CC BY
8
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 78-88.
УДК 517.928
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
H.H. КОНЕЧНАЯ, К.А. МИРЗОЕВ
Аннотация. В работе найден главный член асимптотики некоторой фундаментальной системы решений одного класса линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка ту = Ху на бесконечности, где Л - фиксированное комплексное число. При этом рассматривается специальный класс матриц типа Шина - Зеттла, и ту квазидифференциальное выражение, порожденное матрицей из этого класса. Накладываемые на первообразные коэффициентов квазидифференциального выражения ту - т.е. на элементы соответствующей матрицы - условия не связаны с их гладкостью, а лишь обеспечивают определенный степенной рост на бесконечности этих первообразных. Таким образом, коэффициенты выражения ту могут и осцилировать. К рассматриваемому классу, в частности, относится обширный класс дифференциальных уравнений произвольного (четного или нечетного) порядка с коэффициентами-распределениями конечного порядка. Используя известное определение произведения двух квазидифференциальных выражений с негладкими коэффициентами, в работе также предлагается метод, позволяющий получить асимптотические формулы для фундаментальной системы решений рассматриваемого уравнения в случае, когда левая часть этого уравнения представляется как произведение двух квазидифференциальных выражений. Полученные результаты применяются к спектральному анализу соответствующих сингулярных дифференциальных операторов. В частности, предполагая симметричность квазидифференциального выражения ту, по известной схеме определяется минимальный замкнутый симметрический оператор, порожденный этим выражением в пространстве интегрируемых с квадратом модуля по Лебегу функций на [1, +ж) (в гильбертовом пространстве С2 [1, +ж)), и вычисляются индексы дефекта этого оператора.
Ключевые слова: квазипроизводная, квазидифференциальное выражение, главный член асимптотики фундаментальной системы решений, минимальный замкнутый симметрический оператор, дефектные числа.
Mathematics Subject Classification: 34Е05, 34L05
1. Введение
Пусть элементы матрицы F = (fjk) - комплекснозначные функции j,k = 1, 2 ... ,m, m> 1 - определены, измеримы на интервале (а,Ь), — ж ^ а < b ^ и удовлетворяют следующим условиям:
1) fjk = 0 почти всюду на (а, Ь) при 2 ^ j + 1 < к ^ ma fj,j+1 = 0 почти всюду на (а,Ь) при 1 ^ j ^ т — 1;
2) функции fjk локально интегрируемы по Лебегу на (а, Ь) при всех 1 ^ j,k ^ т, т.е. fjk интегрируемы по Лебегу на любом отрезке [a,ß] С (a,b) (fjk Е С^ос(а,Ъ)).
n.n. konechnaya, к.a. mlrzoev, asymptotics of solutions to a class of linear differential equations.
© Конечная H.H., Мирзоев К.A. 2017.
Первый автор поддержан грантом РНФ № 17-11-01215.
Поступила 25 мая 2017 г.
Определим квазипроизводные (0 ^ j ^ т — 1) заданной функции у посредством матрицы ^полагая у[0] := уж
У[3] := (f)-1[(уЬ-1])' — £ & У[к-1] ]' 3 = 1' — 1' W
k=l
при условии, что ytfc-1] (k = 1, 2, . . . ) уже определены и являются абсолютно непрерывными функциями на каждом компакте [а,0] С (a,b) ( y[k-1l] е ACioc(a,b)). Определим также квазидифференциальное выражение ту посредством матрицы F, полагая
m
ту := гт[(у[т-1])> — £ U/-1]]. (2)
k=1
Естественная область определения Т>(т) выражения т - это множество всех комплеке-нозначных функций у, для которых существуют локально абсолютно непрерывные квазипроизводные y[j] до (га — 1)-го порядка включительно, и очевидно, что ту е £loc(a,'b) для любого у е V(t),
Рассмотрим дифференциальное уравнение
ту = Ау' (3)
где А е C - параметр. Это уравнение равносильно системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка
y' =(F + Л)у, (4)
где у - вектор-столбец у := colon(y[0\y[1\... ,у[т-1]), а элементы квадратной матрицы Л = (Xij) размерности m определяются равенствами \m1 := i-m\w := 0 для всех остальных значений г и j. Равносильность скалярного уравнения (3) и системы (4) понимается в том смысле, что если у является решением уравнен ия (3), то у = colon(yi°0] ,у[1\ ... ,у[т-1]) (у = у[0]) является решением системы (4), и наоборот, если у = colon(y0,у1,... ,ут-1) -решение системы (4), то у = у0 - решение уравнения (3) и у^ = y[k] (к = 0,1,.. .т — 1),
Отметим, что условие 1) позволяет посредством матрицы F формулами (1) и (2) определить квазипроизводные функции у еТ>(т) и скалярное линейное квазидифференциальное выражение ту (порядка га), а условие 2) обеспечивает справедливость теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений (4), поставленной в произвольной точке промежутка (а, Ь). Таким образом, при выполнении условий 1) и 2)
уравнения (3),
1) 2)
матрицами типа Шипа - Зеттла, и класс этих матриц обозначают символом Zm(a,b) (см., нанр., [1], Section I, р.8, или [2]) или символом Sm(a,b) (см. [3]). Определения ква-зипроизводых и квазидифференциального выражения, приведенные здесь, взяты из этих работ.
