Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими потенциалами в пространстве вектор-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 105-119.

УДК 517.983.35+517.983.3

СИНГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С НЕГЛАДКИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ

К.А. МИРЗОЕВ, Т.А. САФОНОВА

Аннотация. В работе изучаются операторы Штурма-Лиувилля, порождённые на полуоси дифференциальным выражением 1[у] = — (у' — Ру)' — Р(у' — Ру) — Р2у, где ' означает производную в смысле теории распределений, а Р является вещественнозначной симметрической матрицей с элементами р^ £ Ь2ос(Е+) (г, ] = 1, 2,..., п). Построен минимальный замкнутый симметрический оператор Ьо, порождённый этим выражением, в гильбертовом пространстве С2п(К+). Приведены достаточные условия минимальности и максимальности дефектных чисел оператора Ьо в терминах элементов матрицы Р. Кроме этого установлено, что условие максимальности дефектных чисел оператора Ьо (в случае, когда элементы матрицы Р являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел оператора, порождённого некоторой обобщённой якобиевой матрицей в пространстве 1^.

Ключевые слова: Квазипроизводная, оператор Штурма-Лиувилля, сингулярный потенциал, распределение, обобщённые матрицы Якоби, дефектные числа, индекс дефекта.

1. Введение

Наша цель — построение спектральной теории операторов, порождённых выражением вида

Ы = —(у' — Ру)' — р (у' — Ру) — Р2 у, (1)

в пространстве £^(^+), где п € N, Я+ := [0, +го), Р := (р^)П]=1 — вещественнозначная симметрическая матриц-функция, элементы которой измеримые на К+ функции, удовлетворяющие условию р^ £ Ь1ос(Д+), а С2п(К+) — гильбертово пространство всех комплекснозначных, измеримых п-компонентных вектор-функций, у которых сумма квадратов модулей компонент интегрируема по Лебегу на К+. Выражение (1) известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Ь0 с областью определения Д0 в пространстве С2п(К+). Корректное определение этого оператора мы приведём в параграфе 2.

С другой стороны, пусть теперь ' означает производную в смысле теории распределений, а именно, как обычно под произведение производной р' от скалярной функции р £ ¿¿2ос(Я+) на локально абсолютно непрерывную скалярную функцию ф будем понимать обобщённую

K.A. Mirzoev, T.A. Safonova, The singular Sturm-Liouville operators with nonsmooth potentials in a space of vector functions.

© Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. 2011.

Работа поддержана РФФИ (грант 11-01-00790-а) и АВЦП (проект 2.1.1/10641).

Поступила 14 июля 2011 г.

105

функцию р'ф, определяемую равенством

+<^

(р'ф)(ф) = - j р(ФфУ

0

для любой бесконечно дифференцируемой финитной на (0, +то) функции ф. Далее определим произведение матрицы P', элементами которой являются обобщённые функции pj, на вектор-функцию y Е D0 как n-компонентную вектор-функцию P'у, координата с номером i которой равна p'i1y1 + pi2y2 + ... + Pin Уп (i = 1, 2,... ,n). Тогда в смысле теории распределений очевидным становится следующее естественное равенство: (Py)' = P'y + Py', благодаря которому оператор L0, порождённый выражением (1) в гильбертовом пространстве C2n(R+), можно трактовать как оператор, порождённый выражением

l[y] = -y'' + P'y (2)

в том же пространстве.

Определение оператора L0, порождённого выражением (2) с матричным потенциалом-распределением, приведённое выше, позволяет включить его в класс операторов, порождённых квазидифференциальными выражениями с локально суммируемыми коэффициентами в пространстве C2n(R+), и таким образом позволяет строить спектральную теорию этого оператора.

Отметим, что задачи, связанные с изучением скалярного оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом короткого взаимодействия (типа ^-функции), возникли в физической литературе. Математическое исследование таких физических моделей было начато в 60-ые годы прошлого века в работах [1], [2]. Современное состояние и новые направления развития спектральной теории таких операторов изложено в монографиях [3], [4]. При этом корректное определение оператора Штурма-Лиувилля со скалярным потенциалом-распределением первого порядка впервые, по-видимому, несколькими эквивалентными способами было дано в работах [5], [6]. Там же достаточно обстоятельно были изучены спектральные свойства таких операторов, особенно в случае конечного отрезка. При определении оператора L0, порождённого выражением (2), мы воспользовались одним из предложенных в указанных работах подходом. Отметим также, что в недавних работах [7], [8] приведён довольно подробный спектральный анализ операторов, порождённых выражением вида (2), для случая, когда n =1 и P является ступенчатой функцией с бесконечным числом скачков на полуоси.

Данная работа посвящена построению спектральной теории оператора L0, в частности, определению дефектных чисел этого оператора в терминах элементов р^ матрицы P. В теоремах 1 и 2 приводятся достаточные условия реализации максимальности и, соответственно, минимальности дефектных чисел оператора L0, а в теореме 3 утверждается, что условие максимальности дефектных чисел оператора L0 (в случае, когда элементы матрицы P являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел оператора, порождённого некоторой обобщённой якобиевой матрицей в пространстве ln2 . Приведены некоторые следствия этих теорем, построены соответствующие примеры. Отметим, что часть из полученных результатов являются новыми и для скалярного случая.

