 (0,0) =

{д(Х— „ х I [д(Х)+д(1-Х)]—Х

ае0 —р г 0

-------1----------------1е

| д(х)—х 0

а-е0 +р

К2 (х, х)= К2 (0,0)-е

—|[д(1 )+д(1—1 )— а -е 0

| д(х)—х

а-е0 —Р г 0

-------1---------- Iе

| д(х)—х 0

а-е0 +р

х —| [д(х)+д(1—х)]—х

| е 0 —I,

р2 1 II+1— I

К2 (0,0) = --------ГР-----— • I е 1 01—1 Ж =

|д(х)—х

ае0 + р

Р2

|д(х)—х

а^е0 + р

1 || + | |д(Я—£

• | е —5 =

Р2

| д(х)—х

а е0 +р

1 I [д(х)+д(1—х)]—х

• Г е1 —5.

С помощью интегрирования по частям, получим

1 1 $р(ь— )= | К2 (х, х)—х = хК2 (х, х ) 0 — | х<

0

1

| д(Л)—х

|д(х)—х

ае0 — р

|д(х)—х

ае0 +р

— [д(х) + д(1 — х)]К2 (х, х)

—х =

К2 (1,1) — -

ае0

— Р

| д(х)—х

ае0 +р

+ | х[д(х) + д(1 — х)]К2 (х, х)—х = К2 (1,1) —

| х[д(х) + д(1 — х )]К2 (х, х)—х .

|д(х)—х

ае0 — р

| д(х)—х

а^е0 +р

Вычислим постоянную К (1,1):

—2| д(х)—х а е 1 д(Х— — р 1 —I [д(х)+д(1—х)]—х К2(1,1) = К2(0,0)• е 0 +ае----------------------------------------------р• |е 1 —I =

|д(х)—х

а^е0 +р

|д(х)—х

р2

—| [д(х)+д(1—х)]—х

|д(х)—х

ае0 +р

1 1 J ^ 1

1 I[д(Х)+д(1—Х)]—Х —2|д(Х— а е0 — р | е I

I д(х)—х 0

ае0 +р

Таким образом, формула следа имеет вид

Iд(х)—х

) =

р2

Iд(х)—х ае0 +р

1 о 1 -I [д(х)+д(1—х)]—х I д(х)—х

1 I[д(х)+д(1—х)]—х -2|д(х)—х а^е0 — р Iе I — а е0 — р

I д(х— 0

ае0 +р

I д(х)—х ае0 +р

Iх[д(х) + д(1 — х)]К2 (х,х)—х .

2

2

0

0

+

0

2

2

2

+

2

В частности, при д(х)+ д(1 — х) = 0, получим )-0^,

(а+р)

что согласуется с ранее известными формулами.

1

Допустим, что а = в = 1 и I д(Х)—Х = 0, тогда

0

1

, \ 1 1 I [д(х)+д(1—х)]—х

Sp(L— )= — I е5 —я +

4 0

1

I х[д(х) + д(1 — х)]К2 (х, х—х,

0

где

—I [д(< )+д(1—< )]—

К2 (1,1) = К2 (0,0) • е 0 .

Тогда

1 1 —I

Iх[д(х) + д(1 — х)]К2(х,х)—х = К2(0,0)|х^е 0 •[д(х)+ д(1 — х)]—х,

—я,

р2 1 I [д©+д(1Ч)—

К‘ (0,0)=(а+р2' Iе

или по первоначальной формуле

х 1

1 —I )+?(1— I )]dI р1 1 I [д(х)+д(1—х)]—х

Sp(L~1 )= К2(0,0)Iе 0 —х =---— • Iе‘ ds•

■' (а+ р) :

-І )]—

1—х =

1 х ( я Л2

1 1 І МЙ^1-?)]'*х 1 -І Ь^^1-^* 1 ^ -І ;

—я • І е

<—х = — 4

—я

Следовательно, имеет место также следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3.2. Если д(х) - непрерывно дифференцируемая комплекснозначная функция, удовлетворяющая условию

І q(t — = 0,

(13)

то след антипериодической задачи Штурма-Лиувилля

АУ = - у"(х)+

ь/(1 - х)- g'(x) + [g(x)+g(l - х)]2

2 4

у(0) + у(1) = 0, у'(0) + у'(1) = 0

вычисляется по формуле

у(х) = у(х)

( г Л2

1 -І ЬЙ)^1-?)^

І е 0 —я

0

(14)

ЛИТЕРАТУРА

1. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // УМН. VII. Вып. 6. 1952. С. 3.

2. Капица П. А. Вычисление сумм отрицательных четных степеней корней бесселевых функций // ДАН. 77. 1951. №4. С. 561.

3. Нейман Н. Н. О реккурентных формулах для степеней сумм нулей бесселевых функций // ДАН. 1956. 108. С. 190.

4. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // ДАН. 88. 1953. №4. С. 593-596.

5. Дикий Л. А. Формулы следов для операторов Штурма-Лиувилля // УМН. XIII. Вып. 3. 1958. С. 111-143.

6. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы нулей одного класса целых функций // ДАН СССР. 176. 1967. №2. С. 1082-1085.

7. Садовничий В. А., Подольский В. Е. Следы операторов // УМН. 61. 2006. №5. С. 89-156.

8. Шалданбаев А. Ш. Формулы следов для периодической и антипериодической задач Штурма-Лиувилля // Вестник МГУ. Серия 1. Математика-механика. 1982. №3. С. 6-11.

0

0

І

е

0

е

е

4

0

0

Поступила в редакцию 15.04.2009 г.