В дальнейшем предполагается, что а = 1 и b = В параграфе 2 настоящей работы определяется подкласс матриц из Zm[1, и порожденные ими квазидифференциальные уравнения вида (3), исследуемые в данной работе. В параграфе 3 доказана теорема об асимптотике некоторой фундаментальной системы решений этого класса уравнений на бесконечности. В параграфе 4, следуя работе [2] (см. также [4]), определяется произведение двух квазидифференциальных выражений и предлагается метод, позволяющий получить асимптотические формулы для решений уравнений вида (3) в случае, когда левая часть этого уравнения представляется как произведение двух выражений из класса, определенного в параграфе 2. В параграфе 5, налагая дополнительные ограничения на матрицу F, которые обеспечивают симметричность (формальную самосопряженность) выражения ту
80
Н.Н КОНЕЧНАЯ, К.А. МИРЗОЕВ
(см, [1], Section I, р. 10), определяем минимальный замкнутый симметрический оператор, порожденный этим выражением в пространстве интегрируемых по Лебегу с квадратом модуля функций на [1, (в гильбертовом пространетве С2[1, +го)), и полученные в параграфе 3 результаты применяем для определения индекса дефекта этого оператора. Часть результатов данной статьи без доказательств приведены в работе [5].
2. Построение специальной матрицы F 2.1. Пусть т = 2п. Определим матрицу F2n(=: F), положив
F<
2п
( 0 1 0 . .0 00 .. 0
0 0 1 . .0 00 .. 0
0 0 0. .1 00 .. 0
fn,1 2 fn,3 . . fn,n fn,n+1 0 .. 0
fn+1,1 fn+1,2 fn+1,3 . . fn+1,n fn+1,n+1 1 .. 0
¡2п-1,1 f2n-1,2 ¡2n-1,3 . . f2n-1,n ¡2п-1,п+1 0 . . 1
\ f2n,1 f2n,2 ¡2п,3 . . f2n,n f2n,n+1 0 .. 0
Предположим, что элементы /^матрицы Р2п удовлетворяют условиям 1) и 2) п,1, т.е.
(A) ¡^ е С>}ос[1, при п < ] < 2п, 1 < к < п + 1, и /п,п+1 = 0 п.в. на [1,
Пусть, кроме того,
(B) существуют число V > 0 комплексные числа а^к и комплекснозначные функции (х) такие, что ап,п+1 = 0 и при всех х > 1 элементы имеют вид
¡п,п+1(х) ■ = х 2 У (ап,п+1 + @п,п+1 (х));
/П] (х) ■= х~ п+3-1(ап^ + рпз (х)), ] = 1,... п; и+к,п+1 (х) ■= х-к(ап+к,п+1 + ¡Зп+к,п+1(х)), к = 1,.. .п; ¡п+к,](х) ■= хп+и-к+3-1(ап+к,э + Рп+к,з(х)), к =1,...п,з = 1,...п.
Обозначим через И ■= <д(<1,<2,..., d2n) диагональную матрицу-функцию с элементами
4(х) ■ =х-к+2, <к+п(х) ■=хп+и-к+1, к = 1,..., п.