2. КвлзипроизводныЕ и квазидифференциальные операторы. Индексы

дефекта

Пусть действительнозначные функции pj (i,j = 1,2 ,...,n) — элементы матриц-функции P определены на полуоси R+ и удовлетворяют следующим условиям:

a) pij pji;

Ь) р2 £ Ь1(а,в) для любых а, в £ Я+, т.е. р2 локально абсолютно интегрируемы на Я+ £ Цос^.

Определим первую квазипроизводную заданной локально абсолютно непрерывной вектор-функции у(х) = (у1(х),у2(х),... ,уп(х))г (у £ АС1ОС(Я+); ¿—символ транспонирования), полагая ур = у' — Ру. Далее считая, что вектор-функция ур уже определена и локально абсолютно непрерывна, определим вторую квазипроизводную вектор-функции у, полагая уР2] := (у1р)' + Рур + Р2у, и квазидифференциальное выражение:

1[у](х) := —ylp](x), х £ я+. (3)

Отметим, что условие Ь) обеспечивает справедливость теоремы существования и единственности решений системы дифференциальных уравнений первого порядка

У' = ЕУ,

соответствующей уравнению I [у] = 0, а из условия а) следует справедливость следующего матричного равенства:

Е = — 3-1Е*3, (4)

где матрицы Е и 3 в блочном представлении имеют вид Е := ^ р=)2 ^ ''= (^0 0

™ (Р -Р2\ ГР т

а Е = І і р I — сопряженная матрица к матрице Е и I — здесь и везде далее еди-

ничная матрица порядка п.

Таким образом, область определения А выражения 1[у] является множеством всех локально абсолютно непрерывных вектор-функций у на Я+ таких, что вектор-функция ур также локально абсолютно непрерывна на Я+. Теперь докажем, что справедлива следующая лемма.

Лемма 1. (формула Грина) Пусть Р — квадратная матрица порядка п (п > 1), удовлетворяющая условиям а) и Ь). Тогда для любых двух вектор-функций п,ь Є А и для любых двух чисел а и в таких, что 0 < а < в < ж, справедлива формула

в

/ {(1[п](х),у(х)) — (п(х),1[у](х))}йх = [п(х),у(х)](в) — [п(х),у(х)](а), (5)

где (д, К) = ^ д3К3 — скалярное произведение векторов д и К, а билинейная форма [п,ь]

в=1

определена 'равенством: [п,ь](х) := (п[1](х), ь(х)) — (п(х), ^[1](х)).

Доказательство.. Пусть п,ь £ А. Тогда найдётся пара вектор-функций К,д с локально суммируемыми на я+ компонентами таких, что

1[п] = д и 1Щ = К. (6)

Условия (6) можно записать в матричном виде:

и' = ги + С и V' = ЕУ + Н, (7)

где матрицу Е мы определили выше, а 2п - мерные вектор-столбцы и, V, С, Н имеют вид:

и := (п,п[1])*, V =: ('У,'У[1])*, С =: (0,1[п]У, Н =: (0,/[и])* (напомним, что квазипроизводные

определяются посредством матрицы Р).

Домножая слева оба равенства (7) на постоянную матрицу 3 (см. выше) и учитывая условие симметрии (4), получим следующие матричные равенства

(Зи)' = —Е *3и + ЗС, (ЗУ)' = —Е ЗУ + ЗН.

Далее продифференцируем скалярное произведение (3и,У):

(3и,У )' = ((3и ), У ) + (3и,У ') =

(—Е*3и + 30, У) + (зи, ЕУ + Н) = (30, У) + (3и, Н),

где

п ___

(3и,У) = £^{пз } = (п,у[і]) — (п[1\у) = — [п,у],

3=0

п

(30, У) = - £ 13[ш]у, = —(/[«], V)

3=0

и

п

(3и,Н) = £ пз 3 [у] = (п,l[v]),

3=0

где 3 — і-ая компонента вектора I. Таким образом, мы доказали, что

(1[п],у) — (п,1[у]) = [п,у] .

Остается проинтегрировать полученное равенство. Лемма 1 доказана.

Благодаря формуле (5), выражение 1[у] будем называть симметрическим (формальносамосопряженным) векторным квазидифференциальным выражением второго порядка.

Через обозначим множество всех комплекснозначных финитных на (0, +ж) вектор-функций из А. С помощью таких же рассуждений, как в скалярном случае (см. [9], стр. 133), и с использованием формулы Грина устанавливается,что множество является всюду плотным в СП(Я+), и формулой Ь'0 = 1[у] на множестве выражение I определяет симметрический (незамкнутый) оператор в СП(Я+) с областью определения ^0. Символами Ь0 и П0 обозначим замыкание этого оператора и его область определения соответственно. Далее, через п+ (п-) обозначим максимальное число линейно независимых решений уравнения

1[у] = ау, (8)

принадлежащих пространству С2п(Я+) при О А > 0 (ОА < 0). Числа п+ и п- совпадают с дефектными числами минимального замкнутого симметрического оператора Ь0 (см. [10]), сохраняют свои значения в полуплоскостях, равны между собой и заключены между п и 2п.

