CC BY
16
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 1 (2017). С. 18-28.
УДК 517.984
ОБ ИНДЕКСЕ ДЕФЕКТА НЕКОТОРЫХ ВЕКТОРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА
И.Н. БРОЙТИГАМ, К.А. МИРЗОЕВ, Т.А. САФОНОВА
Аннотация. В работе изучаются операторы, порожденные на луче [1, линейным матричным симметрическим квазидифференциальным выражением второго порядка 1[у] = — (Р(у' — Ry))' — R*P(у' — Ry) + Qy, где эрмитовы матриц-функции Р-1(х) и Q(x) и комплекснозначная матричная функция R(x) порядка п с элементами Pij (х), Qij (х), rij (х) <Е Ljoc[1, (г, j = 1, 2,... ,п). Построен минимальный замкнутый симметрический оператор Lq, порожденный этим выражением, в гильбертовом пространстве +гс>), и для него установлен аналог теоремы С.А. Орлова об индексе дефекта линейных скалярных дифференциальных операторов.
Ключевые слова: Квазипроизводная, квазидифференциальное выражение, минимальный замкнутый симметрический оператор, дефектные числа, асимптотика фундаментальной системы решений.
Mathematics Subject Classification: 34A30, 34L05, 47E05
1. Введение
В работе [1] С.А. Орловым был найден класс линейных симметрических дифференциальных операторов с вещественными аналитическими коэффициентами, дефектные числа которых определяются как число корней некоторого явно выписываемого полинома, лежащих в левой полуплоскости, а именно была приведена следующая теорема.
Теорема 1. Пусть функции Ро,Р1, ... ,Рт определены на множестве [1, и удовлетворяют условиям:
(I) ро,р1,... ,Рт измеримы, принимают вещественные значения и при любом Ь € (1,
ь ь
У ы-1 < I < (к = 0,1,...,т - 1), 1 1
(II) ро(г),р1(г),... ,рт(г) — аналитические функции при |г| > х0 > 1 и
+ Е'
Pk(z) = Z
_ .,2k+v
ак + У a^z 3
3 = 1
(к = 0,1,..., т; |z| > xq > 1),
I.N. Braeutigam, K.A. Mirzoev, T.A. Safonova, On deficiency index for second order vector DIFFERENTIAL Operators.
© Бройтиглм И.Н., Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. 2017.
Первый автор поддержан грантом Министерства образования и науки РФ и Германской службы академических обменов (DAAD) по программе "Михаил Ломоносов"(№ 1.728.2016/DAAD), второй автор поддержан грантом РНФ (№ 14-11-00754), третий автор поддержан Минобрнауки РФ (грант Президента РФ № МК-3941.2015.1).
Поступила 24 мая 2016 г.
где ат = 0, а и > 0 — целое число.
Тогда максимальное число линейно - независимых решений уравнения
2т
х) := Ро(х)у + -^\Pi(x)y' + ^ [Р2(х)у" + ...
И f И
+ ± (рт-1(х)у(т-1) + А(Рт(х)у(т)) ах \ ах
)
+ «0,
принадлежащих С2[\, равно:
1) при V > 0 числу корней полинома
т к— 1 т(г, V) = ^ ак\\ к=1 ]=0
лежащих в области < 0, и не зависит от X. При этом спектр любого самосопряженного расширения соответствующего оператора дискретный.
2) при V = 0 числу корней полинома Р2т(х, 0) — Л, лежащих в области < 0, и при невещественном X равно т.
(>+2 Г-(')
Пусть далее, функции р0(х),р\(х),... ,рт(х) представляются в виде
Рк (х)
X
2к+и
(ак + гк (х)) (к = 0,1,...,т - 1), рт(х)
х
2т+и
i- + гт(х)
где V — неотрицательное (необязательно целое) число; а0,а\,..., ат — вещественные числа, = 0; а г0,г\,... ,гт — вещественные функции на [1, такие, что
при некотором ж0(> 1)
!rfc (ж)1 —< (^ = 0,1,...,га);
х
XQ
ii) все корни полинома F2m(z, v) при v > 0 и полинома F2m(z, 0) — Л различны.