Сделав в системе (4) (с ^ = Р2п) замену у = DY, легко установить, что новая неизвестная вектор-функция У удовлетворяет системе уравнений
Y' = (И-1Р2пИ + И-1 ЛИ - ,
где для элементов Д,- матрицы И-1Р2пИ справедливы формулы
= ¿-1 !и<з, ЬЗ = 1 Ъ... 2Щ а все элементы матрицы И-1 ЛИ равны нулю, кроме элемента в левом нижнем углу, равного х-1(-1)п\/хи. Кроме того,
D-lD'
113 1,
-п + 2,п + и - ^,п + и- ^+ 2).
(5)
Из этих рассуждений легко извлечь, что неизвестная вектор-функция У удовлетворяет системе уравнений
х<— = (А + В (х))Г,
х
где А = А1 + А2 + А3 - постоянная матрица, причем матрица А1 имеет тот же вид, что и Р2п-, с той лишь разницей, что в ней заменены на а^, А2 - диагональная матрица, определяемая равенством
, 1 3 11 3 1
^2 = <д (2, 2 ,...,п - 2, 2 -п - 1J, 2 -П - - 2 -
а Аз - матрица, равная Л (см. (4)) при и = 0 и нулевой матрице при и > 0. Кроме того, в (5) ненулевые элементы bjk (х) матрицы-функции 5 (ж) такие, что bjk (х) = ^к (х) при п < ] < 2п, 1 < к < п + 1, кроме элемента Ь2п,1(х), а
Ь2п,1(х)
{
@2п,1 (х), если V = 0;
/32п>1 (х) + (—1)п\/хи, если V > 0.
2.2. Пусть теперь т = 2п + 1. Определим матрицу Р2п+1 (=: Р), положив
( о
2п+1
о о 1 . .о о оо .. о
о о о . .1 о оо .. о
о о о. .о /п,п+1 оо .. о
/п+1,1 /п+1,2 !п+1,3 . . /п+1,п /п+1,п+1 /п+1,п+2 0 .. о
/п+2,1 1п+2,2 1п+2,3 . . /п+2,п /п+2,п+1 о1 .. о
/2п,1 ¡2п,2 ¡2п,3 . . /2п,п /2п,п+1 оо . . 1
\1'2п+1,1 ¡2п+1,2 ¡2п+1,3 . . /2п+1,п /2п+1,п+1 оо .. о
В рассматриваемом случае будем предполагать, что элементы /^матрицы Р2п+1 удовлетворяют условиям
(A) ¡п,п+1, ¡п+1,п+2, !зк е АоЛ при п + 1 < ] < 2п +1,1 < к < п + 1, и и,п+1 = 0, ¡п+1,п+2 = 0 п.в. на [1, +гс>),
и
(B) существуют число V > 0 комплексные числа (¿к и комплекснозначные функции (ж) такие, что = 0 при ] = п,п + 1 и при всех х > 1 элементы имеют вид
¡п,п+1(х) := х-п-2-2 (ап,п+1 + рп,п+1(х));
¡п+1,п+2 (Х) := X - 2 2 (ап+1,п+2 + @п+1,п+2 }п+1,п+1(х) := х 1(ап+1,п+1 + @п+1,п+1(х));
¡п+1,з(х) := х2 +3-3(ап+1,] + ¡Зп+1,](х)), ] = 1,...п;
}п+1+з,п+1(х) := х2 +п-3-1 (ап+1+^п+1 + 13п+1+з,п+1(х)), ] = 1,...п;
!п+1+],к(х) := х"+п-3+к-1(ап+1+э,к + рп+1+1,к(х)), 3 = 1,...п,к = 1,...п.
Кроме того, теперь элементы ¿к матрицы В := <д(<1,<2,... ,<2п+1) в замене у определим равенствами
Ш
<к(х) := х-к+1, <п+1(х) := ж2, <п+1+к(х) := хи+п-к+2 ,к = 1, 2,
, п.
С помощью такой замены система (4) (с^ = Р2п+1) снова преобразуется к системе вида
Y' = (В-1Р2п+1В + В-1 ЛИ - В-1В')\
для неизвестной вектор-функции У. Заметим, что в этом случае элементы Д,- матрицы В-1 Р2п+1В можно найти, как и прежде, по формулам
Л? = < 1г3<3 ,
1, 2,... 2п + 1,
113<3, г,3 В-1Л В
ного х-1ъ(— 1)п+1Х/хи. Кроме того,
1 3
В-1В' = х-1<д (—, —, у\ 2' 2'
1 и 1 3 1.