Действительно, тот факт, что числа п+ и п- не могут быть меньше, чем п, доказывается так же, как теорема 2 в [11] (этот факт может быть установлен также на основании результатов С.А. Орлова [12]); а то, что эти числа не могут быть большем, чем 2п, является очевидным.

Теперь покажем, что п+ = п-. Пусть п-компонентная вектор-функция у является решением уравнения (8), принадлежащим пространству С2п(Я+) (для определенности будем предполагать, что О А > 0). В равенстве (8) перейдем к сопряженному уравнению:

Ш = ^, (9)

где Аі = А и ОАі < 0. Поскольку, / Цу(х)ІІ23,х = / \іу(х)ІІ2в,х, то это означает, что как

00

только у является решением уравнения (8) (с О А > 0), принадлежащим пространству СП(Я+), то у является решением того же уравнения (с ОА < 0), принадлежащим С2П(Я+).

Из приведенных выше рассуждений следует, что пара чисел (п+, п-), называемая индексом дефекта оператора Ь0, может принимать одно их значений: (п,п), (п + 1,п + 1), ..., (2п, 2п). По аналогии со спектральной теорией скалярных дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на полуоси, в первом из возможных случаев говорят, что для

оператора Ь0 реализуется случай предельной точки, а в последнем — случай предельного круга (см., например, [13]). При этом аналогами кругов Вейля на комплексной плоскости оказываются матричные круги на множестве вещественных симметрических матриц порядка п (см. [11]).

3. Асимптотическое интегрирование систем квазидифференциальных

уравнений

Пусть матрица Р(1) := (робладает теми же свойствами, что и матрица Р: р^ = рзг и

1 I Е> \ (; Л — 1 О ^ \ о ^ л,,Л1!

(pfj1)2 G Ljoc(R+) (i,j = 1, 2,... ,п), а n-компонентные вектор-функции y и y^.) := y'—P(1) y определены и являются локально абсолютно непрерывными на полуоси. Перечисленные условия, как и в случае выражения l, позволяют определить симметрическое квазидиф-ференциальное выражение

s[y]:= —(’&.»)' — Р(1,уЦ!,) — (PW)2y, (10)

которое определяет минимальный замкнутый симметрический оператор S0 в гильбертовом пространстве Ln(R+). Символом D0 обозначим область определения оператора S0.

Далее, рассмотрим симметрические квазидифференциальные векторные уравнения

l[y] = -(Л)' — рУр — P2y = 0 (11)

и

Ф] = (yp1(i))' — P(1) УЩ.) — (P (1,)2У = 0. (12)

Несложно заметить, что каждое из них эквивалентно системе дифференциальных уравнений первого порядка

У?) = (—Q2 —Eq) Ц11 • (13)

где Q = P в случае уравнения (11), а в случае уравнения (12) Q = P(1) соответственно.

Эквивалентность (11) (или (12)) и (13) понимается в том смысле, что если n-компонентная вектор-функция y является решением (11) (или (12)), то 2n-компонентная вектор-функция Y = (y^yQ) является решением (13) и наоборот, если

Y := (Y1,Y2,... ,Y2n)t — решение системы (13), то y := y0 = (y°,y°,... ,уП) — решение

уравнения (11) (или (12)) и

Y = I Ук• к = 1, 2,... ,п

к y(yk-n)[Q, к = п +1,п + 2,..., 2п

(более подробно см., например, [14, гл. V]).

Символом T обозначим фундаментальную матрицу линейной однородной системы (13) с Q = P(1). Очевидно, что столбцами матрицы T являются 2п-мерные столбцы вида (uj, uj1])t (j = 1, 2,... , 2п), где Uj — линейно независимые векторные решения уравнения (12) (напомним, что квазипроизводные определены посредством матрицы P(1)). Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. . Пусть матрицы P, P(1) и T таковы, что

/ о е>(1, п \

1 < +оо. (14)

о

— P2 + (P(1))2 -P + P«

означает сумму абсолютных величин всех элементов матрицы

1

15)

Тогда для любых комплексных чисел а1,а2,... ,а2п уравнение (11) имеет решение ф(х) удовлетворяющее условиям:

2п

ф(х) = ^2[а1 + а3 (х)]из,

3 = 1

2п

ф1р(х) = £[а3 + а3 (х)](и3 )р(1) (x),

3=1

где щ(х) ^ о при х ^ (г = 1, 2,..., 2п).

Доказательство.. В системе (13) с Q = Р сделаем линейную замену

у = Тг,

где вектор-столбец г имеет вид г = (г1, г2,... , г2п)г, и продифференцируем

У' = Т 'г + Тг'.