Ф.А. Неймарк в работе [2], в частности, установила, что утверждения 1) и 2) теоремы 1 остаются справедливыми, если в ней условие (I) оставить без изменений, а условие (II) заменить условиями i) и ii).
Позднее в совместной работе Р.Б. Периса и А.Д. Вуда [3] была заново открыта теорема 1 для частного случая рк(х) = акx2k+v (к = 0,1,... ,т), где v — неотрицательное целое число, и подробно изучен полином F2m(z, v). Этим методом они, в частности, установили, что существуют положительные числа К и v такие, что индекс дефекта минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного выражением
1б[у] = —(x6+v у(3))(3) + Kxv у,
равен (5, 5), тем самым уточнив результат Р.М. Кауффмана (см. [4]) о том, что индекс дефекта этого оператора не (3, 3).
Позже результаты работы [3] вошли в книгу [5], в которой также были рассмотрены и некоторые дифференциальные операторы, порожденные выражениями нечетного порядка частного вида, и исследованы соответствующие им полиномы. По-видимому, работы [1] и [2] так и остались незамечанными авторами работы [3] и книги [5].
В работе К.А. Мирзоева [6] исследуются задачи об индексе дефекта и характере спектра минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного квазидифференциальным выражением 1п произвольного (четного или нечетного) порядка п с комплексно-значными коэффициентами на множестве [1;+го). Полученные результаты аналогичны утверждениям теоремы Орлова, при этом условия, налагаемые на коэффициенты выражения 1п, того же характера, что и условие (I) теоремы 1, а условие г) видоизменено так, что выполнение условия ii) не требуется.
В совместной работе И.Н. Долгих (И.Н. Бройтигам) и К.А. Мирзоева [7] была рассмотрена аналогичная задача как на полуоси, так и на интервале (0,1], т.е. был существенно расширен класс операторов, для которых утверждения теоремы С.А. Орлова остаются справедливыми.
Наша цель — построение спектральной теории дифференциальных операторов, порожденных в пространстве С2п[1, симметрическими (формально самосопряженными) выражениями вида
1[у] = -(Р(у' - Ру))' - Р*Р(у' - Ру) + <2у,
где Р^,Р — комплекснозначные матриц-функции порядка п (п € М), определенные на луче [1, такие, что Р — невырожденная, Р и Q — эрмитовы матрицы, а элементы
матриц-функций Р-1, Q и Р измеримы на [1, и суммируемы на каждом ее замкнутом конечном подынтервале. Также нашей целью является установление аналога теоремы Орлова и построение примеров реализации случаев предельной точки и предельного круга для таких операторов
Ы = -СРа у')' + г((Ооу)' + Ооу') + г[у,
где всюду производные понимаются в смысле теории распределений, а Р0, О,0 и 'Р1 — эрмитовы матриц-функции порядка п с измеримыми по Лебегу элементами, такие что V-1 существует и |Щ||, ЦГ-1Ц, ||Ро-1|Ш^1|2, |Щ-1||112о||2 € С11ос[1) +«,).
Корректное определение выражения /, а также минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного им, приводятся в параграфе 2.
Часть результатов данной работы без доказательств была опубликована в [8].
2. Квазипроизводные и квазидифференциальные операторы.
Индексы дефекта
2.1. Пусть I := [1, и пусть Р(х), Q(x) и Р(х) — квадратные матриц-функции порядка п (п € М) определены на множестве I, при этом Р(х) — невырожденная, Р(х) и Q(x) — эрмитовы матрицы при х € I и таковы, что выполнено
Условие А. Комплекснозначные функции р^, д^ и г^ (г,] = 1,2,...,п) — элементы матриц Р-1, Q и Р соответственно — определены, измеримы на множестве I и суммируемы на каждом его замкнутом конечном интервале, т.е. р^€ С>}ос(1 )•
Обозначим символом АС1ОС(1) - множество вектор-функций у(х) = (у1(х),у2(х),... , уп(х))г (Ь — символ транспонирования) с локально абсолютно непрерывными компонентами на I и определим первую квазипроизводную заданной вектор-функции у € АС\Ос(1), полагая
У[1] := Р(У' - ЯУ).