,—п +— ,—,П + V--,п + V--,..., V +—).
' 2 2 2 2 2
82
H.H. КОНЕЧНАЯ, K.A. МНРЗОЕВ
Таким образом, и в этом случае неизвестная вектор-функция Y удовлетворяет системе уравнений (5), где А = А1 + А2 + А3, причем матрицы Ai и А3 составляются также, как и в случае т = 2п, с заменой F2n на F2n+i, а матрица А2 имеет вид
. 1 3 1 V 1 3 1 А2 = aq(-,-,... ,п--, —,--п — и,--п — и,...,---и).
2 yv2 2 2 2 2 2 2 '
Кроме того, в (5) ненулевые элементы bjk(x) в В(x) такие, что bj,j+i(x) = ßj,j+i(х) при j = п,п + 1, bjk (х) = ßjk (ж) при п +1 < j < 2п +1,1 < к < п + 1, кроме элеме нта b2n+i,l(x), а
. ) = \ ß2n+i,i(x), если и = 0;
2n+i,l(x) = \ß2n+hi(x) + i(-1)n+l\/xv, если и> 0.
Условие ( С), сформулированное ниже, одинаково и для случая т = 2п, и для случая т = 2п +1. Пусть г +1- это кратность характеристического корня матрицы А наибольшей кратности, и пусть
( С) матрицы А и B(x) таковы, что
сю
jy^x- ||В (x)\\dx< ГО, (6)
i
где ||В(x)|| означает сумму абсолютных величин всех элементов матрицы B(x).
Замечание 1. Матрицы F2n и F2n+i подобраны так, что любое дифференциальное выражение вида
[т/2] [(ш-1)/2]
тУ= £ (ркУ(к))(к) + г £ [(qky(k+i))(k) + (qky(k))(k+i)], (7)
k=0 k=0
где [а] - наибольшее целое число, не превосходящее число а, um = 2п или т = 2п + 1, с достаточно гладкими коэффициентами порождается матрицами такого вида, причем, все элементы этих матриц, кроме обязательно ненулевых элементов (см. вид матриц F2n, F2n+i и условие (А)), равны, нулю, за, возможным исключением элементов побочной диагонали и двух диагоналей слева и справа, от нее, и ненулевые элементы являются, гладкими функциями (подробнее см. [1], Appendix A, pp. 119-124). Более того, матрицы Шина-Зеттла, F2n и F2n+i, построенные в [1] (порождающие выражение (7)), та,ковы, что если отказаться, от гладкости элементов этих матриц и предположить только их локальную интегрируемость, а в формулах (1) и (2) всюду производные трактовать в смысле теории распределений, то в них можно раскрыть все скобки, и тогда, регулярная обобщенная, функция ту из (2) при у Е Т>(т) представится в виде (!) в терминах теории, обобщенных функций. При этом, особо подчеркнем, что от коэффициентов рк и qk в выражении (1) требуется, лишь их локальная интегрируемость (см. [6], [7]).
В работе [3] анонсировано, что широкий класс выражений вида, (1) любого порядка с коэффициентами-распределениями также вписывается, в класс квазидифференциальных выражений, порожденных матрицами Шина-Зеттла, вида, F2n или F2n+i.