Далее учтём, что матрица Т является фундаментальной матрицей решений системы (13) с Q = Р(1), а именно:

Т' =( Р (1) 1 \Т

Т = (—(р(1))2 -р^) 1

В результате указанных преобразований рассматриваемая система принимает вид:

,_1 ( Р - Р(1) 0

16)

z' = T -

—P2 + (P(1))2 —P + P(1)

Tz.

:17)

В силу предположения (14), к системе (17) можно применить результат задачи 1.4 (с) из [15, гл. X, §1, стр. 331], а именно, для любых комплексных чисел а (1=1,2,... ,2п) система (17) имеет единственное решение, для которого справедливы следующие асимптотические формулы

/ гЛ ( «1 + а1(х) \

z2

а2 + a2(x)

\z2nl \a2n + a2n(x)/

где ai(x) ^ o при x ^ +to (i = 1, 2,..., 2п).

Остаётся только учесть связь (16) между вектор-столбцом z и решением исходной системы ф. Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Если дополнительно предположить, что матрица T определена при помощи начальных данных T(0) = I2n, то обратная матрица к матрице T определяется соотношением

T-1(x) = —(JT *J )(x), где I2n — единичная матрица порядка 2п, а постоянная матрица J определена в (4).

Доказательство.. Прежде всего отметим, что симметрия матрицы P(1) (как и в случае матрицы P) влечёт за собой симметрию квазидифференциального выражения s[y], а именно:

F1(x) = —J-1F* (x)J, (18)

где матрица F1 и сопряжённая к ней матрица F* в блочном представлении имеют вид:

P(1) I ) ™ (р(1) —(р(1,)2)

F1

— (р(1))2 — р(1)

F*

I

— P(1) )

Из определения следует, что

Т-1(х)Т (х) = Ьп.

Дифференцируя это равенство и учитывая тот факт, что Т является фундаментальной матрицей решений системы (13) с Q = Р(1), выразим (Т-1(х))'

(Т-1(х))' = -Т-1(х)Е1(х).

Далее перейдём к сопряжённым матрицам

((Т*)-1(х))' = —^ (х)(Т *)-1(х), (19)

учтём условие (18) и положим: (Т*)-1(х) = 3Ф(х). Получим матричное дифференциальное уравнение

Ф'(х) = Р1(х)Ф(х).

Таким образом, определённая выше матрица Ф(х) является фундаментальной матрицей линейной однородной системы (13) с Q = Р(1) и связана с матрицей Т(х) и некоторой постоянной матрицей С следующим равенством

Ф(х) = Т (х)С

(см., например, [16],стр. 82, теорема 2.3).

С другой стороны, в силу задания матрицы Ф(х) имеем:

(Т * )-1(х) = 3Т (х)С.

При этом дополнительное начальное условие Т(0) = 12п влечёт за собой матричное равенство С = 3-1. Таким образом, находим, что

(Т*)-1(х) = 3Т (х)3-1.

Далее, из определения матрицы 3 следует, что 3-1 = 3* = —3. Следовательно,

(Т*)-1(х) = —3Т (х)3.

Остаётся перейти к сопряжённым матрицам. Замечание 1 доказано.

Следствие 1. Пусть справедливы условия теоремы 1. Тогда для оператора Ь0 реализуется случай предельного круга в том и только том случае, когда этот случай реализуется и для оператора Б0.

Доказательство.. Пусть к,] € {1, 2,... , 2п}. В качестве постоянных а1, а2,... , а2п из теоремы 1 возьмём ак = , где Ь-символ Кронекера, и определим вектор-функции Уз,

полагая Уз = ф(х). Тогда в силу формул (15):

2п

Уз (х) = (1 + аз (х))из (х) + Е ак(х)ик(х) ,

к=1, к=з

где из (х) — линейно независимые векторные решения уравнения (12) и аз (х) = о(1) при х ^ +ТО.

Через Т(1) обозначим матрицу, 2п-мерными столбцами которой являются столбцы (Уз, (уз)р^])* (] = 1, 2,... , 2п). Непосредственные вычисления показывают, что

2п

¿вгТ(1) = (1 + Е ак (х))д,еЛТ, к=1

где detT = 0. Таким образом, система векторов Уз (^ = 1, 2,..., 2п) является линейно независимой. С другой стороны, простые вычисления показывают, что

2п 2п 2п

Е1|уз ||2 = Е ||из112+о(Е ||из112)

з=1 з=1 з=1

и, следовательно,

2п

Е IV||2

lim 3—-1--------= 1.

x^+те 2п

Е IU||2

3=1

Таким образом, несобственные интегралы

+те 2п +те 2п

Y.IVII2 и Г£||«31|2

0 3—1 0 3—

сходятся или расходятся одновременно. Следствие (1) доказано.