Далее считая, что вектор-функция у[1] уже определена и у[1] € АС1ОС(1), определим вторую квазипроизводную вектор-функции у, полагая
у[2] := (у[1])' + Р*у[1] - Яу}
где * — символ сопряжения, и квазидифференциальное выражение, полагая
1[у](х) := -у[2](х), х € I.
Таким образом,
1[у] = -(Р(у' - Ру))' - Р*Р(у' - Ру) + Яу, (1)
а множество вектор-функций V := {y(x)| у(х),у[1^(х) € АС1ОС(1)}, очевидно, является областью определения этого выражения. Из условия (А) следует, что для любой вектор-функции у(х) € "Р выражение 1[у](х) существует п.в. на I, а координаты 1[у] локально интегрируемы. Кроме того, для любых двух вектор-функций € "Р справедлива следующая лемма — векторный аналог тождества Грина.
Лемма 1. Пусть Р, Q и К - квадратные матриц-функции порядка п, удовлетворяющие перечисленным выше условиям на I. Тогда для любых двух вектор-функций и,ь Е Г> и для любых двух чисел а и ¡3 таких, что 0 < а < ¡3 < то, справедлива формула Р
У {(1[и](х),ь(х)) — (и(х),1[ь](х))}дх = [и(х),ь(х)](@) — [и(х),ь(х)](а), (2)
а
п _
где (д,К) = ^ д3к3 — скалярное произведение векторов д и к, а форма [и, у] определена
3=1
равенством: [и,у](х) := (м[1](ж), у(х)) — (и(х), ^[1](ж)).
Справедливость леммы 1 для частного случая выражения /, когда Р(х) = 1п (1п -единичная матрицы порядка п), К(х) = а(х), Q(x) = —а2(х), где а(х) — заданная симметрическая матриц-функция порядка п с вещественными элементами такая, что элементы матрицы а2(х) локально интегрируемы на I, установлена в [9]. Доказательство, приведенное там, без существенных изменений переносится на случай выражения I вида (1).
Пусть далее С2п (I) - пространство классов эквивалентности всех комплекснозначных измеримых вектор-функций у, у которых сумма квадратов модулей компонент интегрируема по Лебегу на I .В литературе, посвященной спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, хорошо известна процедура, с помощью которой определяется минимальный оператор Ь0, порожденный выражением 1[у] в гильбертовом пространстве С?п(1). А именно, обозначая через О'0 множество всех комплекснозначных финитных на I вектор-функций из "Р таких, что 1[у] Е С2п(1), с помощью таких же рассуждений, как в скалярном случае (см., например, [10], стр. 133), и с использованием формулы Грина (2) устанавливается, что множество П'0 является всюду плотным в С2п(1), а формулой Ь'0у = 1[у] на множестве Р'0 выражение I определяет симметрический (незамкнутый) оператор в С?п(!) с областью определения И^. Символами Ь0 и обозначим замыкание этого оператора и его область определения соответственно. Благодаря этому, по аналогии с общей концепцией симметрических скалярных квазидифференциальных выражений, везде далее выражение I будем называть симметрическим (формально-самосопряженным) квазидифференциальным выражением, порожденным посредством матриц Р, Q и К.
Пусть далее А — комплексное число и ^А = 0. Через К\ и обозначим области значений операторов Ь0 — XX и Ь0 — XX соответственно, а через М\ и Ау — ортогональные дополнения пространств и в С?п(!). Пространства Ы\ и А^ называются дефектными пространствами, числа п+ и п—, равные их размерностям (п+ = Ал, п— = Ад) — дефектными числами оператора Ь0 в верхней и нижней открытой комплексной полуплоскости соответственно, а пара (п+,п—) — индексом дефекта оператора Ь0.