Замечание 2. Определение квазипроизводных и квазидифференциального выражения по формулам (1) и (2) посредством матриц F2n и F2n+i позволяет утверждать, что у[з] = у(з) При о < j < п — 1, т.е. элементы этих матриц, отличные от единицы, участвуют только в определении при п < j < т — 1 и ту. Используя это, можно показать, что в случае, когда, матрицы F2n и F2n+i порождают дифференциальное выражение (7), для у Е V(t) выражения pky(0 < к < [т/2]) и qky(k+i (0 < к < [(т — 1)/2\) являются,
регулярными обобщенными функциями. Таким, образом,, при у Е V(r) слагаемые в выражении (1) являются, обобщенными производными регулярных обобщенных функций, а, их
3. Главный член асимптотики решений
3.1. В дальнейшем нам понадобиться следующее утверждение, доказанное в [8] (см, также [9]; [10], гл. III, стр. 120, задача 35; [11], eh, IV, р. 95):
Лемма 1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
V' (t) = (A + R(t))V (t), (8)
где матрица A - постоянная, причем каноническая форм,а, матрицы A имеет жордановы клетки, Jk, k > 1, и максимальное число строк для, всех клеток Jк равно г + 1 (г > 1). Предположим, далее, что
сю
Jtr||R(i)||di< те. (9)
1
A
V'(i) = AV (t) (10)
имеет решение вида
е ztt кС + 0(е zttk-1),
где С - постоянный вектор. Тогда, уравнение (8) имеет решение p, такое, что
p(t) = ezttk (С + о(1)), t^
3.2. Докажем, что справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Пусть элементы, матрицы F удовлетворяют уел,овиям, (A) - (С). Предположим,, что z1, z2,..., zq, zq+1,..., zq+j - все различные характеристические корни, .матрицы, A, причём, z1, z2,..., zq - однократные корн и, при 1 < р < j кратное ть корня zq+p равна гр. Тогда уравнение (3) имеет фундаментальную систему решений у к (х) такую, что при х ^
Ук(х) = ckxZk-1 (1 + 0(1)), k =1, 2,...,q, (11)
и при k = q, q + r^,... ,q + r1 + ... + rj-1
yk+i(x) = ck+ixZq+p-1 (Ых)г-1(1 + о(1)), г = 1,..., rp, если k = q + n + ... + rp-1, (12) где c1, c2,..., cm - произвольные ненулевые постоянные.
Доказательство, Структура матрицы A и при т = 2п, и при т = 2п + 1 (см, параграф 2) такова, что a>j,j+1 = 0 при 1 ^ j ^ т — 1 и ajk = 0 при 2 ^ j + 1 < k ^ т. Поэтому собственный вектор, соответствующий какому-либо собственному значению, однозначно определяется заданием своей первой координаты. Таким образом, геометриче-
A
A
в её канонической форме. Поэтому размерность жордановой клетки в канонической фор-A + 1
A + 1 ( С)
Преобразуем теперь систему дифференциальных уравнений (5), положив х = еь. Тогда эта система примет вид (8), где V(t) = Y(ef), R(t) = В(еь). Кроме того, если матрицы A и В(х) удовлетворяют условию (С), то матрица R(t) удовлетворяет условию (9) леммы 1, Если теперь z1, z2,..., zq- все различные простые характеристические корпи матрицы A, то система уравнений с постоянными коэффициентами (10) имеет решения eZk*Ск,
84
Н.Н КОНЕЧНАЯ, К.А. МИРЗОЕВ
где С к - собственный вектор, соответствующий собственному значению Хк (1 < к < д). Применив далее лемму 1, находим, что система (8) имеет решения вида
е*к*(Ск + о(1)),
Таким образом, сделав обратную замену Ь = Iпх, и учитывая преобразование у = , находим, что система (4) имеет решения, предетавимые в виде
хгкИ(Ск + о(1)), х ^
Следовательно, первая координата этого решения - решение Цк уравнения (3) - представляется в виде (11), причем Ск - первая координата собственного вектора Ск ~ не равна нулю.
Пусть теперь гд+р - характеристический корень матрицы А кратпоети гр. Как нам уже известно, этому характеристическому корню также соответствует только одна жорданова
А
г р и те превосходит числа г+1. Отсюда следует, что система уравнений (10) имеет решения, предетавимые в виде
е ^Сд+Р и е*«+>ЧкСд+р + 0(е *я+*Чк-1), к = 1, 2,..., гр — 1,
где Ся+р - собственный вектор, соответствующий собственному значению zq+p. Далее, применяя еще раз лемму 1 и рассуждая также, как и в случае простого собственного значения, без труда можно установить, что уравнение (3) имеет ровно гр решений, предетавимых в виде (12), соответствующих собственному значению гд+р. Остается рассмотреть совокупность решений уравнения (3), предетавимых в виде (11) и (12), соответствующих всем соб-
А
систему решений этого уравнения. Теорема 1 доказана.
Обозначим через , и) характеристический многочлен матрицы А. Из теоремы 1 следует, что справедливо следующее утверждение:
Следствие 1. Пусть элементы матрицы Р удовлетворяют уел,овиям (А) - (С). Тогда максимальное число линейно-независимых решений уравнений (3), принадлежащих пространству С2[1, равно:
1) при V > 0 числу корней поли нома , и), лежащих в области Вех < 0, и не зависит от А;
2) при V = 0 числу корней полинома , 0) — А, лежащих в области Вех < 0.