4. Примеры реализации случая предельного круга для оператора Ь0 Пусть п = 2 и а > 2, 0 < в < а. Определим матрицу Р(1), полагая

ха+1 хв+1

Р(1) = ( 7Х++1 1 . (20)

0+1 а+1

Тогда дифференциальный оператор Б0, порождённое выражением в в гильбертовом пространстве £^(Я+), можно трактовать как оператор, порождённый выражением

—у'' + (Р (1))'у,

в том же пространстве С2(Я+), где (Р(1))'(х) = (р1 )'(х) (%,] = 1, 2) — производная матрицы Р(1) (х), а однородное квазидифференциальное уравнение (12) совпадёт с уравнением

,а х

х^в х^а

Справедлива следующая лемма.

v" -( % хХ )v = 0. (21)

Лемма 2. Уравнение (21) имеет четыре линейно независимых решений уз(х) (] = 1, 2, 3,4) таких, что при х ^ справедливы следующие асимптотические формулы:

X

у1(х),у2(х) ~ ф1(х)вхр ±i(sa + se)1/2ds,

XOx (22)

у3(х),у4(х) ~ ф2(х)ехру ±г(ва — вв)1/2ds,

хо

где Ф1(х) = 2(ха+Хв) 1/4 (1^) , Ф (х) = 2(ха-\в) 1/4 ^ .

Доказательство.. Несложно заметить, что векторное уравнение (21) равносильно системе двух скалярных дифференциальных уравнений второго порядка

г" = (хв — ха)г

(23)

£' = —(хв + ха^,

где г = у1 + у2 и t = у1 — у2. Для уравнений (23) при х ^ хорошо известны асимптотические формулы типа Лиувилля-Грина (см., например, [17], стр. 68), а именно:

х

г1,г2 ~ (ха — хв)-1/4ехр(±г [(ва — )1/2ds), (24)

и соответственно

X

t1,t2 ~ (ха + хв)-1/4 exp(±i J (sa + se)1/2ds). (25)

X0

Остаётся учесть связи между z, t и y. Лемма (2) доказана.

Из асимптотических формул (22) и условий на коэффициенты а и ß можно заключить, что все решения уравнения (21) принадлежат пространству L^(R+), т.е. для оператора S0 реализуется случай предельного круга.

Пусть далее, хп (п = 0,1,...) — возрастающая последовательность положительных чисел таких, что хо = 0, lim хп = +то. Выберем произвольную точку Vk Е [хк; хк+1) и опре-

п^+те

v“+1 Vß+!

делим элементы pij (х) матрицы P, полагая: р11(х) = p22 (х) = — -0+y, р12(х) = р21(х) = при х Е [хк ,хк+1). Справедлива следующая лемма.

Лемма 3. Пусть выполнены перечисленные выше условия и

+те

YA+1 (хк+1 — хк)2 < +го, (26)

к=1

+~ х2а+1

Е (х«к ++х;)1/2 (хк+‘ — хк)2 < +“• (27)

Тогда матрицы Р и Р(1) удовлетворяют условию (14) теоремы 1.

Доказательство. В силу формул (22) асимптотические формулы для матрицы Т, а, следовательно, и для матрицы Т-1 при х ^ выписываются явно. При этом, неслож-

ные, но громоздкие вычисления показывают, что из сходимости следующих интегралов следует сходимость интеграла (14)

+^ (1)

а) I 1ргз(х) — Píj(x)|dx, г,3 = 1, <2,

хо

в) +Г^^в^ох, г,. = 1, 2,

хо

_) +Г \РЛ (Р11 +Р22 ) -р12) (р11) +р22) I 0х

I) и (ха +хв )1/2

хо

где хо > 1.

С другой стороны, легко заметить, что при х, Ук € [хк, хк+1) и при указанном выше выборе матриц Р и Р(1) выполняются следующие неравенства

1Ргз (х) — Р(1)(х)| = ) — Р(з1)(х)| ^ |Р(з1)(хк+1) — Р(1)(хк)1 <

/п ( х<ь+1 (хк+1 — хк), г = ] (28)

^ 1(р\])У(хк+1)|(хк+1 — хкр . . .,

I хв+1(хк+1 — хк), г = ]

\'Р%(х) - (Р^)2(х)\ ^ 1((Р(!})2)\хк+1)\{хк+1 - Хк)

и

, в + 1

\Р12 (Р11 + Р22)(Х) - Ри (Рп + Р22))(Х)\ ^

оХ2«+1

(хк+1 - Хк'), г = 3

¡ХИ (29)

к+1 (хк+1 - хк), г = з

и

^ \(Рп(Рп + р22))),(х к+1 Жхк+ 1 - Хк ) = а++)в/++1) Ха+в+1 (Х к+1 - Хк). ( )

Теперь покажем, что сходимости рядов (26) и (27) обеспечивает сходимость интегралов а), в), 7). Отметим, что сходимость интегралов а), в), 7) доказывается единообразно, поэтому ограничимся Доказательство.м сходимости интеграла а) при г = 3 = 1. Действительно,

+ ^ +^ Хк + 1 Хк+1 +^

/ \р 1 1(х) - р(1{(Х)\в1Х ^ Е / Ха+ 1 \Хк+1 - Хк\ / 1<1х = Е хак+ 1 (Хк+1 - Хк)2. Лемма 3

хо к=ко Хк Хк к=ко

доказана.