Рассуждениями, аналогичными работам [11] и [12], можно установить, что числа п+ и п— совпадают с максимальным числом линейно независимых решений уравнения
1[у] = Ху, (3)
принадлежащих пространству С?п(!), когда параметр А берется из верхней (^А > 0) или нижней (^А < 0) полуплоскости соответственно, удовлетворяют двойному неравенству п < п+,п— < 2п и п+ = 2п тогда и только тогда, когда п— = 2п. Кроме того, случай п+ = п— = 2п реализуется тогда и только тогда, когда все решения уравнения (3) при всех А Е С принадлежат пространству С2п(1). Используя аналогию со спектральной теорией скалярных операторов Штурма-Лиувилля на полуоси, иногда говорят, что для выражения 1[у] (оператора Ь0) имеет место случай предельной точки, если п+ = п— = п, если же п+ = п— = 2п, то говорят, что для выражения 1[у] (оператора Ь0) имеет место случай предельного круга (см., например, [11]).
Уравнение (3) равносильно системе дифференциальных уравнений 1-го порядка
у' = (Р — Л)у, (4)
где y = ( y[i]j , матрицы F и Л порядка 2п имеют вид
= (R Р-1\ (О О
F = iq —r* , Л= {мп о
а О и 1п, как обычно, — нулевая и единичная матрицы порядка п соответственно.
Равносильность уравнений (3) и (4) понимается в том смысле, что если у(х) является векторным решением системы (3), то вектор-столбец y является решением (4) и наоборот, если 2 п-компонентный вектор-столбец y — решение системы (4), то вектор у, составленный из первых п компонент вектора y — решение уравнения (3).
Замечание 1. Условия на элементы матриц Р, Q и R обеспечивают справедливость теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы (4), поставленной в произвольной точке множества I, и являются самыми общими, обеспечивающими это (см. [13], Ch. 1, Th. 1.2.3). А из равносильности систем (3) и (4) следует, ее справедливость и для системы (3).
Используя терминологию из теории операторов, порожденных линейными дифференциальными выражениями с негладкими коэффициентами, иногда говорят, что квазипроизводные у[0^(:= у), у[1], у[2] и квазидифференциальное выражение 1[у] порождены матрицей F.
2.2. Пусть Vo, Qo и V1 — эрмитовы матриц-функции порядка п с измеримыми элементами такие, что V-1 существует и ||Р—1||, Н^с-ЧШ^Ч!2, ll^cT 1|11120||2 локально интегрируемы по Лебегу. Пусть далее р := V1 + iQo и р* := V1 — iQo. Рассмотрим блочную матрицу
Т= ( К1! V-1
Т p*V0-1p —р* V0-1
Используя свойства матричных норм и эрмитовость матриц-функций V0, Q0 и Р1, легко установить, что все элементы матрицы Т принадлежат пространству С]ос(1).
Посредством матрицы Т определим квазипроизводные у[0], у[1], у[2], полагая, как и ранее,
ущ = у, у[1\ = п у' — ру, у[2\ = (у [1])' + p*V-1y[1^ + P*V-1py.
Далее, применяя замечание 1, заключаем, что для уравнения
—у[2] =
справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши, поставленной в произвольной точке .
Если предположить, что элементы матрицы V0 также принадлежат С]ос(1) (||"Р0|| Е С]ос(1)), то легко заметить, что и элементы матрицы р будут локально интегрируемы на . Исходя из этих предположений, можно доказать, что если ' трактовать как операцию взятия производной в смысле теории распределений, то в выражении [2] можно раскрыть все скобки, и для него получим формулу
у[2] = (Vo у')' — i((Qoy)' + Qoy') — V[y.
Таким образом, выражение 1[у] (см. (1)) в терминах обобщенных функций записывается в виде
1\У] = —(Voy')' + i((Qoy)' + Qoy') + V1 у, (5)
а оператор L0, определенный ранее, можно трактовать как оператор, порожденный этим выражением в гильбертовом пространстве СП(1). Такая трактовка оператора с коэффициентами-распределениями позволяет включить его в класс операторов, порожденных квазидифференциальными выражениями с локально суммируемыми коэффициентами в пространстве С2п(1), и строить спектральную теорию этого оператора.
Отметим, что корректное определение оператора Штурма-Лиувилля со скалярным потенциалом-распределением первого порядка, т.е. оператора, порожденного в пространстве С2(а,Ь) выражением вида
Ы = -у" + (x)y,
где а — комплекснозначная функция такая, что а2 Е С]ос(а,Ъ), впервые, по-видимому, было дано в нескольких работах А.М. Савчука и А.А. Шкаликова (см. [14], [15]), а для векторного аналога этого выражения, когда а(х) является квадратной симметрической матриц-функцией порядка п с вещественными элементами такой, что элементы матрицы а2 локально интегрируемы на полуоси в [9].