( х)
поведение которого определяется, теоремой 1. Изложенное доказательство этой теорем,ы, позволяет получить главный член асимптотики на, бесконечности и некоторых квазипроизводных у^(х) функции у(х). Для этого компонента с номером ] + 1 соответствующего собственного вектора должна, быть отлична от нуля. В частности, если учесть замечание 2, получаем, что асимптотические формулы из теорем,ы, 1 в некоторых случаях можно дифференцировать до п — 1-го порядка включительно.
Замечание 4. В асимптотических формулах из теорем,ы, 1 не участвует матрица-функция В(х) явно, достаточно лишь, чтобы она, удовлетворяла условию (С). Предположим, теперь, что элементы, ¡¡¡к (х) матрицы Р (равной Р2п или Р2п+\) подобраны так,
В( х)
женил ту показывает, что, для, случая т = 2п, если коэффициенты, рк, к = 0,1,...п, и дк, к = 0,1, ...п — 1, удовлетворяют условию (В), то существуют комплексные числа а,к, к = 0,1,... ,п, и Ък, к = 0,1,... ,п — 1, такие, что корни многочлена, , и) совпадают
(при V > 0) с корнями многочлена
п к—1
%2п(%, и) = ао + У^Ак ТТ к=1 j=0
(>+2 Г-(^Ч
п—1 к— 1 о / , 1 \ 2
К-+2){*+£+2Г-]}.
и— 1 4— П \ /
Аналогичное утверждение справедливо и при т = 2п + 1, т.е. существует многочлен д2п+\(г, и) вида
п— 1
д2п+\(г, и) = $2п(г ,и ) + 2г(г + 2) Ъп Д (г + 2) -("""+"+•?)
2 =о 2 2
такой, что собственные значения матрицы А совпадают (при и > 0) с корнями этого многочлена (о .многочленах д2п и $2п+1 подробнее см. [6], [7]).
4. Произведение квазидифференциальных выражений
4.1. В настоящем параграфе квазипроизводные у[з\ квазидифференциальное выражение ту, матрицы Д, А В(х) и многочлены , (см, параграфы 2 и 3) будем снабжать нижним индексом Р, подчеркивая этим, что они строятся по матрице Р. Следуя работам [2] и [4], сначала определим произведение двух квазидифференциальных выражений. Пусть матрицы Т € Zm(а, Ъ), Я € Zl(а, Ъ), т,1 > 1, и
(О М\
\Omxl Т)
Н := | п
уптх1
где М - матрица размерности I х т, все элементы которой равны нулю, кроме элемента в левом нижнем углу, равного 1, а Птх1 - нулевая матрица размерности т х I. Очевидно, что Н € Zт+l (а, Ъ), т.е. матрица Н удовлетворяет уеловиям 1) и 2) параграфа 1, Исходя из определения квазипроизводных и квазидифференциального выражения (см, формулы (1) и (2) параграфа 1), легко установить, что := у,
!$:= Р1д\ 3 = 1,...,1 - 1,
,.И := (,М —Чу п ,[к—1] Ун := (Уд ) - ¿^ д1 кУ<з ,
к=1
¿в
и
У[чЛ := г=1,...,т - 1,
гну := [(УН+т—]- £ ¡ткУН+к—\
т
|-т—1]у £ [1+к— 1]п
н
к=1
Из этих формул видно, что область определения Т>(тн) выражения тн задается равенством
тн) = Ыу € Ъ(Тд)и Тду € Ъ(ТТ)},
и, кроме того,
ТнУ = (Тд у) при у € V( Тн)(= ТТ Тд )) (подробности см, [2], [4]), = н
у' =(Н + Л)у, (13)
86
Н.Н КОНЕЧНАЯ, К.А. МИРЗОЕВ
где теперь у уже неизвестный вектор-столбец с т + /-компонентами, а элементы квадратной матрицы Л = ( Ау) размерности т + I определяются равенствами Ат+д := г-т-1А 1 Ау := 0 для всех остальных значений г и ].