Таким образом, для матриц Р и Р(1) справедливо утверждение следствия 1, т.е. индекс дефекта оператора Ь0 максимален и равен (4,4).

Резюмируя выше сказанное, можно отметить, что мы построили примеры реализации случая предельного круга для оператора Ь0, порождённого квазидифференциальным выражением (1) с матрицей Р такой, что

Р(х'> = £ (д 6(х -Хк(31)

где ' означает производную в смысле теории распределений, а постоянные ак, вк, 1к опре-

<+1-^+11 „ ^+1-ив+1

деляются равенствами: ак = 7к = К а+1к+1 , вк = д+1—.

Замечание 2. В качестве подходящей последовательности точек хк можно взять, например, последовательность с общим членом хк = 1п к (к = 1, 2,...)

Доказательство. Сходимость рядов (26) и (27) доказывается единообразно. Поэтому покажем, например, что ряд (26) сходится. Действительно,

+~ +~ к +1

]>> а+1(хк+1 - хк)2 = £1па(к + 1)1п2 —,

к=1 к=1

а последний ряд сходится, т.к. \па(к + 1) 1п2 ~ Ы кк+1 ) при к ^ и ряд

+

1па(к+1) . ,

Е —к2+) < +^. к=1

5. Достаточное условие реализации случая предельной точки

для оператора Ь0

Через О обозначим нулевую матрицу порядка п. Как обычно, для вещественных симметрических матриц А и В неравенство А > В означает, что для любого и Е Яп выполняется неравенство (Аи,и) > (Ви,и). Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов (ak, bk) С R+ (k = 1, 2,...) такая, что

1. элементы pij (i,j = 1, 2,... ,n) матрицы P абсолютно непрерывны на [ak, bk ];

2. P'(x) > O п.в. при x Е [ak,bk];

3.

+<^

£ '(bk — ak)2 = +to. (32)

k= i

Тогда n+ = n- = n.

Действительно, пусть элементы pij матрицы P удовлетворяют условиям, перечисленным в начале параграфа 2, и условиям 1-3 теоремы 2 на отрезках [ak, bk]. Тогда квазидиф-ференциальное выражение l [y] совпадает с обыкновенным векторным дифференциальным выражением (2) на отрезке [ak, bk] при фиксированном k. При этом Доказательство. теоремы 2 получается почти дословным повторением рассуждений из работы [18], которые показывают, что условия 1-3 обеспечивают справедливость утверждения этой теоремы

+ СЮ

независимо от поведения элементов pij матрицы P вне (J [ak, bk], и здесь не приводится.

k=

Пример 1. Пусть 0 =: xo < x 1 < x2 < ... и lim xk = +то. Предположим, что

k^+Ж

P(x) = Ck при x Е [xk- 1 ,xk), где Ck — симметрическая вещественная числовая матрица, +<^

и (xk — xk-1)2 = +то. Тогда индекс дефекта оператора L0 равен (n,n).

k=1 -

Действительно, если [xk-1, xk) разделить на три равные части и в качестве [ak, bk] взять серединную треть этого отрезка, то все условия теоремы 2 будут выполнены.

6. Специальный случай оператора L0 и обобщённая матрица Якови

Пусть xk и Ck такие же, как в примере 1, т.е. xk (k = 0,1,...) — возрастающая последовательность положительных чисел таких, что x0 = 0 и lim xn = +то, Ck — симметриче-

П^-+<^

ская вещественная числовая матрица, и пусть Ak = (akj )rnj=1 := Ck+1 — Ck .В это ситуации выражение (2) принимает следующую форму

+<^

1[У] = —У" + £ Ak$(x — xk)y. (33)

k=1

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Минимальный замкнутый симметрический оператор L0, порождённый выражением (33) в пространстве Ln(R+), имеет индекс дефекта (2n, 2n) в том и только в том случае, когда все решения разностного векторного уравнения

Zk+1, +~^[Ak + (1 + ~^)I]Zk — Zk-\ =0, k = 1, 2,..., (34)

rk+1 rk+2dk+1 r k+1 dk dk+1 rk rk+1dk

где dk := xk — xk-1, rk+1 := \Jdk+1 + dk, принадлежат пространству l2n.

Доказательство. Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка

— y" + £ Ak8(x — xk)y = 0. (35)

k=1

Несложно заметить, что вектор-функции и\(х), п\(х), . . . , Ч^(х), X Е Я+, при X Е (хк-1,хк) определяемые равенствами

пгк = -1- Єі, Пг]+п =[------------------------------ Хк-і)]Єг, і = 1, 2,...,п,

¿к У ¿к ¿кУ ¿к

где Хо = 0, Єі — канонический базис пространства Кп, образуют ортонормированную систему решений уравнения (35). Поэтому произвольное решение у(х) системы (35) является локально абсолютно непрерывной функцией на Я+ и при х Е (хк-і,Хк) имеет вид

у(х) = А\ик(х) + АкиЦх) + ... + А кпи кп(х).