В частности, если Q0(x) = О, то векторное квазидифференциальное выражение (5) примет вид
l[y] = -(V0j/)' + V[y.
3. Аналог теоремы С.А. Орлова
3.1. Далее нам понадобится следующая лемма (см. [16], [17, гл. III, задача 35, стр. 120]). Лемма 2. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
U' = (А + G(t))U, (6)
где А — постоянная матрица, каноническая форма которой имеет жордановы клетки Jk, к > 1, а максимальное число строк для всех клеток Jk равно г + 1. Предположим, что
<х>
JtrIIG(t)lldt< то. (7)
i
Пусть Zj — характеристический корень матрицы А и пусть уравнение у' = Ау имеет, решения вида
ez' Чк с + 0(eZj Чк-1),
где с — постоянный вектор. Тогда уравнение (6) имеет решение ф, такое, что
ф(Ь) = eZjЧк(с + о(1)), при t ^
3.2. В дальнейшем предполагается, что матриц-функции Р-1, Q и R — коэффициенты выражения 1[у] (см. (1)) удовлетворяют следующему условию
Условие B. При всех х > 1 и некотором вещественном и > 0
Р-1(х) = x-v-2(Po + Pi(x)), Q(x) = Xй(Qo + Qi(x)), R(x) = x-1(R0 + Ri(x)),
где P0, Q0, R0 и P1(x), Q1(x), R1(x) — эрмитовы постоянные матрицы и матричные функции порядка п соответственно. Пусть det Р0 = 0 и, кроме того,
/lri^ х
-(m(x)ll + ШаО|| + llR1(x)ll)dx <
х
1
где г + 1 — максимальное число строк для всех жордановых клеток Jk, к > 1, канонической формы матрицы
д__( Po + 21п Г0
( Ro + 2 In Po \
\Qo - \x(v)In -R*0 - (и + 1 )lj ,
где x(v) = 0 при и > 0 и х(0) = 1. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть элементы Р-1, Ц и Р матрицы Р удовлетворяют условию (В) и пусть I — квазидифференциальное выражение, порожденное этой матрицей (см. (1)). Тогда максимальное число линейно независимых решений уравнения (3), принадлежащих пространству С^(1), равно
1) при V > 0 числу корней полинома Т(г, и) := det(А^ — г 12П) (с учетом их кратности), лежащих в области < 0, и не зависит от X;
2) при и = 0 числу корней полинома Т(г, 0) := det(А0 — г 12П) (с учетом их кратности), лежащих в области < 0, и при невещественном X равно п.
При этом в случае и > 0 спектр любого самосопряженного расширения оператора Ь0 является дискретным.
Доказательство. Из условия (В) следует, что элементы матрицы Р удовлетворяют условию (А) п. 2.1. Поэтому по формуле (1) корректно определено квазидифференциальное выражение 1[у], порожденное этой матрицей, а также минимальный замкнутый симметрический оператор Ь0, а в утверждениях 1 и 2 теоремы 2, очевидно, речь идет об индексах дефекта этого оператора.
Пусть V > 0. Обозначим через В блочно-диагональную матрицу
'х-1/21п О
В = 1 О х"+1/21п
В системе (4) сделаем замену у = ВУ, где У — новая неизвестная 2п-компонентная вектор-функция. В результате система (4) примет вид
У' = (В-1РВ — В-1ЛВ — В-1В')У.
Простые вычисления показывают, что матриц-функции В-1 РВ, В-1 ЛВ и В-1 В' в блочном представлении имеют вид:
В-1В' = х-1 , ) , В-1ЛВ = х-1 (хХ О)
О (у+1/2)!пу \Хх-Чп О/
1 1 / ХР х"+2Р-1"
В-1рВ = х-\х-Ц Х—хР
Таким образом, неизвестная вектор-функция V удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
хУ' = (А„ + В (х))У, (8)
где Аи — числовая матрица, определенная выше, а В(х) — матриц-функция
В(х) = ( Р1(х) Р1(х) \ В(х) = ^(х) — £!п —Щ(х)) .