4.2. Пусть теперь матрицы О Е Zl [1, и Те 2т[1, имеют такую же структуру,
Р ( А)
далее и2 > 0 - некоторые постоянные, и элементы д^ и матриц 0 и Т определяются равенствами, аналогичными равенствам из условия (В) параграфа 2 с параметрами их и и2 соответственно.
Определим диагональную матрицу
D
и ■=
( DQ Olxm\
\Omxl xv1D?) ,
и систему (13) преобразуем к виду (5) заменой у = ИуУ, где У - неизвестная вектор-функция с т + I компонентами, т.е. У удовлетворяет системе уравнений
х— = (АН + Вп(х))Т.
Здесь числовая матрица и матрица-функция Ви(х) определяются равенствами
Ли =(0А' f .Bu(x)=(Bf;>
\Omxi А?) \ S(x) B?(x)/
где матрицы Ад, А? и матрицы-функции Bq, B? определяются процедурой, примененной в параграфе 2 (см, уравнение (5)), a S(x) - матрица размерности т х I, все элементы которой также равны нулю, кроме элемента г-m-l\/xUl+l/2 в левом нижнем углу.
Очевидно, подробное описание матриц Du, Аи и Bu(x) зависит от четности или нечет-т
Пусть теперь г + 1 - максимальная размерность жордановой клетки в канонической форме матрицы Аи, и пусть число г и матрица B(x)(= Bu(x)) удовлетворяют условию ( С) (см, (6)), Тогда, также как и в параграфе 3, можно применить лемму 1 и доказать аналоги теоремы 1 и следствия 1 для уравнения (3) в случае, когда т = ти, т.е. для уравнения
т? твУ = ty.
Замечание 5. Можно показать, что характеристический многочлен Fu(z, и2) Аи
Fu(z, Vi, и2) = Fg(z, vi)F?(z + Vi, v2),
а, число r + 1 - это кратность корня наибольшей кратности произведения этих многочленов. В частности, в случае, когда, Q = Т = F (определение матрицы F см. параграф 2) и, соответственно, vi = v2 = v, характеристический многочлен для, квадрата выражения, Тр определяется, равенством
Fи(Z, V) = Ff(z, v)Ff(z + V, и), где, согласно замечанию 4, многочлен FF (z, у) такой что
Ff(z, f) = F2n(z, и) или Ff(z, v) = F2n+i(z, v).
Отметим, что условия vi, u2 > 0 были нужны здесь для краткости изложения - их можно заменить условиями ui, v2 > 0, Кроме того, метод, предложенный в этом параграфе для произведения двух выражений, без особых затруднений обобщается на случай произведения конечного числа квазидифференциальных выражений.
5. Индекс дефекта минимального оператора
5.1. В этом параграфе будем предполагать, что, кроме условий 1) и 2) (см, введение), матрица F удовлетворяет также условию:
3) F = -J-1F* J, где F* - матрица, сопряженная к матрице F, и
J := ((-1)гSi,m+ 1-j) , i,j = 1, 2, ...т,
6гз - символ Кропекера.
Это условие обеспечивает справедливость формулы Лагранжа для квазидифференциального выражения ту (см, (2)), а именно, для любых функций u,v € Т>(т) выполнено равенство
/3 /3
fvru— Ju~V = [",«103) - [МИ, a,fi € (а, Ь),
а а
где
т—1
[u, v](x) = гт ^(-1)m+ 1-Ju[j](х)v[т-1-Л(х),
3=0
а квазипроизводные у1^ (j = 0,1,... ,т — 1) определяются формулами (1),
Следуя хорошо известной процедуре (см., например, [1], Section I, pp. 1-6), определим минимальный замкнутый симметрический оператор L0, порожденный выражением ту в гильбертовом пространстве С2[1, Обозначим через D'0 множество всех комплекено-
значных финитных на [1, функций из Т>(т) таких, что ту € С2[1, В работе
D0
С2[1, а формул ой L'0y = ту на множестве D'0 выражение ту определяет симметрический (незамкнутый) оператор в С2[1, с областью определения D'0. Символами L0 и
D0
мкнутый симметрический оператор L0 в гильбертовом проетранетве С2[1, Поэтому
F
Пусть А - комплексное число такое, что его мнимая часть отлична от нуля (1т\ = 0), Через R\ и Rj обозначим области значений операторов L0 — А1 и L0 — А1 соответственно (I - единичный оператор), а через и A^j их ортогональные дополнения в пространстве С2[1, Пространства Mj называются дефектными подпространствами, соответ-
ствующими числам А и А. Их размерности dim М\ и dim Mj одинаковы в верхней и нижней полуплоскостях. Обозначим п+ = dim М\ и п- = dim Mj при 1тА > 0, Пару (п+, п-) называют индексом дефекта оператора L0. Известно, что числа п+ и п- совпадают с максимальным числом линейно независимых решений уравнения (3), принадлежащих пространству С2[1, когда параметр А берется из верхней (1тА > 0) или нижней (1тА < 0) полуплоскости соответственно. Числа п+ и п- удовлетворяют при т = 2п неравенствам
п <п+,п- <т,
а при т = 2п + 1 - неравенствам
п < п+ < т, п + 1 < п- <т, шли п +1 < п+ < т, п <п- < т.