Следовательно,

і Хк ,

/ ||у(х)||2¿х = £ ШхЖ<Ь = ^{(АЙ2 + (АЙ2 + ... + (А^)2}. (36)

к=Ч-1 к=1

С другой стороны, произвольное решение системы (35) является непрерывной кусочнолинейной функцией, т.е. у = Хк + Ук(х — Хк-1) при х Е (хк-1,Хк), где координаты с номером г вектор-столбцов Хк и Ук определяются равенствами

Х'„ = ~-=(.Ак —¿3Л+), У', = ^§Ак+п, г = 1,2,...,п.

У ¿к ¿к

Теперь учтём условие непрерывности вектор-функции у и условие абсолютной непрерывности её первой квазипроизводной, порождённой при помощи матрицы Р, ур,] = у' — Ру,

т.е. у(хк — ) = у(хк+) = у(хк) и ур](хк—) = у[р(хк+). Поскольку у(хк—) = Хк + Ук ¿к, а

у(хк+) = Хк+1, то первое из указанных условий равносильно равенству:

Хк + Ук ¿к = Хк+1-Аналогично, второе условие эквивалентно соотношению

у'(хк+) — у'(хк—) = Ак у(хк )■

Следовательно, объединяя результаты, можно заключить, что вектор-столбцы Хк и У к удовлетворяют системе уравнений

Хк + Ук ¿к = Хк+1 к =12

Ук+1 — Ук = Ак Хк+1 , ,""

Исключая Ук, находим, что вектор Хк удовлетворяет векторному разностному уравнению

---Хк+2 — [Ак + (“1---+ ---)1]Хк+1 + -Т~Хк = 0, к = ~1, 2,~ . . . (37)

¿к+1 ¿к ¿к+1 ¿к

Теперь, учитывая связь между Хк, У к и Ак, заметим, что

Ак = ^№+1 + XI), Ак+п =2-|(-Х+і - Хі), і = 1,2,...,п, к = 1,2,

Из этих формул легко вывести, что

(Ак )2 + (Ак )2 + ... + (Акп )2 = ¿к (||хк ||2 + ||хк+і||2 + ^ хк ■ хк+і)+

8=1

Я

+ ^(\\х к||2 + ||хк+1||2 - 2 ^ хк хк+1).

8=1

Из соотношения (38) немедленно следует справедливость следующих неравенств

| {пх„ ||2 + ||Хк+1||2} < (л;, )2 + (л\ )2 +... + (л;- )2 < | {||Хк||2 +1|*+1||2}.

Таким образом, ряд в правой части равенства (36) сходится в том и только том случае, когда сходится ряд

^ 4 (||Х;+1||2 + ||Х; ||2) = ^1||х1||2 + ^(4 + 4+1 т+Ц2, к=1 к=1

где X; удовлетворяет векторному уравнению (37).

В системе векторных разностных уравнений (37) сделаем замену

^к — гк+1Хк+Ъ в результате чего она сведётся к виду:

г к+1 г [Ак + (~^+ 2 ')1^2к + ~г~с[~ — 0, к — 1,2,'"' (39)

гк+22к+1 гк+1 2к 2к+1 гк2к

Умножая каждое уравнение системы (39) на — , мы приходим к симметрической си-

стеме (34).

Таким образом, любое решение у(х) уравнения (35) принадлежит пространству С— (Я+) в том и только том случае, когда любое решение Zk разностного уравнения (34) принадлежит пространству 12п. Теорема 3 доказана.

Теорема 3 утверждает, что для оператора Ь0, порождённого выражением (33), реализуется случай предельного круга в том и только том случае, когда дефектные числа разностного оператора, порождённого обобщённой якобиевой матрицей вида

л0 В0 0 0 ...

ВО л1 В1 0

0 В1 л2 В2

V . ...

в пространстве 12п, где Л0, В0 — произвольные квадратные вещественные симметрические матрицы порядка п, В-1 существует, а

Лк — г2~[Ак + (+ 2 Вк — — Г г 2 1, к —1,2,"', (40)

гк+1 2к 2к+1 гк+1гк+22к+1

максимальны, т.е. равны числу п. Обобщённые якобиевы матрицы вида 3 возникают в связи с матричной степенной проблемой моментов, предложенной и развитой М.Г. Крейном (см., например, [19]), и хорошо изучены. В частности, в работах [20] - [22] установлены критерии максимальности дефектных чисел и различные признаки реализации случаев максимальности и не максимальности дефектных чисел соответствующих разностных операторов в терминах элементов матрицы 3. Применив эти признаки и теорему 3 в данной ситуации, можно получить условия максимальности и не максимальности дефектных чисел оператора Ь0, порождённого выражением (33), в терминах Ак и 4. А именно, справедливы следующие следствия.