Полагая далее х = еь, заметим, что система (8) приобретает вид (6), где и(Ь) = У(еь), А = А„ и С(г) = В(е').
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
и' = Аии (г).
Фундаментальная матрица решений этой системы имеет вид Ф = е1.
Пусть теперь г — характеристический корень матрицы Аи алгебраической кратности г 0 и геометрической кратности I. Обозначим через к (г = 1, 2... I) размерность жорда-новых клеток, соответствующих числу г. Отметим, что 2п-компонентные вектор-столбцы фундаментальной матрицы Ф, соответствующие -й жордановой клетке имеют вид
е*скг, Ре^скг + О(Р-1 е*), 3 = 1,..., кг — 1, (9)
где с^ — собственный вектор матрицы А, соответствующий этой жордановой клетке (более подробно см. [17, Гл. III, §4]).
Пусть ^^^ , гДе Хг^ = 1, 2) — вектор-столбцы размерности п, является собственным вектором, соответствующим собственному значению г матрицы Аи, т.е.
(Аи - г12п)(^ = О.
1
Ч
Таким образом, вектора Х1 и Х2 удовлетворяют системе уравнений
(
(На + (2 - г)1п)Х1 + РаХ2 = О (-Щ -(и + 1 + г)1п)Х1 + ЯаХ2 = О.
Учитывая, что ае! Ра = 0 и исключив из этой системы неизвестный вектор Х2, получим, что вектор Х1 удовлетворяет уравнению
(-Щ - (и + 2 + ^)1п - даР0-1(По + (2 - г)1п)Х1 = О. (10)
Вектор Х1, очевидно, ненулевой, кроме того, по предположению, геометрическая кратность корня г равна /, поэтому ранг матрицы-коэффициента системы (10) равен п - I (I Е {1, 2 ...,п - 1}). Таким образом, эта система имеет I линейно-независимых решений, т.е. характеристическому корню г соответствует I собственных векторов вида ^^1
причем первые п координат этих векторов одновременно не равны нулю.
Учитывая (В), заметим, что система (8) сводится к системе (6) и при этом выполнено (7), т.е. все условия леммы 2. Далее, применяя эту лемму для каждой функции из списка (9), получаем, что система (6) имеет фундаментальную матрицу решений, состоящую из вектор-столбцов, представимых при £ ^ то в виде
1ке*\скг + о(1)) (к = 0,1,...кг - 1).
Выполняя обратную замену х = ег и учитывая, что у = ИУ, получаем, что вектор-столбцы фундаментальной матрицы уравнения (3), соответствующие характеристическому корню г матрицы А, имеют вид
1 1пк х(скг + о(1)), (11)
где с^ — ненулевые вектора, состоящие из первых п компонент векторов ск1.
Функции, представимые в виде (11), принадлежат пространству С2п(1) тогда и только тогда, когда
-км
1
а это справедливо тогда и только тогда, когда Кг < 0. Кроме того, при и > 0 многочлен Т(г, V) не зависит от Л. Таким образом, дефектные числа оператора Ь0 совпадают и равны числу корней уравнения Т(г, V) = 0, удовлетворяющих условию Кг < 0.
Далее можно показать, что функция Грина любого самосопряженного расширения оператора Ьа является ядром Гильберта-Шмидта и мероморфной функцией от Л. Из этого следует дискретность спектра любого самосопряженного расширения оператора Ьа. Пусть теперь V = 0. Покажем, что
(Аа(Х) - (-г)12п) = (А0(Х) - х12п) . (12)
Действительно, справедливо равенство
ае! (Аа(Х) - гЬп) =
= ¿е!(-К*0 - (1/2 + г)1п) х ¿е!(Ко + (1/2 - г)1п - Ра(-П*0 - (1/2 + г)1п)-1(Яа - Х1п)).
С другой стороны, используя свойства Р0,Ц0, Р0, транспонированных к ним матриц и их определителей, несложно заметить, что и для
det ( А0(X) — (—г)I 2п)
также справедлива приведенная выше формула. Таким образом, выполняется равенство (12).