5.2. Пусть теперь элементы матрицы F (F2n или F2n+ ^ удовлетворяют условиям (А) -( С) и дополнительно условию 3), Тогда, согласно параграфу 3, для уравнения (3) спра-
L0
88
Н.Н КОНЕЧНАЯ, К.А. МИРЗОЕВ
С2[1, Таким образом, следствие 1 - это утверждение об индексе дефекта оператора L0, т.е. справедлива следующая теорема:
Теорема 2. Пусть элементы матрицы F (F2n или F2n+\) удовлетворяют условиям (А) - (С) и условию 3). Тогда, при и > 0 дефектные числа оператора, L0 равны, между собой и равны, числу корней полинома F(z, и) (см,, замечание 4), лежащих в области Rez < 0.
Теорему, аналогичную теореме 2, можно сформулировать и доказать для случая, когда ильных выражений (см, параграф 4, в частности, замечание 5),
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. EverittW. N., Marcus L. Boundary Value Problems and Sumpletic Algebra for Ordinary Differential and Quasi-Differential Operators // Providence, RI: AMS, Mathematical Surveys and Monographs, 1999.61. P.l-187.
2. W.N. Everitt Lecture notes for the Fourth International Symposium on Differential equations and Differential Geometry, Beijing, Peoples' Republic of China (Department of Mathematics, University of Peking), 1986. P. 1-28
3. Мирзоев К. А., Шкаликов А. А. Дифференциальные операторы четного порядка с коэффициентами-распределениями // Математические заметки, 2016. 99, 5. с.788-793.
4. EverittW. N., ZettlA. Products of differential expressions without smoothness assumptions// Quaestiones Mathematicae, 1978.3. P.67-82.
5. Мирзоев К. А., Конечная H. H. Об асимптотике решений одного класса линейных дифференциальных уравнений с негладкими коэффициентами // Математические заметки, 2016. 100, 2. с.312-317.
6. Мирзоев К. А. О теореме Орлова об индексе дефекта дифференциальных операторов // ДАН, 2001. Т.380, №5. С.591-595.
7. Мирзоев К. А., Долгих И. Н. Индексы дефекта и спектр самосопряжённых расширений некоторых классов дифференциальных операторов // Математический сборник, 2006. 197(4). с.53-74.
8. Dunkel О. Regular singular points of a system homogeneous linear differential equations of the first order // Pros. Amer. Acad. Arts Sci.* 1902-03. 38. p. 341-370.
9. Faedo S. Proprieta asintotiche delle soluzioni dei sistemi differenziali lineari omogenei // Annali di Matematica pura ed applicata, 1947. 26, 4. p. 207-215.
10. Коддингтон Э.А., Левинсон H. Теория обыкновенных дифференциальных операторов: Пер. с англ. // М.: Издательство иностранной литературы, 1958. 475 с.
11. Coppel WT. A. Stability and asymptotic behavior of differential equations // Heath mathematical monographs, 1965. 166 p.
Конечная Наталья Николаевна, САФУ имени М.В. Ломоносова, Набережная Северной Двины, 17, 163002, г. Архангельск, Россия E-mail: n. konechnaya@narfи. ги
Карахан Агахан оглы Мирзоев, МГУ имени М.В. Ломоносова Ленинские Горы, 1, 119991, г. Москва, Россия E-mail: mirzoev. karahan@mail. ru