Следствие 2. Пусть выполняется какое-либо из следующих условий:

гк+1гк+24+1 —

к=1

или

2 гі+ггк+34+А+г + / 11 ^ 11| = +^.

гк+і \ак 4+1/

Тогда для оператора Ь0 не реализуется случай предельного круга.

Действительно, перечисленные условия — это результат применения теоремы 3 из [20] к элементам матрицы 3, определённым в (40), согласно которой для матрицы 3 не реализуется вполне неопределённый случай, т.е. индекс дефекта соответствующего разностного оператора не является максимальным. Тогда, согласно теореме 3, индекс дефекта дифференциального оператора Ь0 также не максимален.

Следствие 3. Пусть элементы матрицы 3 удовлетворяют следующим условиям:

4 і 4 і

I ----^— < ----------1 "то— или ---------------^— > -1 "то— для всех к = 1, 2,...,

'к'к+зак«к+2 Гк+іГк+оак+і 'к'к+з^к«к+2 ~ 'к+іГк+оак+і ’ ’ ’

II £ Гк+1 Гк+2<ік+і < +ж,111 £ Гк+2+1+і \\Ак + (ак + ¿г)1II < +^.

к=1 к=1 ' '

Тогда для оператора Ь0 реализуется случай предельного круга.

Действительно, так же, как и в следствии 2, условия 1-3 — есть результат непосредственного применения следствия 1 из [22] и теоремы 3 к обобщённой якобиевой матрице 3, матричные элементы которой определены в (40).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечания об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом // ДАН СССР. 1961. Т. 137. № 7. С. 1011-1014.

2. Минлос Р.А., Фаддеев Л.Д. О точечном взаимодействии для систем из трёх частиц в квантовой механике // ДАН СССР. 1961. Т. 141. № 6. С. 1335-1338.

3. S. Albeverio, F. Gestezy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden Some exactly solvable models in quantum mechanics Springer-Verlag. 1988.

4. S. Albeverio, P. KurasovSingular perturbation of differential operators London Math. Society Lecture Rems Series. Cambridge Univ. Press. 2001. 271 p.

5. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами//Математические заметки 1999. Т. 66. В. 6. С. 897-912.

6. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями!//Труды ММО. 2003. Т. 64. С. 159-212.

7. Костенко А. C, МаламудМ.М. Об одномерном операторе Шрёдингера с 5-взаимодействиями^//Функциональный анализ и его приложения. 2010. Т. 44. В. 2. С. 87-91.

8. Костенко А. C, МаламудМ.М. 1-D Schrodinger operators with local point interactions on a discrete set//Journal of Differential Equations. 2010. Т. 249. P.P. 253-304.

9. W. N. Everitt, L. Marcus Boundary Value Problems and Sympletic Algebra for Ordinary Differential and Quasi-Differentrial Operators //AMS. Mathematical Surveys and Monographs. 1999. V. 61. P.P. 1-187.

10. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка М.-Л., Гостехиздат. 1950.

11. Биргер Е.С., Калябин Г.А. Теория кругов Вейля в случае несамосопряжённой системы дифференциальных уравнений второго порядка// Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 9. C. 1531-1540.

12. Орлов С.А. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов// ДАН. 1953. T. 92. № 3. C. 483-486.

13. R.L.Anderson Limit-point and limit-circle criteria for a class of singular symmetric differential operators// Canad. J. Math. 1976. 28. № 5. P.P. 905-914.

14. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы 2-е изд., перераб. и доп. М.:Наука. 1969. 526 C.

15. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.:Мир. 1970. 720 C.

16. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений 2-е изд., испр. М.: Издательство ЛКИ. 2007. 472 C.

17. M.S.P. Eastham The Asymptotic Solution of Linear Differential Systems. Applications of the Levinson Theoreme Oxford: Clarendon Press. 1989. 241 P.

18. Серебряков В. П. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциальных уравнений типа Штурма-Лиувилля//Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 10. С. 1732-1738.

19. Крейн М. Г. Бесконечные J-матрицы и матричная проблема моментов//ДАН СССР. 1949. Т. 69. № 2. С. 125-128.

20. Костюченко А. Г., МирзоевК.А. Трехчленные рекуррентные соотношения с матричными коэффициентами. Вполне неопределённый случай//Матем. заметки. 1998. В. 63. № 5. С.709-716.

21. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. Обобщённые якобиевы матрицы и индексы дефекта обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами// Функциональный анализ и его приложения. 1999. Т. 33. В. 1. С. 30-45.

22. Костюченко А. Г., МирзоевК.А. Признаки вполне неопределенности, якобиевых матриц с матричными элементами//Функциональный анализ и его прил. 2001. Т. 35. В. 4. С. 32-37.

Карахан Агахан оглы Мирзоев,

МГУ имени М.В. Ломоносова Ленинские Горы, 1,

119991, г. Москва, Россия E-mail: [email protected]

Татьяна Анатольевна Сафонова,

САФУ имени М.В. Ломоносова,

Набережная Северной Двины, 17,

163002, г. Архангельск, Россия E-mail: [email protected]