Пусть X невещественное число и число корней уравнения
det (А0(\) — гЬп) = 0, (13)
удовлетворяющие условию К г < 0, с учетом их кратности, равно к. Из тождества (12) следует, что число корней уравнения
det(Аo( X) — —) Ьп) = 0 (14)
таких, что < 0 с учетом их кратности равно 2п — к, т.е., для дефектных чисел п+ и п-выполняется неравенство п+ + п- < 2п. Учитывая теперь, что п+ > п,п- > п, получаем п+ = п- = п. Теорема 2 доказана.
3.3. Пусть теперь выражение 1[у] определяется равенством
= —(Г0 у')' + г((0.0 У)' + а0У')+ Т1 у,
(см. (5) во введении) и предположим, что коэффициенты Т0(х), 'Р1(х), 0,0(х) этого выражения удовлетворяют следующему условию.
Условие Б'. При всех х > 1 и некотором вещественном и > 0
Т-1(х) = х--2(Р00 + Р1(х)), Т1(х) = х»+1(Р° + Р1(х)), 00(х) = х-+1(Ц00 + ф0(х)),
где , Р®, фо и Р^(х), Р^(х), — постоянные эрмитовы матрицы и эрмитовы
матричные функции порядка п соответственно. Пусть det Р0 = 0 и, кроме того,
I ^тт + ЦР!(х)112)с1х < г = 0,1, 1
(11Ф1(х)11 + Ш2)<1 х < +ю,
1
где г + 1 — максимальное число строк для всех жордановых клеток , к > 1, канонической формы матрицы
р0фО + 21п и0
1 » :1 А* Г>0 ± А* Г>0
( Р0Ф0 + 11а Р0 \
\—Ф0Р^ф0 — XxM 1п —Ф0Р0 — (*> +1) ч
где х(и) = 0 при и > 0 и х(0) = 1 , а ф0 = Р0 + , ф*0 = Р0 — гЦ°0.
Из условия (В') следует, что коэффициенты Р = То = <р и Р = V- <р в
выражении (1) в данной ситуации удовлетворяют условию (В) пункта 3.2 и, таким образом, и здесь теорема 2 остается в силе. Применяя ее, получаем, что справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть матричные коэффициенты V-1, и 0,0 выражения 1[у] (см. (5)) удовлетворяют условию (В'). Тогда для уравнения 1[у] = Xy справедливы утверждения 1 и 2 теоремы 2.
примеры
4.1. В ходе доказательства теоремы 2 мы фактически получили асимптотические формулы для некоторой фундаментальной системы решений уравнения (3) при х ^ то, причем эти асимптотические формулы справедливы и без предположения об эрмитовости коэффициентов выражения 1[у], и они, несомненно, представляют и самостоятельный интерес. Ниже мы приводим формулировку соответствующего результата для одного простейшего случая выражения (5), а именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть и > 0, Р0 — постоянная матрица такая, что ае! Р0 = 0, матриц-функция Р1(х) удовлетворяет условию ^^(ЦР^ж) || + ||А(^)||2) Е С1 (I) и X — ненулевое комплексное число. Тогда векторное уравнение
(хи+2Роу' У + (х"+1Р1(х))' у = Ху
имеет фундаментальную систему решений у^ (] = 1, 2,..., 2п), которую при х ^ то можно представить в виде
Уз = Ч + o(1), Уп+] = х-(»+1)(сп+] + о(1)), где сз и (] = 1, 2,... ,п) — линейно независимые системы п компонентных векторов.
Особо отметим, что теорема 4 обеспечивает справедливость асимптотических формул, приведенных выше, для векторного дифференциального уравнения 1[у] = Ху, где
1[у](х) = -(Ру')' + Яу, х Е I, (15)
Р(х) = хи+2Ро и Q(x) = (хи+1 Р1(х))'. Таким образом, коэффициент в выражении (15) может сильно осциллировать.
4.2. Приведем некоторые конкретные примеры реализации различных дефектных чисел для оператора Ь0. В выражении (1) положим п = 2 и К(х) = О. Тогда оно запишется в виде (15), а матриц функции Р(х) и Q(x) удовлетворяют условию (В) пункта 3.2. Простые вычисления показывают, что
Т(z, и)
(-+ю2— (>+2)'-т
х sp(Po • Qo) +
+det(Po • Qo).
Многочлен Т(z,u), очевидно, является произвольным квадратным трехчленом отно-
сительно
D2 - Ж2
поэтому число корней этого многочлена, лежащих в левой
полуплоскости, за счет выбора элементов постоянных матриц Р0 и Q0 может быть сделано любым из чисел 2, 3 и 4. Таким образом, легко построить примеры реализации случаев минимального, не максимального и максимального индекса дефекта для оператора Ь0. Так, например, полагая вр(Ро ■ Q0) = 0 и ае^0 = 0, получаем, что для оператора Ь0 реализуется случай предельной точки. Пусть теперь зр(Р0 ■ Q0) = -2 и ае1(Р0 ■ Q0) = 1, тогда индекс дефекта оператора Ь0 равен (4, 4) при 0 < и < 1 и (3, 3) при и > 1.
2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Орлов С.А. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов // ДАН СССР. 1953. Т. 92. № 3. С. 483-486.
2. Неймарк Ф.А. Об индексе дефекта дифференциального оператора // УМН. 1962. Т. 17, Вып. 4. С. 157-163.
3. R.B. Paris, A.D. Wood On the C2(I) nature of solutions of n— th order symmetric differential operator and McLeod's conjecture // Proc. Roy. Soc. Edinburg. 1981. V. 90A. P. 209-236.
4. R.M. Kauffman On the limit - n classification of ordinary differential operators with positive coefficients // Proc.London Math.Soc. 1977. (3), 35. P. 496-526.
5. R.B. Paris, A.D. Wood On the C2(I) nature of solutions of n— th order symmetric differential operator and McLeod's conjecture // Proc. Roy. Soc. Edinburg. Asymptotics of high order differential equations. Pitman Res.Notes in Math.Ser. 1986. V. 129.
6. Мирзоев К.А. О теореме Орлова об индексе дефекта дифференциальных операторов // ДАН. 2001. Т. 380, № 5. С. 591-595.
7. Долгих И.Н., Мирзоев К.А. Индексы дефекта и спектр самосопряженных расширений некоторых классов дифференциальных операторов // Математический сборник. 2006. Т. 127, № 4. С. 53-74.
8. Бройтигам И.Н., Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Аналог теоремы Орлова об индексе дефекта для матричных дифференциальных операторов второго порядка // Математические заметки. 2015. Т. 97, № 2. С. 314--317.
9. Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими потенциалами в пространстве вектор-функций // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, № 3. С. 105-119.
10. W.N. Everitt, L. Marcus Boundary Value Problems and Sympletic Algebra for Ordinary Differential and Quasi-Differentrial Operators // AMS. Mathematical Surveys and Monographs. 1999. V. 61. 187 p.
11. R.L. Anderson Limit-point and limit-circle criteria for a class of singular symmetric differential operators // Canad. J. Math. 1976. 28. № 5. P. 905-914.
12. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. 2-е изд., перераб. и доп. М.:Наука. 1969. 526 c.
13. А. Zettl Sturm-Liouville theory. MS, Mathematical Surveys and Monographs, vol.121. 2005. 330 p.
14. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математические заметки 1999. Т. 66. В. 6. С. 897-912.
15. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями // Труды ММО. 2003. Т. 64. С. 159-212.
16. S. Faedo Proprieta asintotiche delle soluzioni dei sistemi differenziali lineari // Annali di Matematica Pura ed Applicata (4), 26. 1947. P. 207-215.
17. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Издательство ЛКИ. 2007. 472 c.
Ирина Николаевна Бройтигам, САФУ им. М.В. Ломоносова, Набережная Северной Двины, 17, 163002, г. Архангельск, Россия E-mail: [email protected]
Карахан Агахан оглы Мирзоев, МГУ им. М.В. Ломоносова, Ленинские Горы, 1, 119991, г. Москва, Россия E-mail: [email protected]
Татьяна Анатольевна Сафонова, САФУ им. М.В. Ломоносова, Набережная Северной Двины, 17, 163002, г. Архангельск, Россия E-mail: [email protected